Cote n° 100 · pages 1–52 · Lecture modernisée · Bonne réduction des variétés abéliennes via bonne réduction de Barsotti-Tate Tp (A) (base quelconque) : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1967-1968]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

L'inventaire date le dossier « à partir de 1967-1968 » et le range dans le groupe « Géométrie et topologie combinatoire » (dossiers 69 à 102, daté 1976-[vers 1986]), dont le sujet n'est pas le sien.¹

1. L'énoncé (page 2, repris page 4) : le foncteur \(A \mapsto (A_U, A[p^\infty], \mathrm{id})\) est pleinement fidèle, et une équivalence sous des hypothèses d'unibranchement.
2. La pleine fidélité (pages 3 et 4, reprise page 20) : le lieu où un homomorphisme de groupes \(p\)-divisibles est algébrique est un fermé qui contient un voisinage de chacun de ses points de caractéristique \(p\).
3. L'essentielle surjectivité, par réductions successives (pages 6 à 18) : \(S\) réduit, \(S\) géométriquement unibranche, \(S\) normal, \(S\) réduit par descente le long du normalisé, cas général par recollement.
4. La descente par un épimorphisme propre (pages 21 à 24) : pleine fidélité de la descente pour les schémas abéliens.
5. L'effectivité, et l'algébrisation des schémas abéliens formels (pages 26 à 38) : réduction à une base locale complète, construction formelle par les modules formels, un théorème d'algébrisation à trois conditions équivalentes, et l'argument de Baire qui le termine.
6. Le cas d'un schéma propre et plat quelconque (pages 40 à 44) : une remarque, et des remarques de descente en fragments.
7. Le cas d'un trait (pages 47 à 52) : le tapuscrit « Modèles de Néron et groupes \(p\)-divisibles », puis un lemme de sa main qui en supprime une hypothèse.

Les stations 4 à 6 sont les outils que réclame la station 3 : la réduction b) de la page 8 invoque le cas d'un trait, qui est la station 7 ; les réductions c) et d) des pages 10 à 14 demandent que les morphismes finis surjectifs soient de descente effective pour les schémas abéliens, ce que les pages 22 à 38 entreprennent d'établir ; la réduction a) de la page 6 a besoin du lemme d'algébrisation « modulo le nilradical » des pages 34 à 36. Les feuillets ne font eux-mêmes aucun de ces renvois, sinon par les mots « Raynaud » et « Tate » qui reviennent d'un bout à l'autre ; ces liens sont notre lecture.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(S\) est un schéma localement noethérien, \(U \subset S\) un ouvert, \(T = S - U\) le fermé complémentaire, et \(p\) un nombre premier tel que tout point \(t \in T\) ait un corps résiduel \(k(t)\) de caractéristique \(p\). Pour un schéma abélien \(A\), on note \(A[p^\infty] = (A[p^n])_n\) son groupe \(p\)-divisible.² Un homomorphisme \(v : A[p^\infty] \to B[p^\infty]\) est dit algébrique s'il est induit par un homomorphisme de schémas abéliens \(u : A \to B\) ; on note \(S_v\) le lieu où il l'est (page 3).³ \(\hat{\ }\) désigne une complétion formelle, \(S_{\mathrm{red}}\) le sous-schéma réduit, \(\mathcal{O}_{S,s}\) l'anneau local en \(s\) et \(S(s) = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,s}\). Les lettres \(S'\), \(S''= S' \times_S S'\), \(S''' = S' \times_S S' \times_S S'\) désignent, d'une section à l'autre, des bases auxiliaires différentes, comme sur les pages ; on rappelle chaque fois laquelle.

2–2

L'énoncé (page 2)

Théorème. Soient \(C\) la catégorie des schémas abéliens sur \(S\), et \(C'\) celle des triples \((A_U, M, \varphi)\), où \(A_U\) est un schéma abélien sur \(U\), \(M\) un groupe \(p\)-divisible sur \(S\) et \(\varphi : M|_U \xrightarrow{\ \sim\ } A_U[p^\infty]\) un isomorphisme. Soit \[ F : C \longrightarrow C', \qquad F(A) = \bigl(A \times_S U,\ A[p^\infty],\ \mathrm{id}\bigr). \]

1. 1)Si \(U\) rencontre toutes les composantes connexes de \(S\), \(F\) est pleinement fidèle.⁴
2. 2)Si de plus \(S\) est géométriquement unibranche en tout point de \(T\), et si le normalisé de \(S_{\mathrm{red}}\) est fini sur \(S\), \(F\) est une équivalence de catégories.⁵

Une condition de rechange, plus combinatoire, est essayée puis abandonnée. D'abord, biffée : pour tout \(t \in T\), deux composantes irréductibles du localisé strict de \(S\) en \(t\) se rencontrent ailleurs qu'en son point fermé. Puis, non biffée mais inachevée : pour un morphisme fini surjectif \(S' \to S\), on forme l'ensemble simplicial tronqué des composantes connexes \[ L_0 = \pi_0(S') \leftleftarrows L_1 = \pi_0(S'') \;\substack{\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow\\[-2pt]\leftarrow}\; L_2 = \pi_0(S'''), \] et le sous-ensemble simplicial \(K_\bullet\) des composantes dont l'image dans \(S\) rencontre \(U\) ; la condition b\('\)) demande que la plus petite partie de \(L_1\) contenant \(K_1\) et stable par l'opération déduite des faces de \(L_2\) soit \(L_1\) tout entier.⁶ C'est la forme que prendra la réduction d) des pages 12 et 14, où il faudra que \(U''\) soit dense dans \(S''\).

3–5

La pleine fidélité (pages 3 et 4)

La fidélité est connue : \(u \mapsto u[p^\infty]\) est injectif, parce qu'un homomorphisme de schémas abéliens nul sur les fibres est nul (rigidité), et que sur un corps un homomorphisme qui tue tous les \(A[p^n]\) se factorise par toutes les multiplications par \(p^n\), donc est nul, \(\mathrm{Hom}(A,B)\) étant un groupe abélien de type fini. Pour la plénitude, il faut montrer qu'un homomorphisme \(v : A[p^\infty] \to B[p^\infty]\) défini sur \(S\) et algébrique sur \(U\) est algébrique sur \(S\) ; l'unicité de l'homomorphisme \(u\) qui l'induit, par la fidélité, fera le reste.

