Cote n° 10 · batch 10 · pages 181–197 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

L'hypergroupe discret des classes indécomposables (suite)

Les pages 181 et 182 continuent sans coupure la rédaction commencée page 180. Elles sont écrites d'un trait rapide : les formules et les énoncés soulignés portent, une grande partie de la prose de liaison ne porte pas.

181

sur \(\Gamma^{+}\), i.e. la fonction « dimension d'un module ».

Le symbole est tracé d'une plume chargée, un \(\Gamma\) à pied empatté ; il désigne le groupe libre \(\mathbf{Z}(I)\) de la page 180, dont \(\Gamma^{+}\) est le cône positif. La même lettre revient page 182 et, page 180, y avait été laissée […] sous une tache d'encre.

Dans le cas où […] un \(e\), on a \(n(e) = 1\), et si […] un \(\vee\), on a \[ n(\check{\imath}) = n(i) . \]

\(\mathcal{R}\) est bien définie si, […] donne de \(I\) et de la fonction \(n(i)\), […] se donne des représentants \(M_{i}\) […] de degré \(i\) avec […] module […] par \(k^{n(i)}\) et pour \(i, j\) donnés, un […] groupe \(\operatorname{Hom}_{j,i}\bigl(k^{n(i)}, k^{n(j)}\bigr)\), de façon que \(\operatorname{Hom}_{kj} \times \operatorname{Hom}_{ji}\) soit […] par composition dans \(\operatorname{Hom}_{ki}\), etc.…

Supposons que dans \(\mathcal{R}\) on ait une notion de produit tensoriel, alors \(A(K)\) est muni d'une loi d'anneau [[…]] Un mot inséré au-dessus de « anneau » ne se lit pas ; il se termine en « -if ». et commutatif, qui sur \(\Gamma^{+}(K)\) y correspond à la loi de produit tensoriel. \(n\) est une fonction multiplicative sur \(\Gamma^{+}\), et la compatibilité avec \(e\) signifie [indique] que \(e\) est une unité pour […] la loi d'algèbre. Le mot que \(\ill{}\) remplace est souligné sur la page. La compatibilité avec \(\vee\) signifie [indique] que \(\vee\) est un automorphisme de l'algèbre \(A\). Enfin la compatibilité simultanée de \(e\), \(\vee\), \(\otimes\) indique que \(i * \check{\imath}\) a toujours pour composante une unité suivant \(e\). \(I\) est alors une « hypergroupe discret ». L'accord est celui de la page.

182

Si tous \(M \in \mathcal{C}\) est complètement réductible, et \(\mathcal{C}\) est engendré par un […] \(G\) avec une algèbre \(A\) sur \(G\), alors \(\Gamma\) s'identifie : l'algèbre des […] combinaisons linéaires des […] ( fonctions ) sur

\(\Gamma^{+}\) : [l'ensemble des] […] ( fonctions des représentations linéaires de \(G\) ( avec conservation de toutes les structures : \(n(f)\) devient \(f(e)\) \((e \in G)\), \(\vee\) devient \(\vee\), \(e\) devient la fonction \(1\) sur \(G\), […] précédemment ; noter d'ailleurs qu'il s'agit de fonctions centrales ). Si p. ex. \(G\) est un groupe algébrique semi-simple […] […], on obtient une […] structure concrète de \(\Gamma\), qui est l'algèbre des fonctions […] sur \(T/W\), \(T\) un « tore » maximal, \(W\) le groupe de Weyl ( il faudrait essayer de trouver une […] intrinsèque sinon des […] irréductibles, i.e. des […] \(\in I\) ; pour […] il faut mettre sur \(T/W\) une […] de hypergroupe, dont on […] construire les […] irréductibles ). ? Le point d'interrogation est porté dans la marge de gauche, en regard de cette parenthèse.

Cas de \(G = k^{*}\) ( \(k\) alg. clos pour simplicité ). Alors \(\Gamma(G) \simeq\) algèbre du groupe \(\mathbf{Z}\) ( \(\mathbf{I}(G) \simeq \mathbf{Z}\), avec […], les […] ).

Le groupe additif : \(A(k)\)

Les pages 183 à 188 traitent le cas du groupe additif ; elles ne portent pas de numéro de partie sur les feuilles, au contraire des deux suivantes, qu'il numérote lui-même II (page 189) et III (page 191).

183

Caractéristique \(0\) ?

