Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 161–180

Structures supplémentaires (suite) : dualité, produit tensoriel, axiomes

Les pages 161 à 167 continuent sans coupure la rédaction commencée page 156 et interrompue en pleine phrase au bas de la page 160. Elles sont écrites d'un trait rapide et abondamment raturées : les formules, les énoncés soulignés et les diagrammes portent, une grande partie de la prose de liaison ne porte pas.

modules dans les \underline{\mathcal{U}}-modules, i.e. un ~~isomorphisme~~ homomorphisme \underline{\mathcal{U}}^{\circ} \to \underline{\mathcal{U}}, i.e. une application \sim\,: \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} qui est et anti-multiplicative ; \check{F}\check{F} = I signifie que \sigma^2 = 1, donc c'est un anti-automorphisme involutif, noté x \to \check{x}.

Une ligne entière est biffée entre « qui est » et « et anti-multiplicative » ; elle ne se lit pas.

Réciproquement, un tel anti-automorphisme définit un foncteur k^{\underline{\mathcal{U}}} \to k^{\underline{\mathcal{U}}}. Les hypothèses ci-dessus, qui . Si l'on s'est donné sur \underline{\mathcal{U}} une augmentation \varepsilon soit compatible , i.e. \varepsilon(x) = \varepsilon(\check{x}) , signifie que ~~des \underline{\mathcal{U}}-modules~~ les \underline{\mathcal{U}}-modules triviaux. En fait

un homomorphisme continu \varphi : \underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}, compatible avec les , i.e. \varphi(\check{x}) = \check{\overline{\varphi(x)}} , signifie que si ~~\overline{\varphi}(V)'~~ pour tout V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, , \overline{\varphi}(V)' = \overline{\varphi}(V') , i.e. le foncteur permis est compatible avec le passage au dual.

donner un bifoncteur T(V,W) tel que le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large] k^{\underline{\mathcal{U}}} \times k^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[r, "T"] \arrow[d, "I^{\underline{\mathcal{U}}} \otimes I^{\underline{\mathcal{U}}}"'] & k^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[d, "I^{\underline{\mathcal{U}}}"] \\ k^{k} \times k^{k} \arrow[r, "T"'] & k^{k} \end{tikzcd}

T(V,W) = V \otimes_{k} W

soit commutatif. Le pour V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, sur V \otimes_{k} W une structure de \underline{\mathcal{U}}-module , et telle que de \underline{\mathcal{U}}-homomorphismes.

Les deux tiers inférieurs du feuillet sont enfermés dans une boucle tracée à la main et traversés de longues diagonales ; ils ne rendent que les symboles isolés donnés ici.

Soit , , i.e. \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}_{k}} \underline{\mathcal{U}} structure de \underline{\mathcal{U}}-module ; soit alors V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}(V), et de \underline{\mathcal{U}} \underline{\mathcal{U}}_{V} = \underline{\mathcal{U}}/J_{V} . les \underline{\mathcal{U}}_{V}-modules W , W \otimes W , \underline{\mathcal{U}} \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}(V) ; \underline{\mathcal{U}}_{V} étant un anneau artinien, il de \underline{\mathcal{U}}_{V}-modules

Le haut du feuillet est enfermé dans un cadre tracé à la main et traversé de deux longues diagonales.

indécomposables distincts, soit V_i, V_j deux , V_i \otimes V_j \to un \underline{\mathcal{U}}-module, donc la décomposition en une somme finie de \underline{\mathcal{U}}-modules indécomposables W_{ijk}, l'un des W_{ijk} obtenus est ; soit J'_{V} canonique de \underline{\mathcal{U}} dans \Sigma\, W_{ijk}

Montrons qu'il existe un W \in k^{\underline{\mathcal{U}}} V, i, j, k. W_1 et W_2 sont \in k^{\underline{\mathcal{U}}_{V}}, alors W_1 \otimes W_2, muni de sa structure « naturelle » de \underline{\mathcal{U}}-module, soit un \supset J_{V} W. En effet, il suffit de vérifier pour W_1 et W_2 indécomposables (grâce à Krull–Schmidt) V et V_i indécomposables distincts ; W = \Sigma\, V_i \otimes V_j . Cela dit,

