Cote n° 101, pages 1–20

Cote n° 101 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cohomologie locale : notes manuscrites (s.d.).
Édition de démonstration

Relations entre cohomologie locale et projective (via les cônes)

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise de papier bistre par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page

2Relations entre cohomologie locale et globale titre souligné, en tête du feuillet ; il diffère de celui de la chemise (« projective » y est remplacé par « globale »)

$Y$ préschéma de base, $\mathcal{S}$ Algèbre graduée quasi-cohérente sur $Y$, à degrés $\geqslant 0$, engendrée par $\mathcal{S}_1$ de type fini, $X = \operatorname{Proj}(\mathcal{S})$, $X' = \operatorname{Spec}(\mathcal{S}) - Y$ le cône épointé, $\overline{X'}$ le cône affine. Donc \[ X' \simeq \mathbf{V}(\mathcal{O}_X(1)) - \sigma(X) = \operatorname{Spec} \struck{\ill{}} \Bigl(\coprod_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}(-n)\Bigr). \] le début de la ligne, avant « $\mathbf{V}$ », est d'une lecture incertaine ; le mot biffé après « $\operatorname{Spec}$ » commence peut-être par « Sym »

Soit $Z$ une partie fermée de $X$, $Z'$ son image inverse dans $X'$, $\overline{Z'}$ son adhérence [définie aussi au moyen de l'Idéal homogène définissant $Z$]. $U$ un ouvert de $X$, $U'$ son image inverse dans $X'$, $\overline{U'}$ dans $\overline{X'}$. Soient $F$, $G$ deux Modules [quasi-cohérents] sur $U$ $X$, $F'$, $G'$ […] les images inverses sur $U'$. le début de la plupart des lignes de ce paragraphe, au bord gauche, est d'une lecture incertaine ; les crochets sont de lui

\[ \begin{aligned} \operatorname{Ext}^{\bullet}_{Z' \cap U' = T'}(X'; F'; G') &= H^{\bullet}\, \struck{\ill{}}\; \underline{\operatorname{Hom}}_{Z' \cap U'\, T'}(F'; C(G'))\\ &= H^{\bullet}\, \struck{\ill{}}\; \underline{\operatorname{Hom}}_{Z \cap U\, T}(F, p_{U*} C(G'))\\ &= H^{\bullet}\, \underline{\operatorname{Hom}}_{Z \cap U\, T}(F, C(p_{U*} G'))\\ &= \operatorname{Ext}^{\bullet}_{Z \cap U\, T}\Bigl(F, \coprod_{n \in \mathbf{Z}} G(n)\Bigr) \end{aligned} \] $G$ q.-coh. $G$ q.-coh., $F$ de type fini les deux marginales sont reliées par des accolades aux deux dernières égalités ; les indices « $Z' \cap U'$ » et « $Z \cap U$ » sont soulignés par une accolade horizontale qui les renomme $T'$ et $T$ ; deux passages de la première et de la deuxième ligne sont biffés en hachures serrées et ne se lisent pas

À gauche, en regard : \[ T = U \cap Z \ \text{(loc. fermé dans $X$)}, \qquad T' = U' \cap Z', \] \[ p : X' \longrightarrow X, \qquad p_U : U' \longrightarrow U. \]

Encadré : \[ \operatorname{Ext}^i_{\struck{\ill{}}\,T',\, \mathcal{O}_{X'}}(X'; F', G') \simeq \coprod_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{Ext}^i_{T\, \struck{\ill{}}}(F, G(n)). \] l'indice de gauche est surchargé ; « $\mathcal{O}_{X'}$ » est écrit dessous d'une encre plus claire

3Localisons sur $Y$, […] […]. \[ \underline{\operatorname{Ext}}^{\bullet}_{\overline{T'}\, \struck{\ill{}},\, \mathcal{O}_{\overline{X'}}}(\overline{X'}/Y; \overline{F'}, \overline{G'}) \simeq \coprod_{n \in \mathbf{Z}} \underline{\operatorname{Ext}}^{i}_{\struck{\ill{}},\, \mathcal{O}_U}(X/Y; F, G(n)) \] les indices sont en partie biffés ; au second membre on lit « $\struck{X}\,X/Y$ » ; une accolade isolée, en dessous, porte « $\underline{\operatorname{Ext}}_{Z' \cap U'}$ »

N.B. […] […] […] … note cerclée dans la marge gauche, écrite en biais, que nous ne lisons pas au-delà de « N.B. » ; au-dessous, un croquis du cône : la droite $\overline{Z'}$, le cône $\overline{X'}$ et, cerclé, le sommet au-dessus de $y$

