Cote n° 100, pages 21–40

Cote n° 100 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Bonne réduction des variétés abéliennes via bonne réduction de Barsotti-Tate Tp (A) (base quelconque) : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.).
Édition de démonstration

[Notes au pied d'un feuillet dactylographié]

titre de l'éditeur, entre crochets.

21Le feuillet est une page dactylographiée en anglais, paginée « -0.9- », du même texte sur les quotients d'un schéma par l'action d'un groupe que le lot 1 rencontre aux pages 5 à 15 ; elle n'est pas de lui et n'est pas recomposée ici. Elle porte la fin d'une discussion des quotients catégoriques et géométriques (le cas d'un schéma normal algébrique sur un corps), le point (3) (quotient catégorique universel, condition (iv) de la définition 0.6, surjectivité, critère pour un quotient géométrique universel) et le point (4) (projection \(G \to S\) universellement ouverte : plate et de type fini, le cas d'un groupe algébrique, cf. SGA 4, le cas d'un \(S\) irréductible normal noethérien, « Chevalley »). Ses marques au crayon sont données ci-dessous ; au pied du feuillet, tête-bêche par rapport au texte dactylographié, quelques lignes de sa main à l'encre, traversées de trois longs traits courbes.

au point (4), « loc. » est ajouté au crayon, deux fois, au-dessus de « of finite type » ; le mot « type » est entouré, et en marge, en face : loc. loc. présentation

\[ A - A' \qquad \struck{\ill{}}\ A' \quad \struck{A''_1}\,,\ A''_2 \qquad T_p(A''_1) \simeq T_p(A''_2) \] \[ S - S' \rightrightarrows S'' \qquad S - T = T \sqcup_{\ill{}} T = T \sqcup T \qquad T \sqcup T \sqcup T \] \[ \uncertain{\mathfrak{Y}} - Y' \qquad Y'' = Y' \sqcup Y' \] dans le dernier « \(T \sqcup T \sqcup T\) », les deux derniers \(T\) sont soulignés ; l'indice du premier \(\sqcup\) ne se lit pas.

[Descente des schémas abéliens par un épimorphisme propre]

titre de l'éditeur, entre crochets ; le feuillet 22 commence par « Lemme 1 ».

22Lemme 1. Soit \(f : S' \to S\) un épimorphisme propre de schémas [loc. noethériens], et \(X\) \(X\) un schéma non ramifié formellement non ramifié sur \(S\). Alors la suite \[ \mathrm{Hom}_S(S, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_S(S', X) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_S(S'', X) \] est exacte, où \(S'' = S' \times_S S'\). « propre » et « loc. » sont écrits au-dessus de la ligne ; les crochets autour de « loc. noethériens » sont de lui, et renvoient à la note entourée de la marge.

\([\;]\) inutile si \(X\) loc. de t.f. ?

N.B. Le fait que \(f\) est un épimorphisme s'exprime par la condition que l'homomorphisme \[ \mathcal{O}_S \longrightarrow f_*(\mathcal{O}_{S'}) \] est injectif.

Soit \[ g' : S' \longrightarrow X \] tel que \(g' \mathrm{pr}_1 = g' \mathrm{pr}_2\), il faut montrer que \(g'\) se factorise par \(S\). Tout d'abord il se factorise par \(S\) en tant qu'application continue, soit \(g_0\), et \(f^{-1}(g_0^{-1}(\mathcal{O}_X)) \simeq g'^{-1}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{S'}\) définit un hom \[ g_0^{-1}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow f_*(\mathcal{O}_{S'}) ; \] l'hyp. \(g' p_1 = g' p_2\) s'exprime par le fait que \(g_0^{-1}(\mathcal{O}_X)\) s'envoie dans \[ \mathcal{A} = \mathrm{Ker}\bigl(f_*(\mathcal{O}_{S'}) \rightrightarrows \struck{\ill{}}\, h_*(\mathcal{O}_{S''})\bigr) \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  & & X \arrow[d] \\
  S'' \arrow[r, "p_1"] \arrow[r, "p_2"'] \arrow[rr, bend right=40, "h"'] & S' \arrow[r, "f"] \arrow[ur, "g'"] & S \arrow[u, dashed, bend right=40, "g_0"']
\end{tikzcd}

croquis dans la marge gauche, en regard des lignes précédentes ; les deux flèches \(p_1\), \(p_2\) sont parallèles ; la flèche \(g_0\) est pointillée.