Ceci est un cas particulier de 2 définitions suivantes. Soit le \underline{\mathcal{U}}-module permis ; un module permis sur \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}) définit un \underline{\mathcal{U}}-module permis de façon fonctorielle, un homomorphisme \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}. Mais,

on voit que 2 données de \underline{\mathcal{U}}-modules structures sur les V \otimes_{k} W (V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}) , i.e. il deux distinctes une \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}} pour tous . Mais, , , on J, et , et définirait \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J. ( J l' dans d'un V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, donc \underline{\mathcal{U}}/J = \underline{\mathcal{U}}_{V} \subset L_{k}(V), \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J \subset L_{k}(V) \otimes_{k} L_{k}(W) = L_{k}(W \otimes_{k} V) . \underline{\mathcal{U}} \to L_{k}(W \otimes V), on dirait qu'on pour qu'on fasse la répartition

Les \underline{\mathcal{U}}-multiplications sur V \otimes V (V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}) sont de 2 formes \Sigma\, u_i \otimes v_i, , où u_i, v_i sont des \underline{\mathcal{U}}-multiplications de V.

Alors on obtient \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J. On voit et les compatibilités nécessaires pour que \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}} soit défini, et on vérifie que c'est bon. la loi chercher.

Le ~~k^{\underline{\mathcal{U}}} \to~~ k^{\underline{\mathcal{U}}} \to , cette , et vérifiée d'elle-même

Axiomes supplémentaires. Associativité de l'homomorphisme \Delta : accompagnée d'un axiome d'associativité pour les produits tensoriels.

Commutativité de \Delta. L'homomorphisme V \otimes_{k} W \to W \otimes_{k} V doit être compatible avec les \underline{\mathcal{U}}-structures. Cela ne de bifoncteurs tensoriels monoïdaux et commutatifs, i.e. la

la compatibilité avec l'augmentation

Une insertion enfermée dans une boucle tracée à la main occupe ici la largeur du feuillet ; elle ne rend que la formule qui suit.

\Delta(u) = 1 \otimes u + u \otimes 1 + {}

V de \underline{\mathcal{U}}-modules V pour V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, (V \otimes_{k} W)' \simeq V' \otimes_{k} W' , soit

\begin{tikzcd}[column sep=large] \underline{\mathcal{U}} \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d, "\vee"'] & \underline{\mathcal{U}} \otimes \underline{\mathcal{U}} \arrow[d, "\vee \otimes \vee"] \\ \underline{\mathcal{U}} \arrow[r, "\Delta"'] & \underline{\mathcal{U}} \otimes \underline{\mathcal{U}} \end{tikzcd}

Un bloc entièrement raturé sépare le diagramme de la ligne qui suit ; il ne se lit pas.

i.e. \Delta \vee = (\vee \otimes \vee)\Delta, i.e. \vee est un isomorphisme de co-algèbres.

Compatibilité combinée de \varepsilon, \vee, \Delta. Ça veut que pour V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, l'homomorphisme naturel V' \otimes V \to k soit un \underline{\mathcal{U}}-homomorphisme, quand k est muni de sa structure de \underline{\mathcal{U}}-module trivial (si on pour supposer \Delta symétrique, il faut évidemment 2 pour V \otimes V' \to k). Ceci s'exprime par P(v \otimes 1)\Delta = 1 \quad\text{et}\quad P(1 \otimes v)\Delta = 1 ( \Delta symétrique).

Si tous ces axiomes sont vérifiés, alors des \underline{\mathcal{U}}-modules permis aux permis.

Soient \underline{\mathcal{U}}, \underline{V} des « K-algèbres » avec un homomorphisme \Delta, qui donne \underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}, i.e. \overline{\varphi} un foncteur permis k^{\underline{V}} \to k^{\underline{\mathcal{U}}}.