D'autre part, on aura […] $W$ […] pour simplifier $W = X$, donc $U' = X'$, $\overline{U'} = \overline{X'}$. $\operatorname{Ext}^{\bullet}_{Z', \mathcal{O}_{X'}}(X'; F', G') \Leftarrow H^p(X', \underline{\operatorname{Ext}}^q_{Z'}(F', G'))$ ces deux lignes sont barrées de traits obliques ; la dernière porte une flèche de suite spectrale

\[ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{\overline{T'}}(\overline{X'}; \overline{F'}, \overline{G'}) \ \Big\uparrow\ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{\widehat{T'}}(\widehat{X'}; \widehat{F'}, \widehat{G'}) \] la flèche verticale va du second vers le premier ; à gauche, deux croquis : la droite $\overline{Z'}$ coupant $\overline{X'} - \overline{U'}$ en un point marqué, puis $\overline{Z'}$ privé d'un point

\[ H^p\bigl(\overline{Z'} - \overline{R'},\ \underline{\operatorname{Ext}}^q_{\overline{Z'}} (\overline{F'}, \overline{G'})\bigr) \] Justifier […] […] […] compatibilité […] extension […] […] … note cerclée, rattachée par un crochet à « $\overline{Z'} - \overline{R'}$ »

\[ H^p(\overline{Z'} - \overline{R'}, \overline{E}) \overset{(2)}{\longleftrightarrow} H^p(\widehat{Z'} - \widehat{R'}, \widehat{E}) \] bij.-bij. par localisation à gauche, deux croquis de plans : l'un traversé par une droite épaisse portant un point, l'autre marqué d'un seul point

Le lemme des cinq […] […] $H^p_{\overline{Z'}}(\overline{R'}, \overline{E})$, […] […] donnera […] […] $H^p_{\overline{Z'}}(\overline{X'}, \overline{E})$.

Mais ceci $\longrightarrow$ [Dégageons un lemme […] les données de base plutôt […] […] […] $\underline{\operatorname{Ext}}^{\bullet}_T(X, F, G)$.] ce crochet est écrit à droite, au bas du feuillet, et ne se lit qu'en partie

4\[ \begin{aligned} \operatorname{Ext}^{\bullet}_{T, \mathcal{O}_X}(X, F, G(n)) &\Longleftarrow H^p\bigl(U, \underline{\operatorname{Ext}}^q_{T, \mathcal{O}_U}(F, G(n))\bigr)\\ \operatorname{Ext}_{T', \mathcal{O}_{X'}}(\overline{X'}; \overline{F'}, \overline{G'}) &\Longleftarrow H^p\bigl(U', \underline{\operatorname{Ext}}_{T', \mathcal{O}_{U'}}(\overline{F'}, \overline{G'})\bigr) \end{aligned} \] les deux lignes sont reliées, terme à terme, par des signes « $=$ » verticaux

[Compatibles […] formations des $\underline{\operatorname{Ext}}^q_{T}(F, G)$ et $\underline{\operatorname{Ext}}^q_{T'}(F', G')$] l'indice du premier $\underline{\operatorname{Ext}}$ est surchargé d'une tache

\[ \begin{aligned} \operatorname{Ext}^{\bullet}_{T, \mathcal{O}_X}(X; F, G(n)) &\Longleftarrow H^p_T\bigl(\struck{X}\, X, \underline{\operatorname{Ext}}^q(F, G)(n)\bigr)\\ \operatorname{Ext}_{T', \mathcal{O}_{X'}}(\overline{X'}, \overline{F'}, \overline{G'}) &\Longleftarrow H^p_{T'}\bigl(\overline{X'}, \underline{\operatorname{Ext}}^q(F', G')(n)\bigr) \end{aligned} \] sous le premier membre de la première ligne, un signe « $\vee$ » ; sous le second, un « $=$ » vertical

N.B. les deux suites spectrales […] […] […] restrictions […] […] […] graduées note de la marge gauche, écrite en biais, reliée par deux accolades aux deux paires de suites spectrales

Cas particuliers lorsque $F = \mathcal{O}_X$ … le feuillet s'arrête sur ces points de suspension

Dualité locale pour Modules non quasi cohérents

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 5, une chemise de papier bistre par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; « non quasi cohérents » est souligné

6Proposition 1. Soit $A$ un anneau adique noethérien. […] supposé séparé complet, $M$, $N$ $N$ deux $A$-modules de type fini, et $\mathfrak{X} = \operatorname{Spf} A$, $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$ les Modules cohérents sur $\mathfrak{X}$ définis par $M$, $N$. Alors on a des isomorphismes canoniques \[ \operatorname{Ext}^i(\mathfrak{X}; \mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N). \] écriture rapide ; la fin de la première ligne est d'une lecture très incertaine

