Cote n° 101 · pages 1–42 · Lecture modernisée · Cohomologie locale : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1967-1968]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

1. I.Cohomologie locale et cohomologie projective, via les cônes (pages 2 à 4 ; chemise page 1) : \(\mathrm{Ext}\) à supports sur le cône épointé au-dessus de \(X = \operatorname{Proj}(\mathcal{S})\) et sommes graduées d'\(\mathrm{Ext}\) sur \(X\).
2. II.Dualité locale pour Modules non quasi cohérents (pages 6 à 15 ; chemise page 5) : les \(\mathrm{Ext}\) sur un schéma formel affine (pages 6 et 7), des notes éparses (page 8), puis la dualité locale pour un \(\mathcal{O}_X\)-Module quelconque sur le spectre d'un anneau local régulier complet : vraie en dimension \(\leqslant 1\), fausse en dimension \(2\) avec les duaux algébriques (pages 10 à 15).
3. III.Notes antiques 1958 (pages 17 à 34 ; chemise page 16) :

1. III.1.le plan, le module fondamental, le théorème de dualité locale et ses corollaires (pages 17 à 21) ;
2. III.2.l'accouplement \(\mathfrak{D}\), l'annulateur de \(\Omega\), les anneaux quotients d'un anneau de Cohen-Macaulay, les modules \(\Omega_A^{(i)}\) et une suite spectrale (pages 22 à 29) ;
3. III.3.« 6. Caractérisation des modules fondamentaux d'anneaux Coh. Mac. Anneaux de Gorenstein » (pages 30 à 34).

1. IV.Récapitulation, théorème, problèmes (pages 35 à 39), sous la même chemise.
2. V.Seconde récapitulation, exactitude des foncteurs \(\mathrm{Ext}\), et le cas \(M = A\), où le dossier s'arrête (pages 40 à 42).

Les trois textes ne se citent pas. Le premier et le deuxième sont des brouillons de recherche ; le troisième est, jusqu'à la page 34, la rédaction suivie d'un chapitre, que deux récapitulations prolongent (IV et V). Les pages 9 et 13 sont des feuillets dactylographiés d'un autre texte, sans trace de sa main, et ne sont pas lues ; les pages 8 et 12 sont écrites au verso de tapuscrits, et seules ses notes sont lues.

Le sujet du dossier n'a rien de commun avec celui du groupe d'inventaire où il est classé, « Géométrie et topologie combinatoire », ni avec les dossiers 81, 88 et 89 de ce groupe, qui parlent de cartes, de dessins et d'ensembles finis ; aucun renvoi n'est donc fait vers eux.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Le plan de la page 17 annonce, pour son § 2, six articles, dont le cinquième est « Module fondamental et th. de dualité locale » et le sixième « Anneaux de Gorenstein ». Le titre que porte la page 30, « 6. Caractérisation des modules fondamentaux d'anneaux Coh. Mac. Anneaux de Gorenstein », est celui du sixième article ; les pages 18 à 29, qui définissent le module fondamental et en tirent la dualité, sont donc vraisemblablement le cinquième. C'est une observation de cette lecture : les feuillets ne le disent pas, et les théorèmes 1 et 3 ainsi que le § 1 qu'ils citent ne sont pas dans le dossier.

L'énoncé sur lequel le dossier s'arrête, page 42 — qu'un anneau qui est son propre module fondamental est de Cohen-Macaulay —, est celui du « Théorème 5 » biffé de la page 33. Entre les deux, la page 34 a pris le parti inverse et défini un anneau de Gorenstein comme un anneau de Cohen-Macaulay qui est son propre module fondamental. L'énoncé est faux en général (page 42 ci-dessous) ; la définition de la page 34 est celle qu'on a gardée.

Les « Problèmes » des pages 36 et 37 reviennent page 40 sous le nom « Pb. », et la question de la page 41 en est une variante.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(A\) est un anneau local noethérien, \(\mathfrak{m}\) son idéal maximal, \(k = A/\mathfrak{m}\), \(n = \dim A\), et \(\widehat{A}\) son complété. Pour un \(A\)-module \(M\), \(H^i(M) = H^i_{\mathfrak{m}}(M)\) est la cohomologie locale à supports dans le point fermé, comme sur les pages. \(I = E(k)\) est l'enveloppe injective de \(k\) — le « module dualisant » des pages —, et \(D(M) = \operatorname{Hom}_A(M, I)\) le dual de Matlis¹ . Pour \(M\) de type fini, \(D(D(M)) \simeq \widehat{M}\), et \(D\) est une anti-équivalence des modules de longueur finie sur eux-mêmes. Un foncteur contravariant des \(A\)-modules de longueur finie vers les \(A\)-modules est dit dualisant, comme sur les pages, s'il est isomorphe à \(D\). Un module est comonogène si son socle \(\operatorname{Hom}(k, M)\) est de dimension \(1\) et \(M\) est de \(\mathfrak{m}\)-torsion, c'est-à-dire s'il se plonge dans \(I\) comme sous-module essentiel.

\(\Omega_A\), le « module fondamental » de la page 18, est un \(A\)-module de type fini tel que \(D(\Omega_A) \simeq H^n(A)\) ; c'est le module canonique² d'aujourd'hui, souvent noté \(\omega_A\) ou \(K_A\). On garde \(\Omega_A\), la lettre des pages.

L'idéal que les pages notent d'une même majuscule gothique désigne trois idéaux différents : on écrit ici \(\mathfrak{N}\) pour l'annulateur de \(\Omega\) (pages 22 à 25), \(\mathfrak{a}\) pour le noyau d'une surjection \(A' \to A\) (pages 26 et 27), \(\mathfrak{q}\) pour un idéal de définition (pages 35 à 42). Un idéal premier « de corang \(n\) »³ est ici un premier \(\mathfrak{p}\) de dimension \(n\), c'est-à-dire tel que \(\dim A/\mathfrak{p} = n\). La « codim » d'un module, et la « codim. coh. » de la page 41, sont sa profondeur \(\operatorname{prof} M\), le plus petit \(i\) tel que \(H^i(M) \neq 0\) ; \(M\) de type fini est de Cohen-Macaulay de dimension \(n\) si \(\operatorname{prof} M = \dim M = n\). \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M)\) est la longueur de \(M_{\mathfrak{p}}\) sur \(A_{\mathfrak{p}}\), pour \(\mathfrak{p}\) minimal.

Lorsque \(\Omega_A\) intervient, on suppose qu'il existe, ce qui est le cas si \(A\) est complet ou quotient d'un anneau régulier (page 28), et, quand une démonstration le demande, que \(A\) est complet — « ce qui est loisible », dit la page 36.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Les théorèmes 1 et 3, le § 1 et sa « prop. 4, cor. 1 » sont cités et ne sont pas dans le dossier. L'énoncé du théorème 4 (page 18) ne se lit pas ; ce qu'on en sait vient de ses corollaires (page 20). Ne sont pas menés à terme : les « cas particuliers » de la page 4, le calcul de la page 7, la dualité topologique annoncée page 15, la récurrence de la proposition 14 (page 31), le corollaire sans verbe de la proposition 17 (page 34), les Problèmes A, B, C (pages 36 et 37), la démonstration de la page 42.

2–4

I. Cohomologie locale et cohomologie projective, via les cônes (pages 2 à 4)

Soient \(Y\) un préschéma noethérien, \(\mathcal{S}\) une \(\mathcal{O}_Y\)-Algèbre graduée quasi-cohérente à degrés \(\geqslant 0\), engendrée par \(\mathcal{S}_1\), qui est de type fini⁴ , \(X = \operatorname{Proj}(\mathcal{S})\), \(C = \operatorname{Spec}(\mathcal{S})\) le cône affine et \(X'\) le cône épointé, complémentaire du sommet. La projection \(p : X' \to X\) est affine et plate, et \[ X' \simeq \mathbf{V}(\mathcal{O}_X(1)) - \sigma(X) = \operatorname{Spec}_X\Bigl(\bigoplus_{j \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(j)\Bigr), \] où \(\sigma\) est la section nulle⁵ .

