Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 101–120

Quelques exemples de catégories tensorielles (pages 101 à 108)

Tapuscrit annoncé par les deux mots « Notes Saavedra » que porte, de sa main, la page 99. Il est corrigé de bout en bout à l'encre : ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait. La machine n'avait ni \otimes ni lettres grecques ; on ne relève pas un à un les signes encrés de sa main.

Quelques exemples de catégories tensorielles.

1) Soit M un groupe. Soit \underline{C}_{M} la catégorie des vectoriels de dimension finie sur le corps k, munis d'une graduation de type M. C'est une catégorie tensorielle sur k, munie d'un foncteur fibre sur k, le foncteur « oubli de la graduation ». Le groupe algébrique associé est le groupe de type multiplicatif D_{k}(M) (SGA 3 I 4.7.3). Par exemple si M = \underline{\mathbb{Z}}^{r}, on trouve G = \underline{G}_{m}^{r}.

Application : soit \underline{C} une catégorie tensorielle sur k munie d'un foncteur fibre F sur k, donc associée à un schéma en groupes affine G sur k. On cherche toutes les façons de mettre, pour chaque M \in \operatorname{Ob} \underline{C}, une graduation de type M sur F(V), de façon fonctorielle en M, et compatible (dans un sens évident) avec les produits tensoriels. La machine porte bien « pour chaque M \in \operatorname{Ob} \underline{C} » puis « fonctorielle en M », là où l'objet variable est V et où M est le groupe des degrés ; on ne corrige pas. Elles correspondent aux \otimes-foncteurs de \underline{C} dans \underline{C}_{M} compatibles avec les foncteurs fibres, donc aux homomorphismes de D_{k}(M) dans G. Par exemple, si M = \underline{\mathbb{Z}}^{r}, il faut prendre les homomorphismes de \underline{G}_{m}^{r} dans G.

Dans la situation précédente, on peut se demander quand une graduation de type M du foncteur F correspond à une graduation de type M du foncteur identique de \underline{C}, i.e. pour tout V, la graduation de F(V) provient d'une graduation de V. On trouve qu'il faut et il suffit pour cela que l'homomorphisme correspondant D_{k}(M) \to G soit central. Par exemple, si \underline{C} est la catégorie des motifs sur k, et si on dispose d'un foncteur fibre F de \underline{C} sur k, alors on trouve un homomorphisme central canonique i : \underline{G}_{m} \to G. D'ailleurs, la donnée du motif de Tate (qui est de rang 2, et de « poids » 2 pour la graduation naturelle) correspond à la donnée d'un homomorphisme j : G \to \underline{G}_{m} = Gl(1). Le tapuscrit porte « de rang 2 » ; le motif de Tate est de rang 1. Rien sur la page ne corrige. Le fait que T soit de poids 2 s'exprime par la relation j\,i(\lambda) = \lambda^{2} .

Lorsque k est de caractéristique nulle, on a toujours un foncteur fibre naturel : le foncteur de Hodge, qui à la cohomologie motivique d'une variété (projective lisse) X associe le vectoriel bigradué \coprod H^{q}(X, \underline{\Omega}^{p}_{X/k}). Donc pour le groupe de Galois motivique correspondant G, on trouve un homomorphisme naturel \underline{G}_{m}^{2} \longrightarrow G , i.e. deux homomorphismes commutant l'un à l'autre i_{1}, i_{2} : \underline{G}_{m} \longrightarrow G . Le fait que la graduation totale dans la cohomologie de Hodge corresponde au poids des motifs s'exprime par la relation i(\lambda) = i_{1}(\lambda)\, i_{2}(\lambda) \, ; on fera attention que i_{1} et i_{2} ne sont pas centraux (car la bigraduation en cohomologie de Hodge ne correspond pas à une bigraduation d'un motif !)

2) Prenant toujours pour \underline{C} la catégorie des motifs sur k, avec k de car. nulle, on a un autre foncteur fibre canonique, le foncteur de De Rham, qui associe à la cohomologie motivique d'une variété X le vectoriel H^{*}(X, \underline{\Omega}^{*}_{X/k}) (espace d'hypercohomologie). Ce vectoriel n'est plus bigradué, mais seulement gradué et filtré, la filtration étant celle associée à la suite spectrale d'hypercohomologie, commençant avec la cohomologie de Hodge. On sait d'ailleurs que cette suite spectrale dégénère (théorie de Hodge), donc \operatorname{Gr}(H_{DR}(V)) \simeq H_{Hdg}(V) où on gradue le 2ème membre par p (isomorphisme fonctoriel en le motif V). On peut se proposer d'analyser à quelle structure supplémentaire, sur le groupe de Galois motivique associé au foncteur fibre H_{DR}, correspond la filtration canonique de ce foncteur.

