Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 121–140

\otimes-catégories, suite (pages 121 à 136)

Suite sans rupture du tapuscrit commencé page 117 : la phrase laissée en suspens au bas de la page 120, « Donc si k est », se termine ici. Il est corrigé de bout en bout à l'encre : ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait. La machine n'avait ni \otimes ni lettres grecques ; on ne relève pas un à un les signes encrés de sa main.

corps et si on se borne aux modules de type fini sur k, on est dans les conditions de 6), et on trouve le groupe algébrique \underline{G}_{m} sur k. D'ailleurs même sans condition sur k et sans se borner à des modules de type fini, on récupère \underline{C} avec toutes ces structures par les représentations de \underline{G}_{m}.

Gardons \otimes, \varphi (et 1, u, v) comme dessus, mais changeons \psi ~~en lui~~ en utilisant la règle de Koszul. Ce nouveau choix de \psi s'impose dans certaines questions. Par exemple supposons k un corps, ~~de car. nulle~~, soit \underline{V} la catégorie des espaces topologiques compacts, avec le foncteur \otimes donné par le produit cartésien, et la donnée évidente d'associativité et de commutativité (pour le coup on n'a vraiment pas le choix !) ; il y a une unité, à savoir l'espace ponctuel. Considérons le foncteur cohomologique X \mapsto H^{\bullet}(X,k) sur \underline{V}^{\circ} ; utilisant Künneth on trouve un isomorphisme c de compatibilité aux \otimes de \underline{V}^{\circ} dans \underline{C}. Ce dernier est compatible aux structures a), b), c) à condition de choisir \psi dans \underline{C} par la règle de Koko.Cf. exemple 12« Koko » est son abréviation plaisante pour Koszul ; elle revient aux pages 123 et 124.

A prouver que lorsqu'on prend \underline{C} comme dessus à la Koko, il n'y a pas de foncteur fibre sur \underline{C} sur aucune extension K de k (même en se bornant aux vectoriels de dimension finie) !???déterminer tous les qui sont compatibles Cette dernière note court en diagonale dans la marge inférieure gauche ; son début se laisse lire, sa suite non.

8) Pour pallier à cet inconvénient, il y a lieu ~~lorsqu'on s'en va dans une catégorie avec \otimes : la catégorie des~~ d'étudier systématiquement les \otimes-foncteurs compatibles avec a) b) c) à valeurs dans une catégorie \underline{C} de modules gradués comme ci-dessus : ce sont des « foncteurs fibres tordus ». En particulier, si \underline{C} est comme au début de 6) (pas encore de \otimes), supposons que le foncteur F se factorise (de façon donnée) par les modules gradués, i.e. qu'on ait un foncteur compatible avec les foncteurs oublis \underline{C} \to \operatorname{Gradf}(k) = \underline{D}^{\mathbb{Z}}. Cela correspond à un homomorphisme de coalgèbres de A dans k[T,T^{-1}], ou à la donnée d'éléments \pi_{i} de U (les projections sur les composants homogènes) satisfaisant les conditions habituelles

\pi_{i}^{2} = \pi_{i}, \pi_{i}\pi_{j} = 0 pour i \neq j, \sum_{i} \pi_{i} = 1. La donnée d'une \otimes-structure sur \underline{C} impliquant les données a) b), et celles-ci compatibles avec le foncteur \underline{C} \to \underline{D} (pour c = \operatorname{id}), équivaut alors à une structure d'algèbre associative unitaire sur A, compatible avec la structure de coalgèbre, et pour laquelle A \to k[T,T^{-1}] est un homomorphisme d'algèbres. Comment s'exprime le fait que sur \underline{C} il y a une structure de symétrie ~~telle~~ respectée par le foncteur \underline{C} \to \underline{D} (et c choisi plus haut) ? On peut d'abord exprimer la structure \otimes précédente par une application diagonale de U satisfaisant \Delta(\pi_{i}) = \sum_{j+k=i} \pi_{j} \otimes \pi_{k} . La condition cherchée revient à dire que si M est un U-module de degré i, i.e. tel que \pi_{i}M = M, et N de degré j i.e. \pi_{j}N = N, alors l'isomorphisme x \otimes y \mapsto (-1)^{ij} y \otimes x de M \otimes_{k} N sur N \otimes_{k} M est compatible avec les opérations de U est celle-ci : si nous graduons U par « degré des opérateurs dans des gradués » i.e. ces quotients U_{\alpha} par U_{\alpha}^{i} = \widehat{\sum} \pi_{i+j} U_{\alpha} \pi_{i}, alors l'application diagonale devient anticommutative i.e. la multiplication de A est anticommutative.i.e. de U (Il y aurait lieu de prouver que la graduation de A permet de récupérer la graduation sur le foncteur oubli, i.e. les \pi_{i} \in U i.e. A \to k[T,T^{-1}], et que la graduation de A peut être choisie arbitrairement, avec la seule condition, de toutes façons nécessaire, que A soit anticommutative et l'homomorphisme diagonal ~~soit~~ compatible aux graduations).à vérifier ( pour ?)

