Cote n° 102 · pages 1–13 · Lecture modernisée · Etude générale des foncteurs (Sch)° → (Ens) : tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [après 1967]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–13

Le fil du dossier, et les conventions

La chemise (page 1) porte le seul mot « Recollements ». Les pages 7 et 9 ne portent rien de sa main. Le reste se répartit en cinq morceaux :

• Pages 2 à 6 : tapuscrit « Pour EGA VI ». Recollement d'objets d'un site \(S\) le long d'une classe \(M\) de flèches ; prolongement \(\widetilde{M}\) de \(M\) au topos ; la catégorie \(\widetilde{S}_M\) des objets recollés, ses propriétés de stabilité ; schémas et espaces algébriques ; le topos localisé au-dessus d'un objet. Annoté à la main.
• Page 8 : « Questions pour Artin ». Effectivité de la descente pour des schémas propres sur une base hensélienne, descente fpqc des « variétés » et des petits faisceaux étales.
• Page 10 : un plan. Huit rubriques de propriétés des morphismes de foncteurs, et le principe de vérification.
• Page 11 : fragment d'une démonstration. Le théorème démontré n'est pas dans le dossier.
• Pages 12 et 13 : immersions ouvertes. Un critère, puis une feuille de mots-clés encadrés.

Le titre de l'inventaire, « Étude générale des foncteurs \((\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) », est celui de la page 10 et couvre l'ensemble : les objets recollés des pages 2 à 6 sont des foncteurs de ce type, et les pages suivantes cherchent comment parler de leurs morphismes. Le lien entre le tapuscrit et la page 8 est de cette lecture : les « variétés au sens généralisé, sans exiger que la diagonale soit une immersion » de la page 8 sont les objets que le tapuscrit obtient avec les morphismes étales.

Conventions, valables pour tout le dossier. Dans les pages 2 à 6, \(S\) désigne un site ; aux pages 8 et 12, la même lettre désigne un schéma de base, comme sur les pages, et le contexte suffit à les distinguer. \(\widetilde{S}\) est le topos des faisceaux d'ensembles sur le site \(S\) ; « fpqc » est la topologie fidèlement plate et quasi-compacte ; « lfp » abrège « localement de présentation finie ». Un foncteur \((\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) — un préfaisceau sur la catégorie des schémas, contravariant comme tout préfaisceau — est identifié au schéma qu'il représente quand il en représente un ; un morphisme de foncteurs \(f : G \to F\) est dit avoir une propriété \(P\) stable par changement de base si, pour tout schéma \(T\) et tout \(T \to F\), le morphisme \(G \times_F T \to T\) est un morphisme de schémas ayant \(P\) — c'est le principe de la page 10.

Le dossier dans son groupe. Il est classé parmi les dossiers 69 à 102, « Géométrie et topologie combinatoire », mais n'a rien de commun avec les cartes, hexagones et découpages des dossiers 81, 88 et 89, et sa datation propre, « après 1967 », le place avant la période du groupe. Il rencontre en revanche le dossier 91 : la page 4 de celui-ci vérifie, pour un théorème de représentabilité, les conditions mêmes qu'énonce la page 12 ci-dessous (faisceau fpqc, commutation aux limites inductives filtrantes d'anneaux et aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens).

2–6

Recollements d'objets d'un site (pages 2 à 6)

Le tapuscrit est titré « Pour EGA VI »¹ . Comme pour les tapuscrits d'autres dossiers, la transcription donne les énoncés et les interventions de sa main, et résume les démonstrations tapées ; la présente lecture ne peut donc rien affirmer de ces démonstrations au-delà de ce résumé.

