Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 181–197

L'hypergroupe discret des classes indécomposables (suite)

Les pages 181 et 182 continuent sans coupure la rédaction commencée page 180. Elles sont écrites d'un trait rapide : les formules et les énoncés soulignés portent, une grande partie de la prose de liaison ne porte pas.

sur \Gamma^{+}, i.e. la fonction « dimension d'un module ».

Le symbole est tracé d'une plume chargée, un \Gamma à pied empatté ; il désigne le groupe libre \mathbf{Z}(I) de la page 180, dont \Gamma^{+} est le cône positif. La même lettre revient page 182 et, page 180, y avait été laissée sous une tache d'encre.

Dans le cas où un e, on a n(e) = 1, et si un \vee, on a n(\check{\imath}) = n(i) .

\mathcal{R} est bien définie si, donne de I et de la fonction n(i), se donne des représentants M_{i} de degré i avec module par k^{n(i)} et pour i, j donnés, un groupe \operatorname{Hom}_{j,i}\bigl(k^{n(i)}, k^{n(j)}\bigr), de façon que \operatorname{Hom}_{kj} \times \operatorname{Hom}_{ji} soit par composition dans \operatorname{Hom}_{ki}, etc.…

Supposons que dans \mathcal{R} on ait une notion de produit tensoriel, alors A(K) est muni d'une loi d'anneau Un mot inséré au-dessus de « anneau » ne se lit pas ; il se termine en « -if ». et commutatif, qui sur \Gamma^{+}(K) y correspond à la loi de produit tensoriel. n est une fonction multiplicative sur \Gamma^{+}, et la compatibilité avec e ~~signifie~~ indique que e est une unité pour la loi d'algèbre. Le mot que \ill{} remplace est souligné sur la page. La compatibilité avec \vee ~~signifie~~ indique que \vee est un automorphisme de l'algèbre A. Enfin la compatibilité simultanée de e, \vee, \otimes indique que i * \check{\imath} a toujours pour composante une unité suivant e. I est alors une « hypergroupe discret ». L'accord est celui de la page.

Si tous M \in \mathcal{C} est complètement réductible, et \mathcal{C} est engendré par un G avec une algèbre A sur G, alors \Gamma s'identifie : l'algèbre des ~~combinaisons~~ linéaires des ( fonctions ) sur

a)ses représentations, dimensions de G,

\Gamma^{+} : l'ensemble des ( fonctions des représentations linéaires de G ( avec conservation de toutes les structures : n(f) devient f(e) (e \in G), \vee devient \vee, e devient la fonction 1 sur G, précédemment ; noter d'ailleurs qu'il s'agit de fonctions centrales ). Si p. ex. G est un groupe algébrique semi-simple , on obtient une structure concrète de \Gamma, qui est l'algèbre des fonctions sur T/W, T un « tore » maximal, W le groupe de Weyl ( il faudrait essayer de trouver une intrinsèque sinon des irréductibles, i.e. des \in I ; pour il faut mettre sur T/W une de hypergroupe, dont on construire les irréductibles ). ? Le point d'interrogation est porté dans la marge de gauche, en regard de cette parenthèse.

Cas de G = k^{*} ( k alg. clos pour simplicité ). Alors \Gamma(G) \simeq algèbre du groupe \mathbf{Z} ( \mathbf{I}(G) \simeq \mathbf{Z}, avec , les ).

Le groupe additif : A(k)

Les pages 183 à 188 traitent le cas du groupe additif ; elles ne portent pas de numéro de partie sur les feuilles, au contraire des deux suivantes, qu'il numérote lui-même II (page 189) et III (page 191).

Caractéristique 0 ?

Cas de G = k ( k alg. clos pour simplifier ). Toutes les représentations rationnelles de k sont unipotentes, leur classification est donc identique à celle des opérateurs unipotents, ou encore des opérateurs nilpotents, i.e. des modules sur k[X] qui sont annulés par une puissance convenable de X. Donc les termes élémentaires sont de type X^{k}, donc I \simeq \mathbf{N}^{+} ( le à i \in \mathbf{N}^{+} étant k[X]/X^{i} ). L'élément neutre est 1 \in \mathbf{N}^{+}, l'involution l'identité. Quelle est la multiplication ?

