Fonds Grothendieck, cote n° 100, pages 21–40

[Notes au pied d'un feuillet dactylographié]

titre de l'éditeur, entre crochets.

Le feuillet est une page dactylographiée en anglais, paginée « -0.9- », du même texte sur les quotients d'un schéma par l'action d'un groupe que le lot 1 rencontre aux pages 5 à 15 ; elle n'est pas de lui et n'est pas recomposée ici. Elle porte la fin d'une discussion des quotients catégoriques et géométriques (le cas d'un schéma normal algébrique sur un corps), le point (3) (quotient catégorique universel, condition (iv) de la définition 0.6, surjectivité, critère pour un quotient géométrique universel) et le point (4) (projection G \to S universellement ouverte : plate et de type fini, le cas d'un groupe algébrique, cf. SGA 4, le cas d'un S irréductible normal noethérien, « Chevalley »). Ses marques au crayon sont données ci-dessous ; au pied du feuillet, tête-bêche par rapport au texte dactylographié, quelques lignes de sa main à l'encre, traversées de trois longs traits courbes.

au point (4), « loc. » est ajouté au crayon, deux fois, au-dessus de « of finite type » ; le mot « type » est entouré, et en marge, en face : loc. loc. présentation

A - A' \qquad \struck{\ill{}}\ A' \quad \struck{A''_1}\,,\ A''_2 \qquad T_p(A''_1) \simeq T_p(A''_2) S - S' \rightrightarrows S'' \qquad S - T = T \sqcup_{\ill{}} T = T \sqcup T \qquad T \sqcup T \sqcup T \uncertain{\mathfrak{Y}} - Y' \qquad Y'' = Y' \sqcup Y' dans le dernier « T \sqcup T \sqcup T », les deux derniers T sont soulignés ; l'indice du premier \sqcup ne se lit pas.

[Descente des schémas abéliens par un épimorphisme propre]

titre de l'éditeur, entre crochets ; le feuillet 22 commence par « Lemme 1 ».

Lemme 1. Soit f : S' \to S un épimorphisme propre de schémas [loc. noethériens], et X X un schéma ~~non ramifié~~ formellement non ramifié sur S. Alors la suite \mathrm{Hom}_S(S, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_S(S', X) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_S(S'', X) est exacte, où S'' = S' \times_S S'. « propre » et « loc. » sont écrits au-dessus de la ligne ; les crochets autour de « loc. noethériens » sont de lui, et renvoient à la note entourée de la marge.

[\;] inutile si X loc. de t.f. ?

N.B. Le fait que f est un épimorphisme s'exprime par la condition que l'homomorphisme \mathcal{O}_S \longrightarrow f_*(\mathcal{O}_{S'}) est injectif.

Soit g' : S' \longrightarrow X tel que g' \mathrm{pr}_1 = g' \mathrm{pr}_2, il faut montrer que g' se factorise par S. Tout d'abord il se factorise par S en tant qu'application continue, soit g_0, et f^{-1}(g_0^{-1}(\mathcal{O}_X)) \simeq g'^{-1}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{S'} définit un hom g_0^{-1}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow f_*(\mathcal{O}_{S'}) ; l'hyp. g' p_1 = g' p_2 s'exprime par le fait que g_0^{-1}(\mathcal{O}_X) s'envoie dans \mathcal{A} = \mathrm{Ker}\bigl(f_*(\mathcal{O}_{S'}) \rightrightarrows \struck{\ill{}}\, h_*(\mathcal{O}_{S''})\bigr)

\begin{tikzcd} & & X \arrow[d] \\ S'' \arrow[r, "p_1"] \arrow[r, "p_2"'] \arrow[rr, bend right=40, "h"'] & S' \arrow[r, "f"] \arrow[ur, "g'"] & S \arrow[u, dashed, bend right=40, "g_0"'] \end{tikzcd}

croquis dans la marge gauche, en regard des lignes précédentes ; les deux flèches p_1, p_2 sont parallèles ; la flèche g_0 est pointillée.

donc g' se factorise par S' \longrightarrow \mathrm{Spec}(\mathcal{A}) = S'_1 \longrightarrow X . Or EGA III 3 indique aussitôt que S'_1 \to S' est fini radiciel, c'est d'ailleurs un épimorphisme car \mathcal{O}_S \hookrightarrow \struck{\ill{}}\ \mathcal{A} \subset f_*(\mathcal{O}_{S'}). On est donc ramené un épimorphisme fini, à prouver le lemme « fini » est ajouté au-dessus de « radiciel » ; le « S' » de « S'_1 \to S' » est peut-être un « S ».