2–2

Le site et la classe de flèches

Soit \(S\) un site dont la topologie est moins fine que la topologie canonique — un site sous-canonique, ce qu'il appelle « standard »² . Soit \(M\) une classe de flèches de \(S\) telle que :

• a)les flèches de \(M\) sont quarrables (leurs produits fibrés avec toute flèche de \(S\) existent dans \(S\)), et \(M\) est stable par changement de base ;
• b)\(M\) contient les identités et est stable par composition ;
• c)\(M\) est locale sur le but : si \(u : X \to Y\) est une flèche de \(S\) et \((Y_j \to Y)\) une famille couvrante telle que chaque \(X \times_Y Y_j \to Y_j\) soit dans \(M\), alors \(u\) est dans \(M\) ;
• d)\(M\) est locale sur la source pour les recouvrements par \(M\) : si \((u_i : X_i \to X)\) est une famille couvrante de flèches de \(M\) et si les composés \(u u_i : X_i \to Y\) sont dans \(M\), alors \(u : X \to Y\) est dans \(M\).

La forme donnée à d) est une reformulation³ . C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une propriété locale sur la source : elle vaut pour les morphismes étales dans la topologie étale, et c'est elle qui permettra plus loin de dire « étale » d'un morphisme d'espaces algébriques sans ambiguïté.

En marge, il envisage de s'en passer : ne pas imposer d) à \(M\), mais saturer plus tard dans le prolongement \(\widetilde{M}\), en décrétant qu'une flèche est dans \(\widetilde{M}\) si et seulement si elle devient dans \(M\) après composition avec un recouvrement par des flèches de \(M\)⁴ . On verra à la page 6 que cette variante est exactement ce que demande son premier exemple.

2–3

Le prolongement de \(M\) au topos

Proposition. Il existe une unique classe \(\widetilde{M}\) de flèches du topos \(\widetilde{S}\) qui satisfait aux analogues \(\tilde{a}\)) à \(\tilde{d}\)) de a) à d), et de plus :

• \(\tilde{e}\))une flèche de \(S\) est dans \(\widetilde{M}\) si et seulement si elle est dans \(M\) ;
• \(\tilde{f}\))si \(u : F \to X\) est dans \(\widetilde{M}\) avec \(X\) représentable, il existe une famille couvrante \((u_i : X_i \to F)\) de flèches de \(\widetilde{M}\) avec les \(X_i\) représentables⁵ .

Le tapuscrit démontre l'unicité en montrant que l'appartenance d'une flèche \(u : F \to G\) à \(\widetilde{M}\) est déterminée par les conditions. Par \(\tilde{c}\)), on se ramène au cas où \(G = X\) est représentable. Si la diagonale \(F \to F \times_X F\) est représentable, \(u\) est dans \(\widetilde{M}\) si et seulement s'il existe une famille couvrante \((u_i : X_i \to F)\), \(X_i \in S\), telle que les \(u u_i\) et les projections \(X_i \times_F X_j \to X_i\) soient dans \(M\) ; les \(X_i \times_F X_j\) sont représentables comme images inverses de la diagonale de \(F\) dans les \(X_i \times_X X_j\), de sorte que la condition a un sens. Le cas général est ramené au précédent⁶ . Le tapuscrit laisse au lecteur la vérification que la classe ainsi décrite satisfait bien à \(\tilde{a}\)) à \(\tilde{f}\)) : l'existence n'est pas démontrée dans le dossier.

3–3

Les objets recollés

Définition. Un faisceau \(F \in \widetilde{S}\) s'obtient par recollement d'objets de \(S\) à l'aide de morphismes dans \(M\) s'il existe une famille couvrante \((u_i : X_i \to F)\) avec \(X_i \in S\) et \(u_i \in \widetilde{M}\)⁷ . On note \(\widetilde{S}_M\) la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{S}\) formée de ces faisceaux.

Un tel \(F\) est le quotient de \(\coprod_i X_i\) par la relation d'équivalence \(R = \coprod_{i,j} X_i \times_F X_j\), dont les deux projections sont dans \(\widetilde{M}\) : c'est la forme la plus générale d'une « carte par recollement », les \(X_i\) étant les cartes et \(R\) les changements de cartes.