Soient \(Z\) un fermé et \(U\) un ouvert de \(X\), \(T = Z \cap U\) (localement fermé dans \(X\)), \(U' = p^{-1}(U)\), \(T' = p^{-1}(T)\), et \(F\), \(G\) deux \(\mathcal{O}_U\)-Modules quasi-cohérents, \(F\) de type fini. Alors \[ \boxed{\ \operatorname{Ext}^i_{T'}(U'; p^{*}F, p^{*}G) \simeq \bigoplus_{j \in \mathbf{Z}} \operatorname{Ext}^i_{T}(U; F, G(j))\ } \] où \(\operatorname{Ext}_T\) désigne les \(\mathrm{Ext}\) à supports dans \(T\)⁶ . En effet, \(p^{*}\) est exact et adjoint à gauche de \(p_{*}\), qui transforme donc les injectifs en injectifs ; \(p\) est affine, de sorte que \(p_{*}\) est exact sur les quasi-cohérents, et \(\Gamma_{T'} = \Gamma_T \circ p_{*}\). D'où \(\operatorname{Ext}^i_{T'}(U'; p^{*}F, p^{*}G) \simeq \operatorname{Ext}^i_T(U; F, p_{*}p^{*}G)\) et \(p_{*}p^{*}G = \bigoplus_j G(j)\) ; enfin, \(F\) étant cohérent et \(U\) noethérien, \(\operatorname{Ext}^i_T(U; F, -)\) commute aux sommes directes⁷ . C'est la forme, avec \(\mathrm{Ext}\) à supports, de ce qu'on appelle aujourd'hui la correspondance de Serre-Grothendieck entre cohomologie locale graduée du cône et cohomologie des tordus sur \(\operatorname{Proj}\)⁸ .

La page 3 localise sur \(Y\) et énonce le même isomorphisme pour les \(\underline{\operatorname{Ext}}\) relatifs à \(Y\) sur le cône affine \(C\), à supports dans l'adhérence \(\overline{T'}\) de \(T'\), puis compare les \(\mathrm{Ext}\) sur \(C\) à ceux du complété de \(C\) le long de \(\overline{T'}\), par une flèche \[ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{\widehat{T'}}(\widehat{C}; \widehat{F'}, \widehat{G'}) \longrightarrow \operatorname{Ext}^{\bullet}_{\overline{T'}}(C; \overline{F'}, \overline{G'}), \] une bijection « par localisation » sur les \(H^p(\overline{Z'} - \overline{R'}, -)\), et un lemme des cinq qui devait conclure. Presque tous les mots de liaison sont perdus, une marginale demande de « justifier » une compatibilité, et la page s'arrête sur l'annonce d'un lemme à dégager⁹ . La page 4 met face à face, terme à terme, deux paires de suites spectrales du local au global : \[ H^p\bigl(U, \underline{\operatorname{Ext}}^q_{T}(F, G(j))\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{T}(U; F, G(j)), \qquad H^p_T\bigl(U, \underline{\operatorname{Ext}}^q(F, G)(j)\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{T}(U; F, G(j)), \] et leurs analogues sur le cône, avec une note sur leur compatibilité aux graduations, et s'arrête sur « Cas particuliers lorsque \(F = \mathcal{O}_X\)… ».

6–15

II. Dualité locale pour Modules non quasi cohérents (pages 6 à 15)

6–7

Les \(\mathrm{Ext}\) sur un schéma formel affine (pages 6 et 7)

Proposition 1. Soient \(A\) un anneau adique noethérien (séparé et complet pour la topologie \(J\)-adique), \(\mathfrak{X} = \operatorname{Spf} A\), \(M\), \(N\) deux \(A\)-modules de type fini et \(\mathcal{M} = M^{\Delta}\), \(\mathcal{N} = N^{\Delta}\) les \(\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}\)-Modules cohérents associés. Alors, les \(\mathrm{Ext}\) étant pris dans la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}\)-Modules, \[ \operatorname{Ext}^i(\mathfrak{X}; \mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N). \]

Corollaire 2. \(\underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \operatorname{Ext}^i_A(M, N)^{\Delta}\).

La page donne deux démonstrations¹⁰ . La première passe par le corollaire : les \(\underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N})\) sont cohérents, la cohomologie d'un Module cohérent sur \(\operatorname{Spf} A\) est nulle en degré \(> 0\), donc la suite spectrale du local au global dégénère et \(\operatorname{Ext}^i(\mathfrak{X}; \mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq H^0(\mathfrak{X}, \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathcal{M}, \mathcal{N}))\). La seconde part d'une résolution de \(M\) par des modules libres de type fini, ou, autre procédé, de la platitude de \(\mathfrak{X} \to \operatorname{Spec} A\) : le complété commute à la formation des \(\underline{\operatorname{Ext}}\) de Modules cohérents, d'où \(\underline{\operatorname{Ext}}^i_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^i(\widetilde{M}, \widetilde{N})^{\wedge} = \operatorname{Ext}^i_A(M, N)^{\Delta}\), c'est le corollaire, et la proposition en prenant les sections.

La page 7 pose, pour \(\mathfrak{X}\) préschéma formel localement noethérien, \(Y\) fermé et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) cohérents, la suite spectrale \[ H^p_Y\bigl(\mathfrak{X}, \underline{\operatorname{Ext}}^q(\mathcal{F}, \mathcal{G})\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_Y(\mathfrak{X}; \mathcal{F}, \mathcal{G}), \] et la compare à \(\varprojlim_r \operatorname{Ext}^i_Y(\mathfrak{X}; \mathcal{F}, \mathcal{G}_r)\), où \(\mathcal{G}_r\) est, on le suppose, la réduction de \(\mathcal{G}\) modulo la puissance \(r\)-ième d'un Idéal de définition¹¹ .

8–8

Notes éparses (page 8)

Écrites à l'encre noire au verso d'un tapuscrit, elles touchent deux sujets. D'abord trois isomorphismes entre \(\mathrm{Ext}\) de schémas en groupes, à valeurs dans \({}_{\infty}\mu\) d'un côté et dans \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) de l'autre, pour trois parties \(U\), \(Y \subset S\) ; leurs indices se croisent sur la page, et nous ne les interprétons pas¹² .

Ensuite, pour un anneau de valuation discrète \(V\), de corps résiduel \(k\) et de corps des fractions \(K\), l'esquisse de la dualité locale en dimension \(1\) : la suite exacte \[ 0 \to H^0(M) \to M \to M \otimes_V K \to H^1(M) \to 0 \] est mise en regard, terme à terme, d'une suite d'\(\mathrm{Ext}\) de \(M\) dans \(V\), par des accouplements à valeurs dans \(I\) — en particulier \(M \otimes K\) contre \(\operatorname{Hom}_K(M_K, K)\), et \(H^1(M)\) contre \(\operatorname{Hom}(M, V)\) —, avec en note « \(\operatorname{Hom}(K, I) \simeq K\) » et la formule \(\operatorname{Ext}_Y(M, A) \simeq \operatorname{Hom}(H^i_Y(X, M), I)\), dont les degrés manquent¹³ .

10–10

L'énoncé, et la réduction (page 10)

Soient \(A\) un anneau local noethérien régulier complet de dimension \(n\), \(X = \operatorname{Spec} A\), \(x\) son point fermé, \(I = H^n_x(\mathcal{O}_X)\), et \(F\) un \(\mathcal{O}_X\)-Module quelconque, pas nécessairement quasi-cohérent. Le cup-produit \[ H^i_x(F) \times \operatorname{Ext}^{n-i}(X; F, \mathcal{O}_X) \to H^n_x(\mathcal{O}_X) = I \] donne des homomorphismes \[ \varphi^{i}_F : \operatorname{Ext}^{n-i}(X; F, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \operatorname{Hom}(H^i_x(F), I). \] La page affirme que ce sont des isomorphismes pour tout \(i\) et tout \(F\). Ce n'est vrai que pour \(n \leqslant 1\) ; les pages 14 et 15 le découvrent pour \(n = 2\)¹⁴ .

Tout \(\mathcal{O}_X\)-Module est quotient d'une somme de Modules \(\mathcal{O}_{U,X} = i_{!}(\mathcal{O}_U)\), où \(i : U \to X\) est l'inclusion d'un ouvert, qu'on peut prendre de la forme \(X_f\) ; les deux membres sont des foncteurs cohomologiques contravariants qui changent les sommes en produits. La page ramène la question, par dévissage, aux \(F = \mathcal{O}_{U,X}\), \(U = X_f\), pour lesquels \(\operatorname{Ext}^{j}(X; \mathcal{O}_{U,X}, \mathcal{O}_X) = H^j(U, \mathcal{O}_U)\) est nul pour \(j > 0\) (\(U\) est affine) et vaut \(A_f\) pour \(j = 0\). L'énoncé équivaut donc, pour ces \(U\), à \[ H^i_x(\mathcal{O}_{U,X}) = 0 \quad (i \neq n), \qquad D\bigl(H^n_x(\mathcal{O}_{U,X})\bigr) \simeq A_f \] par l'homomorphisme canonique. Pour \(U = X\) c'est la dualité locale ordinaire pour \(A\) ; il reste les \(U \neq X\).