Pour que \overline{\varphi} soit compatible avec les produits tensoriels (i.e. si V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, sur V \otimes W la structure de \underline{V}-module canonique est la déduite de \varphi(V) et \varphi(W)), il faut et il suffit que \varphi soit compatible avec \Delta.

Si ~~toutes~~ les données et tous les axiomes se ramènent réunis sur \underline{\mathcal{U}}, :

\underline{\mathcal{U}} algèbre associative topologique quelconque avec suffisamment de représentations de dimension finie ; \underline{\mathcal{U}} muni d'une ~~structure de co-algèbre~~ structure de co-algèbre associative \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}, ~~commutative~~ ; ces deux structures compatibles, c'est-à-dire un homomorphisme continu d'algèbres ; \underline{\mathcal{U}} muni d'une augmentation \varepsilon, qui est un homomorphisme d'algèbres et un homomorphisme de co-algèbres ; \underline{\mathcal{U}} muni d'une involution \vee, qui est un anti-automorphisme (d'algèbres, involutif) et un automorphisme de co-algèbres ; \varepsilon invariante sous \vee : \varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x).

On a P(v \otimes 1)\Delta = P(1 \otimes v)\Delta = 1 (P désigne la multiplication \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} qui correspond au produit, il est bien ~~défini ; il faut que pour tout V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, J_{W}\,\underline{\mathcal{U}} \subset~~ défini (ce n'est )).

Par dualité, ceci correspond aux données sur une algèbre A : ; de topologie, et la structure d'algèbre , et des co-algèbres A est commutative.

Le groupe G et l'algèbre A

3) Le groupe G des éléments inversibles de \underline{\mathcal{U}} tels que \Delta s = s \otimes s, \varepsilon(s) = 1. correspond aux des foncteurs I^{\underline{\mathcal{U}}} tels que si A et B ~~sont~~ correspondent à V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, alors A \otimes B correspond à V \otimes W. Ils correspondent aussi homomorphismes ~~dans~~ \underline{\mathcal{U}} continus, compatibles avec \Delta, donc de l'espace \underline{\mathcal{U}}(\mathbf{Z})

\Delta s = s \otimes s \varepsilon(s) = \varepsilon(s)^{2} , donc \varepsilon(s) égal à 0 ou 1, mais ~~pas~~ 0, car s est inversible, d'où s \in G \Rightarrow \varepsilon(s) = 1. P(v \otimes 1)\Delta = 1, puis \check{s}\,s = 1, d'où \check{s} = s^{-1}.

Conclusion : si , une 2e réduction \vee : \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}, continue, P(v \otimes 1)\Delta = 1. Cette \vee , \varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x), s^{\vee} = s^{-1}, f \to \langle s, f \rangle G A = \underline{\mathcal{U}}'

G dans le des finie la représentation de base G dans V de la représentation G dans V

N.B. Les éléments de A ( i.e. les formes linéaires continues sur \underline{\mathcal{U}}) sont exactement les formes du type u \to \langle u \cdot a,\; b \rangle , où a, b' \in V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}, i.e. les coefficients des représentations linéaires continues de dimension finie de \underline{\mathcal{U}}.

~~Éléments~~

d'éléments dans \underline{\mathcal{U}} :

1) Le groupe \underline{\mathcal{U}}^{*} des éléments inversibles de \underline{\mathcal{U}}. Correspond aux automorphismes des foncteurs I^{\underline{\mathcal{U}}}, i.e. les pour tout V \in k^{\underline{\mathcal{U}}} d'un ~~automorphisme~~ u_{V} de V, avec commutation pour les \underline{\mathcal{U}}-homomorphismes.

2) Les éléments primitifs.

3) Le ~~groupe des éléments~~ Il s'agit des endomorphismes du foncteur additif I^{\underline{\mathcal{U}}} tels que si A et B sont qui correspondent à V et W, A \otimes 1 + 1 \otimes B pour V \otimes W. Il algèbre de Lie , par exemple les de Lie ( car p \ne 0).

topologique de \underline{\mathcal{U}}) dans k (et = k). Ainsi une homomorphisme d'algèbres ~~de A~~ dans l'algèbre des fonctions de G à valeurs dans k, transportant 1 en \mathbf{1}, compatible d'ailleurs avec la multiplication diagonale et l'augmentation, et aussi avec \vee. Dire que G \to signifie précisément que G est total dans \underline{\mathcal{U}}.

