Cote n° 101, pages 21–40

Cote n° 101 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Cohomologie locale : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

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[Modules fondamentaux et dualité locale (suite)]

titre de l'éditeur, entre crochets ; le feuillet 21 reprend une démonstration commencée au lot précédent.

21Que \(\Omega\) soit Coh. Mac. de dim \(n\) résulte des formules précédentes et de la caractérisation des modules de Coh. Mac. de dim \(n\). Il s'ensuit et par […] d'après le Th. 3 \[H^i(\Omega) = 0 \quad \text{pour } i < n ,\] […] D'après le Th. 1, le cor. 1 implique que \(H^n(\Omega)\) est dualisant. « et par […] d'après le Th. 3 » est écrit en interligne au-dessus de la fin de la ligne ; « D'après le Th. 1, » est encadré par un trait qui le rattache à ce qui suit.

D'après le th. de dualité, […] \[H^i(\Omega) \simeq D\bigl(\mathrm{Ext}^{n-i}(\Omega, \Omega)\bigr)\] […] qui implique que \(H^i(\Omega) = 0\) si \(i > n\) \[\mathrm{Ext}^{n-i}(\Omega, \Omega) = 0 \quad \text{si } \uncertain{i \neq n}, \ \text{i.e. } n - i \neq 0 .\] […] […] […] […] Si \(n - i = 0\), on trouve \[D\bigl(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)\bigr) \simeq H^n(\Omega)\] qui est dualisant, i.e. […] \(\simeq D(A)\), d'où \(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A\). Ainsi tout endomorphisme de \(\Omega\) est donné par un scalaire, déterminé de façon unique ; a fortiori, \(\Omega\) est […] un module fidèle. « a fortiori » est écrit en interligne, avec un crochet qui le place devant « \(\Omega\) est un module fidèle ».

\(A\), \(\Omega\), comme ci-dessus.

Corollaire 4. \(\Omega_A\) est de dim. inj. \(= n\), en particulier […]. \[\mathrm{Ext}^i(M, \Omega) = 0 \quad \text{si } i > n\] pour tout \(M\).

Il suffit en effet de le vérifier pour \(M\) de type fini, et ça résulte alors du th. de dualité.

Corollaire 5. Soit \(A\) un anneau local de Coh. Mac. de dim \(n\), \(\Omega\) un module fondamental pour \(A\), \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors […] \(\mathrm{codim}\, M \leq k \Longleftrightarrow \mathrm{Ext}^i_A(M, \Omega) = 0\) pour \(i \mathrel{\uncertain{\geq}} n - k\). Si \(M\) est de dim Krull \(k\), […] […] : \(M\) soit Coh. Mac. […] \(\mathrm{Ext}^i_A(M, \Omega) = 0\) pour \(i \neq k\). le corollaire 5 est écrit le long du bord gauche du feuillet, feuille tournée, sur cinq lignes ; « type » est ajouté au-dessus de la ligne. Le signe entre \(i\) et \(n - k\) est un \(>\) suivi d'un point, peut-être \(\geq\).

22\(A\) anneau local de dim \(n\), \(I\) un module dualisant, \(\Omega\) un module fondamental pour \(A\), avec un isom donné \[\boxed{\mathfrak{D}_1 : H^n(A) \xrightarrow{\ \sim\ } D(\Omega)}\] correspondant à un accouplement \[\boxed{H^n(A) \otimes \Omega = H^n(\Omega) \xrightarrow{\ \mathfrak{D}\ } I , \qquad \mathfrak{D} \in D\bigl(H^n(\Omega)\bigr)}\] en regard, à gauche, « [[…] […] » et à droite « […] ] » : un commentaire entre crochets dont ne se lisent que les bords. et à un isom \[\mathfrak{D}_2 : \hat{\Omega} \xrightarrow{\ \sim\ } D\bigl(H^n(A)\bigr)\]

On a pour tout \(M\) de type fini \[\boxed{H^n(M) \xleftarrow[\ \sim\ ]{\mathrm{can}} H^n(A) \otimes M} \xrightarrow[\ \sim\ ]{\mathfrak{D}_1 \otimes \mathrm{id}_M} D(\Omega) \otimes M \xrightarrow[\ \sim\ ]{\mathrm{can}} D\bigl(\mathrm{Hom}(M, \Omega)\bigr)\] d'où \[\boxed{\begin{array}{l} \mathfrak{D}_{1,M} : H^n(M) \xrightarrow{\ \sim\ } D\bigl(\mathrm{Hom}(M, \Omega)\bigr) \\ \mathfrak{D}_{2,M} : \mathrm{Hom}(M, \Omega)^{\wedge} \xrightarrow{\ \sim\ } D\bigl(H^n(M)\bigr) \end{array}}\] et par là, qui pour \(M \simeq A\) se réduisent à \(\mathfrak{D}_1\), \(\mathfrak{D}_2\). Pour \(M = \Omega\), on trouve \[\begin{array}{l} \mathfrak{D}_{1,\Omega} : H^n(\Omega) \xrightarrow{\ \sim\ } D\bigl(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)\bigr) \\ \mathfrak{D}_{2,\Omega} : \mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)^{\wedge} \xrightarrow{\ \sim\ } D\bigl(H^n(\Omega)\bigr) \end{array}\] Enfin, on constate que l'élément identique de \(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)^{\wedge}\) correspond à l'élément \(\mathfrak{D}\) de \(D(H^n(\Omega))\). Par suite, le transposé de \(\mathfrak{D}\) est l'hom \[{}^t\mathfrak{D} : \hat{A} \longrightarrow \mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)^{\wedge}\] qui transforme \(1_{\hat{A}}\) en \(\mathrm{id}_{\hat{\Omega}}\), […] \(\lambda\) […] l'homothétie \(\lambda\).

Proposition 9. L'annulateur de \(\Omega\) est l'intersection \(\mathfrak{N}\) des idéaux primaires associés aux idéaux premiers de corang \(n\) dans \(A\), et \(\Omega\) est aussi un module fondamental pour \(A' = A/\mathfrak{N}\). Les idéaux premiers associés à \(\Omega\) sont les idéaux pr. de corang \(n\) de \(A\). le trait vertical qui encadre l'énoncé à gauche porte en marge : \(\mathfrak{p}\) […] […] ; \(\ell_{\mathfrak{p}}(\Omega) = \ell_{\mathfrak{p}}(A)\) […] \(\mathfrak{p}\) la lettre \(\mathfrak{N}\) transcrit une majuscule gothique de lui, lue ainsi dans tout le lot ; « corang » est une lecture incertaine d'un mot bref devant « \(n\) », tenue la même aux pages suivantes.