Lemme (page 3). Soient \(A\), \(B\) deux schémas abéliens sur \(S\) et \(v : A[p^\infty] \to B[p^\infty]\). Il existe un sous-schéma fermé \(S_v\) de \(S\) tel que, pour tout \(S\)-schéma \(S'\), \(v_{S'}\) soit induit par un homomorphisme \(A_{S'} \to B_{S'}\) si et seulement si \(S' \to S\) se factorise par \(S_v\).⁷

Complément. Si \(t \in S_v\) et si \(k(t)\) est de caractéristique \(p\), alors \(S_v\) contient un voisinage ouvert de \(t\).

C'est le théorème de Serre–Tate qui le donne, bien que la page 3 ne le dise pas.⁸ Sur \(S_n = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,t}/\mathfrak{m}_t^{n+1}\), où \(p\) est nilpotent, un homomorphisme de schémas abéliens est la même chose qu'un homomorphisme de leurs réductions au point fermé et de leurs groupes \(p\)-divisibles qui se correspondent ; comme \(v_t\) est algébrique, \(v_{S_n}\) l'est pour tout \(n\). L'idéal de \(S_v\) est donc nul dans le complété de \(\mathcal{O}_{S,t}\), donc dans \(\mathcal{O}_{S,t}\), donc au voisinage de \(t\).

Corollaire (page 3). Si toute composante connexe de \(S\) rencontre \(U\) et si \(v|_U\) est algébrique, \(v\) est algébrique.

Démonstration. Le sous-schéma fermé \(S_v\) contient \(U\) (hypothèse), et contient un voisinage de chacun de ses points situés dans \(T\) (complément, puisque ces points sont de caractéristique \(p\)). Son idéal est donc nul au voisinage de chacun de ses points : \(S_v\) est un sous-schéma à la fois ouvert et fermé, une réunion de composantes connexes de \(S\). Toutes rencontrent \(U \subset S_v\) ; donc \(S_v = S\).⁹

Cela démontre 1). La page 4 récrit l'énoncé — triples, \(T\) de caractéristiques résiduelles toutes égales à \(p\), spécialisation \(U\) schématiquement dense —,¹⁰ puis la démonstration : si \(U\) est schématiquement dense, cela résulte de la référence laissée en blanc « [ ] 1.2 » ; dans le cas général, on remplace \(S\) par l'adhérence schématique \(S_0\) de \(U\), sur laquelle on dispose d'un homomorphisme \(A_{S_0} \to B_{S_0}\) compatible avec \(v\), et l'on remonte de \(S_0\) à \(S\) par Serre–Tate le long des voisinages infinitésimaux de \(T\), puis par complétion et descente fidèlement plate.¹¹

La marge de la page 4. Un bloc cerné, lourdement repris, dit que pour la pleine fidélité il suffit que \(U\) soit dense, et évoque un contre-exemple obtenu en recollant les spectres de deux anneaux de valuation discrète complets, \(U\) étant l'un des deux points maximaux ; il se termine sur « Y a-t-il des contre-exemples avec \(S\) de dim. 2 ? ».¹² Au verso (page 5), un feuillet d'un tapuscrit anglais sur les quotients par un groupe porte quelques notes de lui au crayon.¹³

L'essentielle surjectivité (pages 6 à 18)

On part d'un triple \((A_U, M, \varphi)\) et l'on cherche \(A\). L'hypothèse est celle de 2) : \(S\) géométriquement unibranche aux points de \(T\), normalisé de \(S_{\mathrm{red}}\) fini sur \(S\). La page la dédouble aussitôt en une hypothèse de descente : pour \(S' \to S\) convenable, l'image inverse \(U'\) (resp. \(U''\)) de \(U\) rencontre toutes les composantes connexes de \(S'\) (resp. \(S''\)) — de sorte que la pleine fidélité vaille sur \(S'\) et \(S''\). On peut supposer \(S = \mathrm{Spec}\,\Lambda\) affine.

6–7

a) Réduction au cas \(S\) réduit (page 6)

Soit \(S_0 = S_{\mathrm{red}}\), et supposons trouvé sur \(S_0\) un schéma abélien \(A_0\) qui résout le problème pour le triple induit. Soit \(T_n\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(T\) dans \(S\) ; \(p\) y est nilpotent, puisque tous les points de \(T\) sont de caractéristique \(p\). Par Serre–Tate, \(A_0\) et \(M\) définissent un schéma abélien sur chaque \(T_n\), donc un schéma abélien formel sur le complété \(\mathrm{Spf}\,\hat\Lambda\) de \(S\) le long de \(T\). Sa restriction au-dessus de \(S'_0 = (\mathrm{Spec}\,\hat\Lambda)_{\mathrm{red}}\) est algébrique — c'est l'image inverse de \(A_0\) —, donc il est algébrique sur \(S' = \mathrm{Spec}\,\hat\Lambda\), puisque \(S'_0 \to S'\) est une immersion nilpotente : on obtient un schéma abélien \(A'\) sur \(S'\).¹⁴ Or \[ U \sqcup S' \longrightarrow S \] est fidèlement plat, et \(A_U \sqcup A'\) est muni d'une donnée de descente relativement à ce morphisme. Elle est effective : la question ne dépend que de la réduction \(S_0\) de \(S\), où elle l'est, puisque \(A_0\) existe — c'est ce que la page attribue à « la réduction de Raynaud ».¹⁵

Un alinéa b), « réduction au cas \(S\) local, \(T\) réduit à un point fermé », est commencé puis biffé ; il se poursuit, biffé, en tête de la page 8.

8–10

b) Cas \(S\) géométriquement unibranche, par l'espace de modules (pages 8 et 10)

Après un revêtement convenable, \(A_U\) admet une rigidification de Jacobi — une structure de niveau — et une polarisation ; il définit donc un morphisme \(U \to R\) vers le schéma de modules \(R\) des schémas abéliens polarisés munis de cette structure.¹⁶ Soit \(S'\) l'adhérence du graphe de \(U \to R\) dans \(S \times R\). Par le critère valuatif, \(S' \to S\) est propre : sur un trait \(V\) qui envoie son point générique dans \(U\), le groupe \(p\)-divisible de \(A_U\) se prolonge (c'est \(M\)), donc \(A_U\) a bonne réduction sur \(V\) — c'est le cas d'un trait, que la page attribue à Raynaud et que traitent les pages 47 à 52.¹⁷

Il veut ensuite montrer que \(S' \to S\) est un isomorphisme ; par le théorème de Tate, cela revient à prouver que \(A_U\) se prolonge, quand \(A_U[p^\infty]\) se prolonge en \(M\), de façon unique à isomorphisme unique près. Par le Main Theorem de Zariski, il suffit de voir que les fibres \(S'_s\) sont finies. Soit \(S''\) le normalisé de \(S'\), supposé fini sur \(S'\). Par le théorème de Tate, le groupe \(p\)-divisible de l'image inverse sur \(S''\) du schéma abélien universel est \(M_{S''}\). Sur la fibre \(S''_s\), géométriquement connexe, cette famille a donc un groupe \(p\)-divisible constant ; il en conclut qu'elle est elle-même constante à un morphisme radiciel près, que \((S''_s)_{\mathrm{red}} \to R\) se factorise par un point, et que \(S''_s\) est radiciel sur \(k(s)\).¹⁸ Le cas où \(S''\) n'est pas fini sur \(S'\) se traiterait « par la méthode essentiellement de [ ] p. 75–76 ».

