Cote n° 10 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

Étude numérique des catégories tannakiennes (pages 61 à 65)

Tapuscrit, corrigé de sa main au crayon et à l'encre bleue. La lettre \(\mathcal{M}\), les lettres de groupes, les \(\Sigma\), les \(\sigma\) et les \(\xi\) manquaient à la machine et sont encrés partout ; on ne les relève pas un à un. Les majuscules soulignées sont sa convention, énoncée page 64 : « les soulignés indiquent qu'on prend des schémas sur \(k\) ». Ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait.

61Etude numérique des catégories tannakiennes. Sic, sans accent, comme sur la page.

a) Soit \(\mathcal{M}\) une catégorie abélienne \(k\)-linéaire avec \(\operatorname{Hom}\) de dimension finie (\(k\) un corps). Si \(M\) est un objet simple de \(\mathcal{M}\), la sous-catégorie abélienne de \(\mathcal{M}\) qu'il engendre est équivalente à la catégorie des vectoriels de dimension finie sur le corps \(K = \operatorname{End}(M)\). On voit ainsi que l'objet \(M\) reste semi-simple par une extension \(k'/k\) sss \(K \otimes_{k} k'\) est un composé […] d'algèbres de matrices (i.e. est une algèbre semi-simple). Ceci est vrai [[…]] pour tout \(k'\) sss c'est vrai pour \(k'\) clôture [une ext.] parfaite de \(k\), ou sss le centre de \(Z\) de \(K\) est séparable sur \(k\). On dit alors que \(M\) est absolument semi-simple (à généraliser au cas [où \(M\) n']est pas supposé simple). L'insertion au-dessus de « vrai » est une seule lettre, qui ne se lit pas ; « parfaite » est souligné sur la page.

Le groupe \(K(\mathcal{M})\) est le groupe libre engendré par l'ensemble \(\Sigma(\mathcal{M})\) des classes d'objets simples de \(\mathcal{M}\). Si \(k'\) est une extension de \(k\), la façon dont un objet simple \(M\) de \(\mathcal{M}\) tel que \(M_{k'}\) soit semi-simple se décompose en objets simples se voit sur la structure de \(K \otimes_{k} k' = K'\) : si \(K'\) est le produit d'algèbres \(M_{n_{i}}(K'_{i})\), où les \(K'_{i}\) sont des corps gauches, [\(1 \leq i \leq r\),] alors \(M_{k'}\) se décompose en \(r\) composants isotypiques (correspondant aux \(K'_{i}\)) chacun ayant \(n_{i}\) composants simples [\(M'_{i}\)]. Si \(k'\) est une extension quasi-galoisienne de \(k\), les classes des \(M'_{i}\) sont conjuguées entre elles par l'action de \(\operatorname{Gal}(k'/k) = \pi\). On trouve alors une bijection canonique (si l'hypothèse faite est vérifiée pour tout objet simple de \(M\) de \(\mathcal{M}\), p. ex. si \(k'/k\) est même galoisienne) \[ \Sigma(\mathcal{M}) \simeq \Sigma(\mathcal{M}')/\pi . \]

Il y aurait lieu de généraliser au cas où on ne suppose pas nécessairement que les \(K \otimes_{k} k'\) sont semi-simples …

[Si \(\mathcal{M}\) est semi-simple,] La catégorie \(\mathcal{M}\) est connue à équivalence près quand on connait l'ensemble \(\Sigma = \Sigma(\mathcal{M})\), et l'application \[ \sigma \longmapsto (Z_{\sigma}, \xi_{\sigma} \in \mathrm{Br}(Z_{\sigma})) \] associant à toute classe d'objet simple \(M\) de \(S\) la classe de [le centre \(Z_{\sigma}\)] \(\operatorname{End}(M)\) La machine écrit \(S\) pour \(\Sigma\) ; on laisse comme sur la page. La phrase se poursuit page 62.

