Cote n° 10 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

Structures supplémentaires (suite) : dualité, produit tensoriel, axiomes

Les pages 161 à 167 continuent sans coupure la rédaction commencée page 156 et interrompue en pleine phrase au bas de la page 160. Elles sont écrites d'un trait rapide et abondamment raturées : les formules, les énoncés soulignés et les diagrammes portent, une grande partie de la prose de liaison ne porte pas.

161

modules dans les \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules, i.e. un isomorphisme homomorphisme \(\underline{\mathcal{U}}^{\circ} \to \underline{\mathcal{U}}\), i.e. une application \(\sim\,: \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}\) qui est […] […] et anti-multiplicative ; \(\check{F}\check{F} = I\) signifie que \(\sigma^2 = 1\), donc c'est un […] anti-automorphisme involutif, noté \(x \to \check{x}\).

Une ligne entière est biffée entre « qui est » et « et anti-multiplicative » ; elle ne se lit pas.

Réciproquement, un tel anti-automorphisme définit […] un foncteur \(k^{\underline{\mathcal{U}}} \to k^{\underline{\mathcal{U}}}\). Les hypothèses ci-dessus, qui […] […]. [Si l'on s'est donné sur \(\underline{\mathcal{U}}\)] une augmentation \(\varepsilon\) […] soit […] compatible […], i.e. \[ \varepsilon(x) = \varepsilon(\check{x}) , \] signifie que […] des \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules […] les \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules triviaux. En fait […]

[…] un homomorphisme continu \(\varphi : \underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}\), […] compatible avec les […], […] i.e. \[ \varphi(\check{x}) = \check{\overline{\varphi(x)}} , \] signifie que si \(\overline{\varphi}(V)'\) pour tout \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), […], \[ \overline{\varphi}(V)' = \overline{\varphi}(V') , \] i.e. le foncteur permis est compatible avec le passage au dual.

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[…] donner un bifoncteur \(T(V,W)\) tel que le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=large]
k^{\underline{\mathcal{U}}} \times k^{\underline{\mathcal{U}}}
  \arrow[r, "T"] \arrow[d, "I^{\underline{\mathcal{U}}} \otimes I^{\underline{\mathcal{U}}}"'] &
  k^{\underline{\mathcal{U}}} \arrow[d, "I^{\underline{\mathcal{U}}}"] \\
k^{k} \times k^{k} \arrow[r, "T"'] & k^{k}
\end{tikzcd}

\[ T(V,W) = V \otimes_{k} W \]

soit commutatif. Le […] pour \(V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), […] sur \(V \otimes_{k} W\) une structure de \(\underline{\mathcal{U}}\)-module […], et telle que […] de \(\underline{\mathcal{U}}\)-homomorphismes.

Les deux tiers inférieurs du feuillet sont enfermés dans une boucle tracée à la main et traversés de longues diagonales ; ils ne rendent que les symboles isolés donnés ici.

[…] Soit […], […], i.e. \[ \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}_{k}} \underline{\mathcal{U}} \] […] structure de \(\underline{\mathcal{U}}\)-module ; soit alors \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}(V)\), et […] de \(\underline{\mathcal{U}}\) […] \[ \underline{\mathcal{U}}_{V} = \underline{\mathcal{U}}/J_{V} . \] […] les \(\underline{\mathcal{U}}_{V}\)-modules \(W\) […], \(W \otimes W\) […], \[ \underline{\mathcal{U}} \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}(V) \] […] ; \(\underline{\mathcal{U}}_{V}\) étant un anneau artinien, il […] de \(\underline{\mathcal{U}}_{V}\)-modules […]

163

Le haut du feuillet est enfermé dans un cadre tracé à la main et traversé de deux longues diagonales.

indécomposables distincts, soit \(V_i\), \(V_j\) deux […], \(V_i \otimes V_j \to\) un \(\underline{\mathcal{U}}\)-module, donc la décomposition en une somme finie de \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules […] indécomposables \(W_{ijk}\), l'un des \(W_{ijk}\) obtenus est […] ; soit \(J'_{V}\) […] canonique de \(\underline{\mathcal{U}}\) dans \(\Sigma\, W_{ijk}\)