Ce que ce raisonnement peut donner, si on le complète, est que \(S' \to S\) est propre, quasi-fini, donc fini, birationnel et à fibres radicielles : un homéomorphisme universel. Ce n'est un isomorphisme que si \(S\) est normal.¹⁹

10–12

c) Cas \(S\) normal (pages 10 et 12)

Soit \(S\) normal et intègre. Choisissons un nombre premier \(\ell \neq p\), \(\ell \geq 3\),²⁰ et un revêtement fini étale surjectif \(U' \to U\) sur lequel \(A_{U'}\) est muni d'une rigidification de niveau \(\ell\). Soit \(S'\) le normalisé de \(S\) dans le corps des fonctions de \(U'\) ; c'est un schéma normal intègre fini sur \(S\), qui prolonge \(U' \to U\).²¹ Par b), appliqué sur \(S'\) qui est normal, on trouve sur \(S'\) un schéma abélien \(A'\) prolongeant \(A_U \times_U U'\), avec \(A'[p^\infty] \simeq M_{S'}\).

Soit \(S'' = S' \times_S S'\). Le morphisme \(S' \to S\), fini et dominant sur un schéma normal, est universellement ouvert ; donc \(U''\) est dense dans \(S''\), et la pleine fidélité (station 2), appliquée sur \(S''\), munit \(A'\) d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\).²² Le morphisme fini surjectif \(S' \to S\) est de descente effective pour les revêtements finis étales (SGA 1, exposé IX) ; la donnée de descente sur \(A'[\ell]\) fournit donc un revêtement fini étale en groupes \(N\) de \(S\), avec \(N|_U \simeq A_U[\ell]\). Un revêtement fini étale surjectif \(S_1 \to S\) qui trivialise \(N\) trivialise \(A_U[\ell]\) ; on peut donc refaire la construction avec \(S'\) étale sur \(S\), donc plat. Comme \(A'\) est projectif sur \(S'\), la donnée de descente est alors effective, et \(A'\) descend en un schéma abélien \(A\) sur \(S\) qui répond à la question.²³

12–14

d) Cas \(S\) réduit (pages 12 et 14)

Soit \(S\) réduit, et \(S' \to S\) son normalisé, fini par hypothèse. Comme \(S\) est géométriquement unibranche aux points de \(T\), \(S' \to S\) y est radiciel, et l'image inverse \(U''\) de \(U\) est dense dans \(S'' = S' \times_S S'\). Par c), on trouve sur \(S'\) un schéma abélien \(A'\), et la pleine fidélité pour \((S'', U'')\) le munit d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\). Un morphisme fini et épimorphique — ce qu'est \(S' \to S\), \(S\) étant réduit — est un morphisme de descente pour les schémas abéliens et pour les groupes \(p\)-divisibles (ce sont les corollaires 2 et 3 de la page 24) ; il reste à montrer que la donnée de descente est effective.²⁴ La page s'interrompt ici sur ce point.

14–18

e) Cas général, par recollement (pages 14 à 18)

On peut supposer \(S\) réduit (par a)). Pour tout \(s \in S\), le cas local donne sur \(S(s) = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{S,s}\) une solution \(A(s)\) du problème induit, avec \(U(s) = U \times_S S(s)\), \(T(s) = T \cap S(s)\), \(M(s)\). Par unicité, les \(A(s)\) forment un système cohérent : pour \(t\) générisation de \(s\), \(A(t) \simeq A(s) \times_{S(s)} S(t)\), avec la transitivité. Il faut un lemme qui fasse de ce « système local » un schéma abélien sur \(S\).

Lemme (page 16). Sur \(S\) localement noethérien, un système local de schémas abéliens provient d'un schéma abélien.²⁵ Une fois \(A\) obtenu, on a \(A \times_S U \simeq A_U\), et un isomorphisme \(A[p^\infty] \simeq M\) qui induit les isomorphismes donnés sur les \(S(s)\) ; il est donné sur \(U\), et la pleine fidélité le prolonge.

Le feuillet 18, qu'il numérote « 2 bis », donne l'outil du recollement :

Lemme (page 18). Soient \(S\) noethérien réduit, \(t \in S\), et \(B\) un schéma abélien sur \(S\). Il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(t\) tel que, pour tout voisinage ouvert \(V' \subset V\) de \(t\), tout schéma abélien \(B'\) sur \(V'\) et tout isomorphisme \(\varphi_t : B' \times_S S(t) \simeq B \times_S S(t)\), il existe un isomorphisme \(\varphi : B' \simeq B|_{V'}\) qui prolonge \(\varphi_t\), quitte à restreindre \(V'\) ; il est unique dès que toute composante irréductible de \(V'\) contient \(t\).²⁶

20–20

La reprise de la page 20

La page 20 reprend le lemme de la page 3 pour \(\ell = p\), avec une meilleure conclusion. Soient \(A\), \(B\) schémas abéliens sur \(S\) et \(v : A[p^\infty] \to B[p^\infty]\) ; quand \(v\) provient-il d'un homomorphisme \(A \to B\) ?

1. a)Il y a un plus grand sous-schéma \(S_v\) de \(S\) sur lequel \(v\) est algébrique ; il est fermé, et sa formation commute à tout changement de base localement noethérien.
2. b)Si \(t \in S_v\) et \(k(t)\) est de caractéristique \(p\), \(S_v\) contient un voisinage ouvert de \(t\).

Corollaire. Soit \(Z\) l'ensemble des points associés de \(\mathcal{O}_S\). Supposons que pour tout \(z \in Z\), l'adhérence \(\overline{\{z\}}\) rencontre \(S_v\) en un point de caractéristique \(p\). Alors \(v\) est algébrique.