donc \(g'\) se factorise par \[ S' \longrightarrow \mathrm{Spec}(\mathcal{A}) = S'_1 \longrightarrow X . \] Or EGA III 3 indique aussitôt que \(S'_1 \to S'\) est fini radiciel, c'est d'ailleurs un épimorphisme car \(\mathcal{O}_S \hookrightarrow \struck{\ill{}}\ \mathcal{A} \subset f_*(\mathcal{O}_{S'})\). On est donc ramené […] un épimorphisme fini, […] à prouver le lemme « fini » est ajouté au-dessus de « radiciel » ; le « \(S'\) » de « \(S'_1 \to S'\) » est peut-être un « \(S\) ».

Corollaire 1. Soit \(f : S' \to S\) un épimorphisme loc. de t.f. fermé de schémas […], \(X\) non ramifié sur \(S\) ; Alors si \(f\) fini si on suppose \(f\) fini entier radiciel et \(S\) loc. noeth., ou \(X \to S\) loc. de t.f. Alors \[ \mathrm{Hom}_S(S, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_S(S', X) \] est bijectif. la ligne est très reprise : « entier » en interligne au-dessus d'un « fini » biffé, « et \(S\) loc. noeth. » au-dessous ; une boucle renvoie « si on suppose \(f\) » à la fin de la ligne précédente. La lecture de l'ordre exact des conditions est incertaine.

24Pour le voir, […] on est ramené […] : […] que […] […] injectif, […] surjectif. Soit \(g' : S' \to X\) […] ; comme \(S' \rightrightarrows S\) est un conoyau, prouvons que \(g\) se factorise par \(S\). Or […] \(g\) […] […] épimorphisme, on est ramené, localisant au voisinage de \(s\) […] \(S\), de \(s'\) local, […]

[…] […] \(X' = X \times_S S'\) […] \(S'\), […] […] […] […] \(X'/S'\) est formellement net […] \(X'\) ; […] \(X' \to X\) […] […] […] ; \(g(S') = U\) […] […] […] ; […] […] […] \(x = g(s')\) […] \(\mathcal{O}_{X,x} \to \mathcal{O}_{S',s'}\) […] se factorise par \(\mathcal{O}_{S,s}\) […] ; Remplaçant \(X\) […] […] voisinage affine de \(x\), on peut supposer \(X\) affine, […] \(X \to S\) […] […] \(g'(S')\) […] […] […] […] tout ce bloc est encadré et biffé d'un long trait ondulé et de traits horizontaux ligne à ligne ; on n'en donne que ce qui se lit.

croquis dans la marge gauche : \(\mathcal{O}_{X,x}\) au-dessus de \(\mathcal{O}_{S,s}\), flèche \(\mathcal{O}_{S,s} \to \mathcal{O}_{X,x}\) vers le haut, \(\mathcal{O}_{S,s} \to \mathcal{O}_{S',s'}\) vers la gauche, et une flèche pointillée \(\mathcal{O}_{X,x} \dashrightarrow \mathcal{O}_{S',s'}\) en diagonale

Remplaçant \(X\) par l'image […] […] […] ; on peut supposer […] […] \(\mathcal{O}_{S,s}\) […] […] […] \(\mathcal{O}_{S'}\) […] […] […] \(\mathcal{O}_{S'}\). Alors \(\mathcal{O}_{X,x}\) est donc entier sur \(\mathcal{O}_{S,s}\), […] \(S' \to S\) […] ces deux lignes, en partie reprises dans le bloc biffé, sont écrites serrées sous lui ; leur liaison avec ce qui précède est incertaine.

Corollaire 2. Soit \(f\) un épimorphisme propre de schémas localement noethériens. Alors \(f\) est un morphisme de descente pour la catégorie des schémas abéliens relatifs. un trait vertical en marge gauche encadre l'énoncé.

Si \(A\) et \(B\) sont deux schémas abéliens sur \(S\), on sait en effet que \(H = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B)\) est représentable, et est net sur \(S\), donc il suffit d'appliquer le lemme 1.