Corollaire 1. Soit f : S' \to S un épimorphisme ~~loc. de t.f.~~ fermé de schémas , X ~~non ramifié~~ sur S ; ~~Alors si f fini~~ si on suppose f ~~fini~~ entier radiciel et S loc. noeth., ou X \to S loc. de t.f. Alors \mathrm{Hom}_S(S, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_S(S', X) est bijectif. la ligne est très reprise : « entier » en interligne au-dessus d'un « fini » biffé, « et S loc. noeth. » au-dessous ; une boucle renvoie « si on suppose f » à la fin de la ligne précédente. La lecture de l'ordre exact des conditions est incertaine.

Pour le voir, on est ramené : que injectif, surjectif. Soit g' : S' \to X ; comme S' \rightrightarrows S est un conoyau, prouvons que g se factorise par S. ~~Or g~~ épimorphisme, on est ramené, localisant au voisinage de s S, de s' local,

X' = X \times_S S' S', X'/S' est formellement net X' ; X' \to X ; g(S') = U ; x = g(s') \mathcal{O}_{X,x} \to \mathcal{O}_{S',s'} se factorise par \mathcal{O}_{S,s} ; Remplaçant X voisinage affine de x, on peut supposer X affine, X \to S g'(S') tout ce bloc est encadré et biffé d'un long trait ondulé et de traits horizontaux ligne à ligne ; on n'en donne que ce qui se lit.

croquis dans la marge gauche : \mathcal{O}_{X,x} au-dessus de \mathcal{O}_{S,s}, flèche \mathcal{O}_{S,s} \to \mathcal{O}_{X,x} vers le haut, \mathcal{O}_{S,s} \to \mathcal{O}_{S',s'} vers la gauche, et une flèche pointillée \mathcal{O}_{X,x} \dashrightarrow \mathcal{O}_{S',s'} en diagonale

Remplaçant X par l'image ; on peut supposer \mathcal{O}_{S,s} \mathcal{O}_{S'} \mathcal{O}_{S'}. Alors \mathcal{O}_{X,x} est donc entier sur \mathcal{O}_{S,s}, S' \to S ces deux lignes, en partie reprises dans le bloc biffé, sont écrites serrées sous lui ; leur liaison avec ce qui précède est incertaine.

Corollaire 2. Soit f un épimorphisme propre de schémas localement noethériens. Alors f est un morphisme de descente pour la catégorie des schémas abéliens relatifs. un trait vertical en marge gauche encadre l'énoncé.

Si A et B sont deux schémas abéliens sur S, on sait en effet que H = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B) est représentable, et est net sur S, donc il suffit d'appliquer le lemme 1.

Corollaire 3. Soit p un nombre premier, et soit f : S' \to S comme dans le cor. précédent. Alors f est un morphisme de descente pour la catégorie des gr schémas en groupes p-divisibles.

L'argument pr du lemme 1 nous ramène à prouver l'analogue du corollaire 1, prenant X = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B), pour A, B deux groupes p-divisibles. Il faut prouver que X est formellement net.

Soit f comme dans Cor. 2, (mais on suppose f un épim. effectif). On veut prouver que f est un morphisme de descente effective. Soit donc A' schéma abélien sur S', avec donnée de descente relativement à S' \to S, il faut prouver que cette donnée est effective.

a) Réduction au cas S local (= \mathrm{Spec}\,R) : triviale, par passage à la limite.

