Cote n° 100 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Bonne réduction des variétés abéliennes via bonne réduction de Barsotti-Tate Tp (A) (base quelconque) : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.).
Édition de démonstration

Bonne réduction et groupes \(p\)-divisibles

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise de papier bistre par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page

2Grothendieck numérote ce feuillet « 1 » ; le suivant « 1 bis », puis « 2 », « 3 »… Écriture rapide, surchargée de reprises ; une large partie centrale est encadrée et biffée de traits obliques.

Théorème. \(S\) schéma loc. noeth., \(U\) ouvert, \(T\) fermé complémentaire, \(p\) un premier, tel que \(\forall t \in T\), car \(k(t) = p\). Considérons la catégorie \(C\) des schémas abéliens \(A\) sur \(S\), et la catégorie \(C'\) des couples \((A_U, M, \varphi)\), où \(A_U\) est un schéma abélien sur \(U\), \(M\) un groupe \(p\)-divisible sur \(S\), et \(\varphi : M|U \to T_p(A_U)\). Soit \[ F : C \longrightarrow C' \] le foncteur \[ F(A) = \bigl(A \times_S U,\ T_p(A),\ \mathrm{id}_{T_p(A)|U}\bigr). \] le mot « couples » désigne ici des triples ; l'exposant « \(A\) » est ajouté au-dessus de « schémas abéliens », pour nommer l'objet

Alors :

1) Supposons que \(U\) rencontre toutes les composantes connexes de \(S\) (i.e. \(U\) dense dans \(S\), i.e. \(\mathrm{prof}_T(S) \geqslant 1\)). Alors le foncteur \(F\) est pleinement fidèle. la parenthèse « (i.e. \(U\) dense dans \(S\), i.e. \(\mathrm{prof}_T(S)\geqslant 1\)) » et la ligne « \(U\) rencontre toutes … » sont ajoutées d'une encre plus claire au-dessus de la ligne ; le dernier mot est mal formé

[…]) \(\exists\) un morphisme fini surjectif \(S' \to S\) […], et que \(U\) soit dense dans \(S'\) et que […]

2) Supposons que […] (i.e. le normalisé de \(S_{\mathrm{red}}\) fini sur \(S\), si \(S\) local). le mot qui suit « Supposons » est recouvert ; au début de la ligne suivante, « \(S'\) géom. unibranche », peut-être la condition annoncée

b) \(\forall\, t \in T\), si \(S'\) est le localisé strict de \(S\) en \(t\), \(\bar t\) son point fermé, et \(S'_1\) et \(S'_2\) deux composantes irréductibles de \(S'\), on ait \(S'_1 \cap S'_2 \neq \{\bar t\}\). (N.B. cette condition signifie aussi que […] \(F\) est […] image inverse \(U''\) de \(U\) dans \(S'' = S' \times_S S'\) […] catégories […] \(S''\). Elle est […] des points de \(T\)). tout ce paragraphe b) est encadré et biffé de trois traits obliques ; en marge, dans le cadre, une reprise « b) Posant », elle aussi enfermée, et « b) Comme. », que rien ne suit

Alors \(F\) est une équivalence de catégories pleinement fidèle. sous le cadre, à gauche, isolé : « \(\mathrm{prof}_T(S) \geqslant 2\) », puis le mot « catégories »

Pour 1) TSVP cerclé, avec une flèche vers le bord droit

Soit, avec les notations de a), \(S'' = S' \times_S S'\), \(S''' = S' \times_S S' \times_S S'\). Considérons l'ensemble simplicial \[ \underset{L_0}{\pi_0(S')} \leftleftarrows \underset{L_1}{\pi_0(S'')} \;\substack{\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow}\; \underset{L_2}{\pi_0(S''')}, \] Com et soit \[ K_0 \leftleftarrows K_1 \;\substack{\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow}\; K_2 \] le sous-ensemble simplicial formé avec les composantes connexes dont l'image dans \(S\) rencontre \(U\). Supposons que : pour tout b\('\)) la plus petite partie de \(L_1\) contenant \(K_1\) et st. stable par « troisième face » soit \(L_1\) ([…] par la condition b)). Alors \(F\) est pl. f. une équivalence de catégories … les noms \(L_0, L_1, L_2\) sont écrits au-dessus des \(\pi_0\) ; au bas du feuillet, sous la dernière ligne, une incise d'une lecture incertaine, « ce qui est […] », renvoie à la condition b)