Corollaire 3. Soit \(p\) un nombre premier, et soit \(f : S' \to S\) comme dans le cor. précédent. Alors \(f\) est un morphisme de descente pour la catégorie des gr schémas en groupes \(p\)-divisibles.

L'argument pr du lemme 1 nous ramène à prouver l'analogue du corollaire 1, prenant \(X = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B)\), pour \(A, B\) deux groupes \(p\)-divisibles. Il faut prouver que \(X\) est formellement net.

26Soit \(f\) comme dans Cor. 2, (mais on suppose \(f\) un épim. effectif). On veut prouver que \(f\) est un morphisme de descente effective. Soit donc \(A'\) schéma abélien sur \(S'\), avec donnée de descente relativement à \(S' \to S\), il faut prouver que cette donnée est effective.

a) Réduction au cas \(S\) local (\(= \mathrm{Spec}\,R\)) : triviale, par passage à la limite.

[…] […] […]

b) Réduction au cas \(S\) local complet : critère […] de descente fpqc de schémas abéliens de Raynaud. Mais il faut savoir que \(S'_2 \to S_2\) est morphisme de descente pour la catégorie des schémas abéliens relatifs, et on ne peut directement appliquer le lemme 1, ou cor. 2, car \(S_2\) n'est plus loc. noeth. ! Mais on s'en tire […] […] […] que puisqu'il est vrai […] […] que (comme on utilise ce qui a été dit dans le lemme 1) […] est radiciel sur […] \[ \mathrm{Ker}\bigl(f_{2*}(\mathcal{O}_{S'_2}) \rightrightarrows h_{2*}(\mathcal{O}_{S''_2})\bigr) \] est radiciel sur \(\mathcal{O}_{S_2}\), […] […] […] relation […] \(\mathcal{O}_S \to \mathrm{Ker}\bigl(f_*(\mathcal{O}_{S'}) \rightrightarrows h_*(\mathcal{O}_{S''})\bigr)\) […]

\[ \begin{array}{ccccccccl} S & - & S' & = & S'' & \equiv & S''' & & \text{1-descente} \\ \mid & & \mid & & \mid & & \mid & & \\ S_1 & - & S'_1 & = & S''_1 & \equiv & S'''_1 & & \text{1-descente} \\ \parallel & & \parallel & & \parallel & & \parallel & & \\ S_2 & \underset{f_2}{-} & S'_2 & = & S''_2 & \equiv & S'''_2 & & \text{1-descente} \\ \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \vert\vert\vert & & \\ S_3 & - & S'_3 & = & S''_3 & \equiv & S'''_3 & & \text{0-descente} \end{array} \] tableau dans la marge gauche, en regard de b) ; ses traits n'ont pas de pointes. Entre les deux dernières lignes, trois traits verticaux, le signe « \(\equiv\) » tourné ; le « \(f_2\) » est écrit sous le premier trait de la troisième ligne. Les indices de la dernière ligne sont peu lisibles.

[…] donnée […] grâce au lemme 1, donnée […] […] en 0-descente

c) Cas \(\dim S = 0\) […] […] \(\mathrm{long}_A\, A'/A = 1\) […] […] […] le paragraphe c) est encadré et biffé.

d) Construction d'un schéma (abélien) formel sur \(\mathrm{Spf}\,R\), qui descend le schéma formel défini par \(A'\) (complété) […] \(A'_3\) […]. Immédiat par c) Facile.

28d) Construction d'un schéma abélien formel.

\[ \begin{array}{ccccccccc} & & & & \hat{A}' & & \hat{A}'' & & \hat{A}''' \\ M & \longleftarrow & S_0 & \longleftarrow & S'_0 & \leftleftarrows & S''_0 & & \\ \downarrow & & & & & & & & \\ T & \longleftarrow & \hat{S} & \longleftarrow & \hat{S}' & \leftleftarrows & \hat{S}'' & \Lleftarrow & \hat{S}''' \\[1ex] & & S_0 & - & S'_0 & = & S''_0 & \equiv & S'''_0 \end{array} \] croquis dans la marge gauche ; les \(\hat{A}\) sont écrits au-dessus des colonnes, sans flèches.