b) Réduction au cas S local complet : critère de descente fpqc de schémas abéliens de Raynaud. Mais il faut savoir que S'_2 \to S_2 est morphisme de descente pour la catégorie des schémas abéliens relatifs, et on ne peut directement appliquer le ~~lemme 1, ou~~ cor. 2, car S_2 n'est plus loc. noeth. ! Mais on s'en tire que puisqu'il est vrai que (comme on utilise ce qui a été dit dans le lemme 1) ~~est radiciel sur~~ \mathrm{Ker}\bigl(f_{2*}(\mathcal{O}_{S'_2}) \rightrightarrows h_{2*}(\mathcal{O}_{S''_2})\bigr) est radiciel sur \mathcal{O}_{S_2}, relation \mathcal{O}_S \to \mathrm{Ker}\bigl(f_*(\mathcal{O}_{S'}) \rightrightarrows h_*(\mathcal{O}_{S''})\bigr)

\begin{array}{ccccccccl} S & - & S' & = & S'' & \equiv & S''' & & \text{1-descente} \\ \mid & & \mid & & \mid & & \mid & & \\ S_1 & - & S'_1 & = & S''_1 & \equiv & S'''_1 & & \text{1-descente} \\ \parallel & & \parallel & & \parallel & & \parallel & & \\ S_2 & \underset{f_2}{-} & S'_2 & = & S''_2 & \equiv & S'''_2 & & \text{1-descente} \\ \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \\ S_3 & - & S'_3 & = & S''_3 & \equiv & S'''_3 & & \text{0-descente} \end{array} tableau dans la marge gauche, en regard de b) ; ses traits n'ont pas de pointes. Entre les deux dernières lignes, trois traits verticaux, le signe « \equiv » tourné ; le « f_2 » est écrit sous le premier trait de la troisième ligne. Les indices de la dernière ligne sont peu lisibles.

donnée grâce au lemme 1, donnée en 0-descente

~~c) Cas \dim S = 0 \mathrm{long}_A\, A'/A = 1~~ le paragraphe c) est encadré et biffé.

d) Construction d'un schéma (abélien) formel sur \mathrm{Spf}\,R, qui descend le schéma formel défini par A' (complété) ~~A'_3~~ . ~~Immédiat par c)~~ Facile.

d) Construction d'un schéma abélien formel.

\begin{array}{ccccccccc} & & & & \hat{A}' & & \hat{A}'' & & \hat{A}''' \\ M & \longleftarrow & S_0 & \longleftarrow & S'_0 & \leftleftarrows & S''_0 & & \\ \downarrow & & & & & & & & \\ T & \longleftarrow & \hat{S} & \longleftarrow & \hat{S}' & \leftleftarrows & \hat{S}'' & \Lleftarrow & \hat{S}''' \\[1ex] & & S_0 & - & S'_0 & = & S''_0 & \equiv & S'''_0 \end{array} croquis dans la marge gauche ; les \hat{A} sont écrits au-dessus des colonnes, sans flèches.

Notons d'abord que si S_0 = \mathrm{Spec}\,k (k corps résiduel) dans S'_0/S_0 une section, donc S'_0 \to S_0 est un morphisme de descente effective universelle, et on trouve un A_0 sur S_0 qui descend A'_0.

Commençons par prendre les complétés formels de S', S'', S''', A', A'', A''' relativement aux fibres en s, on trouve schéma abélien formel \hat{A}' sur \hat{S}', avec donnée de descente par \hat{S}' \to \hat{S}. On se ramène à descendre dans la catégorie des schémas abéliens formels. On introduit T = \mathrm{Spf}\,W(k) (W vecteurs de Witt) et M = schéma formel des modules de A_0 (M construit comme schéma formel). Un lemme facile qui est pratiquement trivial si S' fini sur S [donc \hat{S}', \hat{S}'', … des noethériens] dit que la donnée d'une extension formelle \hat{A}' de A'_0 = A_0 \otimes S'_0 [resp. \hat{A}'' de A''_0] équivaut à la donnée d'un T-morphisme \varphi' : \hat{S}' \to M [resp. \varphi'' : \hat{S}'' \to M, ~~\hat{S}''' \to M~~]. La donnée de descente sur \hat{A}' telle que l'on a sur A'_0 équivaut à la condition \varphi' \hat{p}_1 = \varphi' \hat{p}_2. Or on aussitôt (utilisant , triviale encore si S' fini sur S, et prenant th. de comparaison formel-algébrique en général) que la suite \hat{S} \longleftarrow \hat{S}' \leftleftarrows \hat{S}'' dans les schémas formels est exacte, donc il existe \varphi : \hat{S} \to M tel que \varphi \hat{f} = \varphi'. Cela signifie qu'il y a descente