3numéroté par lui « 1 bis »

Lemme. \(A\), \(B\) schémas abéliens sur \(S\) loc. noeth., \(u_\ell : T_\ell(A) \to T_\ell(B)\). Alors \(\exists\) sous-schéma fermé \(T\) de \(S\) tel que, pour tout \(S'/S\), on ait : \(u_{\ell S'}\) provient de \(u : A_{S'} \to B_{S'}\) ssi \(S' \to S\) se factorise par \(T\). « on ait : \(u_{\ell S'}\) » est ajouté en marge gauche, avec un trait de renvoi

Cf Invariants 1.2 ([…] démonstration analogue).

Cor Supposons que \(\forall s \in \mathrm{Ass}\) […] l'image de […]

Complément. De plus, […] pour tout \(t \in T\) tel que car. \(k(t) = \ell\), \(T\) majore un voisinage ouvert de \(t\). au-dessus de la rature, en interligne, deux mots illisibles

Corollaire. Supposons que l'ouvert \(U \subset S\) soit tel que

Alors \(u_\ell\) provient de \(u : A \to B\).

En effet, […] on peut supposer \(S\) connexe, […] irréductibles […] […] distinguons \(t \in T \cap (S-U)\) […] Comme \(T \neq \emptyset\), […] on aurait une comp. […] de \(S\) telle […] que […] comp. irréd. de \(S\) qui rencontre \(T\), \(\bar U\) […] \(T\) […] \(\in T\). Or […] \(S_i \cap U = \emptyset\) […] complément. Donc \(T \supset S_{\mathrm{red}}\). tout ce passage est encadré et biffé de deux longs traits obliques ; en marge du cadre, une incise cerclée « grâce à b) », et « \(\Rightarrow U \neq \emptyset\) »

Mais \(\underline{T}\) est fermé ouvert : \(T\) est ouvert, contient \(U\) et par hyp. c), et sur les pts de \((S - U) \cap T\) grâce au complément et de b). Donc \(\overline{T}\) est un sous-schéma ouvert, et comme il est fermé, c'est une réunion de comp. connexes. Par a), on a donc \(\overline{T} = S\),

cqfd. le \(T\) de « Mais \(T\) » est souligné, celui de « Donc \(T\) » et de « \(T = S\) » surmonté d'un trait ; « sous-schéma » est ajouté au-dessus d'« ouvert »

4numéroté par lui « 2) » ; en tête, un signe isolé en forme de croix surmontée, peut-être un renvoi

\[ T \subset S \supset U = S - T \] \(T\) : car. résiduelles toutes \(= p > 0\). \[ A \longmapsto \bigl(A_U,\ T_p^{\natural}(A),\ \varphi\bigr) \] schémas abéliens sur \(S\) \(\longmapsto\) triples \((A_U, M, \varphi)\), \(A_U\) schéma abélien sur \(U\), \(M\) gpe \(p\)-div. sur \(T\), \(\varphi : T_p^{\natural}(A_U) \simeq M\). l'exposant de \(T_p\), ici noté \(\natural\), est un petit signe ajouté d'une encre plus foncée, un rond plein traversé d'un trait (il pourrait s'agir d'un \(\varphi\) minuscule ou d'une marque de complétion) ; il revient à chaque occurrence de \(T_p\) sur ce feuillet

Spécialisation, \(U\) dense schématiquement schématiquement dense et \(S - U\) de car. \(p\). Pour pleine fidélité, […] suffit de \(U\) dense […] […] ([…] rencontre \(\bar U\) […] p. ex. \(S\) […]) […] fidélité […] […] contre-exemple […]. On obtient en recollant deux spectres d'anneaux de v.d. discrète complets, et \(U =\) un des deux pts maximaux … ) Y a-t-il des contre-exemples avec \(S\) […] dim. \(2\) ? ce bloc, à droite en haut du feuillet, est cerné d'un trait et lourdement repris : cinq ou six lignes y sont biffées à l'encre épaisse et ne se lisent pas