4–5

Stabilité

Proposition.⁸

• (i)Tout objet de \(S\) est dans \(\widetilde{S}_M\).
• (ii)Si \(u : F \to G\) est dans \(\widetilde{M}\) et \(G \in \widetilde{S}_M\), alors \(F \in \widetilde{S}_M\). La réciproque vaut si \(u\) est couvrant (épimorphisme de faisceaux).
• (iii)Si \(u : F \to G\) est couvrant et si \(\mathrm{pr}_1 : F \times_G F \to F\) est dans \(\widetilde{M}\), alors \(G \in \widetilde{S}_M\) si et seulement si \(F \in \widetilde{S}_M\).
• (iv)Une somme \(\coprod F_i\) est dans \(\widetilde{S}_M\) si et seulement si tous les \(F_i\) le sont.
• (v)Si \(S\) a les produits de deux objets (resp. les produits fibrés, resp. un objet final, resp. les limites projectives finies), il en est de même de \(\widetilde{S}_M\)⁹ .

Pour (ii) : on couvre \(G\) par des \(Y_j \to G\) de \(\widetilde{M}\), on change de base, on couvre chaque \(F \times_G Y_j\) par \(\tilde{f}\)), et l'on compose par \(\tilde{b}\)). Le point (iii) en résulte, \(u\) étant dans \(\widetilde{M}\) par \(\tilde{c}\)) puisque son changement de base le long de lui-même, couvrant, l'est. Pour (iv), la transcription résume l'argument tapé : si \(X \to \coprod F_i\) est dans \(\widetilde{M}\), les \(X \times_F F_i\) se couvrent par \(\tilde{f}\)), et ces morceaux couvrent les \(F_i\). Le point (v) est « laissé au rédacteur », avec une mise en garde : le noyau d'un double flèche ne se comporte sans doute pas de même, car un morphisme de doublets de \(\widetilde{S}\), ou même de \(S\), qui induit des morphismes de \(\widetilde{M}\) sur les sommets n'induit pas nécessairement un morphisme de \(\widetilde{M}\) sur les noyaux.

Corollaire. \(\mathrm{Ob}\,\widetilde{S}_M\) est la plus petite classe d'objets de \(\widetilde{S}\) qui contient \(\mathrm{Ob}\,S\) et est stable par sommes et par passage au quotient par une relation d'équivalence dont la première projection est dans \(\widetilde{M}\)¹⁰ . Par suite, \(\widetilde{S}_M\) ne change pas si l'on remplace \(S\) par une sous-catégorie \(S'\) de \(\widetilde{S}\) contenue dans \(\widetilde{S}_M\), et \(M\) par \(M' = \widetilde{M} \cap \mathrm{Fl}\,S'\)¹¹ .

Le corollaire résulte de la description d'un objet recollé comme quotient de \(\coprod X_i\) (section précédente), et de (iii) et (iv). C'est l'énoncé qui dit qu'un recollement de recollements est encore un recollement.

6–6

Schémas et espaces algébriques

Exemples. Soit \(S\) la catégorie des schémas affines, munie d'une topologie sous-canonique plus fine que la topologie de Zariski.

Immersions ouvertes. Avec pour \(M\) les immersions ouvertes, ou seulement les immersions \(\mathrm{Spec}(A_f) \to \mathrm{Spec}(A)\), la catégorie \(\widetilde{S}_M\) est équivalente à celle des schémas. Il faut pour cela utiliser la variante que propose la marge de la page 2, sans la condition d) : les immersions ouvertes ne satisfont pas à d)¹² . Les morphismes de \(\widetilde{M}\) sont alors les immersions ouvertes de faisceaux.

Morphismes étales. Avec une topologie plus fine que la topologie étale (et sous-canonique, par exemple fppf ou fpqc) et pour \(M\) les morphismes étales, qui satisfont à d), on trouve les espaces algébriques d'Artin, obtenus « en recollant des spectres d'anneaux par des morphismes étales »¹³ . Par le corollaire, on obtient le même résultat en partant des schémas au lieu des schémas affines. Les flèches de \(\widetilde{M}\) s'appellent alors morphismes étales d'espaces algébriques, la topologie étant la topologie étale¹⁴ .