???

Soit k un corps. k est un groupe algébrique dont nous cherchons les représentations linéaires, i.e. les applications polynomiales P(x) à valeurs dans un , telles que P(x+y) = P(x)\,P(y) .

Les représentations indécomposables. Alors le commutant de l'ens. des P(x) est un corps, soit D et les P(x) prennent valeurs dans le centre Z de D. ( comme précédemment, on voit que D = Z )

Z est un corps commutatif sur k, donc une application k-polynomiale de k dans une commutative Z de k, telle que P(x+y) = P(x)P(y). ~~Soit~~ P(x) = 1 pour tout x ; ~~le corps des~~

~~relatives à la clôture algébrique \hat{k} de k, on obtient x \mapsto \hat{P}(x) hom. ( ) de \hat{k} dans le groupe multiplicatif des inversibles de Z, \hat{k}-algèbre de dim.~~ A = \hat{k} \otimes_{k} Z

~~P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x + 1~~, ~~(a_{i} \in Z)~~, ~~avec a_{n} \neq 0~~ ;

~~P(x+y) = a_{n} x^{n} + a_{n} y^{n} + \ldots~~

~~P(x)P(y) = a_{n}^{2} x^{n} y^{n} + \ldots~~

Ce bloc est enfermé dans un cadre tracé à la main et barré de deux longues diagonales ; il rend ses formules et presque rien de la prose entre elles.

un polynôme de degré n > 0, P(x+y) de degré n et P(x)P(y) de degré 2n, absurde.

Ainsi P(x) = 1, ce qui que Z = k, donc

Prop. ~~Toute~~ tt les représentations lin. rationnelles indécomposables k de dim 1.

Corollaire : Toute représentation linéaire rationnelle de k mettre sous forme ~~diagonale~~ triangulaire, avec des 1 sur la diagonale.

Si en caractéristique p \neq 0 rationnelles de k type F, \lambda \mapsto x^{p}, d'où une sur les classes de représentations linéaires, en comparant avec F et ses itérés ; la situation est tout à fait distincte de ce qui se passe en car. 0, les repr. de dim 2 des f(\lambda,\mu)(x) = \lambda x^{p^{h}} + \mu \qquad ( h \text{ fixé, } x \text{ l'indéterminée} ) : \begin{align*} \tau_{y} f(\lambda,\mu)(x) &= \lambda (x+y)^{p^{h}} + \mu \\ &= \lambda x^{p^{h}} + \mu + \lambda y^{p^{h}} = f\bigl(\lambda,\ \mu + \lambda y^{p^{h}}\bigr) , \quad\text{i.e.} \end{align*} E_{h}(y) = \begin{pmatrix} 1 & y^{p^{h}} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; ces représentations sont distinctes, inéquivalentes deux à deux, d'où une de classes bien distinctes. En car. 0, il n'y en a que deux,

Une coulure d'encre traverse les trois dernières lignes de la page.

k de car^{0}

La classification classes de d'invariants dépend aussi de la caractéristique. Cette note court en biais dans la marge inférieure gauche ; deux de ses groupes de mots sont soulignés.

Supposons maintenant la caractéristique nulle. Alors les représentations rationnelles des groupes abéliens correspondent à ~~certaines~~ représentations lin. de l'algèbre de Lie abélienne k ; il résulte de qu'il s'agit exactement des représentations nilpotentes de l'algèbre k, dont la classification est celle des k[X]-modules de type fini X-primaires. Ainsi

Prop. 2 La classification des repr. linéaires des alg. abéliens , via les , équivalente : la classification des k[X]-modules de type fini (X)-primaires.

Un trait vertical porté dans la marge accompagne cet énoncé, en regard duquel se lit « k de car^{0} ».