1) Foncteur pleinement fidèle

Fidèle bien connu, car \(A \mapsto T_p^{\natural}(A)\) est fidèle. « Pl. » fidèle : il faut prouver que si \(u_p : T_p^{\natural}(A) \to T_p^{\natural}(B)\) est algébrique sur \(U\), il l'est sur \(S\). Si \(U\) est sch. dense dans \(S\), cela résulte de [ ] 1.2. Dans le cas général, soit \(X_0\) l'adhérence schématique de \(U\) dans \(X\). Alors on dispose d'un homomorphisme \[ \varphi_0 : A_{X_0} \to B_{X_0}, \] compatible avec \(u_p\). Comme « compatible avec \(u_p\) » est ajouté en interligne ; les crochets vides « [ ] » sont les siens, une référence à compléter

Soit \(\mathcal{J}\) l'idéal qui définit \(X_0\) sur \(X\), il est nilpotent […] \(T\). Alors le th. de Serre-Tate implique que […] la restriction de \(u_0\) à […] (\(= T\) […] réduit) […] \(A_{T_n} \to B_{T_n}\), où \(T_n\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(T_0\) dans \(S\). Se ramenant au cas où \(S = \mathrm{Spec}\,\Lambda\) […], […] un homom. \(A_{\hat\Lambda} \to B_{\hat\Lambda}\), \(\hat\Lambda = \) complété de \(\Lambda\) pour l'idéal de \(T_0\) dans \(S\). Comme […] fid. plat, […] \(U \times \mathrm{Spec}\,\hat\Lambda \to \mathrm{Spec}\,\Lambda\) […] ce long paragraphe est encadré et biffé de deux traits obliques ; hors du cadre, en bas à droite, reste non biffé : « car il est […] [ ] 1.1. »

5Feuillet de tapuscrit anglais, paginé « -0.13- », dont le feuillet 4 occupe le verso ; ce tapuscrit n'est pas de lui et le feuillet ne le nomme pas. Il n'est pas recomposé ici : le texte dactylographié est résumé en français, et seules ses annotations au crayon sont transcrites. Le feuillet contient la fin d'une démonstration (surjectivité de \(\phi'\), puis « by Zariski's Main Theorem, \(\bar\omega\) is an isomorphism »), une « Remark (5) » donnant trois conditions équivalentes pour que \((Y,\phi)\) soit un quotient catégorique universel de \(X\) par \(G\), et un alinéa « (6) » énonçant trois conditions suffisantes pour que \((Y,\phi)\) soit un quotient catégorique : i) \(\phi\circ\sigma = \phi\circ p_2\) ; ii) \(\mathcal{O}_Y\) est le sous-faisceau des invariants de \(\phi_*(\mathcal{O}_X)\) ; iii) l'image par \(\phi\) d'un fermé invariant est fermée, et \(\phi(\bigcap W_i) = \bigcap \phi(W_i)\) pour toute famille de fermés invariants.

en marge, un « ! » au crayon devant « by Zariski's Main Theorem », souligné d'un trait ondulé

\(R \underset{p_2}{\overset{p_1}{\rightrightarrows}}\) \(\varphi : X \xrightarrow{f} Y\) morphism of preschemes […] \(f p_1 = f p_2\) we say \(Y\) is a quotient \(X/R\) if (i) \(\mathcal{O}_Y\) is the sheaf of invariants of […] \(\mathcal{O}_Y \to f_*(\mathcal{O}_X) \rightrightarrows g_*(\mathcal{O}_R)\) is exact (ii) Any invariant open \(U\) of \(X\) is the inverse image of an open subset of \(Y\) note au crayon, en anglais, écrite en oblique dans la marge gauche, en face de « (6) » ; l'indice de \(f\) et \(g\) est d'une lecture incertaine

I think sufficient if \(\varphi\) is qu. cpct qu. sep. au crayon, au pied du feuillet, sous la condition iii), qu'une accolade au crayon embrasse ; « qu. cpct » est souligné

6numéroté par lui « 3 »

2) Foncteur ess. surjectif « Si \(S\) géom. unibranche en les points de \(S - U\) ([…]) et si le normalisé de \(S_{\mathrm{red}}\) est fini sur \(S\). » encadré en haut à droite, relié par des guillemets doubles au titre ; un trait le relie aussi à la parenthèse ci-dessous

a) Supposons

Partons de \(A_U, M, \varphi\), il faut construire \(A\). On peut supposer \(A\) […] \(S = \mathrm{Spec}\,\Lambda\). Par descente, il suffit de […] [plus généralement, si, posant \(S'' = S' \times_S S'\), \(U' = U \times_S S'\), \(U'' = U \times_S S''\), \(U'\) (\(U''\)) rencontre toutes les composantes connexes de \(S'\) (\(S''\))]

a) Réduction au cas \(S\) réduit.