Notons d'abord que si \(S_0 = \mathrm{Spec}\,k\) (\(k\) corps résiduel) dans \(S'_0/S_0\) […] une section, donc \(S'_0 \to S_0\) est un morphisme de descente effective universelle, et on trouve un \(A_0\) sur \(S_0\) qui descend \(A'_0\).

Commençons par prendre les complétés formels de \(S'\), \(S''\), \(S'''\), \(A'\), \(A''\), \(A'''\) relativement aux fibres en \(s\), on trouve […] schéma abélien formel \(\hat{A}'\) sur \(\hat{S}'\), avec donnée de descente par \(\hat{S}' \to \hat{S}\). On se ramène à descendre dans la catégorie des schémas abéliens formels. On introduit \(T = \mathrm{Spf}\,W(k)\) (\(W\) vecteurs de Witt) et \(M =\) schéma formel des modules de \(A_0\) (\(M\) construit comme schéma formel). Un lemme facile […] qui est pratiquement trivial si \(S'\) fini sur \(S\) [donc \(\hat{S}'\), \(\hat{S}''\), … des […] noethériens] dit que la donnée d'une extension formelle \(\hat{A}'\) de \(A'_0 = A_0 \otimes S'_0\) [resp. \(\hat{A}''\) de \(A''_0\)] équivaut à la donnée d'un \(T\)-morphisme \(\varphi' : \hat{S}' \to M\) [resp. \(\varphi'' : \hat{S}'' \to M\), \(\hat{S}''' \to M\)]. La donnée de descente […] sur \(\hat{A}'\) telle que l'on a sur \(A'_0\) équivaut à la condition \(\varphi' \hat{p}_1 = \varphi' \hat{p}_2\). Or on […] aussitôt (utilisant […], triviale encore si \(S'\) fini sur \(S\), et prenant […] th. de comparaison formel-algébrique en général) que la suite \[ \hat{S} \longleftarrow \hat{S}' \leftleftarrows \hat{S}'' \] […] dans les schémas formels est exacte, donc il existe \(\varphi : \hat{S} \to M\) tel que \(\varphi \hat{f} = \varphi'\). Cela signifie qu'il y a […] descente […]

30\(\hat{A}'\) en un schéma formel abélien \(\hat{A}\). Le th. de comparaison alg.-formel nous ramène à prouver que \(\hat{A}\) est algébrique. On est ainsi ramené à prouver le

Th. Soit \(R\) anneau local noeth. complet, \(S = \mathrm{Spec}\,R\), \(\hat{A}\) un schéma abélien formel sur \(\hat{S} = \mathrm{Spf}\,R\). Conditions équivalentes :

(i) \(\hat{A}\) algébrisable, i.e. \(\exists\) schéma abélien \(A\) sur \(S\), tel que \(\hat{A}\) soit isom. à son complété formel le long de \(A_s\).

(ii) \(\exists\) morphisme propre surjectif \(f : S' \to S\) […] tel que l'image inverse \(\hat{A}'\) de \(\hat{A}\) sur \(\hat{S}'\) soit algébrique.

(iii) Pour tout algèbre finie \(B\) sur \(A\) quotient intègre \(B\) de \(A\), de dim \(1\), si \(B'\) est la normalisée de \(B\), et […] \(\hat{T}' = \mathrm{Spf}\,B'\), \(\hat{A}_{\hat{T}'}\) est algébrique. « quotient de \(A\) » : il faut sans doute lire \(R\), l'anneau de base ; on garde la lettre du manuscrit. « schéma abélien formel » est une correction en interligne.

N.B. […] […]

N.B. […] […]

Dém. (i) \(\Rightarrow\) (ii) trivial. (ii) \(\Rightarrow\) (iii) On introduit \(T' = S' \times_S T\), on voit que \(\hat{T}' \to \hat{T}\) « rend \(\hat{A}_{\hat{T}}\) algébrique ». Or on peut trouver, comme \(T\) est un trait complet et fini, un autre trait \(T_1\) fini sur \(T\), et un \(T\)-morphisme \(T_1 \to T'\). Donc \(\hat{A}_{\hat{T}_1}\) est algébrique, i.e. définit un schéma abélien \(A_{T_1}\) sur \(T_1\). Ce dernier est muni d'une donnée de descente rel. à \(T_1 \to T\) [grâce au th. de comparaison], il suffit de voir que la donnée est effective — ce qui est évident, car \(T_1 \to T\) est fid. plat fini, et \(A_1\) est projectif. ici \(T = \mathrm{Spec}\,B'\), sans que la page le redise.

