Cote n° 100 · batch 3 · pages 41–52 · Transcription · Bonne réduction des variétés abéliennes via bonne réduction de Barsotti-Tate Tp (A) (base quelconque) : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.).
Édition de démonstration

[Descente des schémas propres et plats : remarques]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets 42 et 44 n'en portent aucun. Le feuillet 42 enchaîne sur les conditions (i) à (iv) qui terminent le lot 2 (page 40).

42N.B. Si \(X_0\) est un schéma abélien et (ou seulement pro-abélien ?), alors ces conditions impliquent [équivalent à celle] que \(\hat{X}\) soit algébrisable, et dans (i) à (iv) [[…] […]] on peut supprimer la condition de projectivité. ? « équivalent à celle » est écrit au-dessus du mot biffé ; un second ajout interlinéaire, après « (i) à (iv) », ne se lit pas. Le « ? » est en marge gauche, en face de la première ligne.

Remarques. Soit \(S' \to S\) un morphisme [[…] […]] de descente effectif (\(S\) loc. noeth.). […] donc un morphisme de descente effective pour les schémas relatifs plats. un ajout encadré de deux lignes surmonte « un morphisme » ; on n'y lit que le mot « morphisme ».

Soit \(X'\) plat et propre […] sur \(S'\), avec donnée de descente relativement à \(S\), on […] se demande si la donnée de descente est effective.

a) Condition locale sur \(S\) […] on peut se réduire aux localisés \(\mathcal{O}_{S,s}\) de \(S\).

b) Moyennant une question de descente […] fid. […], complète, on est ramené au problème sur \(\hat{\mathcal{O}}_{S,s}\). […] […] […] de \(X_0\) […] […] \(\hat{\mathcal{O}}_{S,s}\) […] […] résiduel \(k\) […] […] […] descendre […] les fibres […] […]

c) […] […] que les fibres de \(X'/S'\) soient […] […] infinitésimaux […] soit lisse sur \(S'\) […] […] […] […] un […] […] complété […]. Alors […] un schéma formel \(\hat{X}\) sur \(\hat{S}\) qui descend \(\hat{X}'\). Conditions pour […] […] constantes la moitié inférieure du feuillet, à partir de b), est un premier jet très rapide, surchargé de ratures et d'ajouts interlinéaires ; on n'en donne que les fragments lisibles. La note marginale est à gauche, en face de c).

44d) Si on suppose [au lieu de la […]] qu'il existe \(S'' \to S'\) quasi-fini surjectif avec \(\bar{X}_{S'}\) […] projectif sur \(S'\), alors on démontre que […] […] pour tout \(s \in S\), […] tels que pour […] \(s' \in S'_s\), […] \(\mathrm{Pic}^{0}_{X'_n/S'_n}\) (\(S'_n = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{S',s'}/\mathfrak{m}_{s'}^{n+1}\)) […] plats, et que les \(X'_{s'}\) (\(s' \in S'_s\)) soient sans automorphismes infinitésimaux, il existe une extension finie étale \(T\) de \(\mathrm{Spec}\, \hat{\mathcal{O}}_{S,s}\) telle que la donnée de descente […] sur \(T'/T\) sur \(X'_{T'}\) […] […] […] […] \(X_T\) sur \(T\) ; […] […], […] […] […] […] que les […] \(X_{T_i}\), où les \(T_i\) sont les comp. irréductibles de \(T\), […] […] \((T_i)\) […] projectivité […]). l'ajout « au lieu de la … » est écrit au-dessus de la ligne, puis entouré ; le mot biffé après \(S'' \to S'\) pourrait être « quasi-fini ». On lit ensuite, écrit en bas de ligne, « (ce \(T'\) …) », puis « \(\mathrm{Spec}\, \hat{\mathcal{O}}_{S,s}\) » avec son chapeau.

Remarques. Soit donc \(S' \to S\) un morphisme propre […] effectif, avec \(S\) loc. noeth. Supposons qu'on ait sur \(S'\) un schéma propre et plat \(X'/S'\), un faisceau inversible \(\underline{L}'\) sur \(X'\), et une donnée de descente sur \((X', \underline{L}')\) rel. à \(S' \to S\). « propre et » est ajouté au-dessus de « plat ».