L'annulateur de \(\Omega\) est celui de \(D(\Omega) = H^n(A)\), donc […] la première assertion suit du th. 3, la

23dernière suit du cor. 1 dudit. On a \[0 \longrightarrow \mathfrak{N} \longrightarrow A \longrightarrow A' \longrightarrow 0\] d'où, comme \(\mathfrak{N}\) est de dim \(< n\) donc \(H^n(\mathfrak{N}) = 0\), \[H^n(A) \simeq H^n(A')\] donc \(\Omega\) est aussi fond. pour \(A'\).

[N.B. \(\mathfrak{N}\) est le plus grand idéal de \(A\) […] dimension \(< n\). […] que \(\Omega\) aussi […] […] […]]

Corollaire 1. L'image de \(H^n(\Omega) \xrightarrow{\mathfrak{D}} I\) est l'annulateur de \(\mathfrak{N}\), i.e. \(\mathrm{Coker}\,\mathfrak{D} \simeq D(\mathfrak{N})\) Donc […] \(\mathfrak{D}\) est surjectif […] […] si […] […] […] les idéaux « i.e. Coker \(\mathfrak{D} \simeq D(\mathfrak{N})\) » est en interligne, souligné ; les deux lignes biffées étaient une première rédaction de la liste qui suit.

(i)\(\mathfrak{D}\) est surjectif
(ii)\(\mathfrak{N} = 0\), i.e. les idéaux premiers associés à \(0\) dans \(A\) sont […] de corang \(n\)
(iii)\(\Omega\) est un \(A\)-module fidèle.

En effet, la première assertion résulte du fait que \(\mathfrak{N}\) est le noyau de \(A \to \mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)\), qui est transposé de \(\mathfrak{D}\). D'où les équivalences.

Corollaire 2. \(\mathrm{Ker}\,\mathfrak{D} \simeq D\bigl(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega) / A \cdot \mathrm{id}_{\Omega}\bigr)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)\(\mathfrak{D}\) est injectif (i bis) \(H^n(\Omega)\) est comonogène
(ii)Tout endom. de \(\Omega\) est une homothétie
(ii bis)\(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)\) est monogène.

La première formule […] […] dualité. \((\mathrm{i}) \Leftrightarrow (\mathrm{ii\,bis})\), […] \((\mathrm{ii\,bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{i\,bis})\) et

24\((\mathrm{ii}) \Longrightarrow (\mathrm{ii\,bis})\) trivialement. Enfin \((\uncertain{\mathrm{i\,bis}, \mathrm{ii\,bis}}) \Longrightarrow (\mathrm{ii})\), car si \(M\) est un module de type fini sur \(A\) tel que \(\mathrm{Hom}(M, M)\) soit monogène, il résulte de Nakayama que \(\mathrm{id}_M\) en est un générateur.

Cor. 3. Conditions équivalentes

(i)\(\mathfrak{D}\) est bijectif
(ii)\(H^n(\Omega)\) est dualisant
(iii)\(A \to \mathrm{Hom}(\Omega, \Omega)\) est un isom
(iv)\(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A\)

[…] Alors […] les idéaux premiers associés à \(A\) sont tous de dim corang \(n\).

Cor. 4. Les cond. du cor. 3 sont vérifiées dans les conditions suivantes : (a) \(A\) est Cohen-Macaulay (b) \(A\) est normal.

(a) Résulte du th. 4, cor. 3.

Dans le cas (b), on […] la condition du cor. 1 vérifiée (\(A\) étant intègre) il suffit de prouver que \(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega) \supset A\) est […] […]. Or \(\Omega\) est sans torsion […] […] […] idéal premier, [[…] […] p. rapport […] \(A\) intègre] donc \(\mathrm{Hom}(\Omega, \Omega) \subset K\) corps à expliciter […] « [[…] p. rapport … intègre] » est une incise entre crochets, dont le premier mot est biffé et dont la fin est écrite en interligne ; la note marginale, oblique, lui est reliée par une accolade.

25des fractions de \(A\). Comme c'est un module de type fini sur \(A\), il est dans la clôture intégrale de \(A\), O.K.

Question. Les conditions du cor. 2 sont-elles tjrs vérifiées ? Cela est vraisemblable. […] […] les idéaux pr. associés à \(0\) dans \(A\) sont de […] corang \(n\) : est-il vrai […] que \(H^n(\Omega)\) est dualisant ? Non […] […] […] […] […] […] dans le cas […] […] […] […] […] loc. 2 intègre \(A\) [de dim 2], tel que \(A_{\mathfrak{p}}\) soit premier unibranche pour \(\mathfrak{p}\) […] [\(A\) […] […]]. En effet, […] on vérifie […] […] que \[\mathrm{Hom}_A(\Omega, \Omega) = \bigcap_{\substack{\mathfrak{p}\ \text{premier}\\ \text{de corang 1}}} A_{\mathfrak{p}} = \struck{\text{normalisé}}\ \text{clôture intégrale de } A .\] [\(\Omega\) […] […] […] […] conditions […] […].] sous l'intersection, « corang » est une lecture incertaine, comme partout dans le lot. La question est encadrée à gauche d'un trait en zigzag ; plusieurs mots en interligne au-dessus de « dans le cas » ne se lisent pas ; « intègre » est en interligne avec une accolade, « premier unibranche » en interligne au-dessus du mot biffé. « clôture intégrale » est écrit au-dessus de « normalisé » biffé.

Proposition 10. Soit \(x\) un élément de \(A\) qui ne soit pas diviseur de \(0\), et tel que \(x H^{n-1}(A) = H^{n-1}(A)\). Alors \(\Omega_A / x\Omega_A\) est un module fondamental pour \(A/xA\). « Alors » est d'une encre plus pâle ; dans « \(A/xA\) », deux lettres repassées d'une encre plus noire se superposent à une première écriture.

26En effet, on a la suite exacte \[0 \longrightarrow A \xrightarrow{\ x\ } A \longrightarrow A/xA \longrightarrow 0\] d'où la suite \[H^{n-1}(A) \xrightarrow{\ x\ } H^{n-1}(A) \longrightarrow H^{n-1}(A/xA) \longrightarrow H^n(A) \xrightarrow{\ x\ } H^n(A)\] et compte tenu de l'hypothèse \[H^{n-1}(A/xA) \simeq \struck{\mathrm{Ker}\ \text{de}\ x\ \text{dans}}\ \text{noyau de } x \text{ dans } H^n(A) .\] Comme \(H^n(A) \simeq D(\Omega)\), on trouve bien \[H^{n-1}(A/xA) \simeq D(\Omega/x\Omega) , \quad \text{cqfd.}\]

Corollaire. Supposons \(A\) Coh. Mac. et soit \(x_1, \ldots, x_p\) une partie d'un syst. de paramètres de \(A\). Alors \(\Omega_A / (x_1, \ldots, x_p)\Omega_A\) est fondamental pour \(A/(x_1, \ldots, x_p)\).