Démonstration. Par b), \(S_v\) contient un ouvert \(W\) qui rencontre chaque \(\overline{\{z\}}\) ; un ouvert étant stable par générisation, \(W\) contient tous les points associés, et l'idéal \(I\) de \(S_v\) est nul en chacun d'eux. Or les points associés de \(I \subset \mathcal{O}_S\) sont des points associés de \(\mathcal{O}_S\) ; donc \(I = 0\) et \(S_v = S\).²⁷

21–24

La descente par un épimorphisme propre (pages 21 à 24)

Au pied d'un feuillet du tapuscrit anglais (page 21), quelques lignes de sa main esquissent le schéma de toute la suite : \(A\) sur \(S\) et \(A'\) sur \(S'\), deux images inverses \(A''_1\), \(A''_2\) sur \(S''\) dont les groupes \(p\)-divisibles sont isomorphes, \(S \leftarrow S' \leftleftarrows S''\), et, pour un \(S'\) fait de deux copies, \(S'' = S' \sqcup S'\).²⁸ La question est : un schéma abélien sur \(S'\) dont les deux images inverses sur \(S''\) sont identifiées descend-il à \(S\) ?

Dans cette section, \(f : S' \to S\) est un morphisme propre de schémas localement noethériens, \(S'' = S' \times_S S'\), \(p_1, p_2 : S'' \to S'\) les projections et \(h = f p_1 = f p_2\). On dit que \(f\) est un épimorphisme si \(\mathcal{O}_S \to f_*\mathcal{O}_{S'}\) est injectif ; propre et épimorphique, \(f\) est surjectif.²⁹

Lemme 1 (page 22). Soient \(f : S' \to S\) un épimorphisme propre de schémas localement noethériens et \(X\) un \(S\)-schéma formellement non ramifié. La suite \[ \mathrm{Hom}_S(S, X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_S(S', X) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_S(S'', X) \] est exacte.³⁰

Démonstration. Soit \(g' : S' \to X\) avec \(g' p_1 = g' p_2\). Comme \(f\) est surjectif et fermé, c'est une application quotient, et \(g'\), constante sur les fibres, se factorise en une application continue \(g_0 : S \to X\). Le morphisme \(g'^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{S'}\) définit \(g_0^{-1}\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{S'}\), et l'égalité \(g' p_1 = g' p_2\) dit qu'il prend ses valeurs dans \[ \mathcal{A} = \mathrm{Ker}\bigl(f_*\mathcal{O}_{S'} \rightrightarrows h_*\mathcal{O}_{S''}\bigr). \] Donc \(g'\) se factorise par \(S' \to S'_1 = \mathrm{Spec}\,\mathcal{A} \to X\). L'algèbre \(\mathcal{A}\) est cohérente (EGA III 3, \(f\) étant propre), donc \(S'_1 \to S\) est fini ; il est radiciel, parce que les deux morphismes \(S'' \rightrightarrows S'_1\) coïncident par définition de \(\mathcal{A}\) et que \(S'' \to S'_1 \times_S S'_1\) est surjectif, si bien que \(S'_1 \times_S S'_1\) est ensemblistement réduit à sa diagonale ; et c'est un épimorphisme, puisque \(\mathcal{O}_S \subset \mathcal{A} \subset f_*\mathcal{O}_{S'}\).³¹ On est donc ramené au cas d'un épimorphisme fini radiciel :

Corollaire 1 (page 22). Soient \(f : S' \to S\) un épimorphisme entier et radiciel, \(S\) localement noethérien, et \(X\) un \(S\)-schéma non ramifié, localement de type fini. Alors \(\mathrm{Hom}_S(S, X) \to \mathrm{Hom}_S(S', X)\) est bijectif.³²

Corollaire 2 (page 24). Un épimorphisme propre \(f\) de schémas localement noethériens est un morphisme de descente pour les schémas abéliens relatifs : le foncteur image inverse est pleinement fidèle.

En effet, pour \(A\), \(B\) schémas abéliens sur \(S\), le foncteur \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B)\) est représentable et non ramifié sur \(S\), et le lemme 1 s'applique à \(X = \underline{\mathrm{Hom}}_ {\mathrm{gr}}(A,B)\).³³

Corollaire 3 (page 24). Le même \(f\) est un morphisme de descente pour les groupes \(p\)-divisibles.

L'argument du lemme 1 ramène à l'analogue du corollaire 1 pour \(X = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, B)\), \(A\), \(B\) groupes \(p\)-divisibles, et il faut prouver que \(X\) est formellement non ramifié. La page s'arrête sur cette exigence, sans la démontrer.³⁴

26–30

L'effectivité : vers une base locale complète (pages 26 à 30)

On suppose maintenant que \(f\) est un épimorphisme effectif, et l'on veut montrer qu'il est de descente effective : un schéma abélien \(A'\) sur \(S'\) muni d'une donnée de descente relativement à \(S' \to S\) provient d'un schéma abélien sur \(S\).³⁵

a) Réduction au cas \(S\) local, \(S = \mathrm{Spec}\,R\) : par passage à la limite.

b) Réduction au cas \(S\) local complet : on descend le long de \(\mathrm{Spec}\,\hat R \to \mathrm{Spec}\,R\), fidèlement plat, par le critère de descente fpqc des schémas abéliens « de Raynaud ». Il faut alors savoir que les morphismes déduits par changement de base de \(f\) au-dessus de \(\mathrm{Spec}\,\hat R \times_S \mathrm{Spec}\,\hat R\), qui n'est plus localement noethérien, sont encore de descente, et le corollaire 2 ne s'applique plus. On s'en tire en remarquant que ce dont l'argument du lemme 1 avait besoin, que l'algèbre noyau \(\mathrm{Ker}\bigl(f_{2*}\mathcal{O}_{S'_2} \rightrightarrows h_{2*}\mathcal{O}_{S''_2}\bigr)\) soit radicielle sur \(\mathcal{O}_{S_2}\), reste vrai au-dessus de \(S_2\).³⁶

28–30

d) Construction d'un schéma abélien formel (pages 28 et 30)

Soient \(R\) local complet, \(s\) son point fermé, \(k\) son corps résiduel, \(S_0 = \mathrm{Spec}\,k\), et \(S'_0\), \(S''_0\) les fibres en \(s\). D'abord, \(A'_0\) descend en une variété abélienne \(A_0\) sur \(k\).³⁷