\hat{A}' en un schéma formel abélien \hat{A}. Le th. de comparaison alg.-formel nous ramène à prouver que \hat{A} est algébrique. On est ainsi ramené à prouver le

Th. Soit R anneau local noeth. complet, S = \mathrm{Spec}\,R, \hat{A} un schéma abélien formel sur \hat{S} = \mathrm{Spf}\,R. Conditions équivalentes :

(i) \hat{A} algébrisable, i.e. \exists schéma abélien A sur S, tel que \hat{A} soit isom. à son complété formel ~~le long de A_s~~.

(ii) \exists morphisme propre surjectif f : S' \to S tel que l'image inverse \hat{A}' de \hat{A} sur \hat{S}' soit algébrique.

(iii) Pour tout ~~algèbre finie B sur A~~ quotient intègre B de A, de dim 1, si B' est la normalisée de B, et \hat{T}' = \mathrm{Spf}\,B', \hat{A}_{\hat{T}'} est algébrique. « quotient de A » : il faut sans doute lire R, l'anneau de base ; on garde la lettre du manuscrit. « schéma abélien formel » est une correction en interligne.

N.B.

~~N.B.~~

Dém. (i) \Rightarrow (ii) trivial. (ii) \Rightarrow (iii) On introduit T' = S' \times_S T, on voit que \hat{T}' \to \hat{T} « rend \hat{A}_{\hat{T}} algébrique ». Or on peut trouver, comme T est un trait complet ~~et fini~~, un autre trait T_1 fini sur T, et un T-morphisme T_1 \to T'. Donc \hat{A}_{\hat{T}_1} est algébrique, i.e. définit un schéma abélien A_{T_1} sur T_1. Ce dernier est muni d'une donnée de descente rel. à T_1 \to T [grâce au th. de comparaison], il suffit de voir que la donnée est effective — ce qui est évident, car T_1 \to T est fid. plat fini, et A_1 est projectif. ici T = \mathrm{Spec}\,B', sans que la page le redise.

~~(iii) \Rightarrow (i) (cas R réduit)~~

(iii) \Rightarrow (ii') \Bigl\{ \exists morphisme fini surjectif S' \to S, tel que \hat{A}_{\hat{S}'} soit algébrique.

Soit ~~N_n \neq P_n~~ N_n = \underline{\mathrm{NS}}_{A_n/S_n}, P_n = l'ouvert induit défini par les polarisations

Les P_n se recollent et forment un schéma formel \hat{P} sur \mathrm{Spf}\,R = \hat{S}, (réunion d'une famille dénombrable de schémas finis nets) P^{\alpha} \text{ sur } S ; \qquad \hat{P} = \coprod_{\alpha} \widehat{P^{\alpha}} Soit Z Z_{\alpha} = \mathrm{Im}(P^{\alpha} \to S).

L'hyp. (iii) signifie que pour tout B comme ci-dessus, il existe un S-morphisme T' \to P^{\alpha} ~~\mathrm{Spec}\,B'~~ pour un \alpha convenable, donc le pt générique x de T = \mathrm{Spec}\,B est dans Z_{\alpha}. Donc Z = \bigcup_{\alpha} Z_{\alpha} contient tous les x \in S tels que \dim \overline{\{x\}} = 1. Par un lemme général, il s'ensuit qu'il y a une suite finie des Z_{\alpha} qui recouvrent S. Nous prenons pour S' la somme des P^{\alpha} correspondants.