Corollaire 2. On a \[ \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N)^{\Delta}\,\struck{\ill{}}. \]

[En effet, on sait que les $\underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N})$ sont cohérents, donc […] par la nullité […] […] de la suite spectrale […] […] cohérents sur $\mathfrak{X}$, […] […] \[ \operatorname{Ext}^i_{\mathfrak{X}}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq H^0\bigl(\mathfrak{X}, \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N})\bigr) \] et comme $\operatorname{Ext}^i(\mathfrak{X}, \mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N)$, […] […] d'où \[ H^0\bigl(\mathfrak{X}, \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N})\bigr) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N) \quad \text{pour tout } i, \] d'où le cor. 2 comme $\underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N})$ est cohérent.] ce crochet est une démonstration de la proposition 1 par le corollaire, qu'il reprend ensuite dans l'autre sens

Il suffit en effet de prendre une résolution finie de $M$ par des modules libres de type fini pour démontrer le résultat. Autre procédé : comme $\mathfrak{X} \to X = \operatorname{Spec} A$ est plat, les foncteurs […] commutent à la formation des $\underline{\operatorname{Ext}}^i$, d'où \[ \underline{\operatorname{Ext}}^i_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^i_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})^{\wedge} \quad \text{\ill{}}\ \ \underline{\operatorname{Ext}}^i(\widetilde{M}, \widetilde{N}) = \operatorname{Ext}^i_A(M, N)^{\sim} \ \ (\text{\uncertain{cq}}), \] d'où \[ \underline{\operatorname{Ext}}^i_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N)^{\Delta} \] (c'est le cor. 2) et en prenant les sections, on trouve à nouveau la prop. 1.

7Soit […] $\mathfrak{X}$ un préschéma formel localement noethérien, $Y$ une partie fermée de $\mathfrak{X}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ deux Modules […] cohérents sur $\mathfrak{X}$, […] […] […] […] \[ \operatorname{Ext}^i_Y(\mathfrak{X}; \mathcal{F}, \mathcal{G}) \Longleftarrow H^p_Y\bigl(\mathfrak{X}, \underline{\operatorname{Ext}}^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\bigr), \] en particulier […] […] […], […] […] […] lesquels il faut préciser […] […] […] limite projective \[ \varprojlim_n \operatorname{Ext}^i_Y(\mathfrak{X}, \mathcal{F}, \mathcal{G}_n). \] Notons d'ailleurs que $\operatorname{Ext}^{*}_Y(\mathfrak{X}, \mathcal{F}, \mathcal{G}_n)$ la phrase s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc

8notes éparses à l'encre noire, sur le verso d'un tapuscrit sans rapport $E(\mathcal{U},$ $H^i$ \[ \left\{ \begin{aligned} \underline{E}_{U/k}(G, {}_{\infty}\mu) &\simeq \underline{E}_k(N^i_{U/k}\,G, \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\\ \underline{E}_{S/k}(G, {}_{\infty}\mu) &\simeq \underline{E}_k(N^i_{Y/k}(G), \mathbf{Q}/\mathbf{Z})\\ \underline{E}_{Y/k}(G, {}_{\infty}\mu) &\simeq E_k(N^i_{S/k}(G), \mathbf{Q}/\mathbf{Z}). \end{aligned} \right. \] les indices $Y/k$ et $S/k$ des deux dernières lignes se croisent ainsi sur la page ; nous les laissons tels quels

$\operatorname{Ext}^{*}_K(G, K)$

$Y \subset S$ \[ \begin{array}{ccc} 0 & & \\ \downarrow & & \\ H^0_Y(M) & \text{---} & \operatorname{Ext}^1_Y(S; M, A)\\ \downarrow & & \uparrow\\ H^0(S, M) & \text{---} & \operatorname{Ext}^i_Y(S; M, A)\\ \downarrow & & \\ H^0(U, M) & & \end{array} \] deux colonnes accouplées terme à terme par des tirets ; l'exposant « $1$ » de la première ligne de droite est surchargé