32(iii) \(\Rightarrow\) (i) (cas \(R\) réduit)

(iii) \(\Rightarrow\) (ii') \(\Bigl\{\) \(\exists\) morphisme fini surjectif \(S' \to S\), tel que \(\hat{A}_{\hat{S}'}\) soit algébrique.

Soit \(N_n \neq P_n\) \(N_n = \underline{\mathrm{NS}}_{A_n/S_n}\), \(P_n =\) […] l'ouvert induit défini par les polarisations […]

Les \(P_n\) se recollent et forment un schéma formel \(\hat{P}\) sur \(\mathrm{Spf}\,R = \hat{S}\), […] (réunion d'une famille dénombrable de schémas finis nets) \[ P^{\alpha} \text{ sur } S ; \qquad \hat{P} = \coprod_{\alpha} \widehat{P^{\alpha}} \] Soit \(Z\) \(Z_{\alpha} = \mathrm{Im}(P^{\alpha} \to S)\).

L'hyp. (iii) signifie que pour tout \(B\) comme ci-dessus, il existe un \(S\)-morphisme \(T' \to P^{\alpha}\) \(\mathrm{Spec}\,B'\) pour un \(\alpha\) convenable, donc le pt générique \(x\) de \(T = \mathrm{Spec}\,B\) est dans \(Z_{\alpha}\). Donc \(Z = \bigcup_{\alpha} Z_{\alpha}\) contient tous les \(x \in S\) tels que \(\dim \overline{\{x\}} = 1\). Par un lemme général, il s'ensuit qu'il y a une suite finie des \(Z_{\alpha}\) qui recouvrent \(S\). Nous prenons pour \(S'\) la somme des \(P^{\alpha}\) correspondants.

(ii') \(\Rightarrow\) (i') (cas \(R\) réduit) […] \(\hat{A}_{\hat{S}_1}\) est algébrique, si \(S_1 = S_{\mathrm{red}}\). On peut supposer ainsi \(S\) réduit. Ensuite, faisons une extension étale finie \(S_1 \to S\) (et redescendre, grâce […] ce qui est possible par Raynaud) […] […] on peut supposer que

34les extensions résiduelles de \(S' \to S\) sont triviales , et que les composantes irréductibles de \(S\) sont géom. unibranches. Alors pour tt composant connexe \(S'_i\) de \(S'\), \(S'_i \to S\) est une immersion […] fermée. Si \(S\) est irréductible, une des immersions fermées est un isom. (car la somme des […] est surjective) et on conclut. […] on utilise ensuite un […] Pour tt composant

Lemme. Soit \(\hat{X}\) schéma formel propre sur \(\hat{S}\) (\(S = \mathrm{Spec}\,R\), \(R\) anneau loc. noeth. complet), soit \(S\) […] réduit. Supposons que pour tt composant irréductible (muni structure induite réduite) \(S_i\) de \(S\), \(\hat{X} \times_{\hat{S}} \hat{S}_i\) soit algébrique. Alors \(\hat{X}\) est algébrique.

Facile par récurrence sur nb de composantes : \(S = S' \cup S''\), irréductibles, on est ramené au cas où \(\hat{X}_{\hat{S}'}\) et \(\hat{X}_{\hat{S}''}\) […] algébriques, \(S'\) et \(S''\) sous-schémas fermés, et proviennent de \(X'\) et \(X''\). Alors \(X'_T \simeq X''_T\) (\(T = S' \cap S''\)) par th. de comparaison, et on recolle \(X'\) et \(X''\) par cet isom. On voit facilement que \(X\) recollé marche.

(ii) \(\Rightarrow\) (i) : Cela résulte du lemme suivant ([…] […] résultat démontré […] […] en particulier […] […] ab. relatif […]) : l'étiquette « (ii) \(\Rightarrow\) (i) » est lue telle quelle ; d'après la page 32, il s'agit de passer de (ii') au cas réduit.