Montrons qu'il existe un \(W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\) […] \(V\), \(i\), \(j\), \(k\). […] \(W_1\) et \(W_2\) sont \(\in k^{\underline{\mathcal{U}}_{V}}\), alors \(W_1 \otimes W_2\), muni de sa structure « naturelle » de \(\underline{\mathcal{U}}\)-module, soit un […] \(\supset J_{V} W\). En effet, il suffit de vérifier pour \(W_1\) et \(W_2\) indécomposables (grâce à Krull–Schmidt) […] \(V\) […] et \(V_i\) indécomposables distincts ; \[ W = \Sigma\, V_i \otimes V_j . \] Cela dit, […]

[…]

Ceci est un cas particulier de 2 [définitions] suivantes. Soit le \(\underline{\mathcal{U}}\)-module permis ; […] un module permis sur \(\underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}\)) définit un \(\underline{\mathcal{U}}\)-module permis de façon fonctorielle, […] un homomorphisme \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}\). Mais, […]

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[…] on voit que 2 données [de \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules] […] structures sur les \(V \otimes_{k} W\) (\(V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\)) […], i.e. il […] deux […] distinctes […] une \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}\) […] pour tous […]. Mais, […], […], on […] \(J\), […] et […], et […] définirait \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J\). ( […] \(J\) […] l'[…] dans […] d'un \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), donc \(\underline{\mathcal{U}}/J = \underline{\mathcal{U}}_{V} \subset L_{k}(V)\), \[ \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J \subset L_{k}(V) \otimes_{k} L_{k}(W) = L_{k}(W \otimes_{k} V) . \] […] […] \(\underline{\mathcal{U}} \to L_{k}(W \otimes V)\), on dirait qu'on […] pour qu'on fasse la répartition […]

Les \(\underline{\mathcal{U}}\)-multiplications sur \(V \otimes V\) (\(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\)) sont de 2 formes \(\Sigma\, u_i \otimes v_i\), […], où \(u_i\), \(v_i\) sont des \(\underline{\mathcal{U}}\)-multiplications de \(V\).

Alors on obtient \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}/J \otimes_{k} \underline{\mathcal{U}}/J\). On voit […] et les compatibilités nécessaires pour que \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}\) soit défini, et on vérifie que c'est bon. […] la loi […] chercher.

Le \(k^{\underline{\mathcal{U}}} \to\) \(k^{\underline{\mathcal{U}}} \to\) […], cette […], et […] vérifiée d'elle-même […]

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Axiomes supplémentaires. Associativité de l'homomorphisme \(\Delta\) : accompagnée d'un axiome d'associativité pour les produits tensoriels.

Commutativité de \(\Delta\). L'homomorphisme \(V \otimes_{k} W \to W \otimes_{k} V\) doit être compatible avec les \(\underline{\mathcal{U}}\)-structures. Cela ne […] de bifoncteurs tensoriels monoïdaux et commutatifs, i.e. la […]

[…] la compatibilité [avec l'augmentation]

Une insertion enfermée dans une boucle tracée à la main occupe ici la largeur du feuillet ; elle ne rend que la formule qui suit.

\(\Delta(u) = 1 \otimes u + u \otimes 1 + {}\) […]

[…] […] \(V\) […] de \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules […] \(V\) […] pour \(V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), \[ (V \otimes_{k} W)' \simeq V' \otimes_{k} W' \] […], soit […]

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\underline{\mathcal{U}} \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d, "\vee"'] &
  \underline{\mathcal{U}} \otimes \underline{\mathcal{U}} \arrow[d, "\vee \otimes \vee"] \\
\underline{\mathcal{U}} \arrow[r, "\Delta"'] &
  \underline{\mathcal{U}} \otimes \underline{\mathcal{U}}
\end{tikzcd}

Un bloc entièrement raturé sépare le diagramme de la ligne qui suit ; il ne se lit pas.

i.e. \(\Delta \vee = (\vee \otimes \vee)\Delta\), i.e. \(\vee\) est un isomorphisme de co-algèbres.

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Compatibilité combinée de \(\varepsilon\), \(\vee\), \(\Delta\). Ça veut que pour \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), l'homomorphisme naturel \(V' \otimes V \to k\) soit un \(\underline{\mathcal{U}}\)-homomorphisme, quand \(k\) est muni [de sa structure] de \(\underline{\mathcal{U}}\)-module trivial (si on […] pour supposer \(\Delta\) symétrique, il faut évidemment 2 […] pour \(V \otimes V' \to k\)). Ceci s'exprime par \[ P(v \otimes 1)\Delta = 1 \quad\text{et}\quad P(1 \otimes v)\Delta = 1 \] ([…] \(\Delta\) […] symétrique).