9) Quelles que soient les structures a) à c) en jeu,(b) — l'unité — étant le groupe des \otimes-automorphismes du foncteur ~~fibre~~ « oubli » en est indépendant, c'est le groupe des g \in U tels que \Delta(g) = g \otimes g et d'augmentation 1.(et les hom. unitaires g : A \to k) (NB cette dernière condition exprime la condition b) de 3\textordmasculine). Remplaçant k par une algèbre quelconque, on trouve encore un schéma en monoïdes affine sur k, mais qui en général ne permettra pas de reconstituer la situation entièrement. ~~Donner exemple~~ Il faut analyser de plus près

le foncteur compatible aux \otimes associatifs unitaires qu'on obtient de \underline{C} dans \operatorname{Rep}_{k}(G), et voir en particulier sous quelles conditions il est une équivalence de catégories : ~~Alors~~ Lorsqu'il en est ainsi, la situation est décrite entièrement par la donnée de G, de la graduation sur ~~son~~ le foncteur oubli sur ~~\underline{C}~~ \operatorname{Rep}_{k}(G), décrite par un homomorphisme de monoïdes \underline{G}_{m} \to G, et enfin la condition que pour deux représentations M, N de G, l'isomorphisme de Koszul M \otimes N \xrightarrow{\sim} N \otimes M sur les vectoriels sous-jacents est compatible avec l'action de G.il f. d. p. que A soit commutatif ! « géométriquement »dans le cas gradué anticommutatif Bien sûr, si k est de car 2, ce n'est pas une restriction, et dans ce cas d'ailleurs Koko ne change rien i.e. tous nos ennuis et distinguos disparaissent. Si Il suffit en tous cas que l'homomorphisme induit \mu_{2} \to G soit central ; à fortiori que \underline{G}_{m} \to G soit central.et on voit que ~~cela est~~ si implique A' = A^{\circ} Cela signifie ~~i.e.~~ que la décomposition d'un M en composants ~~homogènes~~ pairs et impairs soit invariante sous G i.e. se fasse dans \underline{C}, resp. qu'il en soit de même pour la décomposition en degrés quelconques. Noter que cette dernière condition s'exprime directement en termes de \underline{C} (muni de sa structure \otimes et du foncteur ~~oubli~~ gradué \underline{C} \to \operatorname{Grdf}(k)), ~~et on espère que cette condition est suffisante (peut-être nécessaire et suffisante) pour qu'on soit dans le cas favorable \underline{C} \to \operatorname{Rep}_{k}(G) soit une équivalence.~~si car. \neq 2Tout le bas de ce paragraphe, de « et on espère » à « équivalence », est barré de plusieurs longues diagonales.

10) Ce résultat s'appliquera alors, en particulier, à la catégorie des motifs semi-simples (car les graduations naturelles sur les foncteurs H^{\bullet} qu'on arrive à y définir ~~sont~~ proviennent d'une graduation de la catégorie des motifs, — ce qui n'est qu'une traduction du fait que les correspondances de Künneth cohomologiques sur une variété algébrique projective lisse sont algébriques). On respire ! Mais on fera attention que les foncteurs H^{\bullet} en question ne sont pas des foncteurs fibres proprement, mais des foncteurs fibres tordus. (On ne pourra s'empêcher de les appeler quand-même foncteurs fibres !) Quand on travaille avec des motifs pas nécessairement

semi-simples, on a une catégorie qui n'est plus graduée, seulement filtrée. Si \underline{V} est la catégorie des schémas de type fini sur un corps fixé, \underline{M} la catégorie des motifs sur ce même corps (présumée avec toutes les données et conditions de 1\textordmasculine), on doit avoir un foncteur compatible avec ces structures (cohomologie motivique) h : \underline{V} \longrightarrow \operatorname{Grad}(\underline{M}) \quad \text{(structure de Koko sur } \operatorname{Grad}(\underline{M})) , et on désire que les foncteurs cohomologiques habituels sur \underline{V} se factorisent par \underline{M}. ~~Ceci impose~~ On voudra que les foncteurs ~~fibres~~ obtenus sur \underline{M} soient des foncteurs fibres ~~tordus seulement~~ véritables (non tordus), ce qui n'est pas idiot, car on avait mis la structure de symétrie de Koko sur \operatorname{Grad}(\underline{M}) : on s'est débarassé ainsi une fois pour toutes de la « torsion ».

On peut aussi, pour parler de vrais foncteurs fibres sur la catégorie des motifs semi-simples, remplacer la donnée de symmétrie « géométrique » i.e. de Koko pour le produit tensoriel dans ~~\operatorname{Grad}(\underline{M})~~ la catégorie graduée \underline{M}, par la même canulée par le signe (-1)^{ij} quand on a des arguments de degré i, j.

11) Bien sûr, il y a lieu de chercher des théorèmes de structure intrinsèques, en termes de gerbes, pour des catégories \underline{C} munies des structures de 1\textordmasculine, avec k = \operatorname{End}(\underline{1}) un corps donné. Il y a lieu au besoin de supposer qu'il existe une extension de k sur laquelle il y ait un foncteur fibre tordu gradué (ou multigradué ? Mais où s'arrêter ?). Le plus beau serait évidemment de trouver un théorème de structure général, sans supposer l'existence d'un foncteur fibre plus ou moins tordu où que ce soit, en définissant une notion assez générale de foncteur fibre tordu (?) et en prouvant qu'il y en a toujours sur une extension convenable de k.