Alors Supposons de plus que pour tout \(s' \in S'\), \((X'_{s'}, \underline{L}'_{s'})\) n'ait pas d'automorphisme infinitésimal […] […] […] donnée de descente considérée […]. Alors la donnée […] […] est effective. Argument par modules formels…

Modèles de Néron et groupes \(p\)-divisibles

titre dactylographié et souligné en tête du feuillet 47, premier d'un tapuscrit de quatre feuillets (47, puis « - 2 - » à « - 4 - » sur 48 à 50), sans signature ni date. Le texte tapé est transcrit tel quel ; les annotations à l'encre bleue (les \(\eta\) que la machine ne portait pas, le trait ondulé qui marque les groupes \(p\)-divisibles, rendu \(\underset{\sim}{G}\), la lettre \(\mathcal{G}\) et le signe \(\prod\)) sont intégrées au texte, les autres signalées ; les notes au crayon sont données en « marginal ».

47Dans ce qui suit \(S\) est un trait de point générique \(\eta\) et de point fermé \(s\). Un \(S\)-groupe \(p\)-divisible \((G_n,\ n \in \mathbb{N})\) sera aussi désigné par le symbole \(\underset{\sim}{G}\). On [dé]signe par \(p\) un nombre premier fixé. la machine a tapé « séigne » ; « dé » est écrit à l'encre bleue au-dessus.

Théorème : Soient \(G\) un \(S\)-schéma en groupes, \(S\)-néronien, [dont la fibre générique est extension d'une variété abélienne par un tore] et \(\underset{\sim}{H}\) un \(S\)-groupe \(p\)-divisible. Alors tout morphisme \(u_\eta : (\underset{\sim}{H})_\eta \to G_\eta\) se prolonge de manière unique en un \(S\)-morphisme \(u : \underset{\sim}{H} \to G\). [ ] inutile les crochets droits autour de « dont la fibre … tore » sont au crayon, repris en marge sous la forme « [ ] » suivie d'un mot que l'on lit « inutile » sans certitude.

Lemme 1 : Supposons \(S\) hensélien. Soient \(G\) un \(S\)-schéma en groupes, \(S\)-néronien et, \(M\) un \(S\)-schéma en groupes fini et plat, \(\widetilde{M}\) sa partie connexe, \(u_K\) \(u_\eta : M_\eta \to G_\eta\) un homomorphisme. Alors, pour que \(u_\eta\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \(u : M \to G\), il faut et il suffit que \(u_\eta \mid \widetilde{M}_\eta\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \(\widetilde{u} : \widetilde{M} \to G\).

La nécessité est claire. Prouvons la suffisance. Considérons le groupe produit \(M \times_S G\) et le morphisme \[ v_\eta : M_\eta \times G_\eta \longrightarrow G_\eta, \qquad (m, g) \longmapsto u_\eta(m) + g . \] \(G\) commutatif ? Il nous suffit de montrer que \(v_\eta\) se prolonge en un morphisme \(v : M \times_S G \to G\), car la restriction de \(v\) au premier facteur \(M\) fournira le prolongement de \(u\). Soit \(P_\eta\) le noyau de \(v_\eta\) et \(P\) l'adhérence schématique de \(P_\eta\) dans \(M \times_S G\). Le lemme 1 résulte de la propriété néronienne de \(G\) et du lemme suivant : « \(G\) commutatif ? » est au crayon dans la marge gauche, en face de « produit \(M \times_S G\) ».

Lemme 2 : Le \(S\)-schéma en groupes \(M \times_S G/P\) [existe et] est lisse sur \(S\). « existe et » est ajouté au crayon au-dessus de la ligne précédente, relié par un trait à la place où il s'insère.

Vu l'hypothèse faite sur \(u_\eta\), le morphisme \(\widetilde{v}_\eta = v_\eta \mid \widetilde{M}_\eta \times G_\eta\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \[ \widetilde{v} : \widetilde{M} \times_S G \longrightarrow G, \qquad (\widetilde{m}, g) \longmapsto \widetilde{u}(\widetilde{m}) + g , \] de sorte que l'on a la suite exacte : \[ (1) \qquad 0 \to \operatorname{Ker} \widetilde{v} \to \widetilde{M} \times_S G \to G \to 0 . \] un trait de crayon en marge droite, en face de la suite (1).