De façon générale, étant donné une catégorie tensorielle \underline{C} sur k munie d'un foncteur fibre F, on peut se proposer de déterminer les filtra\-

tions sur F (décroissantes, discrètes, indexées par \underline{\mathbb{Z}}) compatibles avec les produits tensoriels (en utilisant la notion évidente de produit tensoriel de deux espaces vectoriels filtrés). On notera qu'une telle donnée ne pourra plus s'exprimer par un homomorphisme d'un certain groupe algébrique dans G (le groupe de Galois de \underline{C} en F), car la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur k, munis d'une filtration décroissante discrète indexée par \underline{\mathbb{Z}}, n'est pas une catégorie abélienne (les bimorphismes ne sont pas des isomorphismes). Mais à une telle donnée est associé un deuxième foncteur fibre F'(V) = \operatorname{Gr} F(V), à valeurs cette fois-ci dans les vectoriels gradués (N.B. F joue le rôle de la cohomologie de ~~Hodge~~ De Rham, F' celui de la cohomologie de Hodge, muni de la graduation ~~totale~~ par p). La donnée de F' correspond alors à un torseur (à droite) P sous G, le groupe de Galois correspondant G' étant déduit de G en tordant par P. La graduation de F' correspond à un homomorphisme i : \underline{G}_{m} \to G'. Considé\-rons alors sur F' la filtration décroissante associée à sa graduation, et soit H'_{i_{1}} = \underline{\operatorname{Aut}}\ \underline{\operatorname{filt}}^{1}(F') \subset \underline{\operatorname{Aut}}(F') = G' Le signe porté en exposant après « filt » est un trait vertical surmontant un point ; il est lu ici comme un 1, sans que la page le décide. Le même signe revient à « Isom filt » deux lignes plus bas. le sous-schéma en groupes de G qui correspond aux \otimes-auto\-mor\-phismes de F' (ou plutôt des F'_{k'}, k' une k-algèbre quelconque) qui respectent sa filtration (et induisant l'identité sur le gradué associé) ; il est canoniquement déterminé par i_{1}. On peut aussi regarder le sous-schéma Q = \underline{\operatorname{Isom}}\ \underline{\operatorname{filt}}^{1}(F,F') \subset P = \underline{\operatorname{Isom}}(F,F') du schéma P des \otimes-isomorphismes de F avec F', ~~formé de~~ qui correspond aux automorphismes respectant les filtrations de F et F' (et induisant l'identité sur les gradués associés). C'est à priori un pseudo-torseur à droite sous H', i.e. il est vide ou un torseur à droite sous H'. « droite » est ici frappé par-dessus « gauche », et de même à chacune de ses occurrences jusqu'à la page 105 ; on donne le mot corrigé. Il faudrait prouver que c'est bien un torseur (i.e. que sur une extension convenable k' de k, on peut trouver un isomorphisme de F_{k'} avec F'_{k'} respectant les filtrations). Donc on trouve une restriction du groupe d'opérateurs (à droite) G' de P au sous-groupe H',

par un H'-torseur à droite Q.

Moyennant la vérification laissée en suspens à l'instant, on trouve alors que la donnée d'un « foncteur fibre filtré » F de \underline{C} sur k revient à la donnée

(i)d'un foncteur fibre F' ~~gradué de type \underline{\mathbb{Z}}~~ (d'où un groupe de Galois G' = \underline{\operatorname{Aut}}(F')) ; (ii)d'une graduation de type \underline{\mathbb{Z}} de F', i.e. un homomorphisme i_{1} : \underline{G}_{m} \longrightarrow G' , ce qui permet de définir comme ci-dessus un sous-groupe H'_{i_{1}} de G' ; (iii)d'un torseur à droite Q' sous H'_{i_{1}}.

A ces données, on associe simplement le foncteur fibre tordu F = F' \overset{H'_{i_{1}}}{\wedge} Q' , F étant filtré par la filtration déduite de celle de F' (associée à la graduation de F') en tordant par Q'.

N.B. Dans le cas où F est le foncteur de De Rham sur la catégorie des motifs sur k, on prouve (moyennant le yoga général des motifs — il est possible qu'on utilise pour ceci les conjectures de Hodge …) que le groupe H' est une limite projective de groupes algébriques unipotents . Si on se borne à une catégorie de motifs à engendrement fini, et si G est connexe, on trouve aussi que H' est connexe, donc étant résoluble, on trouve Tout ce N.B. est barré d'une dizaine de longues diagonales ; il se lit encore, et le paragraphe qui suit le remplace.

On constate aisément que le groupe H' est nécessairement une limite projective de groupes algébriques unipotents. On en conclut aussitôt que si \underline{C} est à engendrement fini (ou, plus généralement, à engendrement dénombrable, de façon que G' donc aussi H' soit limite projective d'une suite de groupes algébriques) alors tout torseur sous H' est trivial ; cela signifie ici que tout foncteur fibre filtré est en fait associé à un foncteur fibre gradué (en prenant la filtration correspondant à la graduation),

i.e. que la filtration dudit foncteur admet un splittage compatible avec les produits tensoriels. Mais le choix d'un tel splittage équivaut à celui d'un point sur un certain torseur à droite Q = Q' sous le schéma en groupe (pro-unipotent) H des automorphismes de F respectant la filtration et induisant l'identité sur le gradué associé ; il n'est pas du tout canonique !