On complète \(S'\), \(S''\), \(S'''\), \(A'\), \(A''\), \(A'''\) le long des fibres en \(s\) : on obtient un schéma abélien formel \(\hat A'\) sur \(\hat S'\) muni d'une donnée de descente relativement à \(\hat S' \to \hat S\), et il s'agit de descendre dans la catégorie des schémas abéliens formels. Soient \(\Lambda_0 = \mathrm{Spf}\,W(k)\) et \(\mathcal{M}\) le schéma formel des modules de \(A_0\).³⁸ Un lemme facile — pratiquement trivial si \(S'\) est fini sur \(S\) — dit que se donner un prolongement formel \(\hat A'\) de \(A'_0 = A_0 \otimes_k S'_0\) sur \(\hat S'\) équivaut à se donner un \(\Lambda_0\)-morphisme \(\varphi' : \hat S' \to \mathcal{M}\), et de même sur \(\hat S''\). La donnée de descente sur \(\hat A'\) qui prolonge celle de \(A'_0\) équivaut à \(\varphi' \hat p_1 = \varphi' \hat p_2\). Or la suite \[ \hat S \longleftarrow \hat S' \leftleftarrows \hat S'' \] est exacte dans les schémas formels — trivial si \(S'\) est fini sur \(S\), et en général par le théorème de comparaison formel-algébrique appliqué à l'épimorphisme effectif \(f\). Il existe donc \(\varphi : \hat S \to \mathcal{M}\) avec \(\varphi \hat f = \varphi'\), c'est-à-dire un schéma abélien formel \(\hat A\) sur \(\hat S\) qui descend \(\hat A'\).³⁹ Par le théorème de comparaison — le théorème d'existence de Grothendieck, EGA III 5 —, il reste à prouver que \(\hat A\) est algébrique : si \(\hat A\) est le complété d'un schéma abélien \(A\), l'isomorphisme formel \(\hat A_{\hat S'} \simeq \hat A'\) s'algébrise et identifie \(A_{S'}\) à \(A'\) avec sa donnée de descente.

Théorème (page 30). Soient \(R\) un anneau local noethérien complet, \(S = \mathrm{Spec}\,R\), et \(\hat A\) un schéma abélien formel sur \(\hat S = \mathrm{Spf}\,R\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)\(\hat A\) est algébrisable : il existe un schéma abélien \(A\) sur \(S\) dont \(\hat A\) est le complété formel ;
2. (ii)il existe un morphisme propre surjectif \(S' \to S\) tel que l'image inverse de \(\hat A\) sur \(\hat S'\) soit algébrisable ;
3. (iii)pour tout quotient intègre \(B\) de \(R\) de dimension \(1\), de normalisé \(B'\), l'image inverse de \(\hat A\) sur \(\mathrm{Spf}\,B'\) est algébrisable.⁴⁰

(i) \(\Rightarrow\) (ii) est trivial. (ii) \(\Rightarrow\) (iii). Soient \(\Theta = \mathrm{Spec}\,B'\), un trait complet, et \(\Theta' = S' \times_S \Theta\), propre et surjectif sur \(\Theta\), qui rend \(\hat A_{\hat\Theta}\) algébrique. Il existe un trait \(\Theta_1\) fini sur \(\Theta\) et un \(\Theta\)-morphisme \(\Theta_1 \to \Theta'\) ; donc \(\hat A_{\hat\Theta_1}\) est algébrique, et définit un schéma abélien \(A_{\Theta_1}\) sur \(\Theta_1\), muni — par le théorème de comparaison — d'une donnée de descente relativement à \(\Theta_1 \to \Theta\). Elle est effective, parce que \(\Theta_1 \to \Theta\) est fini et fidèlement plat et que \(A_{\Theta_1}\), schéma abélien sur un trait, est projectif.⁴¹

32–34

Le théorème d'algébrisation : (iii) entraîne (i) (pages 32 et 34)

(iii) \(\Rightarrow\) (ii\('\)), où (ii\('\)) est (ii) avec \(S' \to S\) fini surjectif. Soient \(S_n = \mathrm{Spec}\,R/\mathfrak{m}^{n+1}\), \(A_n\) la réduction de \(\hat A\) sur \(S_n\), \(N_n = \underline{\mathrm{NS}}_{A_n/S_n}\) et \(P_n \subset N_n\) l'ouvert des polarisations. Les \(P_n\) se recollent en un schéma formel \(\hat P\) sur \(\hat S\), réunion d'une famille dénombrable de schémas finis et non ramifiés sur \(S\) : \[ \hat P = \coprod_\alpha \widehat{P^\alpha}, \qquad P^\alpha \text{ fini et non ramifié sur } S, \qquad Z_\alpha = \mathrm{Im}(P^\alpha \to S). \] L'hypothèse (iii) donne, pour chaque \(B\), une polarisation de \(\hat A_{\mathrm{Spf}\,B'}\), donc un \(S\)-morphisme \(\mathrm{Spec}\,B' \to P^\alpha\) pour un \(\alpha\) convenable : le point générique \(x\) de \(\mathrm{Spec}\,B\) est dans \(Z_\alpha\). La réunion \(\bigcup_\alpha Z_\alpha\) contient donc tous les \(x \in S\) tels que \(\dim \overline{\{x\}} = 1\) (et le point fermé). Par la proposition de la page 36, un nombre fini de \(Z_\alpha\) recouvrent \(S\) ; la somme \(S'\) des \(P^\alpha\) correspondants est finie et surjective sur \(S\), et \(\hat A_{\hat S'}\), muni de la polarisation tautologique, est algébrisable par le théorème d'existence.

(ii\('\)) \(\Rightarrow\) (i), pour le \(S'\) qu'on vient de construire. Par le lemme sur \(S_{\mathrm{red}}\) ci-dessous, on peut supposer \(S\) réduit. Quitte à faire une extension étale finie de \(S\), et à redescendre — ce qui est possible « par Raynaud » —, on peut supposer triviales les extensions résiduelles de \(S' \to S\). Alors chaque composante connexe \(S'_i\) de \(S'\) est locale, et \(S'_i \to S\) est une immersion fermée.⁴² Si \(S\) est irréductible, l'une de ces immersions fermées est un isomorphisme, puisque leur somme est surjective, et l'on conclut. Sinon, on passe aux composantes irréductibles :

Lemme (page 34). Soient \(R\) local noethérien complet, \(S = \mathrm{Spec}\,R\) réduit, et \(\hat X\) un schéma formel propre sur \(\hat S\). Si pour toute composante irréductible \(S_i\) de \(S\), munie de sa structure réduite, \(\hat X \times_{\hat S} \hat S_i\) est algébrique, alors \(\hat X\) l'est.