Les k[X]-modules (X)-primaires indécomposables sont ceux qui sont de type k[X]/X^{n} (1 \leq n < +\infty). voit aussitôt que la de k[X]-modules E_{n} isomorphe à E Ainsi

Corollaire L'anneau A(k) des classes de représent des alg. bien

les classes E_{n} des modules k[X]/X^{n}, n = 1, 2, \ldots . L'involution \vee dans A à l'identité. On a d(E_{n}) = n , \qquad E_{1} \text{ est l'unité} .

Structure multiplicative. Posons \xi = E_{2}, classe de k[X]/(X^{2}). Alors \xi^{n} est la classe de F_{n} = k[X_{1}, \ldots, X_{n}]\,/\,(X_{1}^{2}, \ldots, X_{n}^{2}) , muni de l'opérateur nilpotent T de multiplication par la classe \dot{S} de S = X_{1} + \ldots + X_{n}. Les itérés T^{k} de T la multiplication par \dot{S}^{k} = k! \sum_{1 \leq i_{1} < \ldots < i_{k} \leq n} \dot{X}_{i_{1}} \ldots \dot{X}_{i_{k}} .

Une première leçon de cette formule la précède sur la même ligne, barrée : \dot{S}^{k} = k!\,\sum avec « H \subset [1,n] » et « \# H » portés sous le signe de sommation, la sommation sur les parties de [1,n] remplacée par la sommation sur les suites croissantes d'indices.

En particulier T^{n} est la multiplication par \dot{S}^{n} = n!\, \dot{X}_{1} \ldots \dot{X}_{n}, et T^{n+1} est nul.

On en conclut aussitôt que T^{n} F_{n} est de dim 1 ( base formée de \dot{X}_{1} \dot{X}_{2} \ldots \dot{X}_{n} ) et T^{n+1}(F_{n}) = 0 ; d'où , tout d'abord, que \xi^{n} est combinaison linéaire des E_{1}, \ldots, E_{n} à coefficients \in \mathbf{Z}^{+}, celui de E_{n} étant 1 :

\xi^{n} = L_{n}(E_{1}, \ldots, E_{n}) = \sum_{i=1}^{n} c_{ni} E_{i} \qquad \underline{c_{nn} = 1}

On en conclut la

Proposition 3 A(k) est l'anneau de polynômes \mathbf{Z}[\xi] sur \mathbf{Z} engendré par \xi = E_{2} \bigl( d(\xi) = 2 \bigr)

N.B. Le calcul explicite donne \begin{align*} \xi^{0} &= E_{1} & E_{1} &= 1 \\ \xi^{1} &= E_{2} & E_{2} &= \xi \\ \xi^{2} &= E_{1} + E_{3} & E_{3} &= \xi^{2} - 1 \\ \xi^{3} &= 2 E_{2} + E_{4} & E_{4} &= \xi^{3} - 2\xi \\ \xi^{4} &= 2 E_{1} + 3 E_{3} + E_{5} & E_{5} &= \xi^{4} - 3\xi^{2} + 5 \\ &\qquad \ldots & &\qquad \ldots \end{align*}

La dernière ligne de la colonne de droite est bien « +\,5 » sur la page ; la relation \xi^{4} = 2E_{1} + 3E_{3} + E_{5} de la colonne de gauche, avec E_{1} = 1 et E_{3} = \xi^{2} - 1, donnerait +\,1. La leçon est donnée telle quelle.

( Toutes les structures de sont bien dans un de structures, 2 la structure d'anneau, qui est un peu cachée ! ) Le premier mot illisible de cette parenthèse commence par une capitale A ; il ne se lit pas.

II. A(k^{*})

k : (p)

II A(k^{*}). ^{\circ}) Représentations irréductibles.