48en fait il y a […] : \(\widetilde{M}\) ! note au crayon en haut du feuillet, à droite de « - 2 - », reliée par un trait à la première ligne ; lecture très incertaine.

Il en résulte que \(\operatorname{Ker}(\widetilde{v})\) est plat et que \(\widetilde{M} \times_S G/\operatorname{Ker}(\widetilde{v})\) est lisse. Par ailleurs, vu le choix de \(\widetilde{M}\), Le groupe \(M \times_S G / \widetilde{M} \times_S G = M/\widetilde{M}\) est étale, donc \(M \times_S G/\operatorname{Ker}(\widetilde{v})\) est lisse, comme extension de groupes lisses. On a évidemment \(\operatorname{Ker}(\widetilde{v}) \subset P\), de sorte que \(M \times_S G/P\) est bien lisse, comme quotient d'un groupe lisse.

Démonstration du théorème. L'unicité du prolongement est claire. Comme la propriété néronienne de \(G\) est conservée par passage à l'hensélisé, on peut supposer \(S\) hensélien. Quitte alors à remplacer \(\underset{\sim}{H}\) par sa partie connexe, on peut, compte tenu du lemme 1, supposer […] \(\underset{\sim}{H}\) connexe.

a) Cas où \(G\) est semi-stable. Soit \(\underset{\sim}{G}_\eta\) le groupe \(p\)-divisible défini par \(G_\eta\) et soit \(\underset{\sim}{G}'\) le \(S\)-groupe \(p\)-divisible obtenu à partir du schéma en groupes \(G^{\circ}\). On sait que \(\underset{\sim}{G}''_\eta = \underset{\sim}{G}_\eta/\underset{\sim}{G}'_\eta\) est [un] groupe \(p\)-divisible non ramifié [étale] sur \(S\), donc [et] se prolonge en un \(S\)-groupe \(p\)-divisible, \(\underset{\sim}{G}''\), étale sur \(S\). D'après Tate, le morphisme composé \(v_\eta : \underset{\sim}{H}_\eta \xrightarrow{u_\eta} \underset{\sim}{G}_\eta \to \underset{\sim}{G}''_\eta\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \(v : \underset{\sim}{H} \to \underset{\sim}{G}''\). Comme \(\underset{\sim}{H}\) est connexe et \(\underset{\sim}{G}''\) étale, \(v\) est nul. P Il en résulte que \(u_\eta\) se factorise à travers \(\underset{\sim}{G}'_\eta\), donc toujours d'après Tate, se prolonge en un \(S\)-morphisme \(u : \underset{\sim}{H} \to \underset{\sim}{G}'\) c.q.f.d. « donc » abusif « On sait » est entouré au crayon et relié à la note marginale ; « un » et « étale » sont écrits à l'encre bleue au-dessus de la ligne, « et » à l'encre bleue en fin de ligne à la place de « donc » biffé. Le second « Tate » est souligné deux fois.

b) Cas général. On sait qu'il existe une extension de traits \(S' \to S\), finie et plate, telle que, si \(\eta'\) est le point générique de \(S'\), le \(S'\) modèle de Néron \(\mathcal{G}'\) de \(G_\eta\), soit semistable. D'après a), le morphisme \(u_{\eta'} : \underset{\sim}{H}_{\eta'} \to \underset{\sim}{G}_{\eta'}\) se prolonge en un \(S'\)-morphisme \(u' : \underset{\sim}{H}_{S'} \to \mathcal{G}'\). Rappelons que le \(S\)-modèle de Néron de \(G_\eta\), c'est à dire \(G\), s'obtient à partir de \(\mathcal{G}'\) de la façon suivante (cf. note sur les modèles de Néron prop. 2.5) : On considère le \(S\)-groupe \(S\)-néronien \(\mathcal{G} = \prod_{S'/S} (\mathcal{G}'/S')\). Le groupe \(G_\eta\) s'identifie canoniquement à un sous-groupe de \(\mathcal{G}_\eta\) ; soit \(G_1\) l'adhérence schématique dans \(\mathcal{G}\) de \(G_\eta\). Alors \(G\) est le « lissifié » de \(G_1\). ? Cas où \(G_\eta\) est une V.A. seulement ! OK « On sait » est de nouveau entouré au crayon ; la note marginale, au crayon et encerclée, est en face des premières lignes de b) ; « OK » est ajouté dessous. Un petit « v » bleu surmonte « semistable ». Le « \(\mathcal{G}'\) » et le « \(\prod\) » sont écrits à l'encre bleue dans les blancs du tapuscrit.