Si tous ces axiomes sont vérifiés, alors […] des \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules permis aux permis.

[…]

Soient \(\underline{\mathcal{U}}\), \(\underline{V}\) des « \(K\)-algèbres » avec un homomorphisme \(\Delta\), qui [donne] \(\underline{V} \to \underline{\mathcal{U}}\), i.e. \(\overline{\varphi}\) un foncteur permis \(k^{\underline{V}} \to k^{\underline{\mathcal{U}}}\).

Pour que \(\overline{\varphi}\) soit compatible avec les produits tensoriels (i.e. si \(V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), […] sur \(V \otimes W\) la structure de \(\underline{V}\)-module canonique est la […] […] déduite de \(\varphi(V)\) et \(\varphi(W)\)), il faut et il suffit que \(\varphi\) soit compatible avec \(\Delta\).

167

Si toutes les données et tous les axiomes se ramènent réunis sur \(\underline{\mathcal{U}}\), […] […] :

• \(\underline{\mathcal{U}}\) algèbre associative topologique quelconque […] avec suffisamment de représentations de dimension finie ;
• \(\underline{\mathcal{U}}\) muni d'une structure de co-algèbre […] structure de co-algèbre associative \(\underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}}\), […] commutative […] ; ces deux structures compatibles, c'est-à-dire un homomorphisme continu d'algèbres ;
• \(\underline{\mathcal{U}}\) muni d'une augmentation \(\varepsilon\), qui est un homomorphisme d'algèbres et un homomorphisme de co-algèbres ;
• \(\underline{\mathcal{U}}\) muni d'une involution \(\vee\), qui est un anti-automorphisme (d'algèbres, involutif) et un automorphisme de co-algèbres ; \(\varepsilon\) invariante sous \(\vee\) : \(\varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x)\).

On a \[ P(v \otimes 1)\Delta = P(1 \otimes v)\Delta = 1 \] (\(P\) désigne la multiplication \(\underline{\mathcal{U}} \mathbin{\hat{\otimes}} \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}\) qui correspond au produit, […] [il est bien] défini ; il faut que […] pour tout \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), […] \(J_{W}\,\underline{\mathcal{U}} \subset\) […] défini […] (ce n'est […])).

Par dualité, ceci correspond aux données […] sur une algèbre \(A\) : […] ; […] de topologie, et […] la structure d'algèbre […], et […] des co-algèbres […] \(A\) est commutative.

Le groupe \(G\) et l'algèbre \(A\)

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3) Le groupe \(G\) des éléments inversibles de \(\underline{\mathcal{U}}\) tels que \(\Delta s = s \otimes s\), \(\varepsilon(s) = 1\). […] […] correspond aux […] des foncteurs \(I^{\underline{\mathcal{U}}}\) tels que si \(A\) et \(B\) sont correspondent à \(V, W \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), alors \(A \otimes B\) correspond à \(V \otimes W\). [Ils] correspondent aussi […] homomorphismes dans \(\underline{\mathcal{U}}\) continus, compatibles avec \(\Delta\), donc […] de l'espace \(\underline{\mathcal{U}}(\mathbf{Z})\) […]

[…] \(\Delta s = s \otimes s\) […] \[ \varepsilon(s) = \varepsilon(s)^{2} , \] donc \(\varepsilon(s)\) égal à \(0\) ou \(1\), mais pas \(0\), car \(s\) est inversible, d'où \(s \in G \Rightarrow \varepsilon(s) = 1\). […] \(P(v \otimes 1)\Delta = 1\), puis \(\check{s}\,s = 1\), d'où \(\check{s} = s^{-1}\).