Se font via une représentation rationnelle de k^{*} dans L^{*}, où L est un corps extension finie de k. P(\lambda) = \sum_{-n}^{n} \lambda^{i} c_{i} \qquad ( c_{i} \in L ) on a P(\lambda\lambda') = P(\lambda) P(\lambda'), i.e. \sum_{i} \lambda^{i} \lambda'^{i} c_{i} = \sum_{i,j} \lambda^{i} \lambda'^{j} c_{i} c_{j} \ , Un symbole suit c_{i} c_{j} sur la ligne et ne se lit pas. et comme c'est une identité en \lambda, \lambda' on doit avoir c_{i} = c_{i}^{2} , \qquad c_{i} c_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j , donc il ne peut y avoir qu' des c_{i} qui soit \neq 0, soit c_{n}, et le c^{2} exige c_{n} = 1. Donc P(\lambda) = \lambda^{n} ; l'irréductibilité exige L = k. Ainsi

Proposition Les seules repr. ~~irréd.~~ irréductibles de k^{*} ( k corps quelconque ) sont les repr. de dim 1, définies aux repr. \sigma_{n}(\lambda)\, t = \lambda^{n} t . Le symbole opéré, au premier membre, est tracé d'une plume bouclée et ne se laisse pas identifier avec certitude au t du second membre.

Corollaire \sigma_{n} \sigma_{m} = \sigma_{n+m} , \qquad \check{\sigma}_{n} = \sigma_{-n}

Plus généralement, considérons une repr. linéaire rationnelle ~~quelconque~~ de k^{*} dans un espace . On la sous la forme

P(\lambda) = \sum_{0}^{n} c_{i} \lambda^{i} \qquad ( c_{i} \in L(V) ) on voit comme ci-dessus que c_{i} c_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j , \qquad c_{i}^{2} = c_{i} De plus \sum c_{i} = P(1) = 1, donc les c_{i} sont des projecteurs deux à deux orthogonaux,

Proposition Toute représentation lin. rat. de C^{*} est complètement réductible ( k corps quelconque ). La lettre porte clairement une capitale C ; le contexte, et le « A(k^{*}) » du corollaire qui suit, appelleraient k^{*}. La leçon est donnée telle quelle.

Corollaire A(k^{*}) \simeq \mathbf{Z}(\mathbf{Z}), \mathbf{Z} rationnels, dans , \sigma_{n} de \mathbf{Z}(\mathbf{Z}), cf. Le symbole entre les parenthèses de \mathbf{Z}(\ ) est repassé à la plume jusqu'à la tache ; il revient trois fois dans la même phrase.

L'involution compatible avec l'augmentation, d'anneau \vee.

le rang \lambda^{n} :

Généralisation aux « tores » isomorphes

Si \Gamma le groupe des r.t. de G k^{*}, \Gamma \simeq \mathbf{Z}^{n}, et A(G) \simeq \mathbf{Z}(\Gamma).

III. G = k \cdot k^{*}, produit semi-direct

III G = k \cdot k^{*} produit semi-direct, k^{*} opérant dans k par Les deux facteurs portent chacun, écrit dessous entre guillemets, le nom qui les désigne dans la suite : « F » sous k, « H » sous k^{*}. \sigma_{p}(\lambda) t = \lambda^{p} t , ( notation ). car. 0 et l'algèbre de Lie de est extension de F = k par H = k, H opérant sur F par ( X et Y les canoniques de F et H ) : \begin{equation*} (1) \qquad [\,Y, X\,] = p X \end{equation*}

Considérons une représentation linéaire indécomposable rationnelle \varphi de G, soit \varphi' différentielle. propres : H \subset G ) V = \sum V_{n} ( Y . a = n\, a si a \in V_{n} ) Un p barré précède le n.. La condition (1) que les X_{ji} \in L(V_{i}, V_{j}) de X Le second indice de X_{ji} est écrit deux fois, la première barrée. vérifient : (j - i)\, X_{ji} = p\, X_{ji} d'où X_{ji} = 0 sauf si j - i = p.