49Ceci étant, il résulte de la définition de \(\prod_{S'/S}\) et de l'existence du prolongement \(u'\), que \(u_\eta\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \(u_1 : \underset{\sim}{H} \to G_1\). Il reste à voir que \(u_1\) se relève en un \(S\)-morphisme \(u : \underset{\sim}{H} \to G\). Comme \(\underset{\sim}{H}\) est connexe, il est loisible de supposer que \(p\) est la caractéristique résiduelle de \(S\). Or on a le : après « \(\underset{\sim}{H} \to G\) », un second \(G\) tapé en surcharge ; les flèches de ce feuillet sont complétées à l'encre bleue.

Lemme 3 : Si \(f : G \to G_1\) désigne le morphisme canonique, il existe \(n \geqslant 0\), tel que l'élévation à la puissance \(p^n\) dans \(G_1\) se factorise en : \[ G_1 \xrightarrow{\;g\;} G \xrightarrow{\;f\;} G_1 . \] (ceci a été démontré au cours du séminaire de l'an dernier). (qui induit isom. sur fibres gén.) note au crayon au-dessus de l'énoncé, reliée par une accolade à « morphisme canonique » ; « isom. » est une lecture probable.

On a alors le diagramme commutatif suivant, dans le quel la première colonne est exacte :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[d] & & \\
H_n \arrow[d] & & \\
\underset{\sim}{H} \arrow[dd, "p^n"'] \arrow[rr, "u_1"] & & G_1 \arrow[d, "g"] \arrow[dd, bend left=60, "p^n"] \\
& & G \arrow[d, "f"] \\
\underset{\sim}{H} \arrow[d] \arrow[urr, dashed, "u"] \arrow[rr, "u_1"'] & & G_1 \\
0 & &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné. Les flèches verticales de la colonne de gauche sont à l'encre bleue, la flèche \(u\) en pointillé ; l'arc \(p^n\) de \(G_1\) à \(G_1\), à droite, est au crayon.

Le morphisme \(g\,u_1\) s'annule évidemment sur \(H_n\) puisqu'il en est ainsi sur la fibre générique, donc il se factorise à travers \(\underset{\sim}{H} = \underset{\sim}{H}/H_n\), d'où l'existence du relèvement \(u\).

Remarques : La démonstration utilise à deux reprises le théorème de Tate, qui en toute rigueur n'est démontré que lorsque \(\eta\) est de caractéristique \(0\). La première fois, le groupe d'arrivée \(\underset{\sim}{G}''\) est étale et dans ce cas le théorème de Tate n'est pas très difficile. Par ailleurs, je sais maintenant prouver le théorème de Tate dans le cas où la partie connexe, sur la fibre générique, dans le groupe d'arrivée, est de type multiplicatif.

Corollaire. Soit \(G\) un \(S\) [\(\eta\)]-groupe \(S\)-néronien, dont la fibre générique est exten-

50sion d'une variété abélienne par un tore. Alors, pour que \(G\) es ait « bonne réduction » sur \(S\), il faut et il suffit que le groupe \(p\)-divisible \(\underset{\sim}{G}\) se prolonge en un \(S\)-groupe \(p\)-divisible. de car. rés. \(p > 0\) explicitez ce que ça veut dire la première note, au crayon et encerclée en tête du feuillet, est reliée par un trait à « sur \(S\) » ; la seconde, en marge gauche, est reliée par une accolade à « bonne réduction sur \(S\) ». Les guillemets autour de « bonne réduction » sont ajoutés à la main. Le tapuscrit s'arrête ici ; le reste du feuillet est vierge.