Soit \(S_0 = S_{\mathrm{red}}\), \(A_0\) schéma abélien sur \(S_0\) qui y vient […] de \(M\). Par Serre-Tate, on trouve des un schéma formel abélien sur les \(T_n\), donc un schéma abélien \(A'\) sur \(S' = \mathrm{Spec}\,\hat\Lambda\). Son image inverse sur \(S'_0\) est un vrai schéma abélien, […] savoir l'image inverse de \(A_0\) sur \(S'_0\). Donc (réf. … !!!), \(A'\) provient d'un vrai schéma abélien \(A'\) sur \(S'\) [l'immersion \(S'_0 \to S'\) étant nilpotente]. Or \[ U \sqcup S' \longrightarrow S \] est fid. plat, et on dispose d'une donnée de descente sur \(A_U \sqcup A'\). Elle est effective, puisqu'elle dépend de \(S_0 \to S\), donc elle l'était déjà avant, d'après la réduction de Raynaud. Ce qu'on gagne ! dans la marge gauche, en face de « \(S' = \mathrm{Spec}\,\hat\Lambda\) », un petit carré :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  S_0 \arrow[d] & S'_0 \arrow[l] \arrow[d] \\
  S & S' \arrow[l]
\end{tikzcd}

b) Réduction au cas \(S\) local, […] \(T\) réduit à un point fermé.

Pour faire cette réduction, on est ramené à prouver ceci : si \(t \in T\), \(V\) un ouvert […] contenant \(t\) et \(U\), et \(A_V\) un schéma abélien sur \(V\) prolongeant […] \(M\) que se […] \(\mathcal{K}\), alors \(A_V \to\) […] ; \(S' = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{S,t}\) […] voisinage, i.e. l'isom. donné \(T_p(A_{S'}) \simeq M_{S'}\) se prolonge en un isom. en un […] ce paragraphe b) est encadré et biffé de deux traits obliques ; un « ? » au crayon dans la marge gauche

7Même tapuscrit, feuillet « -0.14- », résumé : démonstration du critère de l'alinéa (6) (on montre que \(\phi\) est surjectif, puis, pour un \(S\)-morphisme \(\psi : X \to Z\) avec \(\psi\circ\sigma = \psi\circ p_2\), on construit un recouvrement ouvert \(\{U_i\}\) de \(Y\) tel que \(\psi^{-1}(V_i) \supset \phi^{-1}(U_i)\)) ; puis l'alinéa « (7) » : les conditions (i), (ii), (iii) de la Définition 0.6 sont conservées par tout changement de base \(Y' \to Y\), la condition (iv) seulement si \(Y' \to Y\) est plat, par l'exactitude de la suite \(0 \to \mathcal{O}_Y \to \phi_*(\mathcal{O}_X) \xrightarrow{\sigma^* - p_2^*} \psi_*(\mathcal{O}_{G\times_S X})\) et la commutation de l'image directe au changement de base plat.

\(\psi\) au crayon, en marge de « Now suppose \(\phi : X \to Z\) », où le \(\phi\) dactylographié est barré au crayon : la correction en \(\psi\) ; au même crayon, « surjective » est souligné et « \(\psi^{-1}(V_i) \supset \phi^{-1}(U_i)\) » est entouré

\(\varphi\) quasi-compact & quasi-separated & au crayon, en oblique dans la marge gauche, avec un trait de renvoi devant « is flat » dans « However, if \(Y' \to Y\) is flat, then condition (iv) is preserved »

8sans numéro de sa main ; la suite du feuillet 6

voisinage ouvert \(W\) de \(t\), […] ce qui […] donné sur \(W \cap U\). En fait, d'après le th. de […] si on dispose […] de Raynaud […] Tate […] […] […] incidence canonique, […] […] pouvant prendre les cinq premières lignes du feuillet, qui terminent le paragraphe b) biffé du feuillet 6, sont encadrées et biffées de traits obliques