Cas de \(G = k\) ( \(k\) alg. clos pour simplifier ). Toutes les représentations rationnelles de \(k\) sont unipotentes, leur classification est donc identique à celle des opérateurs unipotents, ou encore des opérateurs nilpotents, i.e. des modules sur \(k[X]\) qui sont annulés par une puissance convenable de \(X\). Donc les termes élémentaires sont de type \(X^{k}\), donc \(I \simeq \mathbf{N}^{+}\) ( le […] à \(i\) […] \(\in \mathbf{N}^{+}\) étant \(k[X]/X^{i}\) ). L'élément neutre est \(1 \in \mathbf{N}^{+}\), l'involution l'identité. Quelle est la multiplication ?

184

[…] ???

Soit \(k\) un corps. \(k\) est un groupe algébrique dont […] nous cherchons les représentations linéaires, i.e. les applications polynomiales \(P(x)\) à valeurs dans un […], telles que \[ P(x+y) = P(x)\,P(y) . \]

Les représentations indécomposables. Alors le commutant de l'ens. des \(P(x)\) est un corps, […] soit \(D\) et les \(P(x)\) prennent […] valeurs dans le centre \(Z\) de \(D\). [( comme précédemment, on voit […] que \(D = Z\) )]

\(Z\) est un corps [commutatif] […] sur \(k\), donc […] une application \(k\)-polynomiale de \(k\) dans une […] […] commutative \(Z\) de \(k\), telle que \(P(x+y) = P(x)P(y)\). Soit […] […] \(P(x) = 1\) pour tout \(x\) ; […] le corps des

[…] relatives à la clôture algébrique \(\hat{k}\) de \(k\), on […] obtient \(x \mapsto \hat{P}(x)\) hom. ( […] ) de \(\hat{k}\) dans le groupe multiplicatif des […] inversibles de \(Z\), \(\hat{k}\)-algèbre de dim. […] […] \(A = \hat{k} \otimes_{k} Z\)

\(P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x + 1\), \((a_{i} \in Z)\), avec \(a_{n} \neq 0\) ;

\(P(x+y) = a_{n} x^{n} + a_{n} y^{n} + \ldots\)

\(P(x)P(y) = a_{n}^{2} x^{n} y^{n} + \ldots\)

Ce bloc est enfermé dans un cadre tracé à la main et barré de deux longues diagonales ; il rend ses formules et presque rien de la prose entre elles.

[…] un polynôme de degré \(n > 0\), \(P(x+y)\) […] de degré \(n\) et \(P(x)P(y)\) de degré \(2n\), absurde.

185

Ainsi \(P(x) = 1\), ce qui […] que \(Z = k\), donc

Prop. Toute [tt les] représentations [lin.] rationnelles indécomposables […] \(k\) […] de dim \(1\).

Corollaire : Toute représentation linéaire rationnelle de \(k\) […] […] […] mettre sous forme diagonale triangulaire, avec des \(1\) sur la diagonale.

Si […] en caractéristique \(p \neq 0\) […] […] rationnelles de \(k\) type \(F\), \(\lambda \mapsto x^{p}\), […] d'où une […] sur les classes de représentations linéaires, en comparant avec \(F\) et ses itérés ; la situation est tout à fait distincte de ce qui se passe en car. \(0\), […] les repr. de dim \(2\) […] […] […] […] des […] \[ f(\lambda,\mu)(x) = \lambda x^{p^{h}} + \mu \qquad ( h \text{ fixé, } x \text{ l'indéterminée} ) : \] \[\begin{align*} \tau_{y} f(\lambda,\mu)(x) &= \lambda (x+y)^{p^{h}} + \mu \\ &= \lambda x^{p^{h}} + \mu + \lambda y^{p^{h}} = f\bigl(\lambda,\ \mu + \lambda y^{p^{h}}\bigr) , \quad\text{i.e.} \end{align*}\] \[ E_{h}(y) = \begin{pmatrix} 1 & y^{p^{h}} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ; \] ces représentations […] sont […] […] distinctes, […] inéquivalentes deux à deux, d'où une […] de classes […] bien […] distinctes. En car. \(0\), il n'y en a que deux, […]

Une coulure d'encre traverse les trois dernières lignes de la page.

186

\(k\) de car\(^{0}\)

La classification […] […] classes de […] […] d'invariants […] […] dépend aussi de la caractéristique. […] Cette note court en biais dans la marge inférieure gauche ; deux de ses groupes de mots sont soulignés.