N.B. G est , les conditions de A , signifie l'adhérence avec la topologie « faible » pour G . aussi que le homomorphisme A par \underline{\mathcal{U}}, indépendamment que A

(si x, x' \in V, x'_i \in V' ) de V contenant , V' x' \otimes x' \in V' \otimes V' ; ~~p \ne 0~~ \underline{A} = k[x]/x^{p} x_i^{p} l'homomorphisme d'algèbres

i.e. A est une algèbre de fonctions sur G.

Si G est total dans \underline{\mathcal{U}}, alors la classe k^{\underline{\mathcal{U}}} s'identifie, avec ~~toutes~~ ses structures, à la classe des G-modules tels que les coefficients sont \in A.

Ainsi, une \underline{K}-bigèbre \underline{\mathcal{U}} un groupe G, et une algèbre A_{0} de fonctions sur G à valeurs dans k, séparant les points de G, stable \vee, et telle que f(xy) \in A_{0} \otimes A_{0} . Alors, \underline{\mathcal{U}} définit G A_{0} est dans \underline{\mathcal{U}}].

Renversons le problème : G avec une algèbre A_{0} vérifiant les conditions précédentes. G-modules A_{0} des formes linéaires les catégories des G-modules . Il lui correspond G \to \underline{\mathcal{U}}, A_{0} \subset A \to \underline{\mathcal{U}} \to une bijection G(\underline{\mathcal{U}}) (i.e. inversibles telles que \Delta(s) = s \otimes s). Pour par G, A_{0} de G, il tel que G \to G(\underline{\mathcal{U}}), pour montrer que les de A_{0} il suffit de prouver que A \to A_{0}

est bijectif. Ceci plus bas.

Ainsi, une identification du groupe G avec une algèbre A_{0} de fonctions de G dans k, satisfaisant aux conditions précédentes, et certain K- \underline{\mathcal{U}}.

N.B. Soit \underline{\mathcal{U}} une de type fini , telle que les \underline{\mathcal{U}}/J , A la co-algèbre des de co-algèbres de ). Les \underline{\mathcal{U}}-modules des conditions antérieures linéaires sur k.

Soit \Omega une algèbre associative avec 1, considérons la classe des \Omega-modules de dimension finie sur k. Soit A l'ensemble des fonctions sur \Omega coefficients des représentations linéaires de dimension finie de \Omega. La multiplication de \Omega est continue pour \sigma(\Omega \otimes \Omega, A \otimes A) et \sigma(\Omega, A), i.e. un homomorphisme A \to A \otimes A , , ( \Omega = L_{k}(V), V de dimension finie sur k ). Alors, les \Omega-modules de

dimension finie sont exactement les co-algèbres de dimension sur k. Donc c'est identique : la classe des \hat{\Omega}-modules permis, où \hat{\Omega} est le complété de \Omega pour \sigma(\Omega, A).

Trois lignes entièrement biffées suivent ; elles ne rendent que les mots « Plus généralement », « avec 1 » et « A_{0} ».

~~Plus généralement avec 1, A_{0}~~

de \Omega les ~~application~~ \langle u \otimes v,\; f \rangle = \langle uv,\; f \rangle ~~linéaire (qui existe )~~ application « » telles que \Omega' \otimes \Omega' ( pour f(uv) \in A \otimes A ; si f(uv) = alors , f_i, g_i(w) \rangle, donc i.e. Cela dit, de \Omega' il que f(uv) \in A_{0} \otimes A_{0}. une co-algèbre de A ;