Par récurrence sur le nombre de composantes : \(S = S' \cup S''\) avec \(S'\), \(S''\) fermés, \(\hat X_{\hat S'}\) et \(\hat X_{\hat S''}\) proviennent de \(X'\) et \(X''\), qui sont isomorphes au-dessus de \(S' \cap S''\) par le théorème de comparaison ; on recolle \(X'\) et \(X''\) par cet isomorphisme.⁴³

34–36

Algébricité modulo le nilradical (pages 34 et 36)

Lemme (page 34). Soient \(R\) local noethérien complet, \(S = \mathrm{Spec}\,R\), et \(\hat X\) un schéma formel propre et lisse sur \(\hat S\). Si \(\hat X \times_{\hat S} \hat S_{\mathrm{red}}\) est algébrique, \(\hat X\) l'est.⁴⁴

On se ramène à un idéal \(J\) de carré nul, \(S_0 = V(J)\), avec \(\hat X_{\hat S_0}\) algébrique, de la forme \(\hat X_0\) pour un \(X_0\) propre et lisse sur \(S_0\). On compare la théorie des prolongements infinitésimaux de \(X_0\) en un \(X\) lisse sur \(S\) et celle de \(\hat X_0\) en un \(\hat X\) lisse sur \(\hat S\) :

1. 1°)l'obstruction vit dans « le même » groupe, \[ H^2(X_0, \mathcal{T}_{X_0/S_0} \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} J) \simeq H^2(\hat X_0, \mathcal{T}_{\hat X_0/\hat S_0} \otimes \hat J), \] et c'est la même obstruction ;
2. 2°)les prolongements forment, de part et d'autre, un torseur sous « le même » groupe \[ H^1(X_0, \mathcal{T} \otimes J) \simeq H^1(\hat X_0, \hat{\mathcal{T}} \otimes \hat J). \]

Les isomorphismes sont ceux du théorème de comparaison, \(R\) étant complet. Comme le prolongement formel \(\hat X\) existe, l'obstruction est nulle, il existe un prolongement algébrique, et la complétion met en bijection les classes de prolongements algébriques et formels ; \(\hat X\) est donc le complété d'un \(X\).

36–38

Un argument de Baire (pages 36 et 38)

Il reste à prouver la proposition dont (iii) \(\Rightarrow\) (ii\('\)) avait besoin.

Proposition (page 36). Soient \(R\) un anneau local noethérien complet, \(S = \mathrm{Spec}\,R\), et \((Z_i)_{i \in I}\) une famille dénombrable de parties fermées de \(S\) dont la réunion contient tout point \(x\) tel que \(\dim \overline{\{x\}} \leq 1\). Alors une sous-famille finie recouvre \(S\).⁴⁵

Si \(\dim S \leq 1\), c'est trivial : la réunion contient les points génériques, qui sont en nombre fini. En général, il suffit, composante irréductible par composante, de trouver un \(Z_i\) qui contienne le point générique ; c'est la contraposée du

Corollaire (page 38). Si les \(Z_i\) sont rares dans \(S\) intègre, il existe \(x \in S\), \(\dim \overline{\{x\}} = 1\), avec \(x \notin \bigcup Z_i\).

Démonstration. Par le théorème de structure de Cohen, \(R\) est fini sur un anneau \(V[[T_1, \ldots, T_n]]\), \(V\) anneau de valuation discrète complet d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\).⁴⁶ Les images des \(Z_i\) dans \(\Theta = \mathrm{Spec}\,V[[T_1, \ldots, T_n]]\) sont des fermés rares, et il suffit de trouver un point \(x\) de \(\Theta\) de dimension \(1\) hors de leur réunion : un point de \(S\) au-dessus de \(x\) est alors de dimension \(1\) et hors des \(Z_i\). Les \(V\)-homomorphismes \(\varphi : V[[T_1, \ldots, T_n]] \to V\) sont paramétrés par \((\varphi(T_1), \ldots, \varphi(T_n)) \in \mathfrak{m}^n\), espace métrique complet ; le noyau de chacun définit un point \(x_\varphi\) de dimension \(1\). Pour un fermé rare \(Z \subset V(f)\), \(f \neq 0\), la condition \(x_\varphi \in V(f)\) s'écrit \(f(\varphi(T_1), \ldots, \varphi(T_n)) = 0\), et définit une partie fermée rare de \(\mathfrak{m}^n\). Par le théorème de Baire, une réunion dénombrable de fermés rares de \(\mathfrak{m}^n\) n'est pas \(\mathfrak{m}^n\) tout entier, et un \(\varphi\) hors de cette réunion convient.⁴⁷

40–44

Le cas d'un schéma propre et plat (pages 40 à 44)

Remarque (page 40). Soient \(S = \mathrm{Spec}\,R\) local noethérien complet de corps résiduel \(k\), et \(\hat X\) un schéma formel propre et plat sur \(\hat S\) tel que \(H^0(X_0, \mathcal{O}_{X_0}) = k\). On suppose les \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n}\) plats (par exemple \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_0/k}\) lisse), et l'on forme \[ \underline{\mathrm{NS}}_{X_n/S_n} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_n/S_n} / \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_n/S_n}, \qquad P_n = \underline{\mathrm{NS}}^+_{X_n/S_n} \ \text{(polarisations relatives)}. \] Comme aux pages 32 et 34, les \(P_n\) se recollent en \(\hat P = \coprod_\alpha \hat P_\alpha\), les \(P_\alpha\) finis sur \(S\) et connexes, et en procédant comme plus haut on trouve équivalentes :

1. (i)il existe \(S' \to S\) propre surjectif avec \(\hat X_{\hat S'}\) algébrisable et projectif ;
2. (ii)pour tout sous-schéma fermé \(T \subset S\) de dimension \(\leq 1\), de normalisé \(T'\), \(\hat X_{\hat T'}\) est algébrisable et projectif ;
3. (iii)il existe \(S' \to S\) fini surjectif avec \(\hat X_{\hat S'}\) algébrisable et projectif ;
4. (iv)il existe \(S' \to S\) fini surjectif tel que, pour toute composante irréductible \(S'_i\) de \(S'\) munie de la structure réduite, \(\hat X_{\hat S'_i}\) soit algébrisable et projectif.