Supposons maintenant que \(A\) soit un quotient d'un anneau local […] Coh. Mac. \(A'\) […] : \[A \simeq A'/\mathfrak{N}\] Supposons \(A'\) muni d'un \(\Omega_{A'}\). Si \(M\) est un \(A\)-module, c'est un \(A'\)-module, et \(D(M)\) peut s'interpréter ainsi. [divisons un module dualisant \(I'\) (\(= H^{n'}(\Omega_{A'})\), pour \(A'\)) […] […] que \(\Omega_{A'}\)]. […] […] […] « Coh. Mac. » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « régulier » ; l'exposant de \(H^{n'}\) est repassé. La page s'arrête sur une phrase coupée.

27i.e. […] la forme d'application […] la th. de dualité à \(A\), l'application à \(A'\), […] […] \[(1) \qquad H^i(M) \simeq D\bigl(\mathrm{Ext}^{\ill{}-i}_{A'}(M, \Omega_{A'})\bigr) \qquad \text{i.e.}\] (1 bis) […] \(\mathrm{Ext}^{n'-i}_{A'}\) […] l'exposant de \(\mathrm{Ext}\) est noirci devant « \(-i\) » ; la ligne (1 bis) est biffée d'un trait ondulé.

On […] dim […] particulier \[(2) \qquad H^n(A) \simeq D\bigl(\mathrm{Ext}^{n'-n}_{A'}(M, \Omega_{A'})\bigr)\] […] qui permet […] de poser […] par définition \[(2\ \text{bis}) \qquad \Omega_A \simeq \mathrm{Ext}^{n'-n}_{A'}(M, \Omega_{A'}) .\] dans (2) et (2 bis), et plus loin dans (13), l'argument de \(\mathrm{Ext}\) est écrit \(M\) là où l'on attend \(A\) ; on garde la lettre de la page.

Plus généralement, […], […] (3) \(\Omega\) […] ces deux lignes sont encadrées et biffées.

Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A\), […] \(\mathfrak{p} \simeq A'/\mathfrak{p}'\), où \(\mathfrak{p}' \supset \mathfrak{N}\). On a alors \[(\Omega_A)_{\mathfrak{p}} \simeq \mathrm{Ext}^{n'-n}_{A'_{\mathfrak{p}'}}\bigl(M_{\mathfrak{p}^*}, (\Omega_{A'})_{\mathfrak{p}'}\bigr) .\] « \(\mathfrak{p} \simeq A'/\mathfrak{p}'\) » tel qu'écrit ; l'indice « \(\mathfrak{p}^*\) » de \(M\) aussi.

Supposons qu'on sache que \((\Omega_{A'})_{\mathfrak{p}'}\) est un module fond. pour l'anneau [Coh. Mac.] \(A'_{\mathfrak{p}'}\) : ce sera le cas en particulier si \(A'\) est régulier, car alors \(\Omega_{A'} \simeq A'\), et \(A'_{\mathfrak{p}'}\) sera régulier (Serre). […] […] de \(A_{\mathfrak{p}}\), […] […] un module fond. Alors \((\Omega_A)_{\mathfrak{p}}\) […] un module dualisant pour \(A_{\mathfrak{p}}\), […] (2 bis) appliqué à \(A_{\mathfrak{p}} \uncertain{\simeq} A'_{\mathfrak{p}'}/\mathfrak{N}A'_{\mathfrak{p}'}\). « dualisant » est écrit là où l'on attend « fondamental » ; devant \(A_{\mathfrak{p}}\) une première lettre est surchargée.

28D'où :

Prop. 11. Soit \(A\) un quotient d'un anneau local régulier, alors \(\Omega\) est un module fond. pour \(A\). Si \(\mathfrak{p} \subset A\) est premier dans \(A\), \(\Omega_{\mathfrak{p}}\) est fond. pour \(A_{\mathfrak{p}}\).

[N.B. Une démonstration directe […] question de définition, sans interprétation […]]. De plus, […] traduire […] (1) […]

Lemme. Pour que \(\mathrm{codim}\) \(M \leq k\), il f. et s. que \[\mathrm{Ext}^{n'-i}_{A'}(M, \Omega_{A'}) = 0 \quad \text{pour} \ 0 \leq i < k .\] [Fait bien connu […], dim : […]]. […]

Corollaire. \(A\) Coh.-Mac. \(\Longleftrightarrow\) \(\mathrm{Ext}^{n'-n+i}_{A'}(M, \Omega_{A'}) = 0\) pour \(i > 0\).

Cor. […], […] : introduisons […] \[(13) \qquad \Omega_A^{(i)} = \mathrm{Ext}^{n'-n+i}_{A'}(M, \Omega_{A'}) :\] […] ([…] isom non canon. près) […] \[(13\ \text{bis}) \qquad D(\Omega_A^{(i)}) \simeq H^{\uncertain{n-i}}(A)\] [N.B. Analogie […] […] […] […] […] des \(\Omega_A^{(i)}\)]. les exposants de \(\mathrm{Ext}\) sont écrits « \(n'-i\) », « \(n'-n+i\) » avec un premier signe repassé à l'encre noire ; celui de (13 bis) est noirci.

D'où : \[\Omega_A^{(0)} = \Omega_A\] mod. fond., et \[\Omega_A^{(i)} = 0 \ \text{pour} \ i \geq 1 \Longleftrightarrow A \ \text{est Coh.\ Mac.}\]

29On peut expliquer, en le généralisant, le th. de dualité locale par une suite spectrale.

Lemme 6. \(A' \to A\) un hom d'anneaux, \(N\) un \(A\)-module, \(M\) un \(A'\)-module. Il y a une suite spectrale cohomologique \[\mathrm{Ext}^{\bullet}_{A'}(N, M) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^p_A\bigl(N, \mathrm{Ext}^q_{A'}(A, M)\bigr)\] dans cette formule et les suivantes, plusieurs \(A\) sont repassés à l'encre noire sur une première lettre, qui semble un \(B\) ; un \(B\) non corrigé subsiste dans \(\mathrm{Hom}_{A'}(B, M)\) ci-dessous.