Supposons maintenant la caractéristique nulle. Alors les représentations […] rationnelles des […] groupes abéliens […] correspondent à certaines représentations lin. de l'algèbre de Lie abélienne \(k\) ; il résulte de […] qu'il s'agit exactement des représentations nilpotentes de l'algèbre \(k\), dont la classification est celle des \(k[X]\)-modules de type fini \(X\)-primaires. Ainsi

Prop. 2 La classification des repr. linéaires des […] alg. abéliens […], via les […] […], équivalente : la classification des \(k[X]\)-modules de type fini \((X)\)-primaires.

Un trait vertical porté dans la marge accompagne cet énoncé, en regard duquel se lit « \(k\) de car\(^{0}\) ».

Les \(k[X]\)-modules \((X)\)-primaires indécomposables sont ceux qui sont de type \(k[X]/X^{n}\) \((1 \leq n < +\infty)\). […] voit aussitôt que la […] […] de \(k[X]\)-modules \(E_{n}\) […] isomorphe à \(E\) […] Ainsi

Corollaire L'anneau [\(A(k)\)] des classes de représent[…] des […] alg. […] […] bien […]

187

les classes \(E_{n}\) des modules \(k[X]/X^{n}\), \(n = 1, 2, \ldots\) . L'involution \(\vee\) dans \(A\) […] à l'identité. On a \[ d(E_{n}) = n , \qquad E_{1} \text{ est l'unité} . \]

Structure multiplicative. Posons \(\xi = E_{2}\), classe de \(k[X]/(X^{2})\). Alors \(\xi^{n}\) est la classe de \[ F_{n} = k[X_{1}, \ldots, X_{n}]\,/\,(X_{1}^{2}, \ldots, X_{n}^{2}) , \] muni de l'opérateur nilpotent \(T\) de multiplication par la classe \(\dot{S}\) de \(S = X_{1} + \ldots + X_{n}\). Les […] itérés \(T^{k}\) de \(T\) […] la multiplication par \[ \dot{S}^{k} = k! \sum_{1 \leq i_{1} < \ldots < i_{k} \leq n} \dot{X}_{i_{1}} \ldots \dot{X}_{i_{k}} . \]

Une première leçon de cette formule la précède sur la même ligne, barrée : \(\dot{S}^{k} = k!\,\sum\) avec « \(H \subset [1,n]\) » et « \(\# H\) » portés sous le signe de sommation, la sommation sur les parties de \([1,n]\) remplacée par la sommation sur les suites croissantes d'indices.

En particulier \(T^{n}\) est la multiplication par \(\dot{S}^{n} = n!\, \dot{X}_{1} \ldots \dot{X}_{n}\), et \(T^{n+1}\) est nul.

On en conclut aussitôt que \(T^{n} F_{n}\) est de dim \(1\) ( base formée de \(\dot{X}_{1} \dot{X}_{2} \ldots \dot{X}_{n}\) ) et \(T^{n+1}(F_{n}) = 0\) ; d'où […], tout d'abord, que […] \(\xi^{n}\) est […] combinaison linéaire des \(E_{1}, \ldots, E_{n}\) à coefficients \(\in \mathbf{Z}^{+}\), celui de \(E_{n}\) étant \(1\) :

188

\[ \xi^{n} = L_{n}(E_{1}, \ldots, E_{n}) = \sum_{i=1}^{n} c_{ni} E_{i} \qquad \underline{c_{nn} = 1} \]

On en conclut la

Proposition 3 \(A(k)\) est l'anneau de polynômes \(\mathbf{Z}[\xi]\) sur \(\mathbf{Z}\) engendré par \(\xi = E_{2}\) \(\bigl( d(\xi) = 2 \bigr)\)

N.B. Le calcul explicite donne \[\begin{align*} \xi^{0} &= E_{1} & E_{1} &= 1 \\ \xi^{1} &= E_{2} & E_{2} &= \xi \\ \xi^{2} &= E_{1} + E_{3} & E_{3} &= \xi^{2} - 1 \\ \xi^{3} &= 2 E_{2} + E_{4} & E_{4} &= \xi^{3} - 2\xi \\ \xi^{4} &= 2 E_{1} + 3 E_{3} + E_{5} & E_{5} &= \xi^{4} - 3\xi^{2} + 5 \\ &\qquad \ldots & &\qquad \ldots \end{align*}\]

La dernière ligne de la colonne de droite est bien « \(+\,5\) » sur la page ; la relation \(\xi^{4} = 2E_{1} + 3E_{3} + E_{5}\) de la colonne de gauche, avec \(E_{1} = 1\) et \(E_{3} = \xi^{2} - 1\), donnerait \(+\,1\). La leçon est donnée telle quelle.