10–11

Dimensions \(0\) et \(1\) : la dualité tient (pages 10 et 11)

Pour \(n = 0\), l'énoncé est une tautologie. Pour \(n = 1\), \(A\) est un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\), \(I = K/A\), et l'on a l'autodualité \(\operatorname{Hom}_A(K, K/A) \simeq K\). L'espace \(X\) a deux points, \(x\) et le point générique, et la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-Modules est équivalente à celle des triplets \((M_0, M_1, u)\) formés d'un \(A\)-module \(M_0 = F_x\), d'un \(K\)-espace vectoriel \(M_1\) (la fibre générique) et d'une application \(A\)-linéaire \(u : M_0 \to M_1\). On a \[ H^0_x(F) = \operatorname{Ker} u, \qquad H^1_x(F) = \operatorname{Coker} u, \qquad H^0(X, F) = M_0, \quad H^i(X, F) = 0 \ (i > 0). \] La résolution injective \(\mathcal{O}_X \to \underline{K}_X \to \underline{K}_X/\mathcal{O}_X\) donne \[ \operatorname{Ext}^{\bullet}(X; F, \mathcal{O}_X) = H^{\bullet}\bigl( \operatorname{Hom}_K(M_1, K) \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M_0, K/A) \bigr), \] le complexe étant placé en degrés \(0\) et \(1\), la flèche étant \(g \mapsto g \circ u \bmod A\). Les homomorphismes de dualité deviennent \[ \varphi^0 : \operatorname{Ext}^0 \to \operatorname{Hom}(\operatorname{Coker} u, K/A), \qquad \varphi^1 : \operatorname{Ext}^1 \to \operatorname{Hom}(\operatorname{Ker} u, K/A), \] et ce sont des isomorphismes par les trois faits suivants :

1. a)tout homomorphisme d'un \(K\)-espace vectoriel dans \(A\) est nul, son image étant un sous-module divisible de \(A\) ; donc \(\varphi^0\) est injectif ;
2. b)\(\operatorname{Ext}^1_A(K, A) = 0\), parce que \(A\) est complet : dans la suite exacte \(\operatorname{Hom}(K, K) \to \operatorname{Hom}(K, K/A) \to \operatorname{Ext}^1(K, A) \to 0\), la première flèche est surjective, car \(\operatorname{Hom}(K, K/A) \simeq \widehat{K} = K\). Tout homomorphisme \(M_1 \to K/A\) se relève donc en \(M_1 \to K\) (automatiquement \(K\)-linéaire), et \(\varphi^0\) est surjectif ;
3. c)\(K/A\) est injectif : tout homomorphisme \(\operatorname{Ker} u \to K/A\) s'étend à \(M_0\), et \(\varphi^1\) est surjectif ; un homomorphisme \(M_0 \to K/A\) nul sur \(\operatorname{Ker} u\) se factorise par \(u(M_0) \subset M_1\), s'étend à \(M_1\), se relève à \(K\) par b), et vient donc de \(\operatorname{Hom}(M_1, K)\) : \(\varphi^1\) est injectif¹⁵ .

La dualité locale vaut donc, en dimension \(1\), pour tous les \(\mathcal{O}_X\)-Modules — à condition que \(A\) soit complet, c'est le fait b)¹⁶ .

12–12

Brouillon (page 12)

La page 12, écrite au verso d'un tapuscrit, est un brouillon : des \(\operatorname{Ext}^i(K, A)\), et, en dimension \(2\), la résolution injective minimale de \(A\) régulier, \[ 0 \to A \to K \to \bigoplus_{\mathrm{ht}\,\mathfrak{p} = 1} K/A_{\mathfrak{p}} \to I \to 0, \] puis sa duale, qu'il écrit \(0 \to K \to {\prod}^{\wedge}\, \widehat{K}_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}(K, I) \to 0\), en nommant le terme du milieu « produit restreint », « i.e. adèles », avec, en regard, le carré \(A \to \prod \widehat{A}_{\mathfrak{p}}\), \(K \to \prod \widehat{K}_{\mathfrak{p}}\) et les mots « classes d'idèles », « classes d'idéaux »¹⁷ .

14–15

Dimension \(2\) : la dualité algébrique échoue (pages 14 et 15)

Soient \(n = 2\), \(f \in \mathfrak{m}\) non nul, \(U = X_f\), \(F = \mathcal{O}_{U,X}\), \(X' = X - \{x\}\), \(Y = V(f)\) et \(Y' = Y \cap X'\), ensemble fini et discret des points de hauteur \(1\) contenant \(f\), d'anneaux locaux \(\mathcal{O}_{x_i}\). Comme \(H^0(X, F) = H^0(X', F) = 0\), on a \(H^0_x(F) = H^1_x(F) = 0\) ; \(H^i_x(F) = 0\) pour \(i > 2\) ; et, puisque \(H^i(X, F) = 0\) pour \(i > 0\) (\(X\) est le seul ouvert contenant \(x\), de sorte que \(\Gamma(X, -)\) est la fibre en \(x\), foncteur exact), \(H^2_x(F) \simeq H^1(X', F)\). La suite exacte \(0 \to F \to \mathcal{O}_{X'} \to G \to 0\), où \(G\) est la restriction de \(\mathcal{O}\) à \(Y'\), donne \[ 0 \to A \xrightarrow{\ \alpha^0\ } \prod_i \mathcal{O}_{x_i} \xrightarrow{\ \partial\ } H^2_x(F) \xrightarrow{\ \alpha^1\ } I \to 0, \] avec \(\prod_i \mathcal{O}_{x_i} = \varinjlim_g A[g^{-1}]\), \(g\) parcourant les éléments tels que \((f, g)\) soit \(\mathfrak{m}\)-primaire. En dualisant, on obtient une suite exacte \(0 \to A \to D(H^2_x(F)) \to D(\prod_i \mathcal{O}_{x_i}) \to I \to 0\) et l'homomorphisme de dualité \(\varphi : A_f \to D(H^2_x(F))\). Le calcul explicite, \(h \mapsto [h][1/g]\), montre que le noyau de la flèche composée \(A_f \to D(\prod_i \mathcal{O}_{x_i})\) est l'image de \(A\), et \(\varphi\) est injectif ; mais son image est trop petite, et \(\varphi\) n'est pas surjectif. La raison, dit la page, est qu'il faut prendre les duaux topologiques, et non seulement algébriques : mettre sur \(\prod_i \mathcal{O}_{x_i}\) la topologie produit des topologies naturelles des anneaux locaux, sur \(H^2_x(F)\) la topologie quotient, et ne retenir que les homomorphismes continus dans \(I\) discret¹⁸ . La page s'arrête sur « Question : dualité… » et la question des \(\operatorname{Ext}^i(K, A)\).

L'énoncé correct qui ressort des pages 10 à 15 est donc : la dualité locale pour des \(\mathcal{O}_X\)-Modules arbitraires, avec des duaux algébriques, vaut en dimension \(\leqslant 1\) sur un anneau régulier complet et échoue en dimension \(2\) ; la version topologique est annoncée, non établie¹⁹ .

17–34

III. Notes antiques 1958 (pages 17 à 34)

La chemise, page 16, porte « Notes antiques 1958 (Caractérisation des Coh. Mac., des Gorenstein etc) ». La date est la sienne, et le mot « antiques » laisse penser que la chemise a été écrite plus tard que les notes ; Montpellier date le dossier « à partir de 1967-1968 ». Rien sur les feuillets ne permet de trancher²⁰ .

17–17

Le plan (page 17)

§ 1. Les foncteurs \(H^i_{\mathfrak{C}}\) — foncteurs \(A\)-linéaires (de modules et de modules topologiques) ; définition et premières propriétés des \(H^i_{\mathfrak{C}}(M)\) ; fonctorialité, y compris le cup-produit ; le cas d'un anneau local, avec la caractérisation des \(H^i\) et leurs relations avec la profondeur ; rappels sur les modules de Cohen-Macaulay ; résultats auxiliaires sur certains \(\operatorname{Ext}^i_A(N, M)\), \(M\) de Cohen-Macaulay ; cas particuliers.