b) Cas \(S\) […] géom. unib., \(A_U\) […] d'une rigidification de Jacobi. On a donc un morphisme \[ U \longrightarrow R \] \(R\) schéma modulaire à décalage [utilisant aussi une polarisation de \(A_U\)], d'où par le critère valuatif de l'adhérence des […] propre un sous-schéma fermé \(S'\) de \(S \times R\). Le critère valuatif et le résultat de Raynaud dans le […] ou d'un trait montrent que \(S' \to S\) est propre. Je veux : prouver que c'est un isom. [je reviens au th., grâce à Tate, à prouver que \(A_U\) se prolonge en \(A\), quand \(T_p(A_U)\) se prolonge en un \(M\) et \(M\) est […] ; […] unique à iso. unique près]. Par le Main Theorem, […] on va prouver que les fibres \(S'_s\) sont discrètes. les pts de \(S'\) Introduisons […] \(S''\) de \(S'\), qui normalisé d'abord fini sur \(S'\). Alors le th. de Tate implique que la bonne réduction \(T_p(A_{S''})\) image inverse de \(A_R\) […] \(T_p(A)\) \(M\). D[…] la restriction de \(A_{S''}|S''_s\), correspondant […] \(T_p\) « constant », et \(S''_s\) étant géom. connexe, le raisonnement se poursuit au feuillet 10

\[ \begin{array}{ccc} & S'' & \hookleftarrow\; U'' \\ & \downarrow & \wr \\ R \longleftarrow & S' & \hookleftarrow\; U' \\ & \downarrow & \wr \\ & S & \hookleftarrow\; U \end{array} \]

croquis de la marge gauche : \(S'' \leftarrow U''\) au-dessus de \(S' \leftarrow U'\) au-dessus de \(S \leftarrow U\), les flèches verticales à gauche tracées vers le bas, les verticales de droite marquées « \(\wr\) », et une flèche de \(S'\) vers \(R\) ; le sens des flèches verticales de gauche est incertain

9Même tapuscrit, feuillet « -0.15- », résumé : fin de l'alinéa (7) (changement de base plat, et quotients géométriques universels), une « Definition 0.7 » : une action \(\sigma\) de \(G\) sur \(X\) est libre si \(\Psi = (\sigma, p_2) : G \times_S X \to X \times_S X\) est une immersion fermée ; puis la « Definition 0.8 » de la variété de Picard et la « Proposition 0.9 » (Cartier, Nishi) : un \(S\)-préschéma en groupes \(G\) de type fini sur un corps est lisse en caractéristique \(0\).

Dire : propre et libre au crayon, en oblique dans la marge gauche en face de la « Definition 0.7 » ; au-dessus, d'une écriture plus pâle, trois mots, lus compliqué des termes vagues ; en bas à droite, le « \(S\) » de « \(e_X : X \to S\) » est repassé à l'encre

10sans numéro de sa main ; les six premières lignes sont barrées d'un trait oblique

[…] coïncident (cf lemme […]) que \(A_{S''}\) est constant. Il reste […] […] que pourvu que polarisé, […] finitude. Il […] […] le choix que d'un […] fini de rigidification de Jacobi, […] \((S''_s)_{\mathrm{red}} \to R\) […] factorise par \(k(s)\), donc \(S''_s\) est radiciel […] bien. Ce qu'on gagne.

Le cas où […] un peu plus général \(S''\) fini sur \(S'\) se traite par la méthode essentiellement de [ ] p. 75–76, condition qui […] […] […] que l'image réciproque sur \(U'' \simeq U\,\)[…] […] \(T_p(A'')|U''\) et \(M_{S''}|U''\) se prolonge […] \(S''\). Il faudrait au-dessus de « \(T_p(A'')|U''\) et », en interligne : « o.k » ; « essentiellement de [ ] p. 75–76 » est souligné

[…] […] certains […] quantités,

c) Cas \(S\) […] normal unibranche. Choisissons un […] fini […] \(U' \to U\) un morphisme […] \(\ell \neq p, 3\), et sur […] étale et surjectif […] tel que \(A_{U'}\) soit muni d'une rigidification de Jacobi d'échelon \(\ell\). […] Normalisons \(S\) dans \(R(U')/R(U)\), d'où \(R''(S)\) un morphisme fini ( \(S' \to S\)), qui prolonge \(U' \to U\), […] \(S'\) normal intègre. inutile au fond ! cerclé dans la marge gauche et relié par une boucle à « Normalisons » ; « \(R''(S)\) » et « prolongeant \(U' \to U\) » sont entourés en interligne