De plus, sous (iv), \(\hat X\) est algébrique.⁴⁸

N.B. (page 42). Si \(X_0\) est un schéma abélien, ces conditions équivalent à ce que \(\hat X\) soit algébrisable, et l'on peut supprimer la condition de projectivité dans (i) à (iv).⁴⁹

Remarques de descente (pages 42 et 44). Soient \(S' \to S\) un morphisme de descente effective, \(S\) localement noethérien, et \(X'\) propre et plat sur \(S'\), muni d'une donnée de descente relativement à \(S\) ; la donnée est-elle effective ? a) On se ramène aux anneaux locaux \(\mathcal{O}_{S,s}\) ; b) par descente fidèlement plate, à leurs complétés ; c) si les fibres de \(X'\) n'ont pas d'automorphismes infinitésimaux, on obtient un schéma formel \(\hat X\) sur \(\hat S\) qui descend \(\hat X'\) ; d) si, de plus, \(X'\) devient projectif après un \(S'' \to S'\) surjectif et si les \(\underline{\mathrm{Pic}}^0_{X'_n/S'_n}\) sont plats, la donnée de descente devient effective après une extension finie étale \(T\) de \(\mathrm{Spec}\,\hat{\mathcal{O}}_{S,s}\), composante irréductible par composante irréductible de \(T\). Une dernière remarque énonce : pour \(S' \to S\) propre et effectif, \(X'\) propre et plat sur \(S'\) muni d'un faisceau inversible \(L'\), et une donnée de descente sur \((X', L')\), si aucune fibre \((X'_{s'}, L'_{s'})\) n'a d'automorphisme infinitésimal, la donnée est effective — « argument par modules formels… ».⁵⁰

47–50

Le cas d'un trait : « Modèles de Néron et groupes \(p\)-divisibles » (pages 47 à 50)

Ces quatre feuillets sont un tapuscrit, non signé, non daté, qui parle à la première personne (« je sais maintenant prouver le théorème de Tate ») et cite « la note sur les modèles de Néron, prop. 2.5 » et « le séminaire de l'an dernier ». Ils sont annotés à l'encre bleue et au crayon.⁵¹

Dans cette section, \(S\) est un trait — le spectre d'un anneau de valuation discrète —, de point générique \(\eta\) et de point fermé \(s\). Un \(S\)-schéma en groupes \(G\) est dit néronien s'il est lisse, séparé, de type fini, et possède la propriété universelle de Néron : tout \(\eta\)-morphisme \(Y_\eta \to G_\eta\) issu d'un \(S\)-schéma lisse \(Y\) se prolonge en un \(S\)-morphisme \(Y \to G\) ; c'est le modèle de Néron de \(G_\eta\).⁵² \(H = (H_n)_n\) est un \(S\)-groupe \(p\)-divisible, \(H_n\) le noyau de \(p^n\).

Théorème. Soient \(G\) un \(S\)-schéma en groupes néronien, dont la fibre générique est extension d'une variété abélienne par un tore, et \(H\) un \(S\)-groupe \(p\)-divisible. Tout homomorphisme \(u_\eta : H_\eta \to G_\eta\) se prolonge de manière unique en un \(S\)-homomorphisme \(u : H \to G\).⁵³

Lemme 1. Supposons \(S\) hensélien. Soient \(G\) néronien et commutatif, \(M\) un \(S\)-schéma en groupes fini et plat, \(M^0\) sa composante neutre, et \(u_\eta : M_\eta \to G_\eta\) un homomorphisme. Pour que \(u_\eta\) se prolonge, il faut et il suffit que \(u_\eta|_{M^0_\eta}\) se prolonge en \(u^0 : M^0 \to G\).⁵⁴

La nécessité est claire. Pour la suffisance, considérons \[ v_\eta : M_\eta \times G_\eta \longrightarrow G_\eta, \qquad (m, g) \longmapsto u_\eta(m) + g ; \] il suffit de prolonger \(v_\eta\) en \(v : M \times_S G \to G\), et \(v|_M\) prolongera \(u_\eta\). Soient \(P_\eta = \mathrm{Ker}\,v_\eta\) et \(P\) son adhérence schématique dans \(M \times_S G\). Comme \(v_\eta\) identifie \((M_\eta \times G_\eta)/P_\eta\) à \(G_\eta\), la propriété de Néron prolonge cette identification dès que le quotient \((M \times_S G)/P\) est lisse ; c'est le

Lemme 2. Le \(S\)-schéma en groupes \((M \times_S G)/P\) existe et est lisse sur \(S\).⁵⁵

Le morphisme \(v^0 : M^0 \times_S G \to G\), \((m, g) \mapsto u^0(m) + g\), prolonge \(v_\eta|_{M^0_\eta \times G_\eta}\), et il est scindé par \(g \mapsto (0, g)\) ; d'où une suite exacte \[ 0 \to \mathrm{Ker}\,v^0 \to M^0 \times_S G \to G \to 0, \] où \(\mathrm{Ker}\,v^0 \simeq M^0\) est plat et \((M^0 \times_S G)/\mathrm{Ker}\,v^0 \simeq G\) lisse. Par ailleurs \((M \times_S G)/(M^0 \times_S G) = M/M^0\) est étale, de sorte que \((M \times_S G)/\mathrm{Ker}\,v^0\), extension d'un groupe étale par un groupe lisse, est lisse. Enfin \(\mathrm{Ker}\,v^0\), plat, est l'adhérence de sa fibre générique, contenue dans \(P_\eta\) ; donc \(\mathrm{Ker}\,v^0 \subset P\), et \((M \times_S G)/P\) est lisse comme quotient d'un groupe lisse.⁵⁶

Démonstration du théorème. L'unicité est claire, \(H\) étant plat et \(G\) séparé. La propriété de Néron se conserve par hensélisation : on peut supposer \(S\) hensélien. Par le lemme 1 appliqué aux \(H_n\), on peut remplacer \(H\) par sa partie connexe, et supposer \(H\) connexe.

a) Cas où \(G\) est semi-stable, c'est-à-dire où les fibres de la composante neutre \(G^0\) sont extensions de variétés abéliennes par des tores. Soient \(G_\eta[p^\infty]\) le groupe \(p\)-divisible de \(G_\eta\) et \(G'\) le \(S\)-groupe \(p\)-divisible défini par \(G^0\), sa partie finie. On sait que \(G''_\eta = G_\eta[p^\infty]/G'_\eta\) est non ramifié, et se prolonge donc en un \(S\)-groupe \(p\)-divisible étale \(G''\).⁵⁷ Par le théorème de Tate, le composé \(H_\eta \xrightarrow{u_\eta} G_\eta[p^\infty] \to G''_\eta\) se prolonge en \(H \to G''\), qui est nul, \(H\) étant connexe et \(G''\) étale. Donc \(u_\eta\) se factorise par \(G'_\eta\) et, encore par Tate, se prolonge en \(H \to G' \subset G\).