§ 2. Foncteurs et modules dualisants (théorie locale). Le théorème de dualité locale — définition et premières propriétés ; extension du foncteur dualisant ; existence et unicité, exemples ; structure des \(H^i(M)\) ; module fondamental et théorème de dualité locale ; anneaux de Gorenstein.

§ 3. Les foncteurs \(H_i\) et les complexes dualisants.

\(H^i_{\mathfrak{C}}\) est la cohomologie locale à supports dans une famille \(\mathfrak{C}\)²¹ .

18–18

Le module fondamental (page 18)

Définition. Soit \(A\) un anneau local noethérien de dimension \(n\). Un \(A\)-module \(\Omega\) est un module fondamental s'il est de type fini et si \(D(\Omega) \simeq H^n(A)\).

Il est unique à isomorphisme près : \(\widehat{\Omega} \simeq D(D(\Omega)) \simeq D(H^n(A))\) ne dépend que de \(A\), et deux modules de type fini de complétés isomorphes sont isomorphes. On le note \(\Omega_A\). Il existe si \(A\) est complet : on prend \(D(H^n(A))\), de type fini par la dualité de Matlis puisque \(H^n(A)\) est artinien. Si \(A\) est régulier, \(\Omega_A = A\). Une addition encadrée ajoute : si \(A\) est de Cohen-Macaulay, module fondamental et module dualisant coïncident²² .

Théorème 4. Soit \(A\) local noethérien de dimension \(n\), muni d'un module fondamental \(\Omega\), et soit \(H^n(\Omega) \simeq H^n(A) \otimes \Omega \to I\) l'homomorphisme déduit d'un isomorphisme \(H^n(A) \simeq D(\Omega)\). La suite de l'énoncé ne se lit pas²³ .

19–20

La dualité locale (pages 19 et 20)

Le foncteur \(M \mapsto H^n(M)\) est exact à droite et commute aux limites inductives, donc \[ H^n(M) \simeq H^n(A) \otimes_A M \] pour tout \(M\) ; c'est le « complément au théorème 3 »²⁴ . Le cup-produit et l'homomorphisme \(H^n(\Omega) \to I\) donnent, pour tout \(M\) de type fini, des accouplements \[ H^p(M) \times \operatorname{Ext}^{n-p}(M, \Omega) \to H^n(\Omega) \to I, \qquad\text{d'où}\qquad \theta^p_M : H^p(M) \longrightarrow D\bigl(\operatorname{Ext}^{n-p}(M, \Omega)\bigr). \] En degré \(n\), \(\theta^n_M\) est la composée \(H^n(M) \simeq H^n(A) \otimes M \simeq D(\Omega) \otimes M \simeq D(\operatorname{Hom}(M, \Omega))\), donc un isomorphisme. Les deux membres sont des foncteurs cohomologiques covariants de \(M\) ; par récurrence descendante sur \(p\) et le lemme des cinq, appliqué à une présentation \(0 \to K \to L \to M \to 0\) avec \(L\) libre, on obtient :

Pour un entier \(k \leqslant n\), les \(\theta^p_M\) sont des isomorphismes pour tout \(p \geqslant k\) et tout \(M\) de type fini si et seulement si \(H^i(A) = 0\) pour \(k \leqslant i < n\).

Corollaire 1. Les \(\theta^p_M\) sont des isomorphismes pour tout \(p\) et tout \(M\) de type fini si et seulement si \(A\) est de Cohen-Macaulay (de dimension \(n\)). C'est le théorème de dualité locale²⁵ .

Corollaire 2. Si \(A\) est de Cohen-Macaulay, \(\operatorname{Ext}^i(k, \Omega) = 0\) pour \(i \neq n\) et \(\operatorname{Ext}^n(k, \Omega) \simeq k\). En effet, \(\operatorname{Ext}^i(k, \Omega)\) est de longueur finie et son dual est \(H^{n-i}(k)\), nul si \(i \neq n\) et égal à \(k\) si \(i = n\).

Corollaire 3. Si \(A\) est de Cohen-Macaulay, \(\Omega\) est un module de Cohen-Macaulay de dimension \(n\), \(H^i(\Omega) = 0\) pour \(i \neq n\), \(H^n(\Omega) \simeq I\), et \[ \operatorname{Ext}^i(\Omega, \Omega) = 0 \quad (i \neq 0), \qquad \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A. \]

21–21

Démonstration du corollaire 3, et deux corollaires de plus (page 21)

Par le corollaire 2, \(\operatorname{Ext}^i(k, \Omega) = 0\) pour \(i < n\), donc \(\operatorname{prof} \Omega \geqslant n\), et \(\Omega\) est de Cohen-Macaulay de dimension \(n\) ; \(H^i(\Omega) = 0\) pour \(i < n\). La dualité pour \(M = \Omega\) donne \(H^i(\Omega) \simeq D(\operatorname{Ext}^{n-i}(\Omega, \Omega))\), d'où \(\operatorname{Ext}^{j}(\Omega, \Omega) = 0\) pour \(j > 0\), et, pour \(i = n\), \(D(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)) \simeq H^n(\Omega)\). Que \(H^n(\Omega) \simeq I = D(A)\) résulte du théorème 1 et du corollaire 1²⁶ ; d'où \(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A\), et l'argument de Nakayama de la page 24 (ci-dessous) montre que l'isomorphisme est l'application canonique : tout endomorphisme de \(\Omega\) est la multiplication par un scalaire, déterminé de façon unique ; a fortiori, \(\Omega\) est fidèle.

Corollaire 4. Si \(A\) est de Cohen-Macaulay, \(\Omega_A\) est de dimension injective \(n\) : \(\operatorname{Ext}^i(M, \Omega) = 0\) pour \(i > n\) et tout \(M\). Il suffit de le voir pour \(M\) de type fini, et c'est la dualité : \(\operatorname{Ext}^i(M, \Omega)\) est dual de \(H^{n-i}(M) = 0\).

Corollaire 5. Soient \(A\) de Cohen-Macaulay de dimension \(n\) et \(M\) de type fini. Alors \[ \operatorname{prof} M > k \iff \operatorname{Ext}^i_A(M, \Omega) = 0 \ \text{pour}\ i \geqslant n - k, \] et, si \(\dim M = d\), \(M\) est de Cohen-Macaulay si et seulement si \(\operatorname{Ext}^i_A(M, \Omega) = 0\) pour \(i \neq n - d\)²⁷ .

22–25

L'accouplement \(\mathfrak{D}\) et l'annulateur de \(\Omega\) (pages 22 à 25)

On ne suppose plus \(A\) de Cohen-Macaulay. Soit \(\Omega\) un module fondamental pour \(A\), muni d'un isomorphisme \(\mathfrak{D}_1 : H^n(A) \xrightarrow{\sim} D(\Omega)\), c'est-à-dire d'un accouplement \[ \mathfrak{D} : H^n(\Omega) = H^n(A) \otimes \Omega \longrightarrow I, \qquad \mathfrak{D} \in D(H^n(\Omega)), \] ou encore d'un isomorphisme \(\mathfrak{D}_2 : \widehat{\Omega} \xrightarrow{\sim} D(H^n(A))\) (ici le chapeau est le complété). Pour \(M\) de type fini on en tire \[ \mathfrak{D}_{1,M} : H^n(M) \xrightarrow{\sim} D(\operatorname{Hom}(M, \Omega)), \qquad \mathfrak{D}_{2,M} : \operatorname{Hom}(M, \Omega)^{\wedge} \xrightarrow{\sim} D(H^n(M)), \] qui se réduisent à \(\mathfrak{D}_1\), \(\mathfrak{D}_2\) pour \(M = A\). Pour \(M = \Omega\), l'identité de \(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)^{\wedge}\) correspond à \(\mathfrak{D} \in D(H^n(\Omega))\) ; la transposée de \(\mathfrak{D}\) est donc l'homomorphisme \(\widehat{A} \to \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)^{\wedge}\) qui envoie \(\lambda\) sur l'homothétie de rapport \(\lambda\).

Proposition 9. Supposons \(A\) complet²⁸ . L'annulateur de \(\Omega\) est l'intersection \(\mathfrak{N}\) des composantes primaires de \(0\) dans \(A\) dont le premier associé est de dimension \(n\) ; \(\Omega\) est aussi un module fondamental pour \(A/\mathfrak{N}\) ; les idéaux premiers associés à \(\Omega\) sont les idéaux premiers de dimension \(n\) de \(A\), et en ces premiers \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(\Omega) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\)²⁹ .