$k \leftarrow V \rightarrow K$

\[ \begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ \downarrow & & & & \\ H^0(M) & \times & \operatorname{Ext}^{\ill{}}(M, A) & \longrightarrow & I\\ \downarrow & & \uparrow & & \\ M & \times & \operatorname{Ext}^{\ill{}}(M, A) & \longrightarrow & I\\ \downarrow & & \uparrow & & \\ M \otimes K & \times & \operatorname{Hom}(M_K, K) & \longrightarrow & I\\ \downarrow & & \uparrow & & \\ H^1(M) & \times & \operatorname{Ext}^0(M, A) & \longrightarrow & I\\ \downarrow & & \uparrow & & \\ 0 & & 0 & & \end{array} \] à droite de la troisième ligne : « Hom$(K, I) \simeq K$ » ; sous le tableau, isolé, « $\operatorname{Ext}^i$ » ; les exposants des deux premiers $\operatorname{Ext}$ ne se lisent pas, et le « $M \otimes K$ » est surchargé

\[ \operatorname{Ext}_Y(M, A) \simeq \operatorname{Hom}(H^i_Y(X, M), I) \]

10Dualité locale. $A$ anneau local noethérien complet régulier de dimension $n$, $X = \operatorname{Spec} A$, $x$ son point fermé, $F$ Module variable sur $X$ (pas nécessairement quasi-cohérent !) \[ H^i_x(F) \times \operatorname{Ext}^{n-i}(X; F, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^n_x(\mathcal{O}_X) = I \qquad (I \text{ module \uncertain{dualisant}}) \] d'où \[ \boxed{\operatorname{Ext}^{n-i}(X; F, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \operatorname{Hom}(H^i_x(F), I)} \] Je dis que ce sont des isomorphismes pour tout $i$, à priori […] chaque pris […]. « pas nécessairement quasi-cohérent » est doublement souligné ; la fin de la phrase « Je dis que » est écrite sur deux lignes et soulignée par morceaux

On est ramené : la question […] […] pour un faisceau $F$ de la forme $\mathcal{O}_{U,X} = i_!(\mathcal{O}_U)$, où $U$ est un ouvert […] […] de $X$ (voire […] de la forme $X_f$) et $i : U \to X$. L'isomorphisme […] canonique […] […] alors \[ \operatorname{Ext}^{n-i}(U; \mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(H^i_x(\mathcal{O}_{U,X}), I), \] i.e. \[ \left\{ \begin{aligned} &H^i_x(\mathcal{O}_{U,X}) = 0 \quad \text{si } i \neq n,\\ &D\bigl(H^n_x(\mathcal{O}_{U,X})\bigr) \simeq \struck{\operatorname{Hom}}\, \Gamma(U, \mathcal{O}_X) = A_f. \end{aligned} \right. \] […] On a […] si $U = X$, […] […], Reste $U \neq X$, […].

$H^0_x$

1) $n = 0$ […] obtient une Tautologie.

2) $n = 1$, il suffit de prendre $U =$ ouvert principal, et le faisceau devient, puisque $H^0_x(\mathcal{O}_{U,X}) = 0$, $H^1_x(\mathcal{O}_{U,X}) = K$, \[ \operatorname{Hom}(K, K/A) \simeq K \] (autodualité bien connue !). Notons que pour la catégorie des $\mathcal{O}_X$-Modules est équivalente à la catégorie des triplets $(M_0, M_1, u)$, où $M_0$ est un $A$-module, $M_1$ un $K$-module [resp. $F_x$ et $F_{x'}$, où $x'$ est le point générique] et \[ u : M_0 \longrightarrow M_1 \] un $(A \to K)$-homomorphisme. On aura \[ H^0_x(F) = \operatorname{Ker} u, \quad H^1_x(F) = \operatorname{Coker} u \qquad [H^0(X, F) \simeq M_0,\ H^i(X, F) = 0 \ i \neq 0] \] sous le crochet, une ligne biffée qui ne se lit pas

11D'autre part, on a une résolution injective globale de $\mathcal{O}_X$ par \[ \mathcal{O}_X \longrightarrow \underbrace{\underline{K}_X \longrightarrow \underline{K}_X/\mathcal{O}_X \longrightarrow 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots}_{K^{\bullet}} \] d'où \[ \operatorname{Ext}^{*}(X; F, \mathcal{O}_X) \simeq H^{*}\bigl(0 \longrightarrow \underset{0}{\operatorname{Hom}(M_1, K)} \longrightarrow \underset{1}{\operatorname{Hom}(M_0, K/A)} \longrightarrow 0 \cdots\bigr) \] i.e. nuls en dimension $\neq 0, 1$ et \[ \begin{aligned} \operatorname{Ext}^0(X; F, \mathcal{O}_X) &\simeq \operatorname{Ker}\bigl(\operatorname{Hom}(M_1, K) \to \operatorname{Hom}(M_0, K/A)\bigr)\\ \operatorname{Ext}^1(X; F, \mathcal{O}_X) &\simeq \operatorname{Coker}(\quad \text{id} \quad) \end{aligned} \] Dans le cas […] les homomorphismes dualité deviennent \[ \begin{aligned} E^0 &\overset{\varphi^0}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(\operatorname{Coker} u, K/A)\\ E^1 &\overset{\varphi^1}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(\operatorname{Ker} u, K/A) \end{aligned} \] Faisons usage des faits suivants :

a) Tout homomorphisme $M_1 \to A$ est nul (l'image étant un sous-module qui est $K$-module de $A$) donc $\varphi^0$ injectif.