~~A_{0} des , i.e.~~

Soit k classe des \Omega-modules tels que pour x \in V, x' \in V', f_{x,x'} soit dans A_{0}. Cette classe est isomorphe à la classe des A_{0}-comodules ( commutative, la dimension ; le réciproque , grâce à la dimension finie ). C'est la classe des \hat{\Omega}-modules, où \hat{\Omega} est le complété \sigma(\Omega, A_{0}).

la dernière . A_{0} définit des dimensions finies de représentations, pour , de dimension ). le groupe G. les multiplications de de G. ~~Alors~~ Donc conditions précédentes. des \Omega dans V, de \underline{\mathcal{U}} ~~f = \Sigma f_i \otimes g_i, donc le représentation~~ d'ici une algèbre

de plus (1), une de , de V, W, coefficient d'une représentation de V \otimes W.

A_{0}, : G, A A_{0}. Pourvu par le de G, contenant A_{0}, représentation de dimension finie de \Omega dans dans G. ~~Dire \in G(A_{0})~~ dans A_{0} (si ) (les parties de V', et représentation \Omega'-, x \to f_{x,e_i}) ~~G(A_{0}) G~~

d'une représentation dans sont de u * f le représentation de \Omega de la représentation de dans G. CQFD.

Reprenons G. une représentation A_{0} G^{k} et G^{(k)} = k(G) , et l'ensemble des coefficients représentations de G les fonctions f(uv), pour f \in A_{0}, sont dans , de dans A_{0} G. que G signifie que A_{0} est stable sous la multiplication, autrement dit, que A_{0} est une sous-algèbre, A_{0} est stable sous \vee ;

représentation triviale dans k, 1 \in A_{0} ~~K-algèbre~~ dont la des coefficients A_{0}. structure G', et G \to G'(A_{0}) bijectif, i.e. les points de fonctions de A_{0}, i.e. sépare les points de G, et fonctions de A_{0} provient de G. condition la structure sur G définie le de G, i.e. de A_{0}, une structure de algébrique A_{0} soit engendrée finiment sur k.

suffisamment V V_i, alors V = \Sigma\, V_i . N.B. ~~de V,~~ de V, f_{e_i, e_j}, : \otimes V ( ). une partie ) algèbre engendrée par les l'inverse du déterminant

des représentations L(V) puis que les fonctions , représentation de G, , les fonctions,

K\text{-catégorie} \iff K\text{-bigèbre } \underline{\mathcal{U}} \iff \text{hyperalgèbre commutative } A

Dans le second membre du schéma, « algèbre » est biffé et « bigèbre » écrit au-dessus ; le troisième membre se poursuit par deux mots dont seul « plate » se lit.

Une flèche verticale monte des deux lignes qui suivent vers le second membre de ce schéma.

Groupe pseudo-algébrique (car si G(\underline{\mathcal{U}}) ~~est total~~ est total dans \underline{\mathcal{U}}, on retrouve \underline{A} dans A , i.e. des A \to : 0)

Groupe algébrique (si de plus A une de type fini).

Le groupe ordonné des classes indécomposables

Considérons à nouveau une classe abélienne \mathcal{R} dont les soient de longueur finie. Soit I l'ensemble des classes de indécomposables dans \mathcal{R}, soit \mathbf{Z}(I) le groupe libre engendré par I. C'est un groupe ordonné d'après Krull–Schmidt, I^{+} ( l'ensemble des éléments ) est canoniquement isomorphe à l'ensemble des classes de \in \mathcal{R} modulo isomorphisme, la somme de I^{+} correspondant : l'opération de somme directe.

Si \mathcal{R} est une classe de modules structures, \otimes , et si que k soit muni d'une structure privilégiée, alors I a un élément distingué e ; si dans \mathcal{R}, une involution \vee (le dual d'un module muni d'une structure est muni d'une structure k) alors I est aussi muni d'une involution i \to \check{\imath}, et la compatibilité de l'involution avec la structure privilégiée de k s'exprime par \check{e} = e . N.B. sur I, il y a une privilégiée n(i) = \dim M_{i} , qui se prolonge par linéarité à = \mathbf{Z}(I),

Une tache d'encre couvre le symbole précédant l'égalité ; le lot s'arrête là.