L'annulateur de \(\Omega\) est celui de \(D(\Omega) = H^n(A)\). La suite exacte \(0 \to \mathfrak{N} \to A \to A/\mathfrak{N} \to 0\), avec \(\dim \mathfrak{N} < n\), donc \(H^n(\mathfrak{N}) = 0\), donne \(H^n(A) \simeq H^n(A/\mathfrak{N})\), d'où la deuxième assertion ; \(\mathfrak{N}\) est le plus grand idéal de \(A\) de dimension \(< n\).

Corollaire 1. L'image de \(\mathfrak{D}\) est l'annulateur de \(\mathfrak{N}\) dans \(I\), et \(\operatorname{Coker} \mathfrak{D} \simeq D(\mathfrak{N})\). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(\mathfrak{D}\) est surjectif ; (ii) \(\mathfrak{N} = 0\), i.e. tous les idéaux premiers associés à \(0\) dans \(A\) sont de dimension \(n\) ; (iii) \(\Omega\) est fidèle. En effet \(\mathfrak{N}\) est le noyau de \(A \to \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)\), transposée de \(\mathfrak{D}\).

Corollaire 2. \(\operatorname{Ker} \mathfrak{D} \simeq D\bigl(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)/A \cdot \mathrm{id}_{\Omega}\bigr)\), et les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(\mathfrak{D}\) est injectif ; (i bis) \(H^n(\Omega)\) est comonogène ; (ii) tout endomorphisme de \(\Omega\) est une homothétie ; (ii bis) \(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)\) est monogène. La formule vient de la dualité ; (i) \(\Leftrightarrow\) (ii bis) \(\Leftrightarrow\) (i bis), (ii) \(\Rightarrow\) (ii bis) est trivial, et (ii bis) \(\Rightarrow\) (ii) parce que, si \(\operatorname{Hom}(M, M)\) est monogène pour \(M\) de type fini, le lemme de Nakayama montre que \(\mathrm{id}_M\) en est un générateur.

Corollaire 3. Équivalent : (i) \(\mathfrak{D}\) est bijectif ; (ii) \(H^n(\Omega) \simeq I\) ; (iii) \(A \to \operatorname{Hom}(\Omega, \Omega)\) est un isomorphisme ; (iv) \(\operatorname{Hom}(\Omega, \Omega) \simeq A\). Alors tous les premiers associés de \(A\) sont de dimension \(n\).

Corollaire 4. Les conditions du corollaire 3 sont remplies si (a) \(A\) est de Cohen-Macaulay — c'est le corollaire 3 du théorème 4, page 20 —, ou si (b) \(A\) est normal. Dans le cas (b), \(A\) est intègre, la condition du corollaire 1 est remplie, et \(\Omega\), sans torsion et de rang \(1\), a son anneau d'endomorphismes contenu dans le corps des fractions \(K\) ; fini sur \(A\), il est contenu dans la clôture intégrale, c'est-à-dire dans \(A\).

Question. Les conditions du corollaire 2 sont-elles toujours remplies, au moins quand les premiers associés à \(0\) sont tous de dimension \(n\) ? La page répond non, par un anneau local intègre de dimension \(2\) dont les localisés de hauteur \(1\) sont unibranches, pour lequel \[ \operatorname{Hom}_A(\Omega, \Omega) = \bigcap_{\mathrm{ht}\,\mathfrak{p} = 1} A_{\mathfrak{p}} . \] Cette formule est juste pour un anneau local intègre de dimension \(2\) : le second membre est le plus petit anneau intermédiaire vérifiant la condition \((S_2)\) de Serre³⁰ . Elle diffère de \(A\) dès que \(A\) est de profondeur \(1\) ; par exemple pour \(A = k[[s^4, s^3t, st^3, t^4]]\), elle donne \(k[[s^4, s^3t, s^2t^2, st^3, t^4]]\), qui n'est pas monogène sur \(A\) : la réponse « non » est juste³¹ .

Proposition 10. Soit \(x \in \mathfrak{m}\) non diviseur de zéro dans \(A\), tel que \(x H^{n-1}(A) = H^{n-1}(A)\). Alors \(\Omega_A/x\Omega_A\) est un module fondamental pour \(A/xA\)³² .

26–28

Les anneaux quotients, et les modules \(\Omega_A^{(i)}\) (pages 26 à 28)

Démonstration de la proposition 10. \(\dim A/xA = n-1\), et la suite exacte de cohomologie locale de \(0 \to A \xrightarrow{x} A \to A/xA \to 0\) donne, compte tenu de l'hypothèse, \(H^{n-1}(A/xA) \simeq \operatorname{Ker}(x \mid H^n(A))\) ; comme \(H^n(A) \simeq D(\Omega)\), ce noyau est \(D(\Omega/x\Omega)\).

Corollaire. Si \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(x_1, \ldots, x_p\) une partie d'un système de paramètres, \(\Omega_A/(x_1, \ldots, x_p)\Omega_A\) est fondamental pour \(A/(x_1, \ldots, x_p)\).

Supposons maintenant \(A = A'/\mathfrak{a}\), quotient d'un anneau local de Cohen-Macaulay \(A'\) de dimension \(n'\) muni d'un module fondamental \(\Omega_{A'}\). Un \(A\)-module est un \(A'\)-module, avec la même cohomologie locale, et \(I\) s'identifie au sous-module de \(I'\) annulé par \(\mathfrak{a}\). La dualité locale sur \(A'\) donne, pour tout \(A\)-module \(M\) de type fini, \[ (1) \qquad H^i(M) \simeq D\bigl(\operatorname{Ext}^{n'-i}_{A'}(M, \Omega_{A'})\bigr), \] en particulier \(H^n(A) \simeq D(\operatorname{Ext}^{n'-n}_{A'}(A, \Omega_{A'}))\), d'où \[ (2\ \text{bis}) \qquad \Omega_A \simeq \operatorname{Ext}^{n'-n}_{A'}(A, \Omega_{A'}) . \] ³³

Pour \(\mathfrak{p}\) premier de \(A\), image d'un premier \(\mathfrak{p}' \supset \mathfrak{a}\) de \(A'\), la formation de (2 bis) commute à la localisation : \((\Omega_A)_{\mathfrak{p}} \simeq \operatorname{Ext}^{n'-n}_{A'_{\mathfrak{p}'}} (A_{\mathfrak{p}}, (\Omega_{A'})_{\mathfrak{p}'})\). Si \((\Omega_{A'})_{\mathfrak{p}'}\) est fondamental pour \(A'_{\mathfrak{p}'}\) — par exemple si \(A'\) est régulier, car alors \(\Omega_{A'} = A'\) et \(A'_{\mathfrak{p}'}\) est régulier (Serre) —, la formule (2 bis) appliquée à \(A_{\mathfrak{p}} = A'_{\mathfrak{p}'}/\mathfrak{a}A'_{\mathfrak{p}'}\) montre que \((\Omega_A)_{\mathfrak{p}}\) est fondamental pour \(A_{\mathfrak{p}}\), pourvu que l'exposant soit le bon, c'est-à-dire que \(\dim A'_{\mathfrak{p}'} - \dim A_{\mathfrak{p}} = n' - n\). C'est le cas quand \(\mathfrak{p}\) contient un premier minimal de dimension \(n\), c'est-à-dire quand \(\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp} \Omega_A\) (proposition 9)³⁴ .

Proposition 11. Soit \(A\) un quotient d'un anneau local régulier. Alors \(A\) a un module fondamental \(\Omega\), et pour tout premier \(\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp} \Omega\) — en particulier pour tout \(\mathfrak{p}\) si \(A\) est équidimensionnel —, \(\Omega_{\mathfrak{p}}\) est fondamental pour \(A_{\mathfrak{p}}\)³⁵ .

Une note demande une démonstration directe, sans passer par l'interprétation³⁶ . Puis :

Lemme. Avec \(A'\) régulier de dimension \(n'\) et \(M\) de type fini sur \(A\), on a \(\operatorname{prof} M \geqslant k\) si et seulement si \(\operatorname{Ext}^{n'-i}_{A'}(M, \Omega_{A'}) = 0\) pour \(0 \leqslant i < k\)³⁷ .