Lemme. Soit \(\hat{X}\) schéma formel propre lisse sur \(\hat{S}\), où \(S = \mathrm{Spec}\,R\), \(R\) anneau local noeth. complet. Soit \(S' = S_{\mathrm{red}}\), et supposons que \(\hat{X}_{\hat{S}'}\) soit algébrique. Alors \(\hat{X}\) l'est aussi.

36On est ramené à prouver que si […] […] un idéal nilpotent, \(S_0 = V(J)\), \(J^2 = 0\), et si \(\hat{X}_{\hat{S}_0}\) est algébrique, alors \(\hat{X}\) l'est aussi. On utilise la théorie de prolongement infinitésimal d'une structure lisse \(X_0/S_0\) vers \(\hat{X}/\hat{S}\), et

1°) L'obstruction à prolonger \(X_0\) (resp. \(\hat{X}_0\)) en un \(X\) (resp. \(\hat{X}\)) lisse sur \(S\) (resp. \(\hat{S}\)) est dans « le même » groupe \[ H^2(X_0, \mathcal{T}_{X_0/S_0} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} J) \simeq H^2(\hat{X}_0, \mathcal{T}_{\hat{X}_0/\hat{S}_0} \otimes_{\mathcal{O}_{\hat{S}_0}} \hat{J}) \] et moyennant cette identification, l'obstruction est la même.

2°) L'indétermination pour prolonger est dans « le même » groupe \[ H^1(X_0, \mathcal{T} \otimes J) \simeq H^1(\hat{X}_0, \hat{\mathcal{T}} \otimes \hat{J}) . \] le lemme de la page 34 est pour un \(\hat{X}\) propre, « lisse » y étant biffé ; l'argument de cette page suppose la lissité.

Il reste à prouver la

Proposition. Soit \(S\) un schéma local (noethérien) anneau local noeth. complet […], \((Z_i)_{i \in I}\) une famille dénombrable suite de parties fermées […] de \(S\), telles que \(Z = \bigcup Z_i\) contienne tt \(x \in S\) tel que \(\dim \overline{\{x\}} \leqslant 1\). Alors il existe une partie finie \(J\) de \(I\) telle que \(\bigcup_{i \in J} Z_i = S\). « schéma local » et « (noethérien) » sont écrits au-dessus d'une première rédaction biffée ; la fin de cette ligne biffée, « de dim \(\geqslant 1\) », l'est aussi. Le \(I\) de « \(i \in I\) » surcharge une autre lettre.

Soit \(S = \mathrm{Spec}\,R\). Si \(\dim S \leqslant 1\), c'est trivial ([…] […] \(S\) est fini, \(Z = S\)). Si \(n = \dim S \geqslant 2\), […] […] l'hyp. […] que […] […] […] […] disons qu'il existe un anneau […] de val. discrète complet \(V\), […] tel que \(R\) soit fini sur \[ V[[T_1, \ldots, T_n]] . \] Notons que […] […] […] […] la fin du feuillet, sous une grande accolade barrée d'un trait, ne se lit pas ; au-dessus, « annulés ».

38Corollaire. Supposons que les \(Z_i\) soient rares dans \(S\). Alors il existe un \(x \in S\), avec \(\dim \overline{\{x\}} = 1\), tel que \[ x \notin \bigcup Z_i . \] un « le » isolé en tête du feuillet, au-dessus de « Corollaire ».