( Toutes les structures de […] sont bien […] […] dans un […] de structures, 2 […] la structure d'anneau, qui est un peu cachée ! ) Le premier mot illisible de cette parenthèse commence par une capitale \(A\) ; il ne se lit pas.

II. \(A(k^{*})\)

189

\(k\) […] : \((p)\)

II \(A(k^{*})\). […] \(^{\circ}\)) Représentations irréductibles.

Se font via une représentation rationnelle de \(k^{*}\) dans \(L^{*}\), où \(L\) est un corps extension finie de \(k\). \[ P(\lambda) = \sum_{-n}^{n} \lambda^{i} c_{i} \qquad ( c_{i} \in L ) \] on a \(P(\lambda\lambda') = P(\lambda) P(\lambda')\), i.e. \[ \sum_{i} \lambda^{i} \lambda'^{i} c_{i} = \sum_{i,j} \lambda^{i} \lambda'^{j} c_{i} c_{j} \ , \] Un symbole suit \(c_{i} c_{j}\) sur la ligne et ne se lit pas. et comme c'est une identité en \(\lambda, \lambda'\) on doit avoir \[ c_{i} = c_{i}^{2} , \qquad c_{i} c_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j , \] donc il ne peut y avoir qu'[…] […] des \(c_{i}\) qui soit \(\neq 0\), soit \(c_{n}\), et le […] \(c^{2}\) […] exige \(c_{n} = 1\). Donc \(P(\lambda) = \lambda^{n}\) ; l'irréductibilité […] exige \(L = k\). Ainsi

Proposition Les seules repr. irréd. irréductibles de \(k^{*}\) ( \(k\) corps quelconque ) sont les repr. de dim \(1\), définies […] aux repr. […] \[ \sigma_{n}(\lambda)\, t = \lambda^{n} t . \] Le symbole opéré, au premier membre, est tracé d'une plume bouclée et ne se laisse pas identifier avec certitude au \(t\) du second membre.

Corollaire \[ \sigma_{n} \sigma_{m} = \sigma_{n+m} , \qquad \check{\sigma}_{n} = \sigma_{-n} \]

Plus généralement, considérons une repr. linéaire [rationnelle] quelconque de \(k^{*}\) dans un espace […]. On […] la […] […] sous la forme

190

\[ P(\lambda) = \sum_{0}^{n} c_{i} \lambda^{i} \qquad ( c_{i} \in L(V) ) \] on voit comme ci-dessus que \[ c_{i} c_{j} = 0 \ \text{ si } i \neq j , \qquad c_{i}^{2} = c_{i} \] De plus \(\sum c_{i} = P(1) = 1\), donc les \(c_{i}\) sont des projecteurs deux à deux orthogonaux, […]

Proposition Toute représentation [lin. rat.] de \(C^{*}\) est complètement réductible ( \(k\) corps […] quelconque ). La lettre porte clairement une capitale \(C\) ; le contexte, et le « \(A(k^{*})\) » du corollaire qui suit, appelleraient \(k^{*}\). La leçon est donnée telle quelle.

Corollaire \(A(k^{*}) \simeq \mathbf{Z}(\mathbf{Z})\), \(\mathbf{Z}\) […] […] […] rationnels, dans […] […], \(\sigma_{n}\) […] […] de \(\mathbf{Z}(\mathbf{Z})\), […] […] […] cf. Le symbole entre les parenthèses de \(\mathbf{Z}(\ )\) est repassé à la plume jusqu'à la tache ; il revient trois fois dans la même phrase.

L'involution […] […] compatible avec l'augmentation, […] d'anneau […] \(\vee\).

[le rang] […] […] […] \(\lambda^{n}\) : […]

Généralisation aux « tores » isomorphes […]

Si \(\Gamma\) […] le groupe des […] r.t. de \(G\) […] \(k^{*}\), \(\Gamma\) […] \(\simeq \mathbf{Z}^{n}\), et \(A(G) \simeq \mathbf{Z}(\Gamma)\).