Voici quelques cogitations dans ce sens, lorsque \underline{C} est muni d'un foncteur additif exact fidèle k-linéaire F : \underline{C} \to \operatorname{Modf}(k), et correspondant à ce titre à une algèbre profinie (ass. un.) U, resp. une coalgèbre ass. unit. A, sur le corps k (cf. n\textordmasculine 6). On ~~voit que la donnée d'~~ suppose donnée une opération \otimes, compatible avec F, i.e. une hom. diagonal U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}} U i.e. une composition A \otimes_{k} A \to A. On se propose de déterminer toutes les données de symétrie \psi pour \otimes (pas seulement celles compatibles avec le foncteur F et la donnée de symmétrie ordinaire sur \operatorname{Modf}(k) !) On trouve qu'elles correspondent aux (0) \qquad \sigma \in (U \mathbin{\widehat{\otimes}} U)^{*} Dans le cas du n\textordmasculine 6, gradué, on aura \sigma = \pi^{+} \otimes \pi^{+} + \pi^{+} \otimes \pi^{-} + \pi^{-} \otimes \pi^{+} - \pi^{-} \otimes \pi^{-} satisfaisant les conditions (1) \quad \begin{cases} \sigma'\sigma = 1 \ \text{(i.e. } \sigma \text{ et } \sigma' \text{ inverses l'un de l'autre : on aura aussi } \sigma\sigma' = 1 , \\ \qquad \text{puisque } \sigma \text{ est supposé inversible)} \\[2pt] \sigma(\Delta u)\sigma^{-1} = (\Delta u)' \quad \text{pour tout } u \in U \end{cases} condition de symétrie « tordue » de l'application diagonale en désignant par x \mapsto x' l'automorphisme de symétrie de U \mathbin{\widehat{\otimes}} U. NB On ne dit pas que \Delta U est stable sous x \mapsto x', mais on considère \Delta et le symétrique \Delta' défini par \Delta'(u) = \Delta(u)', qui définit la loi \otimes opposée de celle définie par \Delta, et les relations entre \sigma et \sigma' sont symétriques et s'expriment en disant que \sigma transforme \Delta en \Delta', \sigma' transforme \Delta' en \Delta.

Lorsqu'il y a une unité bilatère pour \otimes et que F est compatible avec celle-ci, i.e. A admet une unité bilatère, ~~alors~~ la compatibilité de \psi à l'unité de \underline{C} s'exprime par les relations (2) \qquad (\operatorname{id}_{U} \otimes \varepsilon_{U})(\sigma) = (\varepsilon_{U} \otimes \operatorname{id}_{U})(\sigma) = 1 , \quad \text{i.e.} \quad \varepsilon \in 1 + U^{+} \mathbin{\widehat{\otimes}} U^{+} .

Lorsqu'on a une donnée d'associativité \varphi pour \otimes, compatible avec F et l'associativité ordinaire de \otimes sur \operatorname{Modf}(k), i.e. A est associative, alors la compatibilité entre \varphi et \psi s'exprime par une relation du style (3) \qquad \struck{\ill{}} \quad (\operatorname{id}_{U} \mathbin{\widehat{\otimes}} \Delta)(\sigma) \struck{\ill{}} = \sigma^{12}\sigma^{13} où les \sigma^{ij} sont les 3 images de \sigma dans U \otimes U \otimes U par x \otimes y \mapsto x \otimes y \otimes 1 et les deux autres types analogues.

où les \sigma_{i} (resp. \sigma'_{i}) sont déduits de \sigma (resp. de \sigma') par les trois homomorphismes \delta_{i} : U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U ~~utilisant~~ \Delta \otimes \operatorname{id}_{U} et symétriques. (NB je n'ai pas écrit le calcul et ne garantis pas la forme exacte de la relation de l'hexagone).

Soit k' une algèbre (comm. ass. unitaire !) sur k, d'où U' = (U'_{\alpha}) et A' = \varinjlim_{\alpha} A'_{\alpha} sur k', avec leurs structures ~~d'algèbre~~ bigèbres (resp. bi-progèbre pour U'). On se propose de déterminer les foncteurs G : \underline{C} \to \struck{\operatorname{Modf}} \operatorname{Projf}(k') (modules proj de t f sur k') exacts et k-linéaires, munis d'un isomorphisme c : G(X \otimes Y) \xrightarrow{\sim} G(X) \otimes_{k} G(Y). Tout d'abord la donnée de G exact à droite \underline{C} \to \operatorname{Mod}(k') revient à la donnée d'un L = (L_{\alpha}), module à droite sur U, muni d'une structure de k'-module commutant aux opérations de U (NB L_{\alpha} = G(U_{\alpha})), par G(M) = L \otimes_{U} M .

La k-linéarité signifie que les deux structures sur k de L coïncident, i.e. que L provient d'un module (pro) sur U' = (U'_{\alpha}) (chaque L_{\alpha} est un module sur U'_{\alpha}). On peut alors écrire G(X) = L \otimes_{U'} X', où X' = X \otimes_{k} k'. ~~Le fait que l'on s'envoie dans \operatorname{Projf}(k') s'exprime~~ et que le foncteur envisagé G est exact s'exprime alors par le fait que les L_{\alpha} sont ~~libres~~ proj. de type fini sur k', et que les L_{\alpha} sont plats sur les U_{\alpha} (nécessité triviale, suffisance un petit argument par réduction au cas X simple, puis U un corps égal à X …). Donc on trouve exactement les modules L = (L_{\alpha}) sur U' tels que les L_{\alpha} soient plats sur U_{\alpha} et proj de tf sur k'.séparer les conditions, commencer par exactitude = platitude sur les U_{\alpha} D'autre part, indépendamment de ces conditions de platitude, la donnée d'un isomorphisme c revient à la donnée d'un isomorphisme de bi-U'-modules à droite si dans \underline{C} il y a 1 et ^{\vee} compatibles F, i.e. \Delta u unitaire et antipodisme L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{\uncertain{k'}} L \xleftarrow{\ \sim\ } L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k'} U' \quad \bigl( \simeq L \otimes_{(U,\Delta)} (U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U) \xrightarrow{\ \sim\ } L \otimes_{(U',\Delta')} (U' \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U') \bigr) . (grâce à l'antipodisme) x \otimes u \mapsto x \otimes (u \otimes 1)

~~En termes~~ Utilisant les conditions de platitude, on peut définir B = \operatorname{Homcont}_{k'}(L,k'), qui est limite inductive des B_{\alpha} proj de tf sur k' (à fortiori il est plat sur k'), et une coalgèbre sur A' (limite de coalgèbres

Une note de sa main occupe le bas de la page : « (*) La loi de bim. sur L \otimes_{U} U' est donnée par { 1ère loi : déduite de celle de U' ; 2ème loi : donnée par celle du mod. : d'abord sur U \otimes U'^{\circ} [U'^{\circ} opère à droite sur U' !] via (\operatorname{id}_{U} \otimes g)(\Delta u) }. » Une seconde note court en diagonale dans la marge gauche et ne se laisse pas lire.