Si donc les X_{ji} sont nuls, alors ( V étant indécomposable ) il qu'un seul V_{n} non nul, qui est de dimension un. La de V est ainsi obtenue ( repr. \sigma_{n} de H = C^{*} G \to H ) par \sigma_{n}. S'il existe un X_{ji} non nul, alors p - a = p, V = V' + V'' , i.e. V' = \sum_{\substack{n \equiv \alpha \\ (p)}} V_{n} , \qquad V'' = \sum_{\substack{n \not\equiv \alpha \\ (p)}} V_{n} stables , et V' \neq 0, donc V' = V.

donc, si V_{n}, V_{n'} \neq 0 \,:\, n' - n \equiv 0 \ (p) Soit n le plus ~~des~~ V_{n} \neq 0, donc les V_{m} de la forme V_{n+pk} \qquad k = 0, 1, \ldots \ . Soit k le plus grand tel que V_{n+pk} \neq 0, k \geq 1. Soit u_{i} = X_{n+p(i+1),\, n+pi} , \qquad E_{i} = V_{n+pi} , Une ligne barrée s'interpose entre les deux, dont seul un V se lit. d'applications E_{0} \xrightarrow{\ u_{0}\ } E_{1} \xrightarrow{\ u_{1}\ } E_{2} \ \ldots \ \xrightarrow{\ u_{k-1}\ } E_{k} .

Lemme 1. Les u_{i} sont injectifs. (0 \leq i \leq k-1) ( le prouver par récurrence sur i, trivial pour u_{-1} : 0 = E_{-1} \to E_{0}. Supposons

(0 \leq \ell \leq k-1) pour u_{\ell-1} le u_{\ell}.

Soit x un élément du \operatorname{Ker} u_{\ell}, , E_{\ell'} (\ell' \leq \ell)

~~: de E_{\ell} +\, 0~~ (-1 \leq \ell' < \ell)

\ell' ~~(\ill{} \leq \ell)~~

il existe un premier x \notin E_{\ell'} -\, E_{\ell'} de E_{\ell}.

Le haut de la page — six lignes — est raturé de part en part, par une quinzaine de traits et deux longues barres horizontales ; il rend quelques symboles et rien de la prose entre eux.

Soit D le engendré par x, (D \subset E_{\ell+1}) et soit E_{\ell'}\ E_{\ell'+1} \ldots E_{\ell} ~~E_{j}~~ F un supplémentaire de E_{\ell} E_{\ell'} de D ; soit pour 0 \leq j \leq k,

Une première leçon barrée précède celle qui suit, portée en accolade : E'_{j} = E_{j} si j \leq \ell', E'_{j} = D si j > \ell.

E'_{j} = E_{j} \ \text{ si } \ j \leq \ell' , \qquad E'_{j} = E_{j} \cap F \ \text{ si } \ \ell' \leq j \leq \ell

Entre les deux, une troisième leçon barrée, « E'_{j} = \ill{} si j > \ell ». E''_{j} = 0 \ \text{ si } \ j \leq \ell' \ \text{ ou } \ j > \ell , \qquad E''_{j} = D \ \text{ si } \ \ell' \leq j \leq \ell

E_{j} = E'_{j} \oplus E''_{j} pour j, et \sum E'_{j} \sum E''_{j} stables \neq 0, donc \sum E_{i} indécomposable.

Lemme 2 Les u_{i} (0 \leq i \leq k-1) sont bijectifs.

V' F vect. indécomposable e_{k+1} Cette note, de quatre lignes rassemblées par une accolade, court en biais dans la marge de gauche ; elle ne se lit pas au delà.

Conclusion : les u_{i} (0 \leq i \leq k-1) sont des bijections, les E_{i} sont de dim. 1.

La représentation de de G de est notée e_{n,k+1} (k+1 \geq 2) ( , k = 0, naturel de poser e_{n,1} = \sigma_{n}.

~~Ainsi~~

Proposition Les représentations indécomposables de G ( à équivalence près ) représentations e_{n,k} ( n \in \mathbf{Z} , \ k \in \mathbf{Z} , \ k \geq 1 ) de construire : e_{n,1} est la représentation \sigma_{n} de dim 1 induite par la représentation de de H = C^{*}, e_{n,k} = \sigma_{n} \otimes e_{0,k} , e_{0,k} la représentation k[Z]/Z^{k} définie : X l'opérateur de multiplication par Z (Z^{k}), et Y . Z^{\alpha} = \alpha p\, Z^{\alpha} \qquad (Z^{k}) de e_{n,k} n et n + p(k-1), ( Les représentations e_{n,k} = \sigma_{n} \otimes e_{0,k} sont deux à deux inéquivalentes. e_{0,k} est de k ; \check{e}_{n,k} = e_{-n-p(k-1),\, k} .