[Homomorphismes d'un groupe \(p\)-divisible dans un groupe algébrique]

titre de l'éditeur, entre crochets : les feuillets 51 et 52 n'en portent aucun. Encre bleue, écriture soignée.

51Lemme. Soient \(K\) un corps, \(G\) un groupe algébrique sur \(K\), \(M = (M(n))\) un groupe \(p\)-divisible (\(p\) un nb premier \(\neq\) car \(K\)), \(\varphi : M \to G\) un hom de groupes. Alors il existe un sous-schéma en groupe \(H\) de \(G\), extension d'une VA par un tore, tel que \(\varphi\) se factorise par \(H\). b) Si car. \(K =\) [On suppose que car \(K = p\), ou que \(K\) parfait, et que \(G\) ne contient pas de ss-groupe isomorphe à \(\mathbf{G}_a\).] la fin de la parenthèse sur \(p\) est biffée ; « Alors » est précédé d'un trait vertical. L'hypothèse entre crochets est un ajout encadré, relié par un trait à la fin de l'énoncé, à la place d'un « b) » biffé.

Dém. On a \(\varphi = (\varphi(n))\), avec \[ \varphi(n) : M(n) \longrightarrow G . \] Soit \(Z_n = \operatorname{Centr} \varphi(n)\). Les \(Z_n\) sont des sous-schémas en groupe formant une suite décroissante, donc stationnaire, soit \(Z\) la valeur commune. Évidemment \(\varphi\) se factorise par \(G\) \(Z\), et même par \(\operatorname{Centr}(Z)\). Cela nous ramène au cas où \(G\) est commutatif. Évidemment l'image composée \(M \to G \to G/G^{\circ}\) est nulle, donc on peut supposer \(G\) connexe.

1er Cas \(p = \mathrm{car.}\, K\). On a évidemment, pour tout \(\nu \geqslant 0\), que \(\varphi\) se factorise par \(p^\nu G\). Or pour \(\nu\) grand, on sait \(p^\nu G\) que \(p^\nu G\) est une extension d'une VA par un tore (à dégager en lemme, valable pour tout groupe algébrique commutatif sur un corps de car. \(p > 0\) ou [ou \(K\) parfait, \(G\) n'ayant pas de ss-groupe isom. à \(\mathbf{G}_a\)]). l'ajout final est écrit au-dessus de la ligne, en plus petit, au-dessus d'un « ou » biffé ; le mot après \(K\) se lit mal.

2ème Cas \(p \neq\) car \(K\), les \(M(n)\) sont alors étales. Alors on sait que \(G\) est ext. d'une VA. par un tore !

52Le groupe engendré [algébrique] par les \(\varphi(M(n))\) est donc défini […] un sous-groupe algébrique lisse de \(G\). D[…] deux lignes encadrées et biffées de traits obliques en tête du feuillet.

Supposons maintenant que \(G\) est un schéma en groupes Néronien sur un trait \(S\) de corps des fonctions \(K\), que \(M\) un groupe \(p\)-divisible, et \(\varphi_K : M_K \to G_K\). Je dis que \(\varphi_K\) se prolonge en \(\varphi : M \to G\) (évidemment unique).

Clair si \(p \neq\) car. résiduelle.

Supposons donc \(p =\) car. \(k\). Alors, ou bien car. \(K = p\), ou bien car. \(K = 0\) (donc \(K\) parfait) ; en tout cas, \(G_K\) n'a pas de ss-groupe isom. à \(\mathbf{G}_a\), puisque \(G_K\) admet un modèle de Néron. Donc on peut appliquer le lemme précédent, Il existe d'où un \(H_K \subset G_K\) par lequel se factorise \(\varphi\). Comme \(H_K\) est ext. d'une VA par un tore, \(H_K\) admet un modèle de Néron \(H\), et \(H_K \xrightarrow{i_K} G_K\) se prolonge par \(H \xrightarrow{i}\) \(K\). Le th. de Raynaud pour \(H\) implique que \(\psi_K : M_K \to H_K\) se prolonge en \(\psi : M \to H\). On gagne ! le but de \(i\) est écrit comme un \(K\) ; on attend \(G\).