[…] […] […] […] foncteur d'[…] : \[\mathrm{Hom}_{A'}(N, M) = \mathrm{Hom}_A\bigl(N, \mathrm{Hom}_{A'}(B, M)\bigr)\] \[\mathcal{C}^{A'} \xrightarrow{\ h^{A'}_A\ } \mathcal{C}^{A} \xrightarrow{\ h^A_N\ } \mathcal{G}^{\uncertain{A}} , \qquad h^A_N \circ h^{A'}_A = h^{A'}_N\] la composée est tracée comme un arc sous les deux flèches et étiquetée \(h^{A'}_N\) ; les exposants des trois lettres rondes sont repassés et ne se lisent pas avec sûreté.

\(h^{A'}_A\) transforme injectifs en injectifs.

- - - - -

Prop. 12. Soit \(A\) un anneau quotient d'un Coh. Mac. \(A'\) muni d'un module fond. \(\Omega_{A'}\). Il y a une suite spectrale canonique de type cohomologique \[\boxed{\bigl(E^{i}(M)\bigr) = \bigl(H^{\ill{}i}(M)\bigr) \Longleftarrow E_2^{pq}(M) = D\bigl(\mathrm{Ext}^p_A(M, \Omega_A^{(q)})\bigr)}\] l'hypothèse sur \(A\) est écrite au-dessus de l'énoncé, dans une boucle qui la rattache à « Prop. 12 ». Un signe noirci précède l'indice \(i\) de \(H\), un autre l'exposant de \(E\) ; on ne les lit pas.

Cela résulte aussitôt du lemme 6 avec \(N\) remplacé par \(M\), et \(M\) remplacé par \(\Omega_{A'}\).

Cor. 1. Soit \(x \in A\) non diviseur de \(0\) dans \(A\), ni dans \(M\). Alors […] \(\mathrm{Ext}^p_A(N, M) \simeq \mathrm{Ext}^{p-1}_{A/x}(N, M/xM)\) pour tout \(N\), […] […]. Cor. 2. […] […] \(M\)-[…] Modules fondamentaux pour un […] […] anneau […] […] le premier bloc est écrit le long du bord gauche, feuille tournée ; le second en oblique au pied de la marge, souligné mot à mot, comme une annonce de ce qui suit.

6. Caractérisation des modules fondamentaux d'anneaux Coh. Mac. Anneaux de Gorenstein.

titre de sa main, en tête du feuillet 30, souligné.

30toute la page, jusqu'à « c') » inclus, est barrée d'une grande croix ; la « Proposition 13 » du pied de page, qui en reprend l'énoncé, ne l'est pas.

Théorème 5. Soient \(A\) un anneau local noeth., \(M\) un \(A\) […]

Prop. 13. Soient \(A\) un anneau local noeth., de corps rés. \(k\), \(M\) un \(A\)-module, \(n\) un entier \(> 0\), […] \[\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0 .\] Alors les conditions suivantes sont équivalentes

a)\(\mathrm{Ext}^n(k, M) = k\) et \(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\)
b)\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est dualisant
c)\(H^n(M)\) est un module dualisant.

[Si […] \(n = \dim A\), les idéaux pr. associés à \(A\) sont de dim \(n\)] et \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\) pour […] \(\mathfrak{p}\) \(n = \dim A\).

Cor. 1. Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal pr. minimal de \(A\), les conditions précédentes équivalent aux conditions : \(n = \dim A\), […] […] \[\struck{0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A} \quad \text{et} \ \ill{} \qquad \boxed{0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A}\] […] […] conditions équivalentes suivantes l'inégalité, d'abord écrite puis biffée dans la ligne, est récrite dans une boucle qu'une flèche relie à « \(n = \dim A\) » de la ligne au-dessus ; un mot est écrit en interligne au-dessus de la ligne biffée.

\(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) […] […]

à […] […] […]

a')\(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\)
b')\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est exact
c')\(H^n(M)\) est injectif

Proposition 13 Lemme 7. Soit \(A\) […] local, de dim \(n\), \(M\) un \(A\)-module, […] [i.e. \(\mathrm{Ext}^n(N, M) \simeq \mathrm{Hom}(N, H^n(M))\)] Alors les conditions […] […] « Proposition 13 » est écrit au-dessus d'un « Lemme 7 » biffé ; « de dim \(n\) » est en interligne, avec un crochet qui le place après « local ».

Supposons \[\boxed{\mathrm{Ext}^{n-1}_A(k, M) = 0}\] […] […] les suivantes sont équivalentes

a')\(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\)
b')\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est exact (\(N\) de type fini)
c')\(H^n(M)\) est injectif

31Démonstration : \(\mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{b} \Rightarrow \mathrm{c}\) trivial, \(\mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{a}\) car \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est exact, donc \(N \mapsto \mathrm{Ext}^{n+1}(N, M)\) est exact : […], donc \(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) \to H^{n+1}(M)\) est injectif, et \(H^{n+1}(M) = 0\).

Cor. 1. […], […] […] […] […] conditions, [les idéaux […] […] […] […] […] […] \(M\),] […] […] de dim \(n\), [et […] […] […] […]] \[H^n(M) \simeq D(A)^m \ \text{pour un entier} \ m\] où dans \(\uncertain{\sqrt{A}}\) […] […], […] tout \(\mathfrak{p}\) \[\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) = m\, \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A) \qquad \begin{array}{l} \mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k^m \\ \mathrm{Ext}^i(k, M) = 0 \ \text{si} \ i > n \end{array}\] l'énoncé est très repris ; plusieurs incises entre crochets, dont une ligne biffée, sont écrites en interligne à droite.

Cor. […] […] […] \([0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)]\) les conditions […] […] […] […] \(\mathrm{Ext}^n(M, M)\) […] \(H^n(M)\) est dualisant deux lignes barrées de plusieurs traits.

Remarque. [[…] […] : 2 […] […] […]] (\(\Omega\) satisfait aux conditions […])

[…] […] \(A\) est Coh.-Mac. et […] […] \[M \simeq \Omega^m , \ \text{où} \ \Omega \ \text{est un module fondamental}\] pour \(A\), [et où l'hyp. \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) est = redondante dans b')] […], précisément pour […] […], il […] […] […] […] pour \(n > 0\), […] : […] […] […] […] \(M\) […] […]. Voir […], […] […] […] […] […] ce passage est serré et rapide ; ses mots de liaison ne se lisent pas. Une incise entre crochets est écrite au-dessus de « pour \(A\) ».

(Supposons \(m = 1\), […] \(A\) […] quotient régulier.) Sous les conditions précédentes, la parenthèse est entourée d'une boucle.

Proposition 14. Supposons […] […] […] […] conditions a) b) c) […] […] […] […] : \(M\) Coh. Mac. […] \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A^m\), où \(\Omega_A\) est un module fondamental pour \(A\).