b) Tout homomorphisme $M_1 \to K/A$ se relève en $M_1 \to K$, i.e. $\operatorname{Ext}^1_A(M_1, A) = 0$, ou aussi $\underline{\operatorname{Ext}^1_A(K, A) = 0}$ [Pour le voir, utilisons la résolution injective $A \to$ […] $A$ […] $\to K \to K/A \to 0$, […] […] exacte \[ 0 \longrightarrow \underset{\substack{\wr\\ K}}{\operatorname{Hom}_A(K, K)} \longrightarrow \operatorname{Hom}(K, K/A) \longrightarrow 0, \] qui […] utilise l'autodualité de $K$ […]]. Donc au-dessus de « $K$ », en fin de crochet, une insertion « $\widehat{K} = K$ » ; sous « autodualité », une remarque entre parenthèses, « on […] fait que $A$ complet », rattachée par un trait

$\varphi^0$ surjectif.

c) $K/A$ est injectif, donc tout homomorphisme $\operatorname{Ker} u \to K/A$ s'étend : $M_0 \to K/A$, donc $\varphi^1$ est surjectif, et tout homomorphisme de $M_0/\operatorname{Ker} u \subset M_1$ dans $K/A$ s'étend […] […] $M_1 \to K/A$, qui […] vient donc d'un […] $M_1 \to K$, donc $\varphi^1$ est injectif. la fin de c) ne se lit qu'en partie ; l'ordre des deux conclusions « surjectif » et « injectif » pour $\varphi^1$ est celui du feuillet

12feuillet de brouillon, notes éparses à l'encre sur le verso d'un tapuscrit sans rapport ; nous les donnons dans l'ordre où elles se présentent, de haut en bas

$\Phi_x$ $\mathcal{O}_y$ $\mathcal{O}_{X,u}$ $K$ \[ \operatorname{Ext}^i(K, A) = 0 \qquad \operatorname{Ext}^i(K, A) \] $H^0_x$ $H^1_x$ ces premières notes sont isolées par un trait horizontal et un filet vertical qui les encadrent

résolution de $A$ \[ 0 \longrightarrow K \longrightarrow \coprod_{p} K/A_p \longrightarrow I \longrightarrow 0 \] \[ 0 \longrightarrow K \longrightarrow \prod_{p}{}^{\wedge}\, \widehat{K}_p \longrightarrow \operatorname{Hom}(K, I) \longrightarrow 0 \] une accolade au-dessus de la première suite la désigne comme la résolution de $A$ ; sous « $\prod^{\wedge} \widehat{K}_p$ », entre guillemets, « produit restreint », puis « i.e. adèles », doublement souligné ; sous « $\operatorname{Hom}(K, I)$ », un « $=$ » vertical et « $\varinjlim_{f \in A - 0} f I$ »

\[ \operatorname{Ext}^i_A(K, A) \qquad \operatorname{Ext}^i(A,\ \ ) \qquad \operatorname{Hom}(K, A) = 0 \] $\operatorname{Ext}^i$ $\operatorname{Ext}^i$ \[ \operatorname{Ext}^1(K, A) \qquad 0 \longrightarrow A \longrightarrow E \longrightarrow K \longrightarrow 0 \] \[ 0 \longrightarrow A \longrightarrow K \longrightarrow \coprod \qquad \operatorname{Hom}(K, A/\mathfrak{m}^n) \] \[ \operatorname{Ext}^1(K,\ \ ) \qquad \operatorname{Ext}^i \qquad \operatorname{Ext}^1(\underline{K}, A^{(I)}) \]

\[ \begin{array}{ccc} K & \longrightarrow & \prod \widehat{K}_p\\ \uparrow & & \uparrow\\ A & \longrightarrow & \prod \widehat{A}_p \end{array} \qquad \left| \begin{array}{ll} 0 & \text{Classes d'idèles}\\[4pt] 1 & \text{Classes d'\uncertain{idéaux}} \end{array} \right. \] sous chacun des deux produits, un indice abrégé que nous ne lisons pas ; plus bas, isolé, un « $A$ » souligné