III. \(G = k \cdot k^{*}\), produit semi-direct

191

III \(G = k \cdot k^{*}\) produit semi-direct, \(k^{*}\) opérant dans \(k\) par Les deux facteurs portent chacun, écrit dessous entre guillemets, le nom qui les désigne dans la suite : « \(F\) » sous \(k\), « \(H\) » sous \(k^{*}\). \[ \sigma_{p}(\lambda) t = \lambda^{p} t , \] ( notation […] […] ). […] […] […] car. \(0\) et l'algèbre de Lie de […] […] est extension de \(F = k\) par \(H = k\), \(H\) opérant sur \(F\) par […] ( \(X\) et \(Y\) […] les […] […] canoniques de \(F\) et \(H\) ) : \[\begin{equation*} (1) \qquad [\,Y, X\,] = p X \end{equation*}\]

Considérons une représentation linéaire indécomposable rationnelle \(\varphi\) de […] \(G\), soit \(\varphi'\) […] différentielle. […] […] […] […] propres […] […] : \(H \subset G\) ) \[ V = \sum V_{n} \] ( \(Y . a = n\, a\) si \(a \in V_{n}\) ) Un \(p\) barré précède le \(n\).. La condition \((1)\) […] que les […] \(X_{ji} \in L(V_{i}, V_{j})\) de \(X\) Le second indice de \(X_{ji}\) est écrit deux fois, la première barrée. vérifient : \[ (j - i)\, X_{ji} = p\, X_{ji} \] d'où \(X_{ji} = 0\) sauf si \(j - i = p\).

192

Si donc les \(X_{ji}\) sont nuls, alors ( \(V\) étant indécomposable ) il […] qu'un seul \(V_{n}\) non nul, qui est de dimension un. La […] de \(V\) est ainsi obtenue ( […] […] repr. \(\sigma_{n}\) de \(H = C^{*}\) […] […] \(G \to H\) ) par \(\sigma_{n}\). S'il existe un \(X_{ji}\) non nul, alors [\(p - a = p\), […]] […] \[ V = V' + V'' , \] i.e. \[ V' = \sum_{\substack{n \equiv \alpha \\ (p)}} V_{n} , \qquad V'' = \sum_{\substack{n \not\equiv \alpha \\ (p)}} V_{n} \] […] stables […] […], et \(V' \neq 0\), donc \(V' = V\).

[…] […] donc, si […] [\(V_{n}, V_{n'} \neq 0 \,:\, n' - n \equiv 0 \ (p)\)] [Soit \(n\) le plus] […] […] des […] \(V_{n} \neq 0\), donc les \(V_{m}\) […] […] […] […] de la forme \[ V_{n+pk} \qquad k = 0, 1, \ldots \ . \] Soit \(k\) le plus grand […] tel que \(V_{n+pk} \neq 0\), […] […] \(k \geq 1\). Soit \[ u_{i} = X_{n+p(i+1),\, n+pi} , \qquad E_{i} = V_{n+pi} , \] Une ligne barrée s'interpose entre les deux, dont seul un \(V\) se lit. […] […] […] d'applications \[ E_{0} \xrightarrow{\ u_{0}\ } E_{1} \xrightarrow{\ u_{1}\ } E_{2} \ \ldots \ \xrightarrow{\ u_{k-1}\ } E_{k} . \]

Lemme 1. Les \(u_{i}\) sont injectifs. [\((0 \leq i \leq k-1)\)] ( […] […] le prouver par récurrence sur \(i\), […] trivial pour \(u_{-1} : 0 = E_{-1} \to E_{0}\). Supposons

193

[\((0 \leq \ell \leq k-1)\)] […] […] pour \(u_{\ell-1}\) […] […] le […] \(u_{\ell}\).

[…] Soit \(x\) un élément du \(\operatorname{Ker} u_{\ell}\), […], […] […] […] […] [[…]] \(E_{\ell'}\) \((\ell' \leq \ell)\)

[…] : […] […] de \(E_{\ell}\) […] \(+\, 0\) \((-1 \leq \ell' < \ell)\)

[…] […] […] […] […] […] \(\ell'\) \((\ill{} \leq \ell)\)

[…] […] il existe un premier […] […] \(x \notin E_{\ell'}\) \(-\, E_{\ell'}\) […] […] […] […] de \(E_{\ell}\).