Corollaire. \(A\) est de Cohen-Macaulay si et seulement si \(\operatorname{Ext}^{n'-n+i}_{A'}(A, \Omega_{A'}) = 0\) pour \(i > 0\).

Posons \[ (13) \qquad \Omega_A^{(i)} = \operatorname{Ext}^{n'-n+i}_{A'}(A, \Omega_{A'}), \qquad\text{de sorte que}\qquad (13\ \text{bis}) \qquad D(\Omega_A^{(i)}) \simeq H^{n-i}(A) \] à isomorphisme non canonique près. Alors \(\Omega_A^{(0)} = \Omega_A\), et \(\Omega_A^{(i)} = 0\) pour tout \(i \geqslant 1\) si et seulement si \(A\) est de Cohen-Macaulay. Ce sont les modules de déficience de \(A\)³⁸ .

29–29

Une suite spectrale (page 29)

Lemme 6. Soient \(A' \to A\) un homomorphisme d'anneaux, \(N\) un \(A\)-module et \(M\) un \(A'\)-module. Il y a une suite spectrale \[ E_2^{p,q} = \operatorname{Ext}^p_A\bigl(N, \operatorname{Ext}^q_{A'}(A, M)\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{A'}(N, M). \] C'est la suite spectrale du foncteur composé \(\operatorname{Hom}_{A'}(N, -) = \operatorname{Hom}_A(N, -) \circ \operatorname{Hom}_{A'}(A, -)\), le second foncteur transformant injectifs en injectifs (il est adjoint à droite de la restriction des scalaires, qui est exacte)³⁹ .

Proposition 12. Soit \(A\) un quotient d'un anneau local de Cohen-Macaulay \(A'\) muni d'un module fondamental. Pour tout \(A\)-module \(M\) de type fini, il y a une suite spectrale \[ E_2^{p,q} = \operatorname{Ext}^p_A(M, \Omega_A^{(q)}) \Rightarrow D\bigl(H^{n-p-q}(M)\bigr) \] (à complétion près), et la forme encadrée sur la page, \(D(\operatorname{Ext}^p_A(M, \Omega_A^{(q)})) \Rightarrow H^{n-p-q}(M)\), s'en déduit en dualisant. C'est le lemme 6 avec \(N = M\) et \(\Omega_{A'}\) à la place de \(M\), suivi de (1). Elle « explique, en le généralisant, le théorème de dualité locale » : si \(A\) est de Cohen-Macaulay, seule la ligne \(q = 0\) subsiste⁴⁰ .

En marge, le corollaire 1 : si \(x \in \mathfrak{m}\) n'est diviseur de zéro ni dans \(A\) ni dans \(M\), on a \(\operatorname{Ext}^p_A(N, M) \simeq \operatorname{Ext}^{p-1}_{A/xA}(N, M/xM)\) pour tout \(A/xA\)-module \(N\) — c'est le lemme 6 appliqué à \(A \to A/xA\), et c'est ce qu'on appelle aujourd'hui le lemme de Rees⁴¹ .

30–34

6. Modules fondamentaux des anneaux de Cohen-Macaulay ; anneaux de Gorenstein (pages 30 à 34)

Dans ce paragraphe, \(M\) est un \(A\)-module de type fini et \(n = \dim A > 0\)⁴² . La page suppose \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) ; ses démonstrations utilisent l'isomorphisme \(\operatorname{Ext}^n(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^n(M))\) pour \(N\) de longueur finie, qui demande \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0\) pour tout \(i < n\), c'est-à-dire \(\operatorname{prof} M \geqslant n\) : c'est l'hypothèse sous laquelle nous énonçons⁴³ . Pour \(M \neq 0\), elle signifie que \(M\) est de Cohen-Macaulay de dimension \(n\).

Proposition 13. Sous ces hypothèses, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a')\(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) ;
2. b')\(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, M)\) est exact sur les modules de longueur finie ;
3. c')\(H^n(M)\) est injectif.

a') \(\Rightarrow\) b') par dévissage ; b') \(\Leftrightarrow\) c') parce que \(\operatorname{Ext}^n(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^n(M))\) et que \(H^n(M)\) est de \(\mathfrak{m}\)-torsion ; c') \(\Rightarrow\) a') : l'exactitude de \(\operatorname{Ext}^n(-, M)\) rend \(\operatorname{Ext}^{n+1}(-, M)\) exact à gauche, donc \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) \to H^{n+1}(M) = 0\) est injectif⁴⁴ .

Corollaire 1. Sous ces conditions, \(H^n(M) \simeq I^m\) pour un entier \(m\), \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k^m\), \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0\) pour \(i > n\), et \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) = m\, \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\) pour tout premier minimal \(\mathfrak{p}\) de dimension \(n\) (de \(\widehat{A}\) si \(A\) n'est pas complet)⁴⁵ .

Proposition 14. Sous ces conditions, \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(\widehat{M} \simeq \Omega_{\widehat{A}}^m\). Une « Remarque » qui la précède, serrée et en grande partie illisible, l'annonçait déjà pour \(\Omega^m\), en notant que l'hypothèse sur \(\operatorname{Ext}^{n-1}\) serait redondante dans b'). La page procède par récurrence sur \(n\), triviale pour \(n = 0\), et s'arrête⁴⁶ .

En marge, le corollaire 2 : jointes à \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(M) \leqslant \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\), les conditions précédentes équivalent à a) \(\operatorname{Ext}^n(k, M) = k\) et \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) ; b) \(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, M)\) est dualisant ; c) \(H^n(M) \simeq I\) — c'est le cas \(m = 1\). Et le corollaire 3 : elles sont entraînées par d) \(\operatorname{Ext}^n(k, M) = k\) et \(M\) fidèle, ou d bis) \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, M)\) comonogène et \(M\) fidèle.

Page 32, le corollaire 1 de la proposition 15 (numéro biffé) : pour \(M\) de Cohen-Macaulay de dimension \(n\), les conditions a), b), c) du corollaire 2 et d), d bis) du corollaire 3 sont équivalentes — elles disent que \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(M \simeq \Omega_A\) —, et équivalentes à

f) \(M/(x_1M + \cdots + x_nM)\) est comonogène, pour un système de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\) de \(M\) ;

car \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq \operatorname{Hom}(k, M/(x_1, \ldots, x_n)M)\). Une remarque se demande si « \(M\) de Cohen-Macaulay » peut y être remplacé par \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\).

Proposition 15. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (a)\(A\) est un module fondamental pour lui-même ;
2. (b)\(H^n(A) \simeq I\) ;
3. (c)\(H^n(A)\) est injectif ;
4. (d)\(H^n(A)\) est comonogène, et tous les idéaux premiers associés de \(\widehat{A}\) sont de dimension \(n\).

(a) dit \(D(A) = I \simeq H^n(A)\), c'est (b) ; (b) \(\Rightarrow\) (c) ; (c) donne \(H^n(A) \simeq I^m\), donc \(A^m\) fondamental, et la proposition 9 donne \(\mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A^m) = \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}}(A)\), d'où \(m = 1\) et (a). (a) \(\Rightarrow\) (d) par la proposition 9 ; réciproquement, sous (d), \(H^n(A)\) se plonge dans \(I\), donc \(\widehat{A}\) se surjecte sur \(D(H^n(A)) = \Omega_{\widehat{A}}\), avec pour noyau l'annulateur \(\mathfrak{N}\) de \(\Omega_{\widehat{A}}\), nul par la proposition 9⁴⁷ .

On appelle aujourd'hui ces anneaux quasi-Gorenstein⁴⁸ . La page 33 avait d'abord posé : « Définition 2. Un tel \(A\) est dit anneau de Gorenstein », puis « Th. 5. Un anneau de Gorenstein est Coh. Mac. », et commencé une récurrence par un non-diviseur de zéro \(x\) ; tout est biffé, définition, théorème et démonstration. Le théorème biffé est faux : le cône affine (complété au sommet) sur une surface abélienne projectivement normale est quasi-Gorenstein — son module canonique est l'anneau lui-même, parce que le fibré canonique de la surface est trivial — et n'est pas de Cohen-Macaulay, parce que \(H^2_{\mathfrak{m}}\) de l'anneau contient \(H^1\) de la surface, qui est non nul⁴⁹ .