[…] Conclusion : si […], une 2^e réduction […] \(\vee : \underline{\mathcal{U}} \to \underline{\mathcal{U}}\), continue, \(P(v \otimes 1)\Delta = 1\). Cette \(\vee\) […], \(\varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x)\), […] \(s^{\vee} = s^{-1}\), […] \(f \to \langle s, f \rangle\) […] \(G\) […] \[ A = \underline{\mathcal{U}}' \] […]

\(G\) […] dans le […] des […] finie […] la représentation de base […] […] […] \(G\) dans \(V\) […] de la représentation […] \(G\) dans \(V\) […]

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N.B. Les éléments de \(A\) ( i.e. les formes linéaires continues sur \(\underline{\mathcal{U}}\)) sont exactement les formes du type \[ u \to \langle u \cdot a,\; b \rangle , \] où \(a, b' \in V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\), i.e. les coefficients des représentations linéaires continues de dimension finie de \(\underline{\mathcal{U}}\). […]

Éléments

[…] […] d'éléments dans \(\underline{\mathcal{U}}\) :

1) Le groupe \(\underline{\mathcal{U}}^{*}\) […] des éléments inversibles de \(\underline{\mathcal{U}}\). Correspond aux […] automorphismes des foncteurs \(I^{\underline{\mathcal{U}}}\), i.e. les […] […] pour tout \(V \in k^{\underline{\mathcal{U}}}\) d'un automorphisme […] \(u_{V}\) de \(V\), avec commutation […] pour les \(\underline{\mathcal{U}}\)-homomorphismes. […]

2) […] Les éléments primitifs.

3) Le groupe des éléments […] Il s'agit des endomorphismes du foncteur additif \(I^{\underline{\mathcal{U}}}\) tels que si \(A\) et \(B\) sont […] qui correspondent à \(V\) et \(W\), […] \[ A \otimes 1 + 1 \otimes B \] pour \(V \otimes W\). Il […] algèbre de Lie […], par exemple les […] de Lie […] ([…] car \(p \ne 0\)).

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topologique de \(\underline{\mathcal{U}}\)) dans \(k\) (et \(=\) […] \(k\)). Ainsi […] une […] homomorphisme […] d'algèbres […] de \(A\) dans l'algèbre des fonctions de \(G\) à valeurs dans \(k\), transportant \(1\) en \(\mathbf{1}\), compatible d'ailleurs avec la multiplication diagonale et l'augmentation, et […] aussi avec \(\vee\). Dire que \(G \to\) […] signifie précisément que \(G\) est total dans \(\underline{\mathcal{U}}\).

N.B. […] \(G\) est […], […] les conditions de \(A\) […], signifie […] l'adhérence […] avec la topologie « faible » […] pour […] \(G\) […]. […] aussi que le […] homomorphisme […] \(A\) […] par \(\underline{\mathcal{U}}\), […] […] indépendamment […] que \(A\) […]

[…] (si \(x, x' \in V\), \(x'_i \in V'\) […]) […] de \(V\) contenant […], […] \(V'\) […] \[ x' \otimes x' \in V' \otimes V' ; \] \(p \ne 0\) […] \[ \underline{A} = k[x]/x^{p} \] […] […] \(x_i^{p}\) […] l'homomorphisme d'algèbres […]

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[…] i.e. \(A\) est une algèbre de fonctions sur \(G\).

Si \(G\) est total dans \(\underline{\mathcal{U}}\), alors la classe \(k^{\underline{\mathcal{U}}}\) s'identifie, avec toutes ses structures, à la classe des […] \(G\)-modules [tels que] les […] coefficients sont […] […] \(\in A\).

Ainsi, une \(\underline{K}\)-bigèbre \(\underline{\mathcal{U}}\) […] un […] groupe \(G\), et une […] algèbre \(A_{0}\) de fonctions sur \(G\) à valeurs dans \(k\), séparant les points de \(G\), […] stable […] \(\vee\), et telle que \[ f(xy) \in A_{0} \otimes A_{0} . \] Alors, \(\underline{\mathcal{U}}\) […] définit […] \(G\) […] \(A_{0}\) est […] […] dans \(\underline{\mathcal{U}}\)].

Renversons le problème : […] \(G\) avec une algèbre \(A_{0}\) vérifiant les conditions précédentes. […] \(G\)-modules […] \(A_{0}\) […] des formes linéaires […] […] les catégories des \(G\)-modules […]. Il lui correspond […] \(G \to \underline{\mathcal{U}}\), \(A_{0} \subset A\) […] \(\to \underline{\mathcal{U}} \to\) […] une bijection […] \(G(\underline{\mathcal{U}})\) (i.e. […] inversibles […] telles que \(\Delta(s) = s \otimes s\)). Pour […] par \(G\), […] \(A_{0}\) […] de \(G\), il […] tel que \(G \to G(\underline{\mathcal{U}})\), pour montrer que les […] […] de \(A_{0}\) il suffit de prouver que \(A \to A_{0}\)

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est bijectif. Ceci […] […] plus bas.