3) Appelons pré-structure de Hodge sur un espace vectoriel V de dimension finie sur \underline{\mathbb{Q}}, la donnée d'une bigraduation sur V \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}} \underline{C} = V_{\underline{C}}, V_{\underline{C}} = \coprod_{p,q} V^{p,q} , telle que a) la graduation totale correspondante soit « définie sur \underline{\mathbb{Q}} » i.e. \coprod_{p+q=n} V^{p,q} provienne d'un sous-espace V_{\underline{\mathbb{Q}}}^{n} de V, et b) on a \overline{V^{p,q}} = V^{q,p}, où x \mapsto \bar{x} désigne la conjuguaison complexe. (N.B. Généralisation à des corps plus généraux laissée à Saavedra). Les vectoriels V munis d'une pré-structure de Hodge forment une catégorie tensorielle sur \underline{\mathbb{Q}} dans un sens évident, muni d'un foncteur fibre canonique, le foncteur « oubli » F. On trouve donc un groupe de Galois G, et plus généralement toute \otimes-sous-catégorie \underline{C} de la catégorie précédente nous définit un groupe de Galois G. La bigraduation sur le foncteur F_{\underline{C}}(V) = V \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}} \underline{C} correspond, en vertu de 1) (où il convient cependant de se permettre une extension du corps de base sur le foncteur fibre envisagé …) d'un homomorphisme \underline{G}_{m\,\underline{C}}^{2} \to G_{\underline{C}}, i.e. de deux homomorphismes qui commutent i_{1}, i_{2} : \underline{G}_{m\,\underline{C}} \longrightarrow G_{\underline{C}} . Les deux conditions a) et b) imposées aux structures envisagées s'interprètent respectivement par les faits que l'homomorphisme i_{\underline{C}} = i_{1} i_{2} : \lambda \mapsto i_{1}(\lambda) i_{2}(\lambda) est « défini sur \underline{\mathbb{Q}} » i.e. provient d'un homomorphisme i : \underline{G}_{m} \longrightarrow G , (nécessairement central, car les composantes homogènes V_{\underline{\mathbb{Q}}}^{n} d'une pré-structure de Hodge sont ~~nécessairement~~ évidemment munis d'une pré-structure de Hodge de façon que V soit la somme directe des V_{\underline{\mathbb{Q}}}^{n} en tant que pré-structure

de Hodge), et par la condition que l'on a i_{2} = \overline{i_{1}} \quad \text{i.e.} \quad i_{2}(\lambda) = \overline{i_{1}(\bar{\lambda})} \quad \text{pour tout}\quad \lambda \in \underline{C} .

Si à toute variété projective lisse X sur \underline{C} on associe sa cohomologie rationelle H^{*}(X, \underline{\mathbb{Q}}) = V, de sorte que V_{\underline{C}} = H^{*}(X, \underline{C}) est isomorphe canoniquement (par la théorie de Hodge) à H_{Hdg}(X) = \coprod H^{q}(X, \underline{\Omega}^{p}_{X/\underline{C}}), on voit qu'on trouve ainsi une pré-structure de Hodge sur H^{*}(X, \underline{\mathbb{Q}}), d'où un \otimes-foncteur naturel de la catégorie des motifs sur \underline{C} dans la catégorie des pré-structures de Hodge. La conjecture de Hodge standart équivaut à dire que ce foncteur est pleinement fidèle, i.e. que l'homomorphisme naturel qui va du groupe de Galois de Hodge précédent G dans le groupe de Galois motivique (associé au \otimes-foncteur de Betti H_{Bet}) est un épimorphisme. Ou encore que pour toute catégorie \underline{C}_{0} de motifs de type fini sur \underline{C}, désignant par \underline{C} la \otimes-catégorie de pré-structures de Hodge engendrée par les H_{Bet}(M) pour M \in \operatorname{Ob}(\underline{C}_{0}), l'homomorphisme de groupes algébriques G \to G_{0} associé au foncteur de Betti-Hodge \underline{C}_{0} \to \underline{C} est un épimorphisme (i.e. surjectif sur les points à valeurs complexes, disons).