Alors on peut trouver un schéma abélien \(A'\) sur \(S'\) qui prolonge \((A_U) \times_U U'\), avec \(T_p(A') \simeq p^{*}(M)\). Alors par le critère « pl. fid. » appliqué à \(S'' = S' \times_S S'\), utilisant que \(U''\) est dense dans \(S''\) ([…] N.B. \(S'' \to S\) est ouvert car \(S' \to S\) est universellement ouvert …), on trouve la phrase se poursuit au feuillet suivant

\[ \begin{array}{ccccc} U & \longleftarrow & U' & \leftleftarrows & U'' \\ \cap & & \cap & & \cap \\ S & \xleftarrow{\ p\ } & S' & \leftleftarrows & S'' \end{array} \]

croquis de la marge gauche, redessiné ; les doubles flèches sont les deux projections

12sans numéro de sa main ; suite du feuillet 10

que \(A'\) est muni d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\). En particulier, E si \(A'\) est muni d'une telle donnée de descente, que comme \(S' \to S\) est un morphisme de descente effective pour les schémas abéliens projectifs finis étales (SGA 1 VIII), donc on trouve un tel tel revêtement R en groupes \(N\) de \(S\), tel que \[ N|U \simeq {}_{\ell}(A_U). \] On montre que l'on peut trouver un morphisme fini étale surjectif \(S_1 \to S\) qui splitte \({}_{\ell}(A_U)\), Remplaçant alors \(S'\) et on peut supposer \(S'\) fini étale sur \(S\), donc plat. Alors (\(A'\) étant projectif sur \(S'\)) on […] […] peut descendre \(A'\) en \(A\), qui répond à la q. […] pourvu qu'il existe \(S' \to S\) fini surjectif, avec \(S'\) géom. unib. ajout encadré en interligne, relié à « répond » ; « descendre » est souligné

d) Cas \(S\) réduit, (\(S'\) fini sur \(S\)). Utilisant le fait que \(S\) est géom. unibranche en les points de \(S - U\), on voit que l'image inverse \(U'' = U' \times_U U'\) de \(U\) dans \(S'' = S' \times_S S'\) est dense dans \(S''\) : Par le cas b), Par le cas c), on trouve sur \(S'\) un schéma abélien \(A'\), et par la pleine fidélité (pour \(S''\), \(U''\)), on voit que \(A'\) est muni d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\), […] […] […] \(S' \to S\). Notons que un morphisme fini, et un morphisme étant un épimorphisme fini, E est aussi de descente pour les schémas abéliens, et aussi pour les gpes \(p\)-divisibles. Donc on est ramené à la phrase se poursuit au feuillet 14

\[ \begin{array}{ccccc} U & \longleftarrow & U' & \leftleftarrows & U'' \\ \cap & & \cap & & \cap \\ S & \longleftarrow & S' & \leftleftarrows & S'' \end{array} \]

croquis de la marge gauche, en face de « d) » ; dans le coin inférieur gauche, deux mots de sa main lus Remarques digression, séparés du texte par un trait vertical

14sans numéro de sa main ; suite du feuillet 12

montrer que la donnée de descente envisagée est effective. Or on est ramené facilement au cas où \(S\) est local, de point fermé \(s\), \(U = S - \{s\}\). Par factorisation (où utilisant l'hypothèse en fait que \(S'\) normal) on est ramené à un morphisme \(S' \to S\) qui est un épimorphisme effectif (« \(\mathrm{Spec}\,k' \to \mathrm{Spec}\,k\) ») \(R'/R\) de deg. \(1\) sur \(R\) (?), utilisant l'effectivité des descentes sur les […] de FGA […] on prouvera : montrer qu'il […] est plat […] polarisation […] pour […] existe sur \(A'\) […] donnée de descente une th. de descente qui nous suffira, cf plus bas. tout ce bloc, sept lignes, est encadré et biffé de huit traits obliques ; à l'intérieur, « l'hypothèse », « \(R'/R\) de deg. \(1\) sur \(R\) (?) », « utilisant l'effectivité … FGA », « est plat » et « donnée de descente » sont en outre biffés chacun d'un trait propre ; dans la marge gauche, un îlot cerné où se lit effective, lui-même biffé ; sous le cadre, dans la marge, un « ?! » barré d'un trait