Ainsi, une identification du groupe \(G\) avec une algèbre \(A_{0}\) de fonctions de \(G\) dans \(k\), satisfaisant aux conditions précédentes, et certain […] \(K\)-[…] \(\underline{\mathcal{U}}\).

N.B. Soit \(\underline{\mathcal{U}}\) une […] […] de type fini […], telle que les \(\underline{\mathcal{U}}/J\) […], \(A\) […] la co-algèbre des […] […] de […] co-algèbres de […]). Les \(\underline{\mathcal{U}}\)-modules […] des conditions antérieures […] linéaires sur \(k\).

Soit \(\Omega\) une […] algèbre associative avec 1, considérons la classe des \(\Omega\)-modules […] de dimension finie sur \(k\). Soit \(A\) l'ensemble des fonctions sur \(\Omega\) […] coefficients des représentations linéaires […] de dimension finie de \(\Omega\). La multiplication de \(\Omega\) est continue pour \(\sigma(\Omega \otimes \Omega, A \otimes A)\) […] et \(\sigma(\Omega, A)\), i.e. […] un homomorphisme \[ A \to A \otimes A , \] […], […] ( […] \(\Omega = L_{k}(V)\), \(V\) de dimension finie sur \(k\) ). Alors, les \(\Omega\)-modules […] de

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dimension finie sont exactement les co-algèbres […] […] de dimension […] sur \(k\). Donc c'est identique : la classe des \(\hat{\Omega}\)-modules permis, où \(\hat{\Omega}\) est le complété de \(\Omega\) pour \(\sigma(\Omega, A)\).

Trois lignes entièrement biffées suivent ; elles ne rendent que les mots « Plus généralement », « avec 1 » et « \(A_{0}\) ».

Plus généralement […] avec 1, […] \(A_{0}\) […]

[…] de \(\Omega\) […] les […] application […] \[ \langle u \otimes v,\; f \rangle = \langle uv,\; f \rangle \] […] linéaire (qui existe […]) […] application « […] » […] telles que \(\Omega' \otimes \Omega'\) ( […] pour […] \(f(uv) \in A \otimes A\) ; […] si \(f(uv) =\) […] alors […], \(f_i\), \(g_i(w) \rangle\), donc […] […] i.e. […] Cela dit, […] de \(\Omega'\) […] […] il […] que \(f(uv) \in A_{0} \otimes A_{0}\). […] une […] co-algèbre de \(A\) ;

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[…] \(A_{0}\) […] des […], i.e. […]

Soit \(k\) […] classe des \(\Omega\)-modules […] [tels que] pour \(x \in V\), \(x' \in V'\), \(f_{x,x'}\) soit dans \(A_{0}\). Cette classe […] est isomorphe à la classe des \(A_{0}\)-comodules ( […] […] commutative, […] […] la dimension ; le réciproque […], grâce à la dimension finie ). C'est […] la classe des \(\hat{\Omega}\)-modules, où \(\hat{\Omega}\) est le complété […] \(\sigma(\Omega, A_{0})\).

[…] la dernière […]. \(A_{0}\) définit […] […] des dimensions finies de représentations, […] pour […], […] […] de dimension ). […] le groupe \(G\). […] les multiplications de […] de \(G\). Alors Donc […] conditions précédentes. […] […] des \(\Omega\) dans \(V\), […] de \(\underline{\mathcal{U}}\) \(f = \Sigma f_i \otimes g_i\), donc […] le […] représentation […] […] d'ici une […] algèbre

175

de plus (1), une […] […] de […], […] de \(V\), […] \(W\), […] coefficient d'une représentation de \(V \otimes W\).

[…]

[…] \(A_{0}\), […] […] : \(G\), […] \(A\) […] \(A_{0}\). Pourvu […] par le […] de \(G\), contenant \(A_{0}\), […] […] représentation de dimension finie de \(\Omega\) dans […] dans \(G\). Dire […] \(\in G(A_{0})\) […] […] dans \(A_{0}\) (si […]) (les […] parties […] de \(V'\), et […] […] représentation \(\Omega'\)-[…], \(x \to f_{x,e_i}\)) […] \(G(A_{0})\) […] \(G\) […]

176

d'une représentation dans […] […] sont de […] \(u * f\) […] le représentation de […] \(\Omega\) de la représentation de […] dans \(G\). CQFD.