14$n = 2$) $U = X_f$, $f \in \mathfrak{m}_A$, $f \neq 0$, $F = \mathcal{O}_{X,U}$. Soit $X' = X - x$, $X$ $Y = V(f)$, $Y' = Y \cap X'$, $x$ : le point fermé, en conséquence de $Y$, […]. « $Y' = Y \cap X'$ » est ajouté en haut à droite, sous un « $F = \ill{}\,X'$ » biffé \[ H^0_x(F),\ H^1_x(F) = \operatorname{Ker} \text{ et } \operatorname{Coker} \text{ de } \underset{\substack{\|\\ 0}}{H^0(X, F)} \longrightarrow \underset{\substack{\|\\ 0}}{H^0(X', F)} \quad \text{\uncertain{nuls}}. \] $H^i_x(F) = 0$ pour $i > 2$ pour raison de dimension cohomologique.

Reste : calculer $H^2_x(F)$ et comparer à son dual : $A_f = H^0(U, \mathcal{O}_U)$.

Comme […] […] pour $H^i(X, F) = 0$ pour $H$ $i \neq 0$, $\underline{\forall F}$, \[ H^2_x(F) \simeq H^1(X', F). \] Soit $\mathcal{O}_Y$ $F$ $i : Y' \to X'$ l'injection, et $G = i^{*}\mathcal{O}_X$, […], […] suite exacte \[ 0 \longrightarrow F \longrightarrow \mathcal{O}_{X'} \longrightarrow G \longrightarrow 0, \] et cohomologie […] $Y'$, l'ensemble fini discret $Y'$. D'où la suite exacte longue \[ 0 \to \underset{\substack{\|\\ A}}{H^0(X', \mathcal{O}_{X'})} \xrightarrow{\alpha^0} \underset{\substack{\|\\ \prod \mathcal{O}_{x_i}\\ \|\\ \varinjlim_g A g^{-1}}}{H^0(Y'; G)} \xrightarrow{\partial} \underset{\substack{\|\\ H^2_x(F)}}{H^1(X'; F)} \xrightarrow{\alpha^1} \underset{\substack{\|\\ I}}{H^1(X'; \mathcal{O}_{X'})} \to 0 \] $g$ variant dans […] $x_i$, i.e. […] […] $f$, i.e. $(f, g)$ engendrant un idéal primaire pour $\mathfrak{m}$ la marginale est écrite à gauche, en regard de la limite inductive sur $g$

Prenant les duaux : […] dans $I$, […] trouve

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 & I \arrow[l] & \varprojlim_g gI \arrow[l, "\alpha^{0*}"'] & D(H^2_x(F)) \arrow[l, "\partial^{*}"'] & A \arrow[l, "\alpha^{1*}"'] \arrow[dl, dashed] & 0 \arrow[l] \\
 & & & A_f \arrow[u, "\varphi"] \arrow[ul, dashed, "d"] & &
\end{tikzcd}

sous « $I$ », « $= 1 \cdot I$ » ; sous « $A_f$ », « $= \varinjlim_m A f^{-m}$ » ; la flèche pointillée de $A$ vers $A_f$ porte « en $A$-modules »

L'application $A_f \to \varprojlim_g gI$ s'explicite par \[ d_g : h \longmapsto [h]\bigl[\tfrac{1}{g}\bigr]. \] Le noyau de $d_g$ est donc l'image de $A \to A_f$, donc […] $\varphi$ est injection. Le […] […] l'image de $d$ est $\neq \operatorname{Ker} \alpha^{0*}$ ; $\varphi$ n'est pas surjective ; la raison en est qu'il faut prendre les duaux topologiques et non seulement « est injection » et « n'est pas surjective » sont soulignés, le second doublement ; la phrase continue au feuillet suivant

15algébriques, […] mettant sur $H^0(Y'; G) = \struck{\ill{}} \prod_i \mathcal{O}_{x_i}$ la topologie produit des topologies naturelle […] l'anneau local, [topologie fonctionnelle […] produit], et dans $H^1(X'; F)$ une topologie quotient, et dans […] discrète […] […] $I$ pour la topologie quotient sur $\prod_i \mathcal{O}_{x_i}$ [N.B. $A$ […] […] […] […] […] […] complétion […] […] $\prod_i \mathcal{O}_{x_i}/A$ […] séparé]. une incise cerclée, au-dessus de la cinquième ligne, ne se lit pas ; tout le paragraphe est d'une écriture rapide

Question : dualité …

Autres questions : $\operatorname{Ext}^i(K, A) = 0$ pour $i\,$ [$A$ anneau local noethérien intègre complet, de corps des fractions $K$] le reste du feuillet est blanc

Notes antiques 1958 (Caractérisation des Cohen-Macaulay, des Gorenstein etc.)