62et la classe de \(\operatorname{End}(M)\) dans \(\mathrm{Br}(Z_{\sigma})\) (le couple \((Z_{\sigma}, \xi_{\sigma})\) étant défini à isomorphisme près). Sans supposer \(\mathcal{M}\) semi-simple, on peut [en un certain sens] dire que la plus grande sous-catégorie semi-simple (engendrée par les objets semi-simples) est connue à équivalence près par la connaissance précédente, qui implique donc la connaissance de \(K(\mathcal{M}) = \underline{\mathbb{Z}}^{(\Sigma)}\) [[…]], et sa variance pour les changements de base par \(k'\) variable sur \(k\). De façon précise, \(\Sigma' = \Sigma(\mathcal{M}_{k'})\) en tant qu'ensemble sur \(\Sigma\) correspond à l'ensemble des corps dont la fibre en \(\sigma\) est l'ensemble des corps composants de \(Z_{\sigma} \otimes_{k} k'\), soient \(Z'^{i}_{\sigma}\), l'application \(K(\mathcal{M}) = \underline{\mathbb{Z}}^{(\Sigma)} \to K(\mathcal{M}_{k'}) = \underline{\mathbb{Z}}^{(\Sigma')}\) est donné par \[ \sigma \longmapsto n_{i}(\sigma, i) , \] où \(n_{i}\) est donné par la règle suivante : si \(d\) est le degré de l'ordre de \(\xi_{\sigma} \in \mathrm{Br}(Z_{\sigma})\), celui de son image dans \(\mathrm{Br}(Z'^{i}_{\sigma})\) est un […] diviseur \(d'_{i}\) de \(d\), et on a \(n_{i} = d/d_{i}\). (À généraliser au cas où les \(Z_{\sigma}\) ne sont pas nécessairement séparables). Si \(k'\) est une […] extension alg. close de \(k\), l'ensemble \(\Sigma'\) s'identifie à l'ensemble somme des fibres en \(k'\) des \(\operatorname{Spec}(Z_{\sigma})\) …

b) Supposons maintenant \(\mathcal{M}\) semi-tannakienne munie d'un produit tensoriel à contraintes d'associativité et commutativité, avec \(1\). On désigne sous le nom de « caractères numériques » de \(\Sigma\) les données suivantes :

préciser cette notion, en faisant d'un « caractère numérique » une structure susceptible de variation fonctorielle …

1. l'ensemble (à bijection près) [\(\Sigma\)] des […] classes d'isomorphie d'objets simples de \(\mathcal{M}\).
2. La donnée de la multiplication de \(K(\mathcal{M}) = \underline{\mathbb{Z}}^{(\Sigma)}\) ; ce qui revient à la donnée pour tout \(\sigma, \tau \in \Sigma\) du produit \[ \sigma\tau = \sum_{\rho} c^{\rho}_{\sigma,\tau}\, \rho \qquad (c^{\rho}_{\sigma,\tau} \in \underline{\mathbb{N}}), \] [i.e. du système d'entiers naturels \(\sigma^{\rho}_{\sigma,\tau}\).] La dernière ligne de la page est de sa main, et elle écrit \(\sigma^{\rho}_{\sigma,\tau}\) là où la formule tapée deux lignes plus haut porte \(c^{\rho}_{\sigma,\tau}\) ; on laisse les deux notations comme elles sont.

63

1. La donnée de l'application \[ \sigma \longmapsto (Z_{\sigma}, \xi_{\sigma}) , \qquad \xi_{\sigma} \in \mathrm{Br}(Z_{\sigma}) \] envisagée dans a).
2. La donnée de la fonction \[ \text{rang} \;:\; \mathcal{M} \longrightarrow \underline{\mathbb{Z}} \] lorsque \(\mathcal{M}\) est supposée […] tannakienne. […]