C'est trivial si \(n = 0\), procédons par réc. sur \(n\). Voir les […] […] - - - -

Cor 2. Les conditions précédentes, jointes à : \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\), sont équivalentes aux conditions suivantes compte tenu de \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) : a) \(\mathrm{Ext}^n(k, M) = k\), \(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) ; b) \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est dualisant ; c) \(H^n(M)\) est dualisant. [équivalentes] Cor 3. Les conditions du cor. 2 sont entraînées par l'une des cond. suivantes : d) \(\mathrm{Ext}^n(k, M) = k\), \(M\) fidèle ; d bis) \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) \to\) […] comonogène, \(M\) fidèle. Pour […] […] […] aux idéaux premiers […] \(M\) […] […] […] […]. les corollaires 2 et 3 sont écrits le long du bord gauche, feuille tournée, chacun encadré d'un trait ; le « \(\mathfrak{N}\) » de d bis) est mal formé.

32Proposition 15

[…] […]

Cor. 1. […] […] […] Supposons […] \(M\) Coh. Mac. sur \(A\) de dim \(n\) […] […] […], […] […] (i.e. \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A\) :) Alors les conditions précédentes […] […] équivalentes

a) b) c) du cor. 2 à prop. 13 ; d / d bis) du cor. 3

d)\(\mathrm{Ext}^n(k, M) = k\), \(M\) […] fidèle
e)\(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\) […] comonogène, \(M\) […] fidèle
f)[…] […] […] […]

d), e) et f) sont encadrés et biffés ligne à ligne, et traversés de longs traits obliques ; une boucle ramène « soit \((x_1 \ldots x_n)\) un syst. de paramètres de \(M\) », écrit à droite, dans ce qui suit.

Cor. […] […] […]

\(x_1 \ldots x_n\) un syst. de paramètres de \(M\). Alors […] les conditions précédentes équivalent à la

f)\(M/x_1M + \cdots + x_nM\) est est comonogène.

Remarque. Il est possible que dans le cor. 1, on puisse remplacer Ext la cond. : \(M\) Coh. Mac. par la condition : \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\). Il semble \(=\) […] […] la condition soit nécessaire dans d bis) […] […] […] e) des [et implique les b), c) et d)] […] […] […] […] f.

La proposition suivante est de nature plus élémentaire.

Proposition 15. Soit \(A\) un anneau local noeth. Les conditions suivantes sont équivalentes.

(a)\(A\) est un module fondamental sur \(A\)
(b)\(H^n(A)\) est dualisant
(c)\(H^n(A)\) est injectif
(d)\(H^n(A)\) est comonogène et \(A\) est équidimensionnel.

les lettres (a), (b), (c), (d) sont repassées sur de premières lettres.

33(i) signifie que \(D(A) \simeq H^n(A)\), i.e. (ii). (ii) \(\Rightarrow\) (iii), d'autre part (iii) \(\Rightarrow\) \(H^n(A) \simeq D(A)^m\) i.e. \(A^m\) est dualisant fondamental. En vertu de prop. 9, […] \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A^m) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\) d'où \(m = 1\), d'où (iii) \(\Rightarrow\) (i). Il […] […] […] Enfin (i) \(\Rightarrow\) (iv) par prop. 9, réciproquement : \(H^n(A)\) comon. […] \(\subset D(A)\), […] […] […] de \(H^n(A)\) est […] l'[…] […] l'hyp. […] \(H^n(A) \simeq D(A)\).

Définition 2. Un tel \(A\) est dit anneau de Gorenstein s'il est de plus Cohen-Macaulay la définition est encadrée et biffée ; « s'il est de plus Cohen-Macaulay » est écrit dessous dans une boucle, biffée avec elle.

Th. 5. Un anneau de Gorenstein est Coh. Mac.

En effet, il est équivalent […], […] si […] […]. Réc. sur \(n = \dim A\), trivial si \(n = 0\). Si \(n > 0\), […] \(A\), […] […], il y a un \(x \in A\) non diviseur […] […]. Alors […] […] […] \[\struck{0 \to A \xrightarrow{\ x\ } A \to A/xA \to 0}\] \[\struck{\ill{} \to H^{n-1}(\ill{}) \to H^n(\ill{})} \qquad \struck{\mathrm{Ext}^{\bullet}(N, A/x) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{\bullet}_{A/x}\bigl(N, \mathrm{Ext}^{\bullet}_A(A/x, A)\bigr)}\] d'après le cor. […] lemme 6, […] […] la moitié inférieure de la page, depuis « Définition 2 », est biffée de longs traits obliques et de traits horizontaux ligne à ligne, et reprise de boucles qui en déplacent des morceaux ; on n'en donne que ce qui se lit.

Prop 16. (\(+\) \(A\) est Cohen-Macaulay), les conditions de la prop. 15 sont équivalentes aussi aux suivantes

a')[…] le foncteur \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n_A(N, A)\) est dualisant […] [[…] […] et exact]
c')[…]
[…]\(\mathrm{Ext}^n(k, A) \simeq k\) ; \(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, A) = 0\)

la fin de la page est surchargée : les lettres a'), c') et une troisième, noircie, sont reprises, et deux flèches et une longue boucle déplacent les conditions l'une par rapport à l'autre ; l'ordre donné ici est celui de la page.

b')\(\mathrm{Ext}^n(N, A)\) dualisant en \(N\)
c')\(\mathrm{Ext}^n(N, A)\) exact en \(N\)
c'')\(\mathrm{Ext}^{n+1}(\uncertain{k}, A) = 0\), et \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, A) = 0\)
d)\(\mathrm{Ext}^n(k, A) = k\) et \(\mathrm{Ext}\) […] \(A\) est Coh. Mac.

ici il est facile de voir que ça implique déjà Coh. Mac. la remarque est écrite à droite de b') et c'), qu'une accolade réunit.

[…] \(A/(x_1, \ldots, x_n)\)

Immédiat sans rien […] […] […] […] […] ([…] \(A\) […] équidimensionnel) […], […] deux lignes et demie biffées, reprises d'une boucle.

- - - - - -

Corollaire 1. Ce qui équivaut aussi à :

e')\(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, A)\) est comonogène
e'')\(A/(x_1 \ldots x_n)A\) est comonogène [i.e. autodual]

Corollaire 2. Supposons \(A\) quotient d'un régulier \(A'\). Alors ces conditions équivalent à : \[\mathrm{Ext}^{n'-n}_{A'}(A, A') \simeq A\]

Remarque. […] Il se peut que dans toutes les conditions, l'hyp. Cohen-Macaulay soit surabondante.