e) Cas général. Le cas Cas […] déjà vu […] réduit du d). Supposons \(S\) réduit. Le cas \(S\) local […], on trouve pour tout \(s \in S\), de trouver un schéma abélien \(A(s)\) sur \(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,s} = S(s)\), qui soit une solution du pb induit sur \(S(s)\) (avec \(U(s) = U \times_S S(s)\), \(T(s) = T \cap S(s)\), \(M(s)\), …). Par unicité, les \(A(s)\) forment un système cohérent de schémas abéliens, i.e. pour \(t\) générisation de \(s\), on a \[ A(t) \simeq A(s) \times_{S(s)} S(t), \] avec […] […] […] transitivité. Supposons que On […] […] deux catégories des schémas […] un foncteur pl. fid. Mais […] la cat. des systèmes locaux de […] s.f. sur \(S\) dans la cat. des […] s.f. sur les \(S(s)\). Supposons qu'on […] […] de s.f. sur les […] naturelle. […] que \(\{A(s)\}_s\) provient d'un schéma abél. \(A\) sur \(S\), […]. Alors on a […] un schéma abélien … (par la pleine fidélité précédente). la marge gauche porte, sur toute la hauteur de ce paragraphe, une longue note écrite en oblique, dont se lisent seulement « Lemme » (souligné), « l'hyp. faite », « \((A_U, M, \varphi)\) », « \(T\) » et, à la fin, « schémas abéliens » ; le reste […]

15Même tapuscrit, feuillet « -0.18- », résumé : un « Example 0.4 » d'un groupe semi-simple \(G\) sur \(\mathbb{C}\) agissant sur un schéma quasi-affine non singulier de type fini, dont i) tous les stabilisateurs sont triviaux (action ensemblistement libre), ii) un quotient géométrique existe, qui est un schéma de type fini, d'où l'action est séparée, iii) l'action n'est pas propre et en particulier pas libre au sens algébro-géométrique ; début de la preuve avec \(G = SL(2)\) agissant sur \(V_1 \times V_4\). Au crayon : « free » est entouré dans i), « not free » est souligné d'un trait ondulé dans iii), et un trait marque la marge en face de iii).

16sans numéro de sa main ; ce feuillet ne suit pas directement le feuillet 14

\(A \times_S U \simeq A_U\) car ([…] […]). De plus, je dis qu'on a un isom. \(T_p(A) \simeq M\), qui induit les \(T_p(A(s)) \simeq M(s)\). En effet, par […] […] […], par le résultat déjà signalé de pl. fid., on aura un isom. \(T_p(A\) \(p^{*}A \simeq M(s)\) qui induit l'[…] les \[ \underset{\substack{\shortparallel\\ (p^{*}A)_s}}{p^{*}(A_s)} \;\simeq\; \underset{\substack{\shortparallel\\ (M(s))_s}}{M(s)(s)} . \] Sur \(U\), c'est […] bien connu tautologique. Donc tautologique.

Il reste à prouver la pleine fidélité précédente ([…]), et le […] […].

Lemme : Un « sys. local » de schémas abéliens sur […] provient d'un schéma [loc. noeth.] […] un schéma abélien. Douteux, […] […] [ ] unicité ? le premier ajout est cerclé dans la marge gauche, en face de « Lemme » ; le second, en marge de la ligne suivante

Ceci […] ramène à prouver que […] […]. Soit \(U\) les […]. On peut supposer \(S\) noethérien. Il suffit de prouver alors […] que l'on ait un schéma abélien \(A_U\) sur \(U\), et \(t\) un pt maximal de […], […] un voisinage \(V\) de \(t\). Si \(U = T\), on […] […] voisinage ouvert \(V\) de \(t\), […] \(V\) un voisinage […] un schéma abélien sur \(V\), tel que \(A(s)\) provienne d'un schéma […], et tel que \(V\) ne contienne […] \(x \in \mathrm{Ass}\,\mathcal{O}_S\) tel que \(\overline{\{x\}} \not\ni t\), et tel que \(B|U \cap V \simeq A_U\) […] \(s \in V\) [et tel que \(B \times_S \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,s} \simeq A(s)\) isom. compatible avec les […] \(\,= U(s)\)]. Soit […] \(s \in U \cap \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,t}\), […] \(x \in \mathrm{Ass}\,\mathcal{O}_S\), \(\overline{x} \not\ni \{t\} \Rightarrow x \notin V\), Car supposons que \(V \cap T \subset \overline{\{t\}}\). Soit alors \(s \in V \cap T\), donc \(s \in \overline{\{t\}}\) la phrase s'interrompt au bas du feuillet ; plusieurs lignes du milieu sont biffées d'un trait et recouvertes d'additions interlinéaires, dont l'ordre de lecture est incertain

18numéroté par lui « 2 bis », cerclé, en haut à gauche ; papier bistre

d'où \(S(t) \to S(s)\).)