B_{\alpha} sur les A'_{\alpha} qui se réduisent les unes en les autres …), ~~les B~~ de plus chaque B_{\alpha} étant coplat sur A_{\alpha}. La structure précédente revient à un isomorphisme de comodules sur A' (*) \qquad B \otimes_{k'} B \xleftarrow{\ \sim\ } B \otimes_{k'} A' . En Utilisant l'augmentation du facteur A', on en conclut un homomorphisme (**) \qquad B \otimes_{k'} B \longrightarrow B qui sera un homomorphisme de comodules sur A' (NB utiliser la multiplication de A' pour définir la structure de A'-comodule sur le produit tensoriel sur k de deux tels), i.e. on a une loi de composition sur B « compatible avec la structure de A'-comodule ».Sauf erreur, la donnée de (*) équivaut à celle de (**)NB Ceci équivaut à dire que B \to B \otimes_{k} A' est hom. d'alg.A préciser

Si \Delta sur U est unitaire i.e. A est unitaire i.e. le \otimes sur X admet une unité bilatère compatible avec F, alors la compatibilité de c avec les unités s'exprime, sauf erreur, par la condition que la loi de composition (**) est unitaire. En effet, il faut écrire que l'on a un isomorphisme L \otimes_{U} k' \xrightarrow{\sim} k' satisfaisant certaines conditions, or cela revient à se donner une ~~élément de~~ augmentation de L satisfaisant une certaine condition (savoir ~~être compatible avec~~ être unité bilatère pour la structure diagonale de L) ou encore un élément de B qui est une unité bilatère.Ceci implique aussi que B est fidèlement plat sur k'. De même, si \Delta est associatif, i.e. si on a pour \otimes une donnée d'associatilité \varphi compatible avec F, alors c est compatible avec celle-ci sss B est une algèbre associative. ~~Quand les deux conditions sont vérifiées~~ Enfin, quand \Delta est commutative i.e. \underline{C} avec \psi donnée de symétrie, …{} alors c est compatible avec cette dernière, et la donnée de symétrie habituelle sur \operatorname{Projf}(k') sss la loi de composition de B est commutative. (Mais alors, en termes du monoïde affine H défini par A sur k, on voit que les structures de B s'expriment en termes de \operatorname{Spec} B en disant que H_{k'} y opère à droite, et on voit de plus qu'après le changement

Le haut du feuillet porte, tapé en interligne simple et précédé d'un « NB » de sa main, l'alinéa suivant, inséré avant la reprise de la phrase de la page 127.

Question Sous réserve B associative unitaire, si A est commutative, B l'est-elle aussi ? (On suppose A associative unitaire). Question analogue quand on a des structures graduées avec anticommutativité. Donc, la condition de ~~symé~~comp. aux sym. pour un c est-elle surabondante, en prés. des autres compat. ?

de base fidèlement plat k' \to B, il devient trivial, donc on a un « torseur » sous le monoïde H_{k'} ; alors le nouveau foncteur fibre G est déduit de F' = F \otimes_{k} k' par torsion à l'aide de G …

Mais supposons seulement A algèbre associative unitaire, et B itou, sans condition de commutativité. On suppose A avec antipodisme (s'en passer ?). Donnons-nous un \sigma \in U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U comme ci-dessus pour introduire une relation de commutativité \psi. Notons (qu'à celà près que k' n'est plus supposé un corps) on trouve une catégorie \underline{C}' = \underline{C} \otimes_{k} k' sur k', avec \otimes, définie par le « proanneau » U', V = G(U) = L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{U} (U,\operatorname{int}) , où (U,\operatorname{int}) désigne U muni de la structure de U-module (et même d'objet « pro-anneau » (pour \otimes) de \underline{C}) défini à l'aide de sa structure de bimodule sur U^{\circ} \mathbin{\widehat{\otimes}} U par restriction des scalaires via U \xrightarrow{\Delta} U \mathbin{\widehat{\otimes}} U \xrightarrow{g \otimes \operatorname{id}_{U}} U^{\circ} \mathbin{\widehat{\otimes}} U : Tordant par L et utilisant le fait que l'on a une compatibilité avec \otimes, on trouve un pro-anneau V sur k', et ce dernier hérite de U une application diagonale …

Ceci dit, si on a une donnée \sigma \in U \mathbin{\widehat{\otimes}} U satisfaisant les conditions plus haut, (1) peut-on définir en termes de \sigma (ou existe-t-il tout au moins) un élément \tau \in V \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} V satisfaisant les relations analogues à (1), de telle façon que (G,c) soit compatible aux isomorphismes de symétrie \psi dans \underline{C} défini par \sigma, \psi' dans \underline{C}' défini par \tau ??? La seule chance de ~~les montrer~~ construire un \tau canoniquement semble de prouver que \tau est « invariant » lorsqu'on fait opérer U sur U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U = (U,\operatorname{int}) \mathbin{\widehat{\otimes}} (U,\operatorname{int}) grâce à son action dite plus haut sur les deux facteurs, ce qui s'exprime par la relation U^{+}\!\cdot\tau = 0.Vérifier dans le cas gradué ce qui en est ! — Si ceci marchait (ce qui améliorerait le résultat souhaité en NB au haut de la page), cela montrerait que dans l'étude des foncteurs fibres, il y a lieu de laisser tomber les questions de compatibilité aux symétries, celles-ci se récupérant toujours après coup.Mais, cf. exemples n\textordmasculine 11

Il resterait alors la question d'une description intrinsèque d'une catégorie \underline{C} comme dans le n\textordmasculine 1, avec X indépendamment de la donnée d'un F préli-

Une note de sa main, en trois alinéas a), b), c), court en diagonale sur toute la marge gauche. Seuls les débuts se laissent lire : « a) donner une intrinsèque : \underline{C} \otimes_{k} k', indépendante de F (NB k, k' une catégorie abélienne additive) » ; « b) Montrer \otimes » ; « c) G : \underline{C} \to \operatorname{Mod}(k') ».

minaire, — sous réserve tout au plus qu'il existe un tel F sur une extension convenable de k (chose peut-être toujours vraie).