Déf 2. Anneau de Gorenstein \(=\) Anneau Coh. Mac. \(A\) tel que \(A\) […] fond.

Ex : les réguliers.

Proposition 17. (i) Un localisé d'un Gorenstein (supposé quotient d'un régulier) est Gorenstein.

(ii) Kif kif pour un quotient par l'idéal engendré par une partie d'un syst. de paramètres.

Cor. Le quotient d'un régulier par un idéal engendré par une partie d'un syst. de paramètres. « partie d'un » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase s'arrête là, sans verbe.

[Récapitulation des conditions ; le théorème]

titre de l'éditeur, entre crochets.

35feuillet de récapitulation, d'une écriture plus posée : les données fixées, puis cinq conditions (i) à (v) sur \(M\), reliées à gauche par des doubles flèches \(\Downarrow\) de (i) à (ii) et de (i) à (iv), et par une double flèche pointillée remontant de (i bis) à la réserve « [si \(M\) équidim.] ».

\(M\) module de type fini sur l'anneau local \(A\) de dim \(n\)

\(k\) corps résiduel de \(A\)

\(\mathfrak{N}\) idéal de définition fixé

\(x_1 \ldots x_n\) syst. de paramètres fixé

\(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A\) de corang \(n\), fixé

\(N\) variable de long. finie, \(N_0 \neq 0\) fixé

[…] (i) \(\mathrm{Ext}^{n-1}_A(k, M) = 0\) et l'une des conditions suivantes a) à d) [qui sont équivalentes moyennant la première, parce qu'on a \(\mathrm{Ext}^n(N, M) \simeq \mathrm{Hom}(N, H^n(M))\) etc.]

a)\(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\), \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\)
\(*\)b)\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est dualisant
\(*\)c)\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est exact, \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\)
b')\(H^n(M)\) dualisant
c')\(H^n(M)\) injectif, \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\)
d)\(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\), \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\)

les lettres b'), c'), d) sont repassées sur de premières lettres ; une lettre noircie sous a) ne se lit pas.

(i bis) \(\mathrm{Ext}^{n-1}_A(k, M) = 0\) et l'une des deux cond. équiv. suivantes

\(*\)e)\(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\), \(M\) fidèle
\(*\)f)\(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\) est comonogène, \(M\) fidèle

[si \(M\) […] équidimen.] la ligne f) est barrée de deux traits ; la réserve entre crochets est écrite au-dessus de (i bis), « équidimen. » au-dessus d'un mot noirci.

(ii) Sous l'une des formes suivantes, qui sont équivalentes

a)\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est dualisant
b)\(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) exact, \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\)

(iii) \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\), \(M\) fidèle […]

(iv) \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) \simeq D(A/\mathfrak{N})\), \(M\) fidèle […]

peut-être suffit-il ici que \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\) soit comonogène et \(M\) de support \(\mathrm{Spec}(A)\)

N.B. Ici si \(M\) est Coh. Mac. […] […], […] \(\mathrm{Ext}^n(N, M) = \mathrm{Hom}(N, H^n(M))\) […] […] […], […] […] […] […] […] note à droite de (iii) et (iv), qu'une accolade réunit ; « \(A\) et » est ajouté au-dessus de « \(M\) » ; une ligne est biffée de traits ondulés, et deux traits ondulés prolongent (iii) et (iv) jusqu'à elle.

(v) L'annulateur de \(\mathfrak{N}\) dans \(M/x_1M + \cdots + x_nM\) est de dim 1, \(M\) est fidèle

Ces conditions sont vraies si \[\boxed{A \ \text{est Coh.\ Mac.\ et} \ M \simeq \Omega_A}\]

Pour prouver la réciproque, il suffirait de montrer que dans les cas (i) (i bis) à (iii) (si on prend (i bis) faible) que si \(n > 0\) l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) dans \(M\) est nul, dans le cas (iv), qu'il en est de même avec \(M\) et \(A\). Dans (v), […] […] si \(n > 0\) et si commençons par prouver que si \(n > 0\), et la première l'hypothèse condition de (v), est vérifiée, alors l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) dans \(M\) est nul [d'où déjà que \(M\) est Coh.-Mac. par récurrence, puis que \(\mathrm{Ext}^n(A/\underline{x}, M) \simeq M/\underline{x}M\) et \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\), d'où le fait que \(H^n(M)\) est le dual d'un \(A/\mathfrak{I}\), \(\mathfrak{I}\) intersection d'idéaux primaires de corang \(n\) « si \(n > 0\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase continue au feuillet suivant. La lettre notée \(\mathfrak{m}\) est un petit signe rond, peut-être l'idéal maximal.

36(remplaçant \(A\) par \(A/\mathfrak{I}\))], d'où (ii) \(+\) le fait que \(M\) est Coh. Mac. Or de ceci on déduit facilement que \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A\). On peut essayer une voie analogue pour (iv), en y divisant de la précédente hyp. [que l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) […] […] \(M\) et \(A\) sont nuls] \(+\) la condition […] […], d'où par récurrence que \(M\) et \(A\) sont Coh. Mac., […] ce qui ramène comme précédemment à un cas de (i) « (remplaçant \(A\) par \(A/\mathfrak{I}\)) » est écrit au-dessus de la première ligne et relié par un crochet à ce qui suit « d'où » ; « \(+\) la condition … » est ajouté au-dessus de « hyp. ».

Démonstration des équivalences dans (i)

b \(\Rightarrow\) b' c \(\Rightarrow\) c', a \(\Rightarrow\) b […] triviaux

b \(\Rightarrow\) c car b \(\Leftrightarrow\) b', donc \(D(H^n(M)) \simeq \hat{A}\) et \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M)\)

c' \(\Rightarrow\) b' car c' \(\simeq\) […] \(D(H^n(M)) \simeq \hat{A}^m\) et \(m\, \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M)\) d'où \(m = 1\)

c \(\Rightarrow\) d, car \(N \mapsto \mathrm{Ext}^{n+1}(N, M)\) est exact à gauche, d'où \(\mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) \to H^{n+1}(M)\) inj. b' […]

d \(\Rightarrow\) c' trivial, […] // donc a \(\Rightarrow\) b \(\Leftrightarrow\) b' \(\Leftrightarrow\) c \(\Leftrightarrow\) c' \(\Leftrightarrow\) d

b \(\Rightarrow\) \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\), \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) \simeq D(A/\mathfrak{N})\) et b') \(\Rightarrow\) \(H^n(M)\) est fidèle donc \(M\) est fidèle, d'où (b, b') \(\Rightarrow\) e et f, donc (b, b', d) \(\Rightarrow\) a