Proposition. Supposons que \(M\) satisfasse la condition, qu'il appelle « draconienne » : si \(u : X \to Y\) et \(v : Y \to Z\) sont des flèches de \(S\) avec \(v \in M\) et \(vu \in M\), alors \(u \in M\). Pour \(X \in S\), soit \(S(X,M)\) la sous-catégorie pleine de \(S_{/X}\) formée des \(X' \to X\) dans \(M\) — toutes ses flèches sont alors dans \(M\) —, munie de la topologie induite. Alors la sous-catégorie pleine de \(\widetilde{S}_{/X}\) formée des \(F \to X\) qui sont dans \(\widetilde{M}\) est un topos, équivalent, par restriction à \(S(X,M)\), au topos \(S(X,M)^{\sim}\). Un tel \(F\) est d'ailleurs dans \(\widetilde{S}_M\), par (ii) de la page 4¹⁵ .

La condition draconienne est satisfaite par les immersions ouvertes et par les morphismes étales. Dans le second cas, \(S(X,M)\) est le petit site étale de \(X\), et la proposition dit que les faisceaux sur le petit site étale sont exactement les espaces algébriques étales sur \(X\) : c'est un énoncé connu aujourd'hui sous cette forme. Le dossier n'en contient pas de démonstration¹⁶ .

8–8

Questions pour Artin (page 8)

La page est une liste de questions, sans réponses¹⁷ . Dans les trois premières, \(S\) est le spectre d'un anneau local noethérien hensélien¹⁸ et \(s\) son point fermé.

• 1º)Soit \(S' \to S\) surjectif, et sans doute plat, avec \(S'\) noethérien, et \(X'\) un \(S'\)-schéma propre muni d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\)¹⁹ . Si la donnée de descente induite sur la fibre \(X'_s\) est effective, l'est-elle sur \(X'\) ? Et dans le cas \(S' = \widehat{S}\), le complété ?
• 2º)Peut-on faire la descente fpqc des « variétés », ou des faisceaux relativement de présentation finie²⁰ , par exemple de parties d'un complété d'un anneau local ? Autrement dit, pour un faisceau fpqc lfp, la propriété d'être une variété est-elle locale pour la topologie fpqc sur \(S\) ?
• 3º)Si \(X\) est une variété propre sur \(S\) dont la fibre fermée \(X_s\) est représentable, \(X\) est-il représentable ? Si la réponse à 2º) était affirmative, les questions 1º) et 3º) seraient équivalentes.
• 4º)Descente fpqc des petits faisceaux étales — question liée à la caractérisation des foncteurs \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens})\) qui proviennent de petits faisceaux étales sur \(S\). Une réponse affirmative à 2º), pour des variétés au sens généralisé où l'on n'exige pas que la diagonale soit une immersion, en entraînerait une à 4º).

En marge, deux groupes de questions : chercher des exemples de \(X\) propre sur \(S\) local complet avec \(X_s\) représentable et \(X\) non représentable ; et une remarque, en partie illisible, liant le problème à la commutation aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens²¹ — la condition même qui reparaît à la page 12.

Lecture. Les « variétés » sont ici des foncteurs du type que construit le tapuscrit : la précision « sans exiger que la diagonale soit une immersion » est ce qui sépare les espaces algébriques des schémas, dont la diagonale est toujours une immersion. La question 4º) rejoint alors la proposition de la page 6 : un petit faisceau étale sur \(S\) est un espace algébrique étale sur \(S\), de sorte que sa descente est un cas particulier de 2º). Le contexte de 1º) et 3º) est que la descente fpqc des schémas, même propres, n'est pas toujours effective²² ; on sait aujourd'hui que les faisceaux étales, eux, se descendent le long des morphismes fidèlement plats et quasi-compacts²³ .

10–10

Un plan pour l'étude des foncteurs (page 10)

La page ne porte pas de titre ; c'est un plan numéroté, où une flèche ramène la rubrique 7 entre 5 et 6. On le donne dans l'ordre que la flèche indique²⁴ , en nommant à côté ce que chaque rubrique est devenue.