12. Exemples instructifs.

Soit G un monoïde fini. Contrairement au yoga galoisien général, au lieu de prendre A = k(G) (anneau des fonctions sur l'ensemble sous-jacent à G) prenons U = k(G), avec l'application diagonale déduite de G \times G \to G (la composition). (On a la bialgèbre « duale » au sens Cartier de celle qu'on considère d'habitude). Donc la catégorie \underline{C} définie par G peut être considérée comme la catégorie des familles (X_{g})_{g \in G} de vectoriels indexés par G, le produit tens. ~~l'application diagonale~~ de deux tels X et Y étant Z défini par Z_{g} = \sum_{g'g''=g} X_{g'} \otimes Y_{g''} . L'unité est la « famille de Dirac » définie par X_{g} = 0 si g \neq e, X_{e} = k. On a une catégorie avec \otimes, \varphi, 1, et de plus un \psi si G est commutatif, un ^{\vee} si G est un groupe. Un L avec une application diagonale L \to L \otimes_{k} L compatible avec U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U et donnant un isomorphisme par extensions des anneaux de base, peut s'interpréter comme une famille (M_{g})_{g \in G}, avec des isomorphismes donnés (*) \qquad M_{gg'} \simeq M_{g} \otimes M_{g'} . Ceci implique que le rang des M_{g} est 0 ou 1 C'est compatible avec 1 si on a un isomorphisme M_{e} \simeq k (**), qui rende les isomorphismes (*) triviaux quand g ou g' est = 1. C'est associatif si et seulement si les isomorphismes (*) satisfont la ~~condition~~ conditions d'associativité évidente. De même, G étant commutatif, pour la commutativité. — Le foncteur F' est toujours exact, car M est plat sur U.

a) Exemple d'un \otimes-foncteur exact, compatible avec \varphi, \psi, 1, mais non fidèle (donc pas loc. isom. au \otimes-foncteur donné). Ce n'est possible dans notre exemple que si G n'est pas un groupe (~~sinon M~~ car M_{g} est de rang 1 pour g inversible). Mais prenons G = (e,p), avec p^{2} = p, prenons M_{e} = k, M_{p} = 0. On n'a plus le choix pour les isomorphismes (*), qui satisfont toutes les compatibilités (avec 1 par construction, \varphi, \psi).

Au bas de la page, de sa main : « Question Un \otimes-foncteur compatible avec tout entre \otimes-catégories satisfaisant à tous les axiomes (y compris rigidité) est-il néc. fidèle et exact ?? »

b) Exemple d'un \otimes foncteur exact fidèle, compatible avec ~~\varphi~~ 1, \varphi, ^{\vee} (mais pas ~~avec \psi~~ !), et qui n'est pas localement isomorphe au foncteur fibre donné. — On prend pour G un groupe. On note alors que la donnée d'un système de M_{g} et d'isomorphismes (*) (**), satisfaisant les diverses compatibilités, est équivalente à la donnée d'une extension de G par k^{*}. Le foncteur F' est isomorphe au foncteur F sss cette extension splitte. L'ensemble des classes d'isomorphie de foncteurs fibres définis sur k est ainsi en correspondance 1–1 avec H^{2}(G,k^{*}). Or Même si G est commutatif (par exemple le produit de deux groupes cycliques isomorphes d'ordre premier à car.k) et k algébriquement clos, le H^{2} peut être non nul ; d'ailleurs un élément non nul de H^{2} ne se tue dans aucune extension de k (si k alg. clos), d'après le principe de l'extension finie.

Si cependant G est commutatif, et si on se borne aux F' compatibles avec \psi également, on trouve les extensions commutatives de G par k^{*} ; si k est algébriquement clos, donc k^{*} divisible, alors toute telle extension splitte, donc F' est alors isomorphe à F (en conformité avec la théorie galoisienne relative au cas où l'application diagonale de U est commutative …).

Ainsi, il peut y avoir des foncteurs fibres compatibles avec \psi donné, et d'autres qui ne le sont pas et qui par suite ne sont pas loc. isom. au premier. Cela montre donc qu'on ne peut négliger la ~~condition de~~ la contrainte de commutativité comme on aurait aimé pouvoir le faire. De plus, cela suggère qu'en l'absence de contrainte de commutativité, la classification des foncteurs fibres se fait par des groupes du type de cohomologie de Brauer.

Dans la marge gauche, en diagonale : « étudier les contraintes associées mod 2 », puis, encadré, « Exemple de foncteurs fibres gradués mod 2 non loc. isom. aux ?? ».