On appelle polarisation d'une pré-structure de Hodge de poids n la donnée d'un accouplement de préstructures de Hodge \varphi : V \times V \longrightarrow \underline{\mathbb{Q}}(n) , où \underline{\mathbb{Q}}(n) est l'espace vectoriel trivial \underline{\mathbb{Q}} sur \underline{\mathbb{Q}}, avec \underline{\mathbb{Q}}_{\underline{C}} = \underline{C} muni du bidegré (n,n)), ayant la propriété que la forme hermitienne correspondante sur V_{\underline{C}}, \psi(x,y) = \varphi(x, \bar{y})\, (-i)^{p-q} \quad \text{pour $x$ de bidegré } (p, n-p) Le bidegré est tapé (p,q) ; le n est écrit à l'encre par-dessus le q. soit définie positive. Une structure de Hodge est une préstructure de Hodge admettant une polarisation. Les structures de Hodge forment une sous-\otimes-catégorie de la catégorie des pré-structures de Hodge. La théorie de Hodge nous assure que le foncteur de Betti-Hodge sur la catégorie des

motifs sur \underline{C} prend ses valeurs en fait dans la catégorie des structures de Hodge (une polarisation d'une varéiétsic projective lisse V définit canoniquement une polarisation de la structure de Hodge associée sur la cohomologie de Betti-Hodge). N.B. On n'a aucune idée sur ce que pourrait être l'image essentielle du foncteur précédent, par exemple s'il y a lieu d'espérer qu'on trouve toutes les structures de Hodge (donc une équivalence de catégories : motifs sur \underline{C} \to structures de Hodge) ; cela semble peu probable, mais on n'a aucune indication sérieuse dans un sens ou l'autre.

La catégorie des pré-structures de Hodge est semi-simple. Si G est le groupe de Galois d'une \otimes-catégorie \underline{C} de pré-structures de Hodge, à engendrement fini si on veut (pour simplifier), alors on peut expliciter en termes du groupe de Galois associé et de sa structure i_{1} ci-dessus la condition pour que les objets de \underline{C} soient en fait des structures de Hodge. Ceci est un exercice plaisant et délectable, qui devrait figurer dans un travail systématique sur les \otimes-catégories, dans le chapitre des exemples. On trouve des restrictions très sérieuses sur le groupe G muni de i_{1} (en plus du fait que G soit réductif).

4) Je laisse le soin à Saavedra de déterminer quelle structure supplémentaire on obtient sur la structure de Hodge « complexe » associée à une variété projective lisse complexe X, lorsqu'on se donne cette dernière comme déduite d'une variété projective réelle X_{\underline{R}} = X_{0}. On trouve une notion de « structure de Hodge réelle », donnant naissance à une \otimes-catégorie correspondante. Dans le groupe de Galois motivique de celui-ci, en plus de la structure i_{1}, on trouve un élément f_{\infty} de G(\underline{\mathbb{Q}}), ~~de degré~~ d'ordre 2 (jouant le rôle d'un « élément de Frobenius à l'infini »), qui correspond à l'automorphisme du foncteur de Betti X_{0} \longmapsto H^{*}(X_{0}(\underline{C}), \underline{\mathbb{Q}}) déduit de l'homéomorphisme x \mapsto \bar{x} de X_{0}(\underline{C}). Il faut expliciter les relations entre cet élément et i_{1}, i_{2} !

5) : Soit \underline{C} une \otimes-catégorie tensorielle, munie d'un foncteur fibre sur k de caractéristique nulle. A prouver que, pour que le groupe de Galois G correspondant soit profini, il faut et il suffit que pour tout objet M de \underline{C}, la \otimes-catégorie engendrée soit semi-simple et n'ait qu'un nombre fini d'objects simples non isomorphes. Si \underline{C} est quelconque, la sous-catégorie pleine \underline{C}_{0} de \underline{C} qui correspond au pro-groupe quotient de G formé des G_{i}^{\circ} (où G = \varprojlim G_{i}, et G_{i}^{\circ} est la composante neutre de G_{i}) est formée exactement des objets M ayant la propriété précédente.

Il serait intéressant de trouver des énoncés correspondants en caractéristique quelconque.

6) La notion de polarisation d'un motif sur un corps (elle-même déduite de celle de polarisation d'une variété algébrique) donne une structure supplémentaire remarquable dans la catégorie des motifs : si M est un motif de poids n, on sait parmi les formes symétriques (n pair) resp. alternées (n impair) M \otimes M \to T(n) (où T est le motif de Tate) distinguer celles qui sont « définies positives » ou encore des « polarisations ». Cette notion se reflête par exemple par des structures supplémentaires sur les groupes de Galois motiviques. Il y a lieu de faire une étude axiomatique abstraite d'une telle notion de polarisation sur une \otimes-catégorie générale au dessus d'un sous-corps du corps des réels. On pourra en rediscuter à l'occasion.

Catégories de modules sur un schéma en groupes affine, de sa main (pages 110 à 112)

Trois feuillets entièrement de sa main, écrits vite. Les formules passent ; la prose qui les relie ne passe pas toujours, et ce qu'elle ne donne pas est marqué plutôt que comblé.

~~G schéma en sur le corps k~~ un gr. , qcq, quasi-sép. et plat sur une base La première ligne est reprise en interligne : la restriction au corps k est barrée et remplacée par des hypothèses relatives sur une base. Le premier mot de l'insertion ne se laisse pas lire.

Tout vectoriel V sur k où G opère est des sous-vectoriels V_{i} de dim. finie sur k .

G schéma en groupes sur S. conditions :

a)G affine ; b)G qu.-cpt. quasi-sép. sur S et plat sur S.