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 16, une chemise de papier bistre par ailleurs vierge, qui ne reçoit pas de numéro de page ; « Coh. Mac. » est abrégé sur la chemise

17un plan, sur un feuillet coupé ; une grande accolade au crayon, dans la marge gauche, embrasse les § 1 et 2

§ 1. Les foncteurs $H^i_{\mathfrak{C}}$

Sur les foncteurs $A$-linéaires (de modules et modules topologiques).
Définition des $H^i_{\mathfrak{C}}(M)$, premières propriétés.
Fonctorialité pour les $H^i_{\mathfrak{C}}(M)$ (y inclus cup-produit).
Cas d'un anneau local $A$ [premières propriétés spéciales, caractérisation des $H^i$ ; relations avec la codim. coh.].
Rappels sur les Modules de Cohen-Macaulay.
Résultats auxiliaires sur certains $\operatorname{Ext}^i_A(N, M)$ [$M$ de C.-M., […] supp. (par $A$)].
Cas particuliers.

« (y inclus cup-produit) » est cerclé ; le crochet de l'article 4 est encadré, et une flèche le rattache à l'article 5, dont le numéro est surchargé, comme celui de l'article 7

§ 2. Foncteurs et modules dualisants (théorie locale). Le th. de dualité locale.

Définition et premières propriétés des foncteurs et modules dualisants.
Extension du foncteur dualisant.
Th. d'existence et unicité ; exemples.
La théorie de dualité locale Structure des $H^i(M)$.
Module fondamental et th. de dualité locale.
Anneaux de Gorenstein.

§ 3. Les Foncteurs $H_i$, et les complexes dualisants

18Remarque : […] question de dualité, […] […] […] la validité de (iii) […] […] […], […] […] signifie que […] […] $\dim A \leqslant \ill{}$ […] […] donne […] Théorème 4 le début du feuillet est barré de longs traits obliques ; les mots « Théorème 4 », encadrés, renvoient à l'énoncé plus bas

introduire […] définition (iii) et certaines propriétés […] de foncteurs $M \to \operatorname{Hom}(M, \ill{})$ marginale écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de la définition, avec une flèche vers le « (ii) » ; lecture très incertaine

Définition. Soit $A$ un anneau local noethérien local de dimension $n$. Un module $\Omega$ sur $A$ est dit un « module fondamental » si il satisfait les deux conditions […] […] […] suivantes :

(i) $\Omega$ est de type fini ;

(ii) […] $D(\Omega) \simeq H^n(A)$.

Un tel $\Omega$ est unique à isomorphisme près si si $\Omega = D(H^n(A))$ […] $=$ ($A$ étant local (ou semi-local)), mais que […]. On le note $\Omega_A$. D'autre part si $A$ est local complet, un tel $\Omega_A$ existe (on prend $D(H^n(A))$). Il existe aussi et équivalemment si $A$ régulier : prendre $\Omega = A$ ! « local » est ajouté au-dessus de « complet » ; « et équivalemment » est rattaché par une accolade à « si $A$ régulier »

L'existence de $\Omega$ […] […] […] D'après le th. 3, […] […] […] […] […] Proposition. Soit $A$ un […] … […] $H^n(A) = \ill{}$ un bloc de lignes biffées et encadrées, entre la définition et le théorème 4 ; une flèche le renvoie vers le haut

Si $A$ est cohen-macaulay, alors module fondamental $=$ module dualisant. ajout encadré à droite, souligné

Théorème 4. Soit $A$ (local) noethérien, de dimension $n$, muni d'un module dualisant fondamental $\Omega$. Le […] […] homomorphisme \[ H^n(\Omega) \simeq H^n(A) \otimes \Omega \xrightarrow{\ \eta\ } I \] [déduit de un isomorphisme $H^n(A) \Rightarrow D(\Omega)$], définit […] accouplement […], qui est […] […] $\Phi$ […] que […] suite […] « local » est cerclé et ajouté au-dessus de « $A$ » ; le bas du feuillet est d'une lecture de plus en plus incertaine

19le feuillet entier est barré de deux longs traits obliques ; il se lit néanmoins en grande partie

Complément au th. 3. Si $A$ est de dimension $n$, [le foncteur $M \mapsto H^n(M)$ est exact à droite, et […] il commute […] \[ H^n(M) \xleftarrow{\ \sim\ } H^n(A) \otimes \underline{M}\,] \] le crochet est de lui