(ii') \Rightarrow ~~(i') (cas R réduit)~~ \hat{A}_{\hat{S}_1} est algébrique, si S_1 = S_{\mathrm{red}}. On peut supposer ainsi S réduit. Ensuite, faisons une extension étale finie S_1 \to S (et redescendre, grâce ce qui est possible par Raynaud) on peut supposer que

les extensions résiduelles de S' \to S sont triviales ~~, et que les composantes irréductibles de S sont géom. unibranches~~. Alors pour tt composant connexe S'_i de S', S'_i \to S est une immersion fermée. Si S est irréductible, une des immersions fermées est un isom. (car la somme des est surjective) et on conclut. ~~on utilise ensuite un~~ ~~Pour tt composant~~

Lemme. Soit \hat{X} schéma formel propre sur \hat{S} (S = \mathrm{Spec}\,R, R anneau loc. noeth. complet), soit S réduit. Supposons que pour tt composant irréductible (muni structure induite réduite) S_i de S, \hat{X} \times_{\hat{S}} \hat{S}_i soit algébrique. Alors \hat{X} est algébrique.

Facile par récurrence sur nb de composantes : S = S' \cup S'', irréductibles, on est ramené au cas où \hat{X}_{\hat{S}'} et \hat{X}_{\hat{S}''} algébriques, S' et S'' sous-schémas fermés, et proviennent de X' et X''. Alors X'_T \simeq X''_T (T = S' \cap S'') par th. de comparaison, et on recolle X' et X'' par cet isom. On voit facilement que X recollé marche.

(ii) \Rightarrow (i) : Cela résulte du lemme suivant ( résultat démontré en particulier ab. relatif ) : l'étiquette « (ii) \Rightarrow (i) » est lue telle quelle ; d'après la page 32, il s'agit de passer de (ii') au cas réduit.

Lemme. Soit \hat{X} schéma formel propre ~~lisse~~ sur \hat{S}, où S = \mathrm{Spec}\,R, R anneau local noeth. complet. Soit S' = S_{\mathrm{red}}, et supposons que \hat{X}_{\hat{S}'} soit algébrique. Alors \hat{X} l'est aussi.

On est ramené à prouver que si un idéal nilpotent, S_0 = V(J), J^2 = 0, et si \hat{X}_{\hat{S}_0} est algébrique, alors \hat{X} l'est aussi. On utilise la théorie de prolongement infinitésimal d'une structure lisse X_0/S_0 vers \hat{X}/\hat{S}, et

1°) L'obstruction à prolonger X_0 (resp. \hat{X}_0) en un X (resp. \hat{X}) lisse sur S (resp. \hat{S}) est dans « le même » groupe H^2(X_0, \mathcal{T}_{X_0/S_0} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} J) \simeq H^2(\hat{X}_0, \mathcal{T}_{\hat{X}_0/\hat{S}_0} \otimes_{\mathcal{O}_{\hat{S}_0}} \hat{J}) et moyennant cette identification, l'obstruction est la même.

2°) L'indétermination pour prolonger est dans « le même » groupe H^1(X_0, \mathcal{T} \otimes J) \simeq H^1(\hat{X}_0, \hat{\mathcal{T}} \otimes \hat{J}) . le lemme de la page 34 est pour un \hat{X} propre, « lisse » y étant biffé ; l'argument de cette page suppose la lissité.

Il reste à prouver la

Proposition. Soit S un schéma local (noethérien) ~~anneau local noeth. complet~~ , (Z_i)_{i \in I} une famille dénombrable ~~suite~~ de parties fermées de S, telles que Z = \bigcup Z_i contienne tt x \in S tel que \dim \overline{\{x\}} \leqslant 1. Alors il existe une partie finie J de I telle que \bigcup_{i \in J} Z_i = S. « schéma local » et « (noethérien) » sont écrits au-dessus d'une première rédaction biffée ; la fin de cette ligne biffée, « de dim \geqslant 1 », l'est aussi. Le I de « i \in I » surcharge une autre lettre.

Soit S = \mathrm{Spec}\,R. Si \dim S \leqslant 1, c'est trivial ( S est fini, Z = S). Si n = \dim S \geqslant 2, l'hyp. que disons qu'il existe un anneau de val. discrète complet V, tel que R soit fini sur V[[T_1, \ldots, T_n]] . Notons que la fin du feuillet, sous une grande accolade barrée d'un trait, ne se lit pas ; au-dessus, « annulés ».

Corollaire. Supposons que les Z_i soient rares dans S. Alors il existe un x \in S, avec \dim \overline{\{x\}} = 1, tel que x \notin \bigcup Z_i . un « le » isolé en tête du feuillet, au-dessus de « Corollaire ».