N.B. Il suffit que A(G) soit pour « loc » Cette note, cerclée dans la marge gauche, ne se lit que par bribes ; on ne complète pas.

Soit \underline{C}_{qc}(G) la catégorie des S-modules qu. coh. où G opère, \underline{C}_{f}(G) la sous-catégorie pleine formée des \underline{E} qui sont de t.f. Alors \underline{C}(G) \overset{\approx}{\longrightarrow} \operatorname{Ind} \underline{C}_{f}(G) cf. SGAD VI_{B} 11.2.

Soit alors f : T \to S un morphisme affine. Nous poserons \mathcal{B} = f_{*}(\mathcal{O}_{T}), défini par ~~A-modules~~ définir la catégorie des G_{T}-E-Modules quasi-cohérents en termes de \underline{C}(G) et \mathcal{B}.

Or la donnée d'un \mathcal{O}_{T}-module \underline{F} qu. coh. revient à la donnée d'un \underline{E} (qu. coh. sur S, \bigl(= f_{*}(\underline{F})\bigr)) sur lequel \mathcal{B} opère. On constate de plus (avec hyp. sur G) que la donnée d'une opération

de G_{T} sur \underline{F} équivaut à la donnée d'une opération de G sur \underline{E} commutant à \mathcal{B}, car G_{T} \to \underline{\operatorname{Aut}}(\underline{F}) équivaut à G \longrightarrow \prod_{T/S} \underline{\operatorname{Aut}}(\underline{F}) , \quad \text{or} \prod_{T/S} \underline{\operatorname{Aut}}(\underline{F}) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{B}}\Bigl(\prod_{T/S} \underline{F}\Bigr) = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{B}}(\underline{E}) .

Donc, la catégorie \underline{C}(G_{T}) équivaut à la catégorie des objets de \underline{C}(G) munis d'une opération de \mathcal{B}, ce qui, si S est affine d'anneau A, donc \mathcal{B} défini par A-algèbre B, équivaut à la ~~catég.~~ donnée d'un objet de \underline{C}(G) à anneau B d'endomorphismes. Lorsque G satisfait l'une des conditions a) ou b) (p. ex. G sur un corps k), la catégorie \underline{C}(G_{T}) est définie en termes de \underline{C}_{f}(G). De même, si \varphi_{G} désigne le foncteur oubli de \underline{C}_{f}(G) \varphi_{G}^{f} dans , \bigl(\underline{C}(G_{T}), \varphi_{G_{T}}\bigr) est déterminé en termes de \bigl(\underline{C}_{f}(G), \varphi_{G}^{f}\bigr). Et il en est de même de \bigl(\underline{C}_{f}(G_{T}), \varphi_{G_{T}}\bigr), sous-catégorie pleine de \underline{C}(G_{T}) formée des E tels que \varphi_{G_{T}}(E) de d.f.ainsi écrit ; la page 110 porte « t.f. » au même emploi sur \mathcal{B}.

loc. lis.

Soit G un schéma affine sur un anneau A. Dans quelle mesure G se récupère-t-il par la connaissance de \bigl(\underline{C}_{f}(G), \varphi_{G}^{f}\bigr), i.e. \underline{C}_{f}(G) est regardé comme une \otimes-catégorie par \otimes , et \varphi_{G}^{f} comme un \otimes-foncteur.

Il faudrait récupérer G(B) pour les A-algèbres B. Or , il suffirait de récupérer G(A). On a un hom. canonique G(A) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\otimes}(\varphi_{G}^{f})

On prouve que c'est injectif : regardons les effets de g \in G(A) sur l'algèbre affine E de G !

On prouve sans doute aussi que c'est surjectif, en regardant comme l'effet d'un \otimes- de \varphi_{G}^{f} sur E, à détailler

Question : À quelle condition une \otimes-catégorie A-linéaire munie d'un \otimes-foncteur \varphi^{f} : \underline{C}_{f} \to \operatorname{Mod}_{f}(A) provient-elle d'un schéma en groupes affine sur A ???

Il faudrait supposer que \underline{C} est un \mathcal{A}b-topos, et que \varphi commute aux \varinjlim.

Plan du traité (page 114)

Feuillet tapé, complété de sa main : l'appendice du chapitre 1 et les deux derniers alinéas sont à l'encre.

Chapitre 1. Généralités sur les opérations \otimes sur une catégorie. Appendice : Rappels sur les coalgèbres, comodules, bigèbres … Chapitre 2. Relations entre \otimes-catégories et avec foncteur fibre, et coalgèbres resp. hyperalgèbres : ~~Groupe~~ Dualité de Tannaka. (structures mixtes, connexions …) Chapitre 3. Exemples nombreux et divers. Dictionnaire détaillé. Chapitre 4. Filtrations sur un foncteur fibre. Chapitre 5. Théorème de structure des \otimes-catégories en termes de gerbes. Chapitre 6. Polarisation d'une \otimes-catégorie. Groupes de Hodge. Chapitre 7. \otimes-Catégories à lien réductif. Classification sur \underline{R}. Chapitre 8. Structures de Hodge, groupes de Mumford-Tate et espaces modulaires correspondants. Chapitre 9. Questions d'effectivité (?)