Reste à prouver que f) \(\Rightarrow\) a). Or si \(M\) est Coh. Mac. \[\begin{array}{l} \mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) = \mathrm{Hom}(A/\mathfrak{N}, M) \\ \mathrm{Ext}^n(k, M) = \mathrm{Hom}(k, M) \end{array}\] les deux \(\mathrm{Hom}\) sont écrits tels quels ; on attend l'argument \(M/\underline{x}M\) ou analogue, que la page ne porte pas. d'où \(\mathrm{Ext}^n(k, M) =\) annulateur de \(\mathfrak{m}\) dans \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\) donc f) \(\Rightarrow\) e), et e) \(\Rightarrow\) \(H^n(M) \subset D(A)\). Donc […] […] l'annulateur […]

Soit \(\mathfrak{I}\) l'annulateur de \(H^n(M)\), on a \(H^n(M) \simeq D(A')\), \(A' = A/\mathfrak{I}\). Or \(\mathfrak{I}\) est l'intersection des idéaux primaires de corang \(n\) associés à \(M\). Et \(H^n(M)\) […] […] […] si on remplace \(M\) par […] \(M/M_1\), […] \(M_1\) est l'intersection […] […] […] […] \(M_{\mathfrak{p}}\) (\(\mathfrak{p}\) de corang \(n\)). ce passage est encadré et biffé de traits obliques et horizontaux.

et \(H^n(M)\) est celui de \(M\) (\(M\) Coh. Mac. donc équidimensionnel) donc \(M\) étant fidèle, il est nul ; ce qui signifie (supposons \(A\) complet, ce qui est loisible) que \(H^n(M) = D(A)\), i.e. b').

Donc […] […] Il reste donc essentiellement les

Problème A. Si dans \(M/x_1M + \cdots + x_nM\), l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) est de dim 1, et [dim \(M = n\)] prouver que dans \(M\) il est nul

Problème B. Si dans \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\), […] annulateur de \(\mathfrak{m}\) est […] de dim 1, et [\(\uncertain{\dim} M = \dim A = \ill{}\)] prouver que dans \(M\) et \(A\) il est nul « dans » est écrit au-dessus de la ligne dans les deux problèmes, et les crochets de fin de ligne, en marge droite, sont en partie hors du feuillet ; la dernière ligne est coupée par le bord.

37On en déduirait des corollaires : dans les deux cas, \(M\) est Coh.-Mac., et si on désigne par \(A'\) son anneau d'homothéties, \(A'\) est Coh. Mac., et \(M \simeq \Omega_{A'}\).

Problème C. Supposons \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = \mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\), (la dernière condition équivalant à : \(H^n(M)\) injectif) ou : \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) exact). Est-il vrai que \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A^m\) ? \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \neq 0\) i.e. \(H^n(M) \neq 0\) l'hypothèse additionnelle est écrite au-dessus de la ligne, dans une boucle qui la rattache à « Supposons » ; « ou : \(N \mapsto \ldots\) exact » est en interligne sous la parenthèse.

[On notera qu'on a un hom. naturel \(M \to \Omega_A^m\), il faut montrer que c'est un isomorphisme]. Sinon encore, on est ramené (par la dévissage : le Serre) à prouver que l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) dans \(M\) est et \(A\) est sont nuls. la page s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc.

38Théorème. Les […] les implications, marquées sur le diagramme des conditions. De plus, si on remplace dans (i) et (i bis) la condition \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) par : \(M\) est Coh. Mac., et si dans (v) on suppose de plus \(M\) Coh. Mac., alors toutes les conditions (i) (i bis) (v) deviennent équivalentes à : \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A\) (et par les conditions ii iii iv, qui pour \(M\) Coh. Mac. sont des variantes de (i) et (i bis)) l'énoncé est encadré à gauche d'un trait ; le « diagramme des conditions » est celui de la page 35.

\(M\) est équidim., donc (i) \(\Leftrightarrow\) (i bis). Prouvons par récurrence que alors \(A\) est Coh. Mac. et \(M \simeq \Omega_A\). Pour \(n = 0\) c'est trivial [\(H^0(M) = M\) est dualisant]. Supposons \(n > 0\), et le th. prouvé pour \(n' < n\). […] Comme \(H^n(M)\) est fidèle, \(M\) est fidèle, et […] les idéaux premiers associés à \(A\) sont de dim. \(n\), donc et […] Coh. Mac., il s'ensuit que les idéaux premiers associés à \(M\) et à \(A\) sont les mêmes, et qu'ils sont tous de dimension corang \(n\). Comme \(n > 0\), il y a un \(x\) qui n'est contenu dans aucun d'eux, donc qui n'est pas div. de 0 dans \(A\) ni dans \(M\). D'après Ecrivons, alors \[\mathrm{Ext}^{\bullet}_A(N, M) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{\bullet}_{A/x}\bigl(N, \mathrm{Ext}^{\bullet}_A(A/x, M)\bigr)\] Or \(\mathrm{Ext}^0_A(A/x, M) = 0\), \(\mathrm{Ext}^1_A(A/x, M) = M/xM\), d'où \[\mathrm{Ext}^i_A(N, M) \simeq \mathrm{Ext}^{i-1}_{A/x}(N, M/xM)\] pour tout \(N\). Par suite, la condition (i a) « corang » est écrit au-dessus de « dimension » biffé. La phrase continue au feuillet suivant.

39reste vraie pour le module \(M/xM\) sur \(A/xA\). Or ce dernier est encore Coh. Mac., et l'hyp. de récurrence s'applique. Donc \(M/xM\) \(A/xA\) est Coh. M., donc \(A\) l'est. D'autre part \(M/xM\) \(\simeq D_{A/xA}\) […] est fond. pour \(A/xA\), d'où \[\begin{array}{c} D(M/xM) = \text{annulateur de } x \text{ dans } D(M) \\ \wr| \\ H^n(A/xA) = \text{annulateur de } x \text{ dans } H^n(A) . \end{array}\] Donc l'hom. naturel [déduit de \(H^n(M) \simeq H^n(A) \otimes M = D(A)\)] \[H^n(A) \longrightarrow D(M)\] est tel qu'il induit un isom. sur les éléments annulés par \(x\), donc (comme […]) il est injectif, ou par transposition, \[M \longrightarrow \Omega_A\] est surjectif. D'autre part il induit un isom. sur les \(H^n\), i.e. le \(H^n\) du noyau est […], donc ce noyau est de dim \(< n\). Comme \(M\) est équidim., ce noyau est nul. les crochets de « déduit de \(H^n(M) \simeq \ldots = D(A)\) » sont écrits jusqu'au bord droit du feuillet.