Proposition 16. Si \(A\) est de Cohen-Macaulay, les conditions de la proposition 15 équivalent aussi à : b') \(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A)\) est dualisant ; c') il est exact ; c'') \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, A) = \operatorname{Ext}^{n-1}(k, A) = 0\) ; d) \(\operatorname{Ext}^n(k, A) = k\). Une marge affirme qu'il est facile de voir que b') et c') entraînent déjà que \(A\) est de Cohen-Macaulay ; la page ne le montre pas, et nous ne l'avons pas vérifié⁵⁰ .

Corollaire 1. Elles équivalent encore à : e') \(\operatorname{Ext}^n(A/ \mathfrak{q}, A)\) est comonogène ; e'') \(A/(x_1, \ldots, x_n)A\) est comonogène, c'est-à-dire autodual.

Corollaire 2. Si \(A\) est quotient d'un anneau régulier \(A'\) de dimension \(n'\), elles équivalent à \(\operatorname{Ext}^{n'-n}_{A'}(A, A') \simeq A\).

Remarque. « Il se peut que dans toutes les conditions, l'hypothèse Cohen-Macaulay soit surabondante. » Elle ne l'est pas pour (a)–(d), on vient de le voir ; elle l'est pour c''), par les résultats sur les nombres de Bass déjà cités⁵¹ .

Définition 2. Un anneau de Gorenstein est un anneau local de Cohen-Macaulay qui est un module fondamental pour lui-même. Exemple : les anneaux réguliers.

Proposition 17. (i) Un localisé d'un anneau de Gorenstein (supposé quotient d'un anneau régulier) est de Gorenstein. (ii) De même pour le quotient par l'idéal engendré par une partie d'un système de paramètres.

Corollaire (inachevé sur la page) : le quotient d'un anneau régulier par un idéal engendré par une partie d'un système de paramètres — une intersection complète — est de Gorenstein⁵² .

35–39

IV. Récapitulation, théorème, problèmes (pages 35 à 39)

35–36

Les conditions (pages 35 et 36)

D'une écriture plus posée, la page 35 fixe \(M\) de type fini sur \(A\), un idéal de définition \(\mathfrak{q}\), un système de paramètres \(x_1, \ldots, x_n\), un premier \(\mathfrak{p}\) de dimension \(n\), \(N\) variable de longueur finie, et dresse la liste :

1. (i)\(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) et l'une des conditions a) \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) et \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k\) ; b) \(\operatorname{Ext}^n(-, M)\) dualisant ; c) \(\operatorname{Ext}^n(-, M)\) exact et \(0 < \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} M \leqslant \mathrm{lg}_{\mathfrak{p}} A\) ; b') \(H^n(M) \simeq I\) ; c') \(H^n(M)\) injectif et la même condition de longueur ; d) \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) et la même condition ;
2. (i bis)\(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\), \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k\) et \(M\) fidèle ;
3. (ii)\(\operatorname{Ext}^n(-, M)\) dualisant, ou exact avec la condition de longueur ;
4. (iii)\(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k\) et \(M\) fidèle ;
5. (iv)\(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, M) \simeq D(A/\mathfrak{q})\) et \(M\) fidèle — « peut-être suffit-il ici que [ce module] soit comonogène et \(M\) de support \(\operatorname{Spec}(A)\) » ;
6. (v)le socle de \(M/(x_1M + \cdots + x_nM)\) est de dimension \(1\), et \(M\) est fidèle⁵³ .

Toutes sont vraies si \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(M \simeq \Omega_A\). La page esquisse la réciproque et démontre les équivalences internes à (i) — sous la réserve faite plus haut sur \(\operatorname{Ext}^{n-1}\), c'est-à-dire pour \(M\) de Cohen-Macaulay de dimension \(n\) : b \(\Rightarrow\) b', c \(\Rightarrow\) c', a \(\Rightarrow\) b sont triviaux ; c' \(\Rightarrow\) b' parce que \(D(H^n(M)) \simeq \widehat{A}^m\) et que la condition de longueur force \(m = 1\) ; c \(\Rightarrow\) d par l'exactitude à gauche de \(\operatorname{Ext}^{n+1}(-, M)\) ; d \(\Rightarrow\) c' ; b' \(\Rightarrow\) \(M\) fidèle, puisque \(H^n(M) = I\) l'est. Enfin, pour \(M\) de Cohen-Macaulay, \(\operatorname{Ext}^n(k, M)\) est le socle de \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, M)\), d'où f) \(\Rightarrow\) e), et e) donne \(H^n(M) \subset I\) ; l'annulateur de \(H^n(M)\) est celui de \(M\), \(M\) étant de Cohen-Macaulay, et \(M\) étant fidèle il est nul, de sorte que, \(A\) supposé complet, \(H^n(M) = I\)⁵⁴ .

36–37

Les problèmes (pages 36 et 37)

Problème A. Si le socle de \(M/(x_1, \ldots, x_n)M\) est de dimension \(1\) et \(\dim M = n\), montrer que le socle de \(M\) est nul.

Problème B. Si le socle de \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, M)\) est de dimension \(1\) et \(\dim M = \dim A\), montrer que le socle de \(M\) et celui de \(A\) sont nuls.

Il en tirerait que \(M\) est de Cohen-Macaulay et que, \(A'\) désignant l'anneau des homothéties de \(M\), \(A'\) est de Cohen-Macaulay et \(M \simeq \Omega_{A'}\). Le problème A a une réponse négative : pour \(A = M = k[[x,y]]/(x^2, xy)\), de dimension \(1\), et le paramètre \(y\), \(M/yM = k[x]/(x^2)\) a un socle de dimension \(1\), et \(x\) est un élément non nul du socle de \(M\)⁵⁵ .

Problème C. Supposons \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = \operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) et \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \neq 0\) (c'est-à-dire \(H^n(M) \neq 0\)). Est-il vrai que \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(M \simeq \Omega_A^m\) ? Il y a un homomorphisme naturel \(M \to \Omega_A^m\), et il faut montrer que c'est un isomorphisme ; on peut aussi, par dévissage, se ramener à montrer que les socles de \(M\) et de \(A\) sont nuls.

Pour \(M\) de type fini, la réponse est oui, avec \(\widehat{M} \simeq \Omega_{\widehat{A}}^m\)⁵⁶ .

38–39

Le théorème (pages 38 et 39)

Théorème. Les implications marquées sur le diagramme des conditions (page 35) sont vraies. De plus, si dans (i) et (i bis) on remplace la condition \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) par « \(M\) est de Cohen-Macaulay », et si dans (v) on suppose de plus \(M\) de Cohen-Macaulay, alors (i), (i bis) et (v) deviennent équivalentes à : \(A\) est de Cohen-Macaulay et \(\widehat{M} \simeq \Omega_{\widehat{A}}\) — et de même (ii), (iii), (iv), qui pour \(M\) de Cohen-Macaulay en sont des variantes⁵⁷ .

Démonstration. \(M\) est équidimensionnel, donc (i) \(\Leftrightarrow\) (i bis). Récurrence sur \(n\) ; pour \(n = 0\), \(H^0(M) = M \simeq I\), et c'est trivial. Pour \(n > 0\) : \(H^n(M)\) est fidèle, donc \(M\) l'est ; \(A\) se plonge dans une somme finie de copies de \(M\), de sorte que les premiers associés de \(A\) sont parmi ceux de \(M\), tous de dimension \(n\) puisque \(M\) est de Cohen-Macaulay. Il y a donc un \(x \in \mathfrak{m}\) hors de tous, non diviseur de zéro dans \(A\) ni dans \(M\). Le lemme de Rees (page 29) donne \(\operatorname{Ext}^i_A(N, M) \simeq \operatorname{Ext}^{i-1}_{A/xA}(N, M/xM)\) pour tout \(A/xA\)-module \(N\), donc la condition (i a) passe à \(M/xM\) sur \(A/xA\), qui est encore de Cohen-Macaulay, et la récurrence s'applique : \(A/xA\) est de Cohen-Macaulay, donc \(A\) aussi, et \(M/xM\) est fondamental pour \(A/xA\). D'où \[ D(M/xM) = \operatorname{Ker}(x \mid D(M)) \simeq H^{n-1}(A/xA) = \operatorname{Ker}(x \mid H^n(A)) \] (proposition 10)⁵⁸ . L'homomorphisme naturel \(H^n(A) \to D(M)\), déduit de \(H^n(M) \simeq H^n(A) \otimes M \simeq I\), induit donc un isomorphisme sur les éléments annulés par \(x\) ; comme \(H^n(A)\) est de \(x\)-torsion, il est injectif, et par transposition \(\widehat{M} \to \Omega_{\widehat{A}}\) est surjectif. Il induit un isomorphisme sur les \(H^n\), de sorte que le noyau est de dimension \(< n\) ; \(M\) étant équidimensionnel, ce noyau est nul.