Éventuellement un chapitre de structure sur le « cas non commutatif »

Un autre, une variante pour catégories triangulées ?

Chapitre sur catégories de Picard, (plus gén. gpoïdes avec loi \otimes) catégories de Picard enveloppantes. Cas des catégories ayant deux lois \oplus et \otimes —-

Table des matières du chapitre 1 (pages 115 à 116)

Table tapée, annotée partout : les numéros de paragraphes sont renumérotés à l'encre — le Par. 3 devient 4, le Par. 4 devient 5, et ainsi de suite — deux subdivisions sont ajoutées de sa main, une est barrée. On donne la numérotation corrigée.

Chapitre 1. Généralités sur les \otimes-catégories.

— 1) produit tens. de modules ; 2) catégorie avec produits cart. ; 3) Torseurs sous un faisceau abélien ; 4) familles de modules indexées par ; 5) espace des lacets d'un topologique

Par. 0 : Lois \otimes sur une catégorie : exemples divers …

Par. 1 ~~I. Les données~~ Contraintes pour une loi \otimes.

1.1. Associativité. 1.2. Commutativité. 1.3. Unités. 1.4. \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y), \underline{\operatorname{Moh}}(Y,X), . « Moh » est bien ce que porte la machine, et le mot revient plusieurs fois : c'est le Hom interne pris de l'autre côté. 1.5. \check{X}, ~~\check{X}^{-1}~~ X^{-1}. 1.6. Cas des exemples du Par. 0

Par. 2 Compatibilités entre contraintes. Toutes les compatibilités entre contraintes sont satisfaites, quand elles ont un sens, dans les exemples du par. 0

1.1. Associativité et commutativité. 1.2. Commutativité et unité. 1.3. Associativité et unité. 1.4. \underline{\operatorname{Hom}}, \underline{\operatorname{Moh}} et associativité : formules de Cartan. 1.5. \underline{\operatorname{Hom}} et commutativité (on a alors \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y) \simeq \underline{\operatorname{Moh}}(Y,X)) … non ! 1.6. ~~\underline{\operatorname{Hom}} et unité~~ : définition de \check{X} (pour loi commutative seulement ?). Lois \otimes rigides. 1.7. Formalisme des traces (cas d'isomorphie \check{X} \otimes Y \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)), rang d'un objet.

Par. 3 Formes normales de multifoncteurs composés.

Par. 4 \otimes-foncteurs.

4.1. Théorie sans contraintes : définition des \otimes-foncteurs, composition, morphismes de \otimes-foncteurs. 4.2. Compatibilité ~~d'un~~ \otimes-foncteur avec des contraintes : associativité et commutativité. 4.3. Compatibilité avec des contraintes : unité. 4.4. Compatibilité avec des contraintes : \underline{\operatorname{Hom}}, \underline{\operatorname{Moh}}, \check{X}, X^{-1}. 4.5. Objets quasi-inversibles, et calcul des fractions …

Par. 5 Exemples typiques ; ~~les~~ \otimes-catégories définies par des bigèbres.

5.0. \otimes-Catégories : catégories additives, avec \otimes biadditif, ass. comm. unit. (pas néc. \underline{\operatorname{Hom}}). 5.1. Modules sur une bigèbre. 5.2. Comodules sur une bigèbre. 5.3. Dualité entre les deux notions : première manière (imparfaite). 5.4. Dualité entre les deux notions : seconde manière, formelle (via notions d'algèbre dans une \otimes-catégorie). 5.5. Modules mixtes (co + ordinaire) sur une bigèbre 5.6. Variantes avec bi-proalgèbres. 5.7. Variantes graduées.

Par. 6. Bigèbres d'endomorphismes des \otimes-foncteurs. Schémas en groupes d'automorphismes de \otimes-foncteurs.

…

Par. 7. Structure des catégories de Picard (?) (Viendrait mieux avant par. 4). N'est pas nécessairement le lieu ici

Par. Plus gén., ~~catégories~~ monoïdes avec \otimes associatif top. an. et unitaire (pas néc. comm. …).

\otimes-catégories (pages 117 à 120)

Quatrième tapuscrit du lot, corrigé de sa main. La machine écrit \phi par un o barré et \psi par un y barré ; on donne les lettres grecques.

\otimes-catégories.