Corollaire 2. Corollaire 2 : si $D(\Omega) \simeq H^n(A)$, […] […] […] […] […] et si on a $\operatorname{Ext}^i(k, M) \neq 0$, alors […] $\operatorname{Ext}^j(k, M) = 0$ pour $j > i$ […], $\operatorname{Ext}^q(k, M) \neq 0$ … la ligne du corollaire, biffée d'un trait, porte au-dessus des reprises qui ne s'accordent pas ; à droite, biffé : « $H^n(\Omega) \simeq D(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega))$ »

Soit donc $\Omega$ dualisant, et \[ H^n(\Omega) \simeq \struck{\ill{}}\, H^n(A) \otimes \Omega \xrightarrow{\ \varphi\ } I \] […] […] Je suppose […] […] […] […] $\Omega \xrightarrow{\varphi_2} D(H^n(A))$ \[ \ill{}\quad H^n(A) \xrightarrow{\varphi_1} D(\Omega). \quad \uncertain{Un} \ill{} \ill{} \] Accouplements \[ H^p(M) \times \operatorname{Ext}^{n-p}(M, \Omega) \longrightarrow H^n(\Omega) \rightsquigarrow I \] d'où \[ H^p(M) \longrightarrow D(\operatorname{Ext}^{n-p}(M, \Omega)) \] Explicitons […] […] dimension cohomologique \[ H^n(M) \simeq \struck{\ill{}}\, H^n(A) \otimes M \longrightarrow D(\operatorname{Hom}(M, \Omega)) \simeq D(\Omega) \otimes M \] […] […] précisément : $\varphi_1 \otimes \operatorname{id}_M$ ; pour que […] isomorphisme pour tout $M$, il faut et il suffit […] soit […] isomorphisme. Considérons le […] $M = \Omega$, […] donne \[ \struck{H^n(\Omega) \ill{}(A)} \] \[ H^n(\Omega) \times \widehat{\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)} \longrightarrow H^n(\Omega) \longrightarrow I \] d'où \[ \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \xrightarrow{\ \sim\ } D(H^n(\Omega)) \] transformant l'identité en $\varphi$. On dira […] […] […] […] […] :

(i) $H^n(\Omega)$ […] dualisant […]

(ii) $\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A$ (iii) utiles tous ? la marginale, dans la marge gauche, porte un trait vertical qui embrasse le bas du feuillet ; le « (iii) » final est relié par un trait sinueux aux lignes biffées (i) et (ii)

20isomorphisme pour les dimensions $p \geqslant k$ ($k$ entier donné $\leqslant n$), il faut et il suffit qu'on ait \[ H^i(A) = 0 \quad \text{pour } k \leqslant i < n. \] ce premier alinéa, qui continue le feuillet précédent, est marqué d'un trait vertical dans la marge

Corollaire 1. Pour que […] […] soit un isomorphisme pour […] tout $p$, il faut et il suffit que les composantes de $A$ soient […] anneaux de Coh. Mac. de dimension $n$. « Composantes » est ajouté au-dessus de la ligne ; un mot biffé et souligné d'une ondulation précède « anneaux »

[…] Corollaire 2 Proposition 2. Soit $A$ un anneau local de Coh. Mac., $\Omega$ un module dualisant fondamental […] sur $A$. Alors […] : \[ \left\{ \begin{aligned} &\operatorname{Ext}^i(k, \Omega) = 0 \quad \text{si } i \neq n\\ &\operatorname{Ext}^n(k, \Omega) \simeq k \end{aligned} \right. \] « Corollaire 2 » est écrit au-dessus de « Proposition 2 », biffé ; « loc. » est ajouté au-dessus de la ligne, « fond. » au-dessus de « dualisant », biffé

En effet, $\operatorname{Ext}^i(k, \Omega)$ est dual de $H^{n-i}(k)$, qui est nul si $n - i \neq 0$, et qui est $\simeq \underline{k}$ si $n - i = 0$. une accolade dans la marge embrasse ces deux lignes

En particulier

Corollaire 3. $A$, $\Omega$ comme […] ci-dessus. Alors $\Omega$ est un module de Coh. Mac. (sur $A$, de dimension $n$), et […] : \[ \left\{ \begin{aligned} &H^i(\Omega_{\ill{}}) = 0 \quad \text{si } i \neq n\\ &H^n(\Omega_{\ill{}}) \text{ \uncertain{est} \uncertain{dualisant}} \end{aligned} \right. \] De plus, $\Omega_A$ est […] […] fidèle \[ \left\{ \begin{aligned} &\operatorname{Ext}^i(\Omega, \Omega) = 0 \quad \text{si } i \neq 0\\ &\struck{\operatorname{Ext}}\ \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A \end{aligned} \right. \] l'indice de $\Omega$ dans les deux lignes de la première accolade est surchargé : peut-être un astérisque, peut-être un « $A$ »