Pour (v), \(M\) de Cohen-Macaulay et fidèle : \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq \operatorname{Hom}(k, M/(x_1, \ldots, x_n)M) \simeq k\), ce qui ramène à (i bis) — « cf. § 1, prop. 4, cor. 1 », hors du dossier.

40–42

V. Seconde récapitulation, et le cas \(M = A\) (pages 40 à 42)

40–40

Les conditions, reprises (page 40)

La page 40, écrite à l'encre noire puis reprise à l'encre bleue et au crayon, fixe \(A\) quotient d'un anneau régulier \(A'\), et récrit la liste : (i) \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k\), \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = \operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) ; (ii) \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k\) et \(M\) fidèle ; (ii bis) \(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, M) \simeq D(A/\mathfrak{q})\) et \(M\) fidèle, avec trois questions — faut-il \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\), ou \(A\) équidimensionnel ? suffit-il que ce module soit comonogène ? ; (iii) \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) et l'une des conditions équivalentes \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\), \(H^n(M) \simeq I\), \(H^n(M)\) injectif, avec la condition de longueur ; (iv) \(\operatorname{Ext}^n(-, M)\) dualisant ; (iv bis) exact, avec la condition de longueur ; (v) « faible » : le socle de \(M/\sum x_iM\) est de dimension \(1\) et \(M\) est fidèle⁵⁹ . La conclusion visée est encadrée : « \(A\) est C.-M., et \(M\) est \(\simeq \Omega_A\) ».

Puis le problème, encadré :

Pb. Si \(M \neq 0\), \(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, M) = 0\) et \(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, M) = 0\) (ou \(H^n(M)\) injectif), \(A\) est-il de Cohen-Macaulay avec \(M \simeq \Omega_A^m\) ?

C'est le problème C, sans l'hypothèse \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \neq 0\) ; pour \(M\) de type fini la réponse est encore oui, \(A\) étant ici quotient d'un anneau régulier⁶⁰ .

41–41

L'exactitude des foncteurs \(\mathrm{Ext}\) (page 41)

Proposition. Soit \(M\) un \(A\)-module. Si le foncteur \(N \mapsto \operatorname{Ext}^i(N, M)\), sur les modules \(N\) de longueur finie, est exact à gauche — il change une suite exacte \(0 \to N' \to N \to N'' \to 0\) en une suite exacte \(0 \to \operatorname{Ext}^i(N'', M) \to \operatorname{Ext}^i(N, M) \to \operatorname{Ext}^i(N', M)\) —, alors \[ \operatorname{Ext}^i(N, M) \simeq \operatorname{Hom}(N, H^i(M)). \] En effet, un foncteur contravariant exact à gauche sur les modules de longueur finie est représenté par \(\varinjlim_r \operatorname{Ext}^i(A/\mathfrak{m}^r, M) = H^i(M)\)⁶¹ .

Si le foncteur est exact, \(H^i(M)\) est injectif ; pour \(M\) de type fini avec \(\dim M \leqslant n\), ou bien il est nul (ce qui arrive pour \(i > \dim M\) ou \(i < \operatorname{prof} M\)), ou bien \(i = n\) et \(D(H^n(M)) \simeq \widehat{A}^m\). Alors \(M\) est fidèle, \(\operatorname{Ext}^n(k, M) \simeq k^m\), et, \(\operatorname{Ext}^{n+1}(-, M)\) étant à son tour exact à gauche, donc nul, \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = 0\) pour \(i > n\). Une addition à l'encre noire demande si \(A\) est alors de Cohen-Macaulay avec \(M \simeq \Omega_A^m\) : c'est encore le problème C⁶² .

Enfin, pour \(M\) quelconque, pas nécessairement de type fini : si \(N \mapsto \operatorname{Ext}^{i-1}(N, M)\) est exact à droite, le foncteur \(\operatorname{Ext}^i(-, M)\) est exact à gauche, et donc \(\operatorname{Ext}^i(k, M) = \operatorname{Hom}(k, H^i(M))\) est nul si et seulement si \(H^i(M) = 0\), \(H^i(M)\) étant de \(\mathfrak{m}\)-torsion⁶³ . La page s'arrête sur une suite \(0 \to M \to J \to M' \to 0\), début vraisemblable d'un décalage par un injectif.

42–42

Le cas \(M = A\) (page 42)

À l'encre gris-noir, la page récrit les conditions pour \(M = A\) :

1. (i)\(\operatorname{Ext}^n(k, A) \simeq k\) ;
2. (ii)\(\operatorname{Ext}^{n-1}(k, A) = 0\) ;
3. (iii)\(\operatorname{Ext}^{n+1}(k, A) = 0\) ;
4. (iii bis)\(\operatorname{Ext}^n(A/\mathfrak{q}, A) \simeq D(A/\mathfrak{q})\) ;
5. (iv)\(N \mapsto \operatorname{Ext}^n(N, A)\) est dualisant ; (iv bis) il est exact ;
6. (v)\(H^n(A) \simeq I\) ; (v bis) \(H^n(A)\) est injectif ; (v ter) \(H^n(A)\) est comonogène et \(A\) équidimensionnel ;
7. (vi)\(A/\sum x_iA\) est autodual ;
8. (vii)\(A \simeq \Omega_A\)⁶⁴ .

avec le schéma d'implications \[ \bigl[(\mathrm{iv\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv})\bigr] \Rightarrow \bigl[(\mathrm{vii}) \Leftrightarrow (\mathrm{v}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{v\ ter})\bigr] \Rightarrow (\mathrm{iii}), \qquad \bigl[(\mathrm{iv\ bis}) \Leftrightarrow (\mathrm{iv})\bigr] \Rightarrow (\mathrm{i}),\ (\mathrm{vi}). \] Par la proposition 15, le crochet central est juste à condition de lire (v ter) comme dans sa condition (d) corrigée. La flèche vers (iii), elle, ne vaut que si \(A\) est de Cohen-Macaulay⁶⁵ .

Sous (vii) écrit « \(A\) est C-M. et \(\Omega_A = A\) », la page entreprend de prouver, par récurrence sur \(n\), que (vii) entraîne que \(A\) est de Cohen-Macaulay — l'énoncé du théorème 5 biffé de la page 33. \(A\) est équidimensionnel puisque \(\Omega_A\) l'est ; soit \(x \in \mathfrak{m}\) non diviseur de zéro dans \(A = \Omega_A\). Il suffirait de montrer \[ \Omega_{A/xA} \simeq \Omega_A/x\Omega_A , \] car alors \(A/xA\) serait fondamental pour lui-même et la récurrence s'appliquerait. Pour le voir, \(A\) étant quotient d'un anneau régulier \(A'\), le lemme 6 appliqué à \(A \to A/xA\) et à \(\operatorname{Ext}_{A'}(-, A')\) donne une suite spectrale \[ \operatorname{Ext}^i_A\bigl(A/xA, \Omega_A^{(j)}\bigr) \Rightarrow \Omega^{(\ast)}_{A/xA}, \] dont seules les colonnes \(i = 0, 1\) sont non nulles ; d'où la suite exacte sur laquelle le dossier s'arrête : \[ 0 \to \operatorname{Ext}^1_A(A/xA, \Omega_A) \to \Omega_{A/xA} \to \operatorname{Hom}_A(A/xA, \Omega_A^{(1)}) \to 0 . \] Le premier terme est \(\Omega_A/x\Omega_A\). L'égalité voulue demande donc que \(x\) ne soit pas diviseur de zéro dans \(\Omega_A^{(1)}\), le module de déficience dual de \(H^{n-1}(A)\) (page 28) — et c'est exactement ce qui peut manquer. Pour le cône sur une surface abélienne, \(n = 3\), \(H^2(A)\) est de longueur finie et non nul, \(\Omega_A^{(1)}\) aussi, et aucun \(x \in \mathfrak{m}\) n'y est non diviseur de zéro : la démonstration ne peut pas aboutir, et l'énoncé est faux⁶⁶ . Avec l'hypothèse que \(A\) est de Cohen-Macaulay, \(\Omega_A^{(1)} = 0\), la suite donne l'isomorphisme, et l'on retrouve la proposition 10 : c'est la définition 2 de la page 34, qui exige Cohen-Macaulay, qui avait raison.