Nous déterminer la structure multiplicative de A(G). Les F \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ j\ } H des homomorphismes A(H) \xrightarrow{\ j^{*}\ } A(G) \xrightarrow{\ i^{*}\ } A(F) A(H) est l'algèbre engendrée les \sigma_{n} (n \in \mathbf{Z}) multiplication, \sigma_{n} \sigma_{m} = \sigma_{n+m} , \qquad \sigma_{0} = 1 . il est plongé dans A(G) par j^{*}, j^{*}(\sigma_{n}) = e_{n,1} A(F) est l'algèbre une base formée e_{n} (n \geq 1) e_{1} = 1. D'ailleurs A(F) = \mathbf{Z}[e_{2}]. i^{*}(e_{n,k}) = e_{k}

Identifions \Lambda = A(H) une de A(G). Posons \xi = e_{02}. de prouver A(G) = \Lambda[\xi] Une parenthèse de deux lignes accompagne la formule à droite ; elle s'achève sur « de \Lambda » et ne se lit pas au delà. i.e. les \xi^{n} ( n = 0, 1, \ldots ) forment une base de A(G) sur \Lambda. les e_{01}, e_{02}, e_{03} \ldots forment une telle base, il suffit d'établir formules \begin{equation*} (1) \qquad \xi^{n} = \sum_{i=1}^{n+1} c_{ni}\, e_{0i} \qquad ( c_{ni} \in \Lambda , \ c_{n,n+1} = 1 ) \end{equation*}

On a a priori \xi^{n} = \sum_{i} c_{ni}\, e_{0i} c_{ni} \in \Lambda^{+}, d'où par i^{*} : e_{2}^{\,n} = \sum_{i} i^{*}(c_{ni})\, e_{i}

~~i^{*}(c_{p}~~

Or i^{*}(\lambda) = d(\lambda) \qquad \lambda \in \Lambda l'augmentation de \Lambda, d'où e_{2}^{\,n} = \sum_{i} d(c_{ni})\, e_{i} sait d'ailleurs e_{2}^{\,n} = \sum_{1}^{n+1} a_{ni}\, e_{i}, a_{ni} \geq 0 et a_{n,n+1} = 1. \varepsilon(c_{ni}) = 0 \ \text{ si } \ i > n+1 , \qquad \varepsilon(c_{n,n+1}) = 1 d'où, les c_{ni} \in \Lambda^{+}, c_{ni} = 0 \ \text{ si } \ i > n+1 , \qquad c_{n,n+1} \ \text{est de la forme} \ \sigma_{\alpha} ( \alpha dépendant de ). D'où la (1), mais doit c_{p,p+1} = \sigma_{\alpha} Deux leçons de la même formule précèdent celle-ci sur la ligne, toutes deux barrées, la première « c_{p,p+1} = \sigma » avec un indice illisible. On plus haut le cas. \sigma_{\alpha}\, e_{0,p+1} = e_{\alpha,p+1} \qquad \alpha + pn , plus

figurer dans \xi^{n} fois le plus poids figurant dans \xi, donc p\alpha \leq pn , \qquad \text{d'où} \quad \alpha \leq 0 . D'autre part, les poids intervenant dans \xi 0 et p, donc , donc dans \xi^{n} ; il faut donc soit \alpha = le poids intervenant dans \sigma_{\alpha} e_{0,p+1}, d'où \alpha \geq 0. D'où \alpha = 0, i.e. \sigma_{\alpha} = 1, c.q.f.d.

Ainsi :

Proposition A(G) est l'algèbre de polynômes sur \Lambda = \mathbf{Z}(\Gamma) (\Gamma = \mathbf{Z}) engendrée par \xi = e_{02} ; l'augmentation de \Lambda augmentation usuelle, et d(\xi) = 2. Un p barré précède le 2. Sur \Lambda, l'involution \vee l'involution usuelle, et . \check{\xi} = e_{-p,2} = \sigma_{-p} \cdot \xi .