Reprenons […] \(G\). […] […] une […] représentation \(A_{0}\) […] \(G^{k}\) et \[ G^{(k)} = k(G) , \] et […] l'ensemble des coefficients […] représentations de \(G\) […] les fonctions \(f(uv)\), pour \(f \in A_{0}\), sont dans […], […] de […] dans \(A_{0}\) […] \(G\). […] que \(G\) […] signifie que \(A_{0}\) est stable sous la multiplication, autrement dit, que \(A_{0}\) est une sous-algèbre, […] \(A_{0}\) est stable sous \(\vee\) ;

177

[…] représentation […] triviale dans \(k\), […] […] \(1 \in A_{0}\) […] \(K\)-algèbre […] dont la […] des coefficients […] \(A_{0}\). […] […] […] structure […] \(G'\), et […] \[ G \to G'(A_{0}) \] […] bijectif, i.e. […] les points de […] fonctions de \(A_{0}\), i.e. […] sépare les points de \(G\), et […] fonctions de \(A_{0}\) provient de \(G\). […] condition la structure sur \(G\) définie […] le […] de \(G\), i.e. de \(A_{0}\), […] une structure de […] algébrique […] \(A_{0}\) soit engendrée finiment sur \(k\).

178

[…] suffisamment […] \(V\) […] \(V_i\), alors \[ V = \Sigma\, V_i . \] N.B. […] […] […] de \(V\), […] de \(V\), \(f_{e_i, e_j}\), […] […] : \(\otimes V\) ( […] ). […] […] une partie ) […] algèbre […] engendrée par les […] […] […] l'inverse […] du déterminant […]

179

[…] […] des représentations […] \(L(V)\) […] puis que les fonctions […], représentation de \(G\), […] […], […] les fonctions,

\[ K\text{-catégorie} \iff K\text{-bigèbre } \underline{\mathcal{U}} \iff \text{hyperalgèbre commutative } A \]

Dans le second membre du schéma, « algèbre » est biffé et « bigèbre » écrit au-dessus ; le troisième membre se poursuit par deux mots dont seul « plate » se lit.

Une flèche verticale monte des deux lignes qui suivent vers le second membre de ce schéma.

Groupe pseudo-algébrique (car si \(G(\underline{\mathcal{U}})\) est total est total dans \(\underline{\mathcal{U}}\), on retrouve \(\underline{A}\) dans \(A\) […], i.e. […] […] des […] […] \(A \to\) […] : 0)

Groupe algébrique (si de plus \(A\) […] une […] […] de type fini).

Le groupe ordonné des classes indécomposables

180

Considérons à nouveau une classe abélienne \(\mathcal{R}\) dont les […] soient de longueur finie. Soit \(I\) l'ensemble des classes de […] indécomposables dans \(\mathcal{R}\), soit \(\mathbf{Z}(I)\) le groupe libre engendré par \(I\). C'est un groupe ordonné d'après Krull–Schmidt, \(I^{+}\) ( l'ensemble des éléments […] ) est canoniquement isomorphe à l'ensemble des classes de […] \(\in \mathcal{R}\) modulo isomorphisme, la somme de \(I^{+}\) correspondant : l'opération de somme directe.

Si \(\mathcal{R}\) est une classe de […] [[…]] modules […] […] structures, \(\otimes\) […], et si […] que \(k\) soit muni d'une structure privilégiée, alors \(I\) a un élément distingué \(e\) ; si dans \(\mathcal{R}\), […] une involution \(\vee\) (le dual d'un module muni d'une structure […] est muni d'une structure […] \(k\)) alors \(I\) est aussi muni d'une involution \(i \to \check{\imath}\), et la compatibilité de l'involution avec la structure privilégiée de \(k\) s'exprime par \[ \check{e} = e . \] N.B. […] sur \(I\), il y a une […] […] privilégiée \[ n(i) = \dim M_{i} , \] qui se prolonge par linéarité à […] \(= \mathbf{Z}(I)\),

Une tache d'encre couvre le symbole précédant l'égalité ; le lot s'arrête là.