1) Définition. Catégorie additive, avec bifoncteur (X,Y) \mapsto X \otimes Y et un ~~objet~~ isomorphisme de bifoncteurs \varphi(X,Y,Z) : (X \otimes Y) \otimes Z \overset{\sim}{\longrightarrow} X \otimes (Y \otimes Z) et un isomorphisme de commutativité \psi(X,Y) : X \otimes Y \overset{\sim}{\longrightarrow} Y \otimes X satisfaisant des axiomes

a)Axiome du pentagone pour \varphi ~~(ne dépend pas de la structure additive)~~ b)\psi(X,Y)\,\psi(Y,X) = \operatorname{id}_{Y \otimes X} ; c)compatibilité entre \varphi et \psi : axiome de l'hexagone d)existence d'un élément \underline{1}_{\underline{C}} = \underline{1}, avec des isomorphismes fonctoriels v(X) = u(X) : \underline{1} \otimes X \simeq X \qquad \text{d'où} \quad \psi(X,\underline{1})\,u(X) : X \otimes \underline{1} \simeq X , ~~(donc par b) on aura aussi u(X) = v(X)\,\psi(\underline{1},X))~~ avec la condition que pour X = \underline{1}, on trouve le même isomorphisme u(\underline{1}) = v(\underline{1}) : \underline{1} \otimes \underline{1} \simeq \underline{1} ce qui s'exprime aussi par la condition que \psi(\underline{1},\underline{1}) = \operatorname{id}_{\underline{1}} ; (de plus on veut) compatibilité de (\underline{1},u,v) avec \varphi, quand X, Y 2 i.e. 2 = 1, avec \psi X — Y est = \underline{1}. e)le foncteur \otimes est biadditif.

Envisager aussi la structure éventuelle \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y), relation avec \check{X} \otimes Y

N.B. a) ~~et d) sont~~ est indépendants de la donnée de \psi, b) est indépendant de la donné de \varphi, a) b) c) d) sont indépendant du fait que \underline{C} est additive.

Soit \underline{1}', u',v' comme \underline{1}, u, v, on ~~va définir canoniquement un~~ voit qu'il existe un unique isomorphisme w : \underline{1} \simeq \underline{1}', compatible en un sens évident avec u, v et u', v'. On choisit le composé \underline{1} \xrightarrow{\ v'(\underline{1})\ } \underline{1} \otimes \underline{1}' \xrightarrow{\ u(\underline{1}')\ } \underline{1}' Les deux étiquettes sont ajoutées à la main au-dessus des flèches ; la fin de la ligne est barrée d'une dizaine de traits. A vérifier les compatibilités annoncées (ne dépend pas de la donnée de \varphi, ni \psi, mais de u, v satisfaisant la compatibilité u(\underline{1}) = v(\underline{1}) et u', v' kif-kif). C'est pourquoi il n'y a pas lieu de poser \underline{1}, u, v comme donnée, mais comme axiome d'existence.

2) \otimes-Foncteur F : \underline{C} \to \underline{C}' (avec \underline{C}, \underline{C}' des trucs-catégories). « trucs-catégories » est bien ce que porte la machine ; le mot tient lieu de « \otimes-catégories ».

Les données sont un foncteur F, plus un isomorphismes de bifoncteurs c(X,Y) : F(X \otimes Y) \overset{\sim}{\longrightarrow} F(X) \otimes F(Y) satisfaisant les conditions :

a)Compatibilité de c avec la donnée de \varphi, \varphi' b)

Compatibilité de c avec la donnée de \psi, \psi'

Existe isom. ~~foncto.~~ i : F(\underline{1}) \simeq \underline{1}' compatible avec c et u'

c)~~Compatibilité de i avec~~ avec les isomorphismes u (ou ce qui revient au même, avec c et v, v').

N.B. Cet i sera alors uniquement déterminé.

d)F est additif.

3) Homomorphisme d'un \otimes-foncteur F dans un autre G : c'est un homomorphisme de foncteurs f : F \to G satisfaisant la condition

a)compatibilité avec c_{F}, c_{G} sans doute pas une b)~~b) — (i)~~ compatibilité avec i_{F}, i_{G} (ça c'est ~~peut-être~~ conséquence formelle de a) — à regarder), cf. plus bas)

4) Remarques. A dissocier ce qui précède en plusieurs aspects de la donnée d'un bifoncteur \otimes :

a)Donnée d'associativité, soumise à l'axiome du pentagone. Un foncteur « compatible avec \otimes associatif » de \underline{C} dans \underline{C}' est un foncteur + un c, compatible avec la donnée de \varphi. b)Donnée d'unité bilatère \underline{1}, u, v (unique à isomorphisme unique près). Un foncteur « compatible avec \otimes à unité bilatère » est un F muni de c, tel qu'il existe i compatible avec c, u, v et c', u', v' (lequel i sera alors unique). N.B. Le monoïde des endom. de \underline{1} est alors commutatif. c)Donnée de commutativité \psi, satisfaisant la condition de réflexivité. Un foncteur

« compatible avec \otimes commutatif » est un foncteur et un c, compatible avec la donnée des \psi.