Remplaçant \(S\) par \(T = \mathrm{Spec}\,V[[T_1, \ldots, T_n]]\), […] on voit que les \(T_i = \mathrm{Im}(Z_i \to T)\) sont rares, et il suffit de trouver un \(x \in T\), avec \(\dim \overline{\{x\}} = 1\), tel que \(x \notin \bigcup T_i\). (En effet, il existe alors […] un \(y \in S_x\) au-dessus de \(x\) […] nécessairement \(\dim \overline{\{y\}} = 1\).) On remarque qu'il existe […] un \(x \in T\) provenant d'un \(V\)-hom \[ V[[T_1, \ldots, T_n]] \longrightarrow V . \qquad \struck{\ill{}} \] En effet, l'ens. de ces hom. s'identifie à \(\mathfrak{m}^n\) (\(\mathfrak{m} = \mathrm{rad}(V)\)). Il a une structure d'espace métrique […] complet. Montrons que pour […] partie fermée rare \(Z\) de \(T\), l'ens. des \(\varphi\) tels que \(V(\mathrm{Ker}\,\varphi) \subset Z\) est rare. En effet, on peut supposer \(Z\) est défini \(Z = V(f)\), \(f \in V[[T_1, \ldots, T_n]]\), \(f \neq 0\), et \(|V(\mathrm{Ker}\,\varphi)| \subset |V(f)|\) (car \(V(\mathrm{Ker}\,\varphi)\) est intègre […] réduit) équivaut (comme […] \[ V(\mathrm{Ker}\,\varphi) \subset V(f) \ \ldots \qquad f \in \mathrm{Ker}\,\varphi \ \ldots \qquad \varphi(f) = 0 ; \] i.e. \[ f(\varphi_1, \ldots, \varphi_n) = 0 . \] Il est immédiat que c'est une partie fermée rare. « rares » est souligné dans l'énoncé. La parenthèse à droite de « \(Z = V(f)\) » est ajoutée d'une encre plus pâle, comme la ligne des points de suspension, qui sont de lui.

40Remarque. Supposons Soit \(S\) \(= \mathrm{Spec}\,R\) un schéma local noeth. complet, \(\hat{X}\) un schéma formel propre […] plat sur \(\hat{S}\), tel que \(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) \simeq k\) ([…] […]). Supposons \(\underline{\mathrm{Pic}}^0\) soit lisse, soit que aussi […] que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}\) (p.ex. \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_0/k}\) lisse) […] tels que les \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n}\) soient plats soit que, et formons \[ \underline{\mathrm{NS}}_{X_n/S_n} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/S_n} / \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n} , \] et \[ P_n = \underline{\mathrm{NS}}^{+}_{X_n/S_n} \quad (\text{polarisations \uncertain{relatives}}) . \] […] […] schémas […]. Les \(P_n\) se […] recollent […] […], et […] un schéma formel \(\hat{P}\) sur \(\hat{S}\), […] définissant un schéma […] tel que \[ \hat{P} = \coprod_{\alpha} \hat{P}_{\alpha} , \] les \(P_{\alpha}\) étant finis sur \(S\), et connexes. Procédant comme plus haut, on trouve que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) \(\exists\) \(S' \to S\) […] propre surjectif, […] avec \(\hat{X}_{\hat{S}'}\) algébrisable et projectif sur \(S'\).

(ii) \(\forall\) sous-schéma fermé \(T\) de \(S\), de dim \(\leqslant 1\), si \(T'\) est sa normalisée, \(\hat{X}_{\hat{T}'}\) est algébrisable et projectif sur \(\hat{T}'\).

(iii) \(\exists\) morphisme fini surjectif \(S' \to S\), tel que \(\hat{X}_{\hat{S}'}\) soit algébrisable et projectif.

(iv) Il existe un morphisme fini et surjectif \(S' \to S\), tel que pour toute composante irréductible \(S'_i\) de \(S'\), avec str. réduite induite, \(\hat{X}_{\hat{S}'_i}\) soit algébriquement projectif. […] […] […] De plus, […] […] […] (iv), \(\hat{X}_{\hat{S}}\) est algébrique. « \(T \subset S\) » est ajouté au-dessus de « sous-schéma fermé » dans (ii) ; « fini » au-dessus de « surjectif » dans (iii).

([…]) (iv) \(\exists\) morphisme […] fini […] surjectif la dernière ligne et la moitié de l'avant-dernière sont biffées ; un crochet dans la marge les accompagne.

N.B. Cette condition […] […] telle […] que si […] \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}\) […] lisse) […] […] […] […] \(S' \to S\) fini et plat. Car […] […] […] faisceaux […] […] note écrite de biais dans la marge gauche, reliée par une accolade aux conditions (iii) et (iv).

[…] donc d'ailleurs effectivité en bas de la marge gauche, en face de la ligne biffée.