Remplaçant S par T = \mathrm{Spec}\,V[[T_1, \ldots, T_n]], on voit que les T_i = \mathrm{Im}(Z_i \to T) sont rares, et il suffit de trouver un x \in T, avec \dim \overline{\{x\}} = 1, tel que x \notin \bigcup T_i. (En effet, il existe alors un y \in S_x au-dessus de x nécessairement \dim \overline{\{y\}} = 1.) On remarque qu'il existe un x \in T provenant d'un V-hom V[[T_1, \ldots, T_n]] \longrightarrow V . \qquad \struck{\ill{}} En effet, l'ens. de ces hom. s'identifie à \mathfrak{m}^n (\mathfrak{m} = \mathrm{rad}(V)). Il a une structure d'espace métrique complet. Montrons que pour partie fermée rare Z de T, l'ens. des \varphi tels que V(\mathrm{Ker}\,\varphi) \subset Z est rare. En effet, on peut supposer ~~Z est défini~~ Z = V(f), f \in V[[T_1, \ldots, T_n]], f \neq 0, et |V(\mathrm{Ker}\,\varphi)| \subset |V(f)| (car V(\mathrm{Ker}\,\varphi) est intègre réduit) équivaut (comme V(\mathrm{Ker}\,\varphi) \subset V(f) \ \ldots \qquad f \in \mathrm{Ker}\,\varphi \ \ldots \qquad \varphi(f) = 0 ; i.e. f(\varphi_1, \ldots, \varphi_n) = 0 . Il est immédiat que c'est une partie fermée rare. « rares » est souligné dans l'énoncé. La parenthèse à droite de « Z = V(f) » est ajoutée d'une encre plus pâle, comme la ligne des points de suspension, qui sont de lui.

Remarque. ~~Supposons~~ Soit S = \mathrm{Spec}\,R un schéma local noeth. complet, \hat{X} un schéma formel propre plat sur \hat{S}, tel que H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \simeq k ( ). Supposons ~~\underline{\mathrm{Pic}}^0 soit lisse, soit que~~ aussi que \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k} (p.ex. \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_0/k} lisse) tels que les \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n} soient plats ~~soit que~~, et formons \underline{\mathrm{NS}}_{X_n/S_n} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/S_n} / \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n} , et P_n = \underline{\mathrm{NS}}^{+}_{X_n/S_n} \quad (\text{polarisations \uncertain{relatives}}) . schémas . Les P_n se recollent , et un schéma formel \hat{P} sur \hat{S}, définissant un schéma tel que \hat{P} = \coprod_{\alpha} \hat{P}_{\alpha} , les P_{\alpha} étant finis sur S, et connexes. Procédant comme plus haut, on trouve que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) \exists S' \to S propre surjectif, avec \hat{X}_{\hat{S}'} algébrisable et projectif sur S'.

(ii) \forall sous-schéma fermé T de S, de dim \leqslant 1, si T' est sa normalisée, \hat{X}_{\hat{T}'} est algébrisable et projectif sur \hat{T}'.

(iii) \exists morphisme fini surjectif S' \to S, tel que \hat{X}_{\hat{S}'} soit algébrisable et projectif.

(iv) Il existe un morphisme fini et surjectif S' \to S, tel que pour toute composante irréductible S'_i de S', avec str. réduite induite, \hat{X}_{\hat{S}'_i} soit algébriquement projectif. De plus, (iv), \hat{X}_{\hat{S}} est algébrique. « T \subset S » est ajouté au-dessus de « sous-schéma fermé » dans (ii) ; « fini » au-dessus de « surjectif » dans (iii).

~~() (iv) \exists morphisme fini surjectif~~ la dernière ligne et la moitié de l'avant-dernière sont biffées ; un crochet dans la marge les accompagne.

N.B. Cette condition telle que si \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k} lisse) S' \to S fini et plat. Car faisceaux note écrite de biais dans la marge gauche, reliée par une accolade aux conditions (iii) et (iv).

donc d'ailleurs effectivité en bas de la marge gauche, en face de la ligne biffée.