Le haut de la page — six lignes — est raturé de part en part, par une quinzaine de traits et deux longues barres horizontales ; il rend quelques symboles et rien de la prose entre eux.

Soit \(D\) le […] engendré par \(x\), […] \((D \subset E_{\ell+1})\) et soit \(E_{\ell'}\ E_{\ell'+1} \ldots E_{\ell}\) \(E_{j}\) \(F\) un supplémentaire de \(E_{\ell}\) […] […] \(E_{\ell'}\) […] […] de \(D\) ; soit pour \(0 \leq j \leq k\),

Une première leçon barrée précède celle qui suit, portée en accolade : \(E'_{j} = E_{j}\) si \(j \leq \ell'\), \(E'_{j} = D\) si \(j > \ell\).

\[ E'_{j} = E_{j} \ \text{ si } \ j \leq \ell' , \qquad E'_{j} = E_{j} \cap F \ \text{ si } \ \ell' \leq j \leq \ell \]

Entre les deux, une troisième leçon barrée, « \(E'_{j} = \ill{}\) si \(j > \ell\) ». \[ E''_{j} = 0 \ \text{ si } \ j \leq \ell' \ \text{ ou } \ j > \ell , \qquad E''_{j} = D \ \text{ si } \ \ell' \leq j \leq \ell \]

[…] \(E_{j} = E'_{j} \oplus E''_{j}\) pour […] \(j\), […] […] [et \(\sum E'_{j}\) […]] \(\sum E''_{j}\) […] stables […] […] […] \(\neq 0\), donc \(\sum E_{i}\) […] […] […] indécomposable.

Lemme 2 Les \(u_{i}\) \((0 \leq i \leq k-1)\) sont bijectifs.

[…] […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […]

194

[…] \(V'\) […] \(F\) […] vect. […] indécomposable […] \(e_{k+1}\) […] Cette note, de quatre lignes rassemblées par une accolade, court en biais dans la marge de gauche ; elle ne se lit pas au delà.

Conclusion : les \(u_{i}\) [\((0 \leq i \leq k-1)\)] […] sont des bijections, les \(E_{i}\) sont de dim. \(1\).

La représentation de […] […] de \(G\) […] […] de […] est notée \(e_{n,k+1}\) \((k+1 \geq 2)\) ( […] […] […] […] […], […] […] […] \(k = 0\), […] […] naturel de poser \(e_{n,1} = \sigma_{n}\).

Ainsi

Proposition Les représentations indécomposables de \(G\) […] […] [( à équivalence près )] représentations \(e_{n,k}\) […] \[ ( n \in \mathbf{Z} , \ k \in \mathbf{Z} , \ k \geq 1 ) \] […] […] de construire : […] \(e_{n,1}\) est la représentation \(\sigma_{n}\) de dim \(1\) induite par la représentation de […] […] de \(H = C^{*}\), \[ e_{n,k} = \sigma_{n} \otimes e_{0,k} , \] […] \(e_{0,k}\) […] la représentation […] […] […] \[ k[Z]/Z^{k} \] définie […] : \(X\) […] l'opérateur de multiplication par \(Z\) […] \((Z^{k})\), et \[ Y . Z^{\alpha} = \alpha p\, Z^{\alpha} \qquad (Z^{k}) \] [[…] […] […] […] de \(e_{n,k}\) […] \(n\) et \(n + p(k-1)\), […]] ( Les représentations \(e_{n,k} = \sigma_{n} \otimes e_{0,k}\) sont deux à deux inéquivalentes. \(e_{0,k}\) est de […] […] \(k\) ; \[ \check{e}_{n,k} = e_{-n-p(k-1),\, k} . \]

195

Nous […] déterminer la structure multiplicative de \(A(G)\). Les […] \(F \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ j\ } H\) […] des homomorphismes \[ A(H) \xrightarrow{\ j^{*}\ } A(G) \xrightarrow{\ i^{*}\ } A(F) \] \(A(H)\) est l'algèbre […] engendrée […] les \(\sigma_{n}\) \((n \in \mathbf{Z})\) […] […] multiplication, \[ \sigma_{n} \sigma_{m} = \sigma_{n+m} , \qquad \sigma_{0} = 1 . \] il est plongé dans \(A(G)\) par \(j^{*}\), […] \[ j^{*}(\sigma_{n}) = e_{n,1} \] \(A(F)\) est l'algèbre […] […] […] une base formée […] […] \(e_{n}\) \((n \geq 1)\) […] \(e_{1} = 1\). D'ailleurs \(A(F) = \mathbf{Z}[e_{2}]\). […] \[ i^{*}(e_{n,k}) = e_{k} \]