b) Cas général. Il existe une extension finie et plate de traits \(S' \to S\), de point générique \(\eta'\), telle que le modèle de Néron \(\mathcal{G}'\) de \(G_{\eta'}\) sur \(S'\) soit semi-stable.⁵⁸ Par a), \(u_{\eta'}\) se prolonge en \(u' : H_{S'} \to \mathcal{G}'\). Or \(G\) se reconstruit à partir de \(\mathcal{G}'\) : la restriction de Weil \(\mathcal{G} = \prod_{S'/S} \mathcal{G}'\) est néronienne, \(G_\eta\) s'identifie à un sous-groupe de \(\mathcal{G}_\eta\), et si \(G_1\) est l'adhérence schématique de \(G_\eta\) dans \(\mathcal{G}\), \(G\) est le « lissifié » de \(G_1\).⁵⁹ Par la propriété universelle de \(\prod_{S'/S}\), \(u'\) fournit \(H \to \mathcal{G}\), qui prolonge \(u_\eta\) et se factorise par \(G_1\), \(H\) étant plat : soit \(u_1 : H \to G_1\). Il reste à relever \(u_1\) à \(G\). Comme \(H\) est connexe, on peut supposer \(p\) égal à la caractéristique résiduelle de \(S\).

Lemme 3. Soit \(f : G \to G_1\) le morphisme canonique, isomorphisme sur les fibres génériques. Il existe \(n \geq 0\) et \(g : G_1 \to G\) tels que \(f g = p^n\) dans \(G_1\).⁶⁰

Alors \(g u_1 : H \to G\) s'annule sur \(H_n\), puisqu'il en est ainsi sur la fibre générique (\(g_\eta u_{1,\eta} = f_\eta^{-1} p^n u_{1,\eta}\)) et que \(H_n\) est plat ; il se factorise donc par \(p^n : H \to H\), de noyau \(H_n\) : il existe \(u : H \to G\) avec \(u \circ p^n = g u_1\). Alors \(f u \circ p^n = p^n u_1 = u_1 \circ p^n\), et comme \(p^n\) est un épimorphisme, \(f u = u_1\) : \(u\) prolonge \(u_\eta\).⁶¹

Remarques du tapuscrit. La démonstration utilise deux fois le théorème de Tate, qui en toute rigueur n'est démontré que lorsque \(\eta\) est de caractéristique \(0\). La première fois, le groupe d'arrivée \(G''\) est étale, et le théorème est alors facile. L'auteur sait maintenant le démontrer quand la partie connexe du groupe d'arrivée, sur la fibre générique, est de type multiplicatif.⁶²

Corollaire. Soit \(G_\eta\) un groupe sur \(\eta\), extension d'une variété abélienne par un tore, et \(p\) la caractéristique résiduelle de \(S\), supposée \(> 0\). Pour que \(G_\eta\) ait bonne réduction sur \(S\), il faut et il suffit que son groupe \(p\)-divisible se prolonge en un \(S\)-groupe \(p\)-divisible.⁶³

51–52

Un lemme qui supprime l'hypothèse (pages 51 et 52)

Lemme (page 51). Soient \(K\) un corps, \(G\) un groupe algébrique sur \(K\), \(M = (M(n))_n\) un groupe \(p\)-divisible sur \(K\) et \(\varphi : M \to G\) un homomorphisme. On suppose que \(K\) est de caractéristique \(p\), ou bien que \(K\) est parfait et que \(G\) ne contient pas de sous-groupe isomorphe à \(\mathbf{G}_a\). Alors \(\varphi\) se factorise par un sous-groupe \(H\) de \(G\), extension d'une variété abélienne par un tore.⁶⁴

Démonstration. Soit \(Z_n\) le centralisateur de \(\varphi(M(n))\). Les \(Z_n\) forment une suite décroissante de sous-groupes fermés, donc stationnaire ; soit \(Z\) sa valeur finale. Les \(\varphi(M(n))\) sont commutatifs, contenus les uns dans les autres, et centralisent \(Z\) : \(\varphi\) se factorise par le centre de \(Z\), qui est commutatif.⁶⁵ On peut donc supposer \(G\) commutatif. Le composé \(M \to G \to G/G^0\) est nul, un groupe fini ne recevant pas d'image non nulle d'un groupe \(p\)-divisible ; on peut supposer \(G\) connexe.

1er cas : \(K\) de caractéristique \(p\). Pour tout \(\nu\), \(\varphi\) se factorise par \(p^\nu G\), car \(M(n) = p^\nu M(n + \nu)\). Pour \(\nu\) grand, \(p^\nu G\) est extension d'une variété abélienne par un tore.⁶⁶

2e cas : \(K\) parfait, sans \(\mathbf{G}_a\) dans \(G\). Alors \(G_{\mathrm{red}}\) est lisse, et sa partie unipotente, déployée sur un corps parfait, est nulle faute de \(\mathbf{G}_a\) : \(G_{\mathrm{red}}\) est extension d'une variété abélienne par un tore. Si \(p\) est distinct de la caractéristique, les \(M(n)\) sont étales, et \(\varphi\) se factorise par \(G_{\mathrm{red}}\) ; si \(p\) est la caractéristique, on est dans le 1er cas.⁶⁷

Application (page 52). Soient \(S\) un trait de corps des fonctions \(K\) et de corps résiduel \(k\), \(G\) un \(S\)-schéma en groupes néronien, \(M\) un \(S\)-groupe \(p\)-divisible et \(\varphi_K : M_K \to G_K\). Alors \(\varphi_K\) se prolonge, de façon évidemment unique, en \(\varphi : M \to G\).

Si \(p\) est distinct de la caractéristique résiduelle, \(M\) est étale, et la propriété de Néron suffit. Supposons \(p = \mathrm{car}\,k\). Alors \(K\) est de caractéristique \(p\), ou de caractéristique \(0\) et donc parfait ; et \(G_K\) ne contient pas de \(\mathbf{G}_a\), puisqu'il admet un modèle de Néron. Le lemme donne \(H_K \subset G_K\), extension d'une variété abélienne par un tore, et \(\psi_K : M_K \to H_K\) par lequel \(\varphi_K\) se factorise. \(H_K\) admet un modèle de Néron \(H\), et l'inclusion \(H_K \to G_K\) se prolonge en \(i : H \to G\).⁶⁸ Le théorème du tapuscrit, appliqué à \(H\) — la page dit « le th. de Raynaud pour \(H\) » —, prolonge \(\psi_K\) en \(\psi : M \to H\), et \(\varphi = i \circ \psi\). « On gagne ! »

L'hypothèse du tapuscrit sur la fibre générique est ainsi superflue, comme le disait la marge au crayon de la page 47 : il suffit que \(G\) soit néronien. Et c'est sous cette forme que le cas d'un trait sert la page 8.