1. 1.Morphismes représentables et \(P\)-représentables (représentables par des morphismes de schémas ayant la propriété \(P\)) ; l'abus de langage qui dit « immersion ouverte, lisse, étale » d'un morphisme de foncteurs représentable par de tels morphismes ; le critère de représentabilité par recollement de morceaux, avec un renvoi à SGA 3, exposé XI, 3.5²⁵ .
2. 2.Faisceaux et morphismes quasi-compacts, quasi-séparés ; morphismes lfp et de présentation finie²⁶ . Pour un foncteur, être lfp revient à commuter aux limites inductives filtrantes d'anneaux — c'est la caractérisation qu'utilise la page 12.
3. 3.Morphismes formellement lisses, formellement nets, formellement étales, et variantes infinitésimales ; les critères standard.
4. 4.Critères pour qu'un morphisme soit un monomorphisme, un bimorphisme (à la fois mono et épi), une immersion, une immersion ouverte.
5. 5.Conditions de séparation : diagonale représentable par des immersions, par des immersions quasi-compactes, par des immersions de présentation finie ; diagonale représentable par des immersions fermées ; relations avec les critères valuatifs.
6. 7.Foncteurs sur une catégorie de schémas au-dessus d'une base, et « espaces induits »²⁷ . Morphismes surjectifs, morphismes radiciels — ceux dont la diagonale est surjective, caractérisation exacte pour les morphismes de schémas. Une immersion ouverte surjective est un isomorphisme.
7. 6.Conditions de propreté.
8. 8.Conditions de connexité.

Principe des vérifications. Pour définir une propriété \(P\) des morphismes de faisceaux sur \((\mathrm{Sch})\), deux exigences : a) \(P\) doit être locale ; b) si \(f : F \to G\) est représentable, \(P\) doit coïncider avec la définition déjà admise pour les morphismes de schémas, c'est-à-dire : pour tout schéma \(X\) et tout \(X \to G\), le morphisme de schémas \(X \times_G F \to X\) a la propriété \(P\). C'est la règle qu'on suit aujourd'hui pour étendre aux espaces algébriques et aux champs les propriétés des morphismes de schémas. Elle n'est cohérente que pour des propriétés stables par changement de base et locales sur le but pour la topologie choisie²⁸ .

11–11

Fragment d'une démonstration (page 11)

La page reprend au milieu d'une phrase ; le théorème démontré et le début de la démonstration ne sont pas dans le dossier²⁹ . Ce qu'on en lit suffit à reconnaître une technique : rendre réduites les fibres d'une famille, après une extension radicielle, à l'aide du schéma de Hilbert. On y suppose, sans que la page le dise, \(X \to Y\) assez régulier pour que le schéma de Hilbert \(\underline{\mathrm{Hilb}}_{X/Y}\) existe (par exemple projectif et de présentation finie)³⁰ .

Première étape. Pour un point \(y\) de \(Y\), il existe une extension radicielle finie \(k'\) de \(k(y)\) telle que \(((X_y)_{k'})_{\mathrm{red}}\) soit géométriquement réduit sur \(k'\) (« séparable »³¹ ) ; quitte à faire ce changement de base et à remplacer \(X\) par \(X_{\mathrm{red}}\), on se ramène au cas où \((X_y)_{\mathrm{red}}\) est géométriquement réduit, les hypothèses du théorème étant conservées.

Deuxième étape. Une deuxième assertion du théorème se déduit d'une troisième par réduction au cas noethérien. Pour celle-ci, on suppose \(Y\) réduit. Soit \(M = \underline{\mathrm{Hilb}}_{X/Y}\), et \(\varphi\) la section ensembliste de \(M\) au-dessus de \(Y\) qui envoie \(y\) sur le point de la fibre \(M_y\) défini par le sous-schéma fermé \((X_y)_{\mathrm{red}} \subset X_y\). Soit \(Y'\) le sous-ensemble \(\varphi(Y)\) de \(M\). La page affirme, en l'admettant, que \(Y'\) est fermé dans \(M\) et que \(Y' \to Y\) est fini ; muni de sa structure réduite, \(Y'\) est alors un \(Y\)-schéma, et l'inclusion \(Y' \to M\) correspond à un sous-schéma fermé \(Z\) de \(X' = X \times_Y Y'\), plat et de présentation finie sur \(Y'\)³² , dont la fibre en \(y'\) au-dessus de \(y\) est \((X_y)_{\mathrm{red}} \otimes_{k(y)} k(y')\). Ces fibres sont réduites — c'est pour cela que la première étape rendait \((X_y)_{\mathrm{red}}\) géométriquement réduit. Un morphisme plat, à fibres réduites, sur une base réduite a une source réduite (EGA IV, dans le cas localement noethérien, cité de mémoire) ; donc \(Z\) est réduit, et comme il a même ensemble sous-jacent que \(X'\), il est égal à \(X'_{\mathrm{red}}\).