Identifions \(\Lambda = A(H)\) […] une […] de \(A(G)\). Posons \(\xi = e_{02}\). […] […] de prouver […] \[ A(G) = \Lambda[\xi] \] Une parenthèse de deux lignes accompagne la formule à droite ; elle s'achève sur « de \(\Lambda\) » et ne se lit pas au delà. i.e. […] les \(\xi^{n}\) \(( n = 0, 1, \ldots )\) forment une base de \(A(G)\) sur \(\Lambda\). […] les \(e_{01}, e_{02}, e_{03} \ldots\) forment une telle base, […] il suffit d'établir […] […] formules \[\begin{equation*} (1) \qquad \xi^{n} = \sum_{i=1}^{n+1} c_{ni}\, e_{0i} \qquad ( c_{ni} \in \Lambda , \ c_{n,n+1} = 1 ) \end{equation*}\]

196

On a a priori […] \[ \xi^{n} = \sum_{i} c_{ni}\, e_{0i} \] […] \(c_{ni} \in \Lambda^{+}\), d'où […] […] […] par \(i^{*}\) : \[ e_{2}^{\,n} = \sum_{i} i^{*}(c_{ni})\, e_{i} \]

[…] […] \(i^{*}(c_{p}\)

Or […] \[ i^{*}(\lambda) = d(\lambda) \qquad \lambda \in \Lambda \] […] […] l'augmentation de \(\Lambda\), d'où \[ e_{2}^{\,n} = \sum_{i} d(c_{ni})\, e_{i} \] […] […] sait d'ailleurs […] […] \(e_{2}^{\,n} = \sum_{1}^{n+1} a_{ni}\, e_{i}\), […] \(a_{ni}\) […] […] […] \(\geq 0\) et […] \(a_{n,n+1} = 1\). […] […] \[ \varepsilon(c_{ni}) = 0 \ \text{ si } \ i > n+1 , \qquad \varepsilon(c_{n,n+1}) = 1 \] d'où, […] les \(c_{ni} \in \Lambda^{+}\), \[ c_{ni} = 0 \ \text{ si } \ i > n+1 , \qquad c_{n,n+1} \ \text{est de la forme} \ \sigma_{\alpha} \] ( \(\alpha\) dépendant de […] ). D'où la […] \((1)\), mais […] doit […] […] \[ c_{p,p+1} = \sigma_{\alpha} \] Deux leçons de la même formule précèdent celle-ci sur la ligne, toutes deux barrées, la première « \(c_{p,p+1} = \sigma\) » avec un indice illisible. On […] […] plus haut […] […] le cas. \[ \sigma_{\alpha}\, e_{0,p+1} = e_{\alpha,p+1} \qquad \alpha + pn , \] […] […] plus

197

[…] […] […] figurer dans \(\xi^{n}\) […] […] […] fois le plus […] poids figurant dans \(\xi\), […] […] […] […] […] donc \[ p\alpha \leq pn , \qquad \text{d'où} \quad \alpha \leq 0 . \] D'autre part, les poids intervenant dans \(\xi\) […] \(0\) et \(p\), donc […], donc […] dans \(\xi^{n}\) […] […] ; il faut donc […] […] […] […] soit \(\alpha = \) le poids intervenant dans \(\sigma_{\alpha} e_{0,p+1}\), d'où \(\alpha \geq 0\). D'où \(\alpha = 0\), i.e. \(\sigma_{\alpha} = 1\), c.q.f.d.

Ainsi :

Proposition \(A(G)\) est l'algèbre de polynômes sur \(\Lambda = \mathbf{Z}(\Gamma)\) \((\Gamma = \mathbf{Z})\) engendrée par \(\xi = e_{02}\) ; l'augmentation de \(\Lambda\) […] […] augmentation usuelle, et \(d(\xi) = 2\). Un \(p\) barré précède le \(2\). Sur \(\Lambda\), l'involution \(\vee\) […] l'involution usuelle, et […] . \[ \check{\xi} = e_{-p,2} = \sigma_{-p} \cdot \xi . \]