(On va définir un isom. \(A(s) \simeq B \times_S S(s)\), tel que par changement de base \(S(t) \to S(s)\), on obtienne l'isom. \(A(t) \simeq B \times_S S(t)\) donné. […]

Lemme. \(S\) schéma noeth. [réduit], \(t \in S\), \(B\) schéma abélien sur \(S\). Alors […] il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(t\), […] \(\forall s \in V\), tel que pour tout voisinage ouvert \(V'\) de \(t\), \(V' \subset V\), tout schéma abélien \(B'\) sur \(V'\), et tout isom. \(\varphi_t : B' \times_S \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,t} \simeq B \times_S \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,t}\), il y a un isom. \(\varphi(s)\) […] voisinage […] unique […] un isom. \[ \varphi : B' \simeq B|V'. \]

L'unicité sans généralité, dès que toute composante irréd. de \(V\) rencontre \(t\), i.e. que \(V\) […] les comp. irréd. de \(S\) contenant […] contenant \(t\).

Soit \(S' \to S\) On peut supposer \(S\) affine. (Soit \(S' \to S\) fini, tel que \(S'\) réduit et géom. unibr. [supposons d'abord \(S\) réduit.]) […] \(S' \times_S S(s) \to S(s)\) sont birationnels, et […]

Alors le feuillet s'arrête sur ce mot ; le reste est blanc

20sans numéro de sa main ; une reprise du lemme du feuillet 3

\(A\), \(B\) schémas abéliens sur \(S\), \(u_p : T_p(A) \to T_p(B)\). en tête, à gauche, un petit croquis : \(A\) et \(B\) reliés par deux traits à \(S\) au-dessous

Question : quand \(u_p\) provient-il d'un hom \(u : A \to B\).

(i) À cause de l'unicité, la descente fid. plate montre

(ii) l'ens. \(T\) des pts \(s \in S\) tels que \(u_{ps} : T_p(A_s) \to T_p(B_s)\) provienne de \(u_s : A_s \to B_s\) (condition géom. par (i)!) est fermé. Si \(t \in T\) est tel que car. \(k(t) =\) (iii) Si \(t \in T\) est tel que car \(k(t) = p\), alors \(\exists\) voisinage ouvert \(U\) de \(t\) tel que \(u_p|U\) soit algébrique, en particulier \(T\) \(U\) est contenu dans \(T\). (ii) et (iii) sont encadrés et biffés de quatre traits obliques

a) Il y a un plus grand sous-schéma \(T\) de \(S\) sur lequel \(u_p\) est algébrique ; \(T\) est fermé, sa formation commute à tout chgt de base (nouvelles bases par voisinages noethériens). au-dessus de « plus grand », en interligne, une parenthèse d'une lecture incertaine, (cf. Serre)

sous le cadre, à gauche, un grand croquis : une région de la base \(S\) balayée de courbes parallèles, avec, marqués sur elle, « \(S\) », « \(S_0\) » (fortement repassé), « \(S_1 \leftarrow S'\) » et, au-dessus, « \(A_{S'} \to B_{S'}\) » ; un point cerclé au coin inférieur gauche, où aboutit une flèche

b) Si \(t \in T\) est tel que car \(k(t) = p\), alors \(T\) majore un voisinage ouvert de \(t\). Donc si \(S_p = V(p \cdot 1_S)\), alors \(T\) est un voisinage (schématique) de \(T \cap S_p\). Cor. Supposons que pour tout \(s \in \mathrm{Ass}\,\mathcal{O}_S\), Supposons que pour tout \(s \in\) […] des pts de \(S\) […]

Cor. Soit \(Z\) l'ens. des […] ([…] pts maximaux de \(S\)) et de l'ens. des pts associés à \(\mathcal{O}_S\) et de ses points maximaux, […] […] \(\neq p\). Supposons que \[ z \in Z \Longrightarrow \exists\, s \in \overline{\{z\}} \text{ tel que } k(s) \text{ de car.\ } p \text{ et } s \in T \] (i.e. \(\overline{\{z\}} \cap S_p \cap T \neq \emptyset\)). Alors \(u_p\) est algébrique. la parenthèse « i.e. … » est ajoutée au-dessus de la ligne ; le « \(\neq p\) » isolé en tête de ligne termine une incise biffée dont l'attache est incertaine