Quand on a une loi \otimes avec donnée a) et b), il y a lieu de postuler une compatibilité entre les deux (dans le cadre de l'axiomatique 1), est-ce une conséquence des autres axiomes ? je ~~crains~~ pense que non, et qu'il faille le rajouter). Quand on a une loi \otimes avec donnée a) et c), il y a lieu de postuler une compatibilité entre les deux. De même pour une loi \otimes avec b) et c). Quand on a à la fois a) b) c), le paquet de toutes les conditions de compatibilité sont celles énoncées plus haut dans 1° a) à d). De même, un Foncteur « compatible avec \otimes associatif à unité bilatère » est un foncteur F, + un c, compatible séparément avec associativité et unité bilatèrité, et de même pour tout autre paquet de données supplémentaires parmi a), b), c). Enfin, la notion d'homomorphisme de \otimes-foncteurs ne dépend pas des structures supplémentaires a) b) ou c) (mais bien de b)) qu'on peut envisager, s'exprimant exclusivement à l'aide de la donnée de c) ~~(sous réserve de vérification indiquée dans 3°)~~. — Quant à la biadditiv condition d'additivité sur les catégories et de biadditivité sur \otimes, il n'y a lieu de l'introduire qu'en dernier lieu.

Attention si l'associativité ne doit pas rappliquer ici aussi

5) N.B. Si on a \otimes avec unité bilatère, alors pour deux endomorphismes u, v de \underline{1}, on a u \otimes v = uv = vu. Donc sous la condition de commutativité c), \operatorname{End}(\underline{1}) est un monoïde commutatif. Sans condition de comm. ce monoide opère à gauche et à droite sur tout objet de \underline{C} ; les deux opérations coïncident moyennant commutativité. Si ~~la structure~~ \underline{C} est additive, \operatorname{End}(\underline{1}) est un anneau, qui opère à gauche et à droite sur chaque objet de \underline{C}. Dans le cas commutatif, \operatorname{End}(\underline{1}) = k est donc un anneau commutatif et la catégorie \underline{C} est k-linéaire de façon naturelle, \otimes est k-bilinéaire.

6) Supposons maintenant que \underline{C} soit une catégorie ~~additive~~ abélienne k-linéaire (k un corps) munie d'un foncteur fidèle exact F : \underline{C} \to \operatorname{Modf}(k), de sorte que \underline{C} s'identifie à la catégorie des représentations (continues) finies d'une algèbre profinie U sur k (associative, unitaire), ou des comodules sur le dual topologique A de k, qui est une coalgèbre (associative, unitaire). Alors la donnée d'un foncteur \otimes bilinéaire compatible avec F (i.e. pour lequel on a égalité F(X \otimes Y) = F(X) \otimes F(Y)) équivaut à la donnée d'un morphisme diagonal U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}_{k}} U, ou encore d'une loi de multiplication sur A.

généraliser au moins partiellement au cas d'un k qui n'est pas un corps Cette phrase est tapée dans la marge gauche, en regard des lignes qui précèdent.

Une donnée supplémentaire (au sens de 4)) a) b) ou c) compatible avec F, c = \operatorname{id} est alors uniquement déterminée, si elle existe. ~~pour b) c'est une e : U \to k (morph. d'alg.) i.e. \varepsilon \in A~~ Elle existe sss A est associative, resp. unitaire, resp. commutative. « sss » est la graphie de la machine pour « si et seulement si » ; elle revient plusieurs fois dans ce lot. Quand ces conditions sont satisfaites simultanément, on a donc un schéma en ~~groupes~~ monoïdes affine sur k, qui permet de réconstituer la situation. — Si on a de même \underline{C}', F' sur le même k, alors les foncteurs G : \underline{C} \to \underline{C}' compatibles avec F, F' correspondent exactement aux hom. de k-algèbre top U' \to U, ou de k-coalgèbres A \to A'. Si \underline{C} et \underline{C}' sont munis de structures bilinéaires \otimes, alors le foncteur G est un \otimes-foncteur avec un isomorphisme c transformé par F' en \operatorname{id} (ce qui suffit à le caractériser alors) sss U' \to U est compatible avec les diagonales i.e. A \to A' est compatible avec les multiplications. Les éventuelles structures supplémentaires a), b) ou c) sont respectées automatiquement, pour b) il faut supposer compatible avec augment. de U resp. avec unité de A, A' Dire que les endom. de F compatibles avec c = \operatorname{id} sont les g \in U tels que \Delta(g) = g \otimes g ; si on veut respecter la donnée de l'unité de (\underline{C}, \otimes), il faut la cond. \varepsilon(g) = 1, i.e. les morphismes A \to k relations entre loi \check{X} et antipode données par U resp. A

7) Un exemple. On prend pour \underline{C} la catégorie des modules gradués sur un anneau commutatif k, avec le produit tensoriel gradué ordinaire et pour unité le module k_{s} gradué par le degré zéro, données de u et v comme d'habitude, ainsi que \varphi (associativité) et \psi (commutativité). Tous les axiomes du n° 1 sont vérifiés, et le foncteur oubli (avec c = \operatorname{id}) est un \otimes-foncteur respectant toutes les données a) b) c). Donc si k est La phrase s'arrête là : le feuillet est le dernier du lot.