Dans cet exemple, on voit tout de suite qu'il y a sur \underline{C} une contrainte de commutativité compatible avec les autres données sss U est commutatif c'est à dire G est commutatif, et que lesdites contraintes correspondent alors aux fonctions G \times G \to k^{*} qui sont bilinéaires et antisymétriques. Dans le cas où le H^{2}(G,k^{*}) est nul (par exemple G cyclique géométriquement ~~et k algébriquement clos~~) on voit donc que pour tout choix non nul de \sigma, on a une contrainte de commutativité pour laquelle il n'y a aucun foncteur fibre compatible avec ladite contrainte (et les autres) sur aucune extension de k. On peut songer à s'en tirer en trouvant au moins des foncteurs fibres gradués compatibles à toutes les contraintes, mais on voit déjà que c'est impossible si k de car. deux (où il n'y a pas de différence entre l'existence de l'un et l'autre type de foncteur fibre, gradué ou non) ; et sans doute l'analyse doit montrer que l'on a un même résultat négatif en toute caractéristique. Noter cependant dans ces exemples on pouvait au moins, en modifiant la contrainte de commutativité donnée, en trouver une qui admette un foncteur fibre compatible à ladite contrainte. Il y aurait donc lieu de donner un exemple d'une \otimes-catégorie définissable par une bialgèbre, admettant une contrainte de commutativité (compatible au reste) mais aucune contrainte de commutativité pour laquelle on puisse trouver un foncteur fibre (gradué au besoin) sur aucune extension du corps donné.

De sa main, au bas de la page : « Avec les notations du n\textordmasculine 11, il faudra donc \Delta_{U} [i.e. A] commutatif, et U non commutatif (sinon l'existence de \sigma impliquerait la commutativité de \Delta) ]. »

c) Soit X un schéma ~~complet~~ propre sur un corps k, supposons H^{0}(X,\underline{O}_{X}) = k. La catégorie des faisceaux cohérents sur X est une catégorie avec \otimes, \varphi, \psi, 1, \underline{\operatorname{Hom}} internes, mais l'homomorphisme \check{X} \otimes Y \to \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y) n'est pas un isomorphisme.\operatorname{Hom}(X,Y) de dim. finie sur k(axiome de rigidité) C'est pour cela qu'il n'y a pas lieu de s'attendre à une vraie théorie de Galois de \underline{C}. Il y a des foncteurs fibres associés aux divers points de X (pas nécessairement fermés), à x correspond un foncteur fibre défini sur k(x) ; sans doute il n'y en a pas d'autres à isomorphisme près (à vérifier). Ils ont toutes les compatibilités, mais ils ne sont pas exacts, ni fidèles. Pour rémédier au défaut d'exactitude, sans que \underline{C} cesse d'être abélienne (sinon on prendrait les Modules loc. libres seulement !), on peut se fixer un ouvert U \subset X et définir \underline{C} en prenant des Faisceaux cohérents qui, sur U, sont munis d'une stratification relativement à k : tout point x \in U fournit un foncteur fibre exact. Cependant, si U \neq X, ce foncteur ne sera pas fidèle. Bien sûr, si U = X, l'axiome de rigidité est satisfait, et on sait qu'on a une théorie de Galois. Il doit résulter de cette dernière que \underline{C} n'a pas de foncteur fibre (compatible avec toutes les données) sur une extension de k (car autrement l'axiome de rigidité serait satisfait).

A prouver : Soit \underline{C} une catégorie abélienne avec \otimes biadditif, \varphi, \psi, 1, ^{\vee} et rigidité, k = \operatorname{End}(\underline{1}). Alors a) \operatorname{End}(\underline{1}) est un anneau absolument plat, donc un composé fini de ~~groupes~~ corps s'il est noethérien. b) Les \operatorname{Hom}(X,Y) sont des modules de présentation finie sur k i.e. cohérents (NB les modules de présentation finie sur k forment une catégorie abélienne, en fait k est un anneau « cohérent »). c) ~~Toute sous-catégorie de \underline{C} stable par tout et à engendrement fini~~ \underline{C} est limite inductive de sous-catégories (en général pas pleines) stables par tout, y compris noyaux, conoyaux, ^{\vee}, \otimes, et correspondants à des anneaux k_{i} qui sont des ~~sommes~~ composés de corps. d) Le cas d'un composé de corps se ramène à celui d'un corps.

13) Variante utile du tapis de n\textordmasculine 6.Le chiffre tapé est 12 ; il est corrigé en 13 de sa main. Soit \underline{C} une catégorie, et F : \underline{C} \longrightarrow \operatorname{Modf}(k) un foncteur, où k est un corps. On ne suppose pas \underline{C} additive, ni F fidèle. On définit alors l'anneau profini U = \operatorname{End}_{k}(F), la coalgèbre duale A, et on trouve une factorisation canonique de F à travers \operatorname{Modf}(U/k) = \operatorname{Comodf}(A/k). Supposons donné dans \underline{C} un bifoncteur \otimes, ~~alors~~ et un isomorphisme de bifoncteurs F(X \otimes Y) \simeq F(X) \otimes F(Y), alors on trouve une application diagonale sur U i.e. une loi de composition sur A : en effet, on constate que l'anneau des endomorphismes du bifoncteur du premier membre est U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U, et U s'envoie dedans grâce à l'isomorphisme donné F(X \otimes Y) \simeq F(X) \otimes F(Y). Si on se donne pour \otimes des données d'unité, d'associativité ou de commutativité, la compatibilité de ces données avec c s'exprime alors comme il est dit dans n\textordmasculine 6,en termes de \Delta et il y a lieu de donner des variantes graduées (si possible plus générales et astucieuses qu'au n\textordmasculine 8). En fait, les résultats spécifiques au n\textordmasculine 6 seraient plutôt, dans le cas d'un foncteur fidèle (et additif exact de catégories abéliennes ? à voir de quoi exactement on a besoin), des réciproques aux constructions précédentes, i.e. comment déduire d'une application diagonale sur U un foncteur \otimes sur \underline{C}, dont les propriétés vont réfléter celles de cette dernière.

Exemple intéressant : les opérations cohomologiques sur \underline{F}_{p}. Il mérite quelques explications : sauf le morceau engendré par les \pi_{i} les degrés dans U sont > 0, et \widetilde{U}= k + U^{+} est le complété canonique d'un anneau gradué à application diagonale anticommutative, donc \widetilde{A} est un anneau analogue. Dire comment on récupère U, A à partir de \widetilde{U}, \widetilde{A}.