Prouvons maintenant (v), en supposant \(M\) Coh. Mac.

Posons Supposons \(\mathrm{Supp}\, M = \mathrm{Spec}(A)\), que dans \(M/x_1M + \cdots + x_nM\) l'annulateur de \(\mathfrak{m}\) soit de dim 1, \(M\) Coh. Mac. Coh. Mac. fidèle. Prouvons Alors (\(\mathrm{Ext}^n(k, M) = \struck{\mathrm{Hom}(A/\underline{x}, M/\underline{x}M)}\) \(\mathrm{Hom}(k, M/\underline{x}M) \simeq k\)) (cf. § 1, prop. 4, cor. 1) donc on est ramené à (i et e) les biffures de cette fin de page sont reprises en interligne ; dans \(\mathrm{Ext}^n(k, M)\) le \(k\) est écrit sur un « \(A/\underline{x}\) » noirci. La référence « § 1, prop. 4, cor. 1 » renvoie à un feuillet hors de ce lot.

40nouvelle récapitulation, écrite d'abord à l'encre noire puis reprise à l'encre bleue et au crayon, avec de nombreuses surcharges, des flèches et des notes obliques dans les deux marges ; on donne le corps de la page et ce qui se lit des marges.

\(A\) anneau local, quotient d'un régulier \(A'\). \(n =\) dim. Krull \(A\)

\(\underline{k} = A/\mathfrak{m}(A)\)

\(\mathfrak{N}\) un idéal de définition

\((x_1, \ldots, x_n)\) un système de paramètres.

\(\mathfrak{p}\) un idéal premier de dim \(n\).

Conditions

(i)\(\mathrm{Ext}^n(\underline{k}, M) \simeq k\), \(\mathrm{Ext}^{n+1}(\underline{k}, M) = \mathrm{Ext}^{n-1}(\underline{k}, M) = 0\)
(ii)\(\mathrm{Ext}^n(\underline{k}, M) \simeq k\) et \(M\) fidèle [[…] […] […] \(M\)]
(iii)\(\mathrm{Ext}^{n-1}(\underline{k}, M) = \mathrm{Ext}^{n+1}(\underline{k}, M) = 0\), \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\)
(i bis)\(\mathrm{Ext}^{n-1}(\underline{k}, M) = 0\), \(M\) fidèle, \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\)
(iv)\(\mathrm{Ext}^{n-1}(\underline{k}, M) = 0\) et \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) \simeq A/\mathfrak{N}\)
(ii bis)\(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M) \simeq \widehat{A/\mathfrak{N}}\) et \(M\) fidèle [faut-il \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) ? ou \(A\) équidim ?] suffit-il que \(\mathrm{Ext}^n(A/\mathfrak{N}, M)\) soit comonogène ?
(iii)\(\mathrm{Ext}^{n-1}(\underline{k}, M) = 0\), et l'une des cond. équivalentes \[\left\{\begin{array}{l} \struck{\ill{}} \\ \mathrm{Ext}^{n+1}(\underline{k}, M) = 0 \\ H^n(M) \ \text{dualisant} \\ H^n(M) \ \text{injectif} \end{array}\right.\] et \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\)
(iv)La fonction \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est dualisant
(iv bis)La fonction \(N \mapsto \mathrm{Ext}^n(N, M)\) est exact, \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leq \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\) (\(N\) de long. finie)
(v)faible L'annulateur de \(\mathfrak{m}\) dans \(M/\sum x_i M\) est de dim 1 et \(M\) est fidèle

la condition (iii) et deux reprises, (i bis) en bleu et (iv) en noir, sont encadrées ensemble et barrées de traits en zigzag ; les lettres a, b, c cerclées en marge droite renvoient aux trois conditions de l'accolade de (iii). Une grande accolade bleue, à gauche, embrasse (i) à (ii bis).

\(\mathrm{Ext}^n\) et \(\mathrm{Ext}^{n+1}\) […] […] […] ou \(\mathrm{Ext}^n\) et \(\mathrm{Ext}^{n-1}\) ou \(\mathrm{Ext}^{n-1}\) et \(\mathrm{Ext}^{n+1}\) […] […] \(A/\mathfrak{p}\), \(A\) et \(M_{\mathfrak{p}}\) […], \(A/\mathfrak{I}\), \(\Omega_A\), […] […] […], \(A^m\), […] […] note de la marge droite, en regard de (i) et (ii), reliée par une double flèche au crochet de (i) ; au-dessus, trois lignes brèves ne se lisent pas.

\[\boxed{A \ \text{est C.-M., et} \ M \ \text{est} \ \simeq \Omega_A}\]

Pb. \(M \neq 0\), \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) = \left\{\begin{array}{l} \mathrm{Ext}^{n+1}(k, M) = 0 \\ H^n(M) \ \text{injectif} \end{array}\right.\) \(\Longrightarrow\) \(A\) est C.M. et \(M \simeq \Omega_A^m\) mais une condition […] […] […] […] […] \(M \simeq \Omega_A \times A/\mathfrak{I}\) le problème est encadré à gauche d'un trait ; une flèche double descend vers lui depuis une note oblique au crayon, « \(M \neq 0\), \(\mathrm{Ext}^n(N, M)\) exact » ; la note sur \(\Omega_A \times A/\mathfrak{I}\) est dans un encadré en coin, en bas à droite, avec un mot biffé.

[…] \(H^n(M)\) […] […] […] […] […] \(M\) […] […] \(H^n(M)\) […] […] \(H^n(M)\) et […] \(M\) équidim. […] \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M)\) […] (vi) […] […] \(\Omega_{A/\mathfrak{I}}\) […] notes obliques de la marge gauche, en deux couches (bleu, puis noir), autour d'un « (vi) » encadré ; on n'en lit que des fragments.

Le seul cas […] […] \(\mathrm{Ext}^{n-1}(k, M) \neq 0\), \(M \neq 0\), […] […] […] \(A/\mathfrak{I}\) ([…] équidim. associé à \(A\)) est C.M. et [[…] […] \(\mathrm{Ext}^n(k, M) = k\)] si \(m = 1\) […] […] […] \(\mathrm{Ext}^n(k, M) \simeq k\) est celui […] \(A/\mathfrak{I}\) est C.-M. et […] \(M = \Omega_{A/\mathfrak{N}}\), où \(\mathfrak{N}\) est un idéal de \(A\) tel que \(A/\mathfrak{N}\) soit C.-M., […], […] \(m = 0\), […] […] […] \(\hat{A}\) ce dernier paragraphe est barré de trois longs traits obliques ; une flèche au crayon en part vers une ligne au pied de la page, « […] […] […] \(M\) […] », elle-même biffée.