Le résultat est que, sur \(Y'\), la réduction de \(X'\) est plate à fibres géométriquement réduites. C'est un énoncé du type « aplatissement de la réduction après un changement de base fini radiciel » ; le dossier ne dit pas dans quel théorème il s'insère.

12–13

Un critère d'immersion ouverte (pages 12 et 13)

Soit \(S\) un schéma localement noethérien et

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "u"] & F \arrow[d] \\
 & S
\end{tikzcd}

un morphisme de foncteurs \((\mathrm{Sch})^{\circ}_{/S} \to (\mathrm{Ens})\). Supposons :

• (i)\(F\) et \(G\) sont des faisceaux pour la topologie fpqc, commutent aux limites inductives filtrantes d'anneaux et aux limites projectives adiques d'anneaux artiniens ;
• (ii)\(u\) est un monomorphisme, et formellement étale³³ .

Alors \(u\) est une immersion ouverte : pour tout schéma \(T\) et tout \(T \to F\), le sous-foncteur \(G_T = G \times_F T\) de \(T\) est représentable par un ouvert de \(T\).

La page énonce le critère sans démonstration. On peut le justifier ainsi³⁴ . Par la commutation aux limites inductives filtrantes, on se ramène à \(T\) de type fini sur \(S\), donc localement noethérien. Soit \(t \in T\) dont le point \(\mathrm{Spec}\,k(t) \to T\) se factorise par \(G_T\). Comme \(u\) est formellement étale, ce point se relève de façon unique aux \(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{T,t}/\mathfrak{m}^n\), qui sont artiniens ; par la commutation aux limites adiques, il se relève à \(\mathrm{Spec}\,\widehat{\mathcal{O}}_{T,t}\) ; comme \(G\) est un faisceau fpqc et \(u\) un monomorphisme, il descend à \(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{T,t}\), et, \(G\) étant lfp, à un voisinage ouvert de \(t\). La réunion \(U\) des ouverts de \(T\) qui se factorisent par \(G_T\) est donc un ouvert contenant tous ces points, et contenu dans \(G_T\) puisque \(G_T\) est un faisceau ; inversement, tout \(T' \to G_T\) envoie les points de \(T'\) dans \(U\) (encore par descente fpqc le long des extensions de corps), donc se factorise par l'ouvert \(U\). D'où \(G_T = U\).

Les deux énoncés qui suivent, séparés par des traits : une immersion ouverte surjective de foncteurs est un isomorphisme (il suffit de le voir après changement de base à un schéma, où c'est clair) ; et, annoncée seulement, la caractérisation des morphismes étales de foncteurs.

Les conditions (i) sont celles qu'Artin a mises à la base de ses critères de représentabilité — foncteur « limité » et effectivité des déformations formelles³⁵ . La marge de la page 8 les annonçait déjà.

La feuille de mots-clés. La page 13 dresse, en cadres non reliés, la carte des notions à traiter³⁶ : l'immersion ouverte \(X \to Y\) ; les morphismes formellement lisses, non ramifiés, étales, et leurs versions relatives ; les monomorphismes (« Mon ») et les immersions, fermées et ouvertes ; puis les rubriques séparé, propre, connexe du plan de la page 10. Le carré de changement de base

\begin{tikzcd}
G \arrow[r] & F \\
G_T \arrow[r] \arrow[u] & F_T \arrow[u]
\end{tikzcd}

rappelle le principe de vérification de la page 10, et une famille \(F_i \to F\) d'immersions ouvertes le recollement des pages 2 à 6. Enfin un groupe de trois cadres réunis par une accolade et marqué « (A) » — « faisceaux », « loc. de prés. finie », « adiques » — est la liste des hypothèses (i) de la page 12.