Théorème de (rapporté par Husemöller).

Le tapuscrit laisse le nom en blanc — une suite de tirets — et ne le complète pas.

Soit A une bialgèbre sur le corps k, A associative et unitaire pour ses deux structures, « cocomplète » pour sa filtration canonique de comodule (duale de la filtration par les puissances de l'idéal d'augmentation du dual ; de façon précise, écrivant \otimes^{n} A = \otimes^{n} A^{+} + fourbis, d'où via la m.ème itérée du morphisme diagonal, une application A \to \otimes^{n} I^{+}, dont le noyau est \operatorname{Filt}_{m}(A)).intersection avec A^{+} (NB l'hypothèse cocomplète est satisfaite pour une coalgèbre à degrés \geq 0 avec unité réduite à k en degré 0, associative et unitaire, — parait-il !). Soit M un A-module, muni d'un homomorphisme diagonal unitaire sur k (peut-être pas associatif), M \to M \otimes_{k} M, qui soit A-linéaire.(pour la structure de A-module sur M \otimes M provenant de A \to A \otimes A ; il revient au même de dire que ~~A \otimes M \to M comp. avec application diagonale~~) Supposons de plus donné une « unité » i.e. un homomorphisme k \to M qui soit un homomorphisme de coalgèbres unitaires, i.e. l'image e_{M} de 1 satisfait \varepsilon_{M}(e_{M}) = 1, \Delta_{M}(e_{M}) = e_{M} \otimes e_{M}. Supposons également M cocomplète, et que l'application u \mapsto u.e de A dans M soit injective. Alors M est un A-module libre ; de façon plus précise, posant \overline{M} = M \otimes_{A} k, il existe un isomorphisme (non canonique …) de A-modules M \xrightarrow{\sim} A \otimes_{k} \overline{M}, tel que le diagrammeayant une base dont fait partie e_{1}

\begin{tikzcd} M \arrow[dr] & A \otimes_{k} \overline{M} \arrow[l, "\approx"'] \arrow[d] \\ & \overline{M} \end{tikzcd}

commute, et que …Sa phrase s'arrête là ; le diagramme et les mots qui l'encadrent sont de sa main.

Exemple 1. Supposons l'application diagonale de A commutative. Alors A peut être considéré comme l'hyperalgèbre d'un groupe formel connexe G sur k. Si \Delta_{M} est associatif et commutatif, M aussi est formé des distributions à l'origine d'une variété formelle connexe V sur k, et le fait que A opère sur M de façon que l'application diagonale soit A-linéaire signifie que G opère sur V. On voit donc que si u \mapsto u.e de A dans M est injectif, i.e. si g \mapsto g.a (a le « centre » de V) de G dans V est un monomorphisme, alors M est libre sur A. En fait, on trouvera que G opère librement sur V i.e.

Dans la marge gauche, deux notes de sa main : « qu'il y a un antipodisme ? » et, encadrée, « faut-il mettre dans les hyp. que A \otimes M \to M est-il aussi associatif ! ».

que G \times V \to V \times V est un monomorphisme (c'est le lemme de Nakayama), et on sait bien alors (SGA 3 VII_{B} …) que l'on a un joli quotient W = V/G, avec V \to W plat et en fait la projection structurale d'un G_{W}-torseur. Bien sûr la coalgèbre \overline{M} n'est autre que celle qui définit le quotient W précédent. En général, il n'est pas question de prouver que V \simeq W \times G comme variété formelle à opérateurs (i.e. que le torseur précédent est trivial), i.e. de trouver une section de V sur W, i.e. un relèvement de comodules \overline{M} \to M ; on peut seulement dire que tout relèvement en tant que k-vectoriels définira un isomorphisme A \otimes_{k} \overline{M} \simeq M de A-modules. Cependant, si G est formellement lisse i.e. le dual de A une algèbre de séries formelles (éventuellement à un nb infini de générateurs), alors on aura splittage parfait ; ce sera la cas en particulier en car. nulle.

Exemple 2. Supposons A commutative pour sa loi d'algèbre. Donc A est l'algèbre affine d'un schéma en monoïdes affine G. L'hypothèse sur la filtration cocomplète est assez étrange ici, elle s'énonce en disant que pour toute f \in A (fonction sur G) , il existe un entier n \geq 1 tel que la fonction en n variables f(g_{1}g_{2}\dots g_{n}) soit ~~identiquement nulle~~ somme de fonctions à n-1 parmi les variables. Si G est de type fini sur k de car. p > 0, je pense que ~~cela doit entraîner que l'unité de G est point isolé, donc, comme G est un groupe, que G est fini sur k.~~ Si G est commutatif (i.e. \Delta_{A} commutatif), alors le dual de Cartier de A doit être purement infinitésimal, i.e. G doit être unipotent (et réciproquement). On peut conjecturer que la condition en question, pour G de type fini ~~pas néc. comm.~~, équivaut à G fini unipotent, donc si on ne suppose plus non plus G de type fini, que G est ~~profini et~~ prounipotent.(car car. k > 0 !unipotent

Le dernier tiers de la page, depuis « cela doit entraîner » jusqu'à « Si G est commutatif », est barré de plusieurs longues diagonales.

Corollaire Supposons que l'homomorphisme M \to M \otimes_{k} M induise un homomorphisme M \otimes_{(A,\Delta_{A})} (A \otimes_{k} A) \to M \otimes_{k} M ~~donc par réduction~~ qui soit un isomorphisme. Alors l'homomorphisme u \mapsto u.e de A dans M est un isomorphisme pour toutes les structures.

Il suffit de prouver que le rang de M sur A est 1. Or ce rang de M \otimes_{k} M sur A \otimes_{k} A est n^{2}, et on aura n = n^{2}, i.e. n(n-1) = 0 d'où, comme n \neq 0, n = 1. Ceci ne marche que si on sait que le rang est fini. Mais on peut dire aussi que l'application diagonale pour \overline{M}, déduite de celle de M par passage au quotient (NB \overline{M} \otimes \overline{M} = (M \otimes_{k} M) \otimes_{(A \otimes_{k} A)} k) est surjective, donc bijective puisqu'elle est unitaire, donc tout élément de \overline{M} \otimes \overline{M} est de la forme \overline{e} \otimes x, ce qui n'est possible que si \overline{e} engendre \overline{M}.

Ceci montre que la conjecture de locale trivialité soulevée dans mes notes sur les \otimes-catégories marche si la bialgèbre A envisagée est finie sur k, et sa duale est cocomplète, pourvu que l'algèbre B admette un homomorphisme d'algèbres dans k (ou une extension de k), i.e. pourvu que B ne soit pas identique à son idéal des commutateurs.

Motifs à coefficients dans un corps de nombres, de sa main (pages 138 à 139)

Deux feuillets entièrement de sa main, d'une autre encre et d'un autre papier que le tapuscrit qui précède. Le titre est le sien, en tête de la page 138.

Motifs à coefficients dans un corps de nbs.

Soit d'abord \underline{C} une \otimes-catégorie sur un corps K. Si K' est une extension finie de K, on désignera par \underline{C}^{K'} la catégorie des objets de \underline{C} sur lesquels K' opère linéairement, i.e. des X \in \operatorname{Ob} \underline{C} munis d'un homomorphisme de K-algèbres K' \to \operatorname{End}(X). C'est encore une \otimes-catégorie, en définissant X \otimes_{K'} Y comme le quotient de X \otimes_{K} Y par les \lambda \otimes \operatorname{id}_{Y} - \operatorname{id}_{X} \otimes \lambda (\lambda \in K'), et \underline{\operatorname{Hom}}_{K'}(X,Y) comme le noyau de \underline{\operatorname{Hom}}_{K}(X,Y) sous \underline{\operatorname{Hom}}(\lambda_{X},\operatorname{id}_{Y}) - \underline{\operatorname{Hom}}(\operatorname{id}_{X},\lambda_{Y}).

Quand \underline{C} est défini par un schéma en groupes affine G sur K muni un foncteur fibre F sur \underline{C}, , alors \underline{C}^{K'} est défini par le ~~groupe~~ G_{K'} = G \otimes_{K} K',sur \underline{C}^{K'} qui a un foncteur fibre F_{K'} déduit trivialement de F.

On a un \otimes-foncteur naturel \underline{C} \to \underline{C}^{K'}, notant X \mapsto X \otimes_{K} K', et dont le composé avec le foncteur « oubli » est bien X \otimes_{K} \widetilde{K'}, où \widetilde{K'} est l'espace vectoriel sous-jacent à K' sur K, — puisque \underline{C} défini par le \operatorname{Vect} de dim. finie sur K \to \underline{C} ]. est un \otimes-foncteur évident

Supposons \underline{C} la catégorie des motifs (sur) semi-simples () sur un corps k, donc K = \mathbb{Q}, K' un corps de nbs. Soit E un motif à coefficients dans K', donc K' \to \operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(E_{0}), E_{0} le \mathbb{Q}-motif , avec un motif dans \underline{C}^{K'} . Alors \widetilde{E} est défini par \widetilde{E} dans \underline{C}, avec l'homomorphisme

donné par K' \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(E_{0}) \xrightarrow{\ \ill{}\ } \operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(\check{E}_{0}) . La flèche de droite porte au-dessus d'elle une glose interlinéaire de trois ou quatre lettres qui ne se laisse pas lire. Donnons-nous une polarisation sur E_{0} (ou : E). Alors on trouve un isom. \check{E}_{0} \simeq E_{0}(\rho) (E_{0} de poids \rho), donc ~~K' \to \operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(\check{E}_{0})~~ \operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(\check{E}_{0}) \simeq \operatorname{End}(E_{0}(\rho)) \simeq \operatorname{End}(E_{0}) , et une involution sur \operatorname{End}(\check{E}_{0}). Le motif dual (E_{\varphi})^{\vee} de E_{\varphi} (défini par \varphi) est défini par l'hom. \lambda \mapsto \varphi(\lambda)' \uncertain{=} \varphi'(\bar{\lambda}), \boxed{\ (E_{\varphi})^{\vee} = (E_{\varphi'})(\rho) \ } L'égalité est encadrée sur le feuillet.

Ce n'est pas en général un isom. (E_{\varphi})^{\vee} \simeq E_{\varphi}(\rho) !

Prenons l'exemple des K'-motifs de niveau zéro, poids 0. La catégorie est équivalente à la catégorie des vectoriels de dim. finie sur K', à opération continue de \pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k). Le dual correspond à l'opération contragrédiente de \pi. Les K'-motifs de rang 1 à isom. près correspondent aux représentations continues de \pi \xrightarrow{\ \chi\ } K'^{*}, et on a (L_{\chi})^{\vee} = L_{\check{\chi}} , \quad \text{où} \quad \check{\chi}(g) = \chi(g^{-1}) . Donc on a. L_{\chi}^{\vee} \simeq L_{\chi} sss \chi = \check{\chi} i.e. \chi à valeurs dans \pm 1 !

Structures supplémentaires sur des vectoriels, et algèbres de Hopf (page 140)

Chemise de papier brun, donnée ici sans numéro de page : elle porte, de sa main, le titre du faisceau qui commence après ce lot. Une première ligne, au-dessus, est raturée jusqu'à l'illisible ; elle commençait par « Fasc… ».

Structures supplémentaires sur des vectoriels, et algèbres de Hopf top.

Anneaux des représentations de certains groupes algébriques.