On notera que la donnée de 1), 2) équivaut à la donnée de l'anneau commutatif \(K = K(\mathcal{M})\), avec sa « partie effective » \[ K^{\mathrm{eff}} = \text{sous-groupe de } K(\mathcal{M}) \text{ engendré par les } c\ell(M),\ M \in \mathrm{Ob} , \] \[ = \underline{\mathbb{N}}^{(\Sigma)} \] (NB \(\Sigma\) se récupère à partir de ces [la] donnée [\(K^{\mathrm{eff}} \subset K\)] comme l'ensemble des éléments non nuls minimaux de \(K^{\mathrm{eff}}\)). La donnée de 3) permet alors de trouver, comme explicité dans a), la variance fonctorielle de l'anneau \(K(\mathcal{M}_{k'})\) par rapport à \(k'\). Enfin la donnée de 4) permet en principe de retrouver les polynômes caractéristiques (en particulier, la trace et le déterminant) d'un endomorphisme d'un objet […] (semi-simple ?) \(M\) de \(E\), en termes de polynômes caractéristiques réduits (resp. trace réduite, norme réduite) dans les algèbres d'Azumaya [\(\operatorname{End}(M_{i})\)] correspondant aux composantes isotypiques \(M_{i}\) de \(M\). Pour \(M\) isotypique de rang \(n\), on aura en effet, si \(K = \operatorname{End}(M)\) a comme centre \(Z\) de rang \(r\) sur \(k\), donc \(n = n'r\), et \(K\) de rang \(d^{2}\) sur \(Z\), avec \(d \mid n'\) (NB \(M\) de rang \(n'\) sur \(Z\)) : \[\begin{align*} \operatorname{det}_{M} f &= \operatorname{N}_{Z/k}(\operatorname{Nr}_{K/Z}(f))^{n'/d} , \qquad (n'/d = n/dr) \\ \operatorname{Tr}_{M} f &= \operatorname{Tr}_{Z/k}(\operatorname{Trr}_{K/Z}(f))\, \frac{n'}{d} \\ \operatorname{Pol}_{M}(f,t) &= \operatorname{N}_{Z/k}(\operatorname{Polr}_{K/Z}(f,t))^{n'/d} \end{align*}\]

Signaler que la connaissance des car. num. de \(\mathcal{M}\) implique celle des car. numériques de \(\mathcal{M}_{k'}\) pour toute extension \(k'\) de \(k\), (« fonctoriellement en \(k'\) »)

On fera attention que la connaissance des caractères numériques de la catégorie tannakienne \(\mathcal{M}\) ne permet pas en général de réconstituer celle-ci à équivalence près, même si \(k\) est un corps alg. clos de car. \(0\) (de sorte que la donnée de 3) devient vide) et \(\mathcal{M}\) semi-simple

64et [de plus] même dans le cas particulier où \(\mathcal{M}\) est la catégorie des représentations d'un groupe fini (? ? à vérifier dans littérature qu'un groupe fini n'est pas déterminé par la connaissance de la table de multiplication de […] son ensemble de caractères, et les rangs de ceux-ci …) Comme exception à cette remarque, signalons cependant le cas où \(\mathcal{M}\) est tannakienne à lien diagonalisable (alors \(\Sigma\) devient un sous-groupe de \(K^{*}\), [qui] dans détermine le lien, et la donnée de 3) donne l'homomorphisme \(\Sigma \to \mathrm{Br}(k)\) qui suffit à tout déterminer). Regarder le cas où le lien est un groupe de t.m.

c) Cas d'un lien qui est de t.m. On suppose connu le caractère numérique […] de \(\mathcal{M}\). Prenant le changement de base par une clôture séparable \(k'\) de \(k\), on trouve que \(\Sigma' = \Sigma(\mathcal{M}_{k'})\) (canoniquement déduit de la donnée numérique, avec l'opération de \(\pi = \operatorname{Gal}(k'/k)\) dessus) est muni d'une structure de groupe induite par la multiplication de \(K(\mathcal{M}_{k'}) = \underline{\mathbb{Z}}^{(\Sigma')}\), […] respectée par l'action de \(\pi\). Ceci nous donne le lien \(G = D(\Gamma)\) (où \(\Gamma\) est le groupe \(\Sigma'\) avec l'action de \(\pi\)). L'ensemble \(\Sigma\) s'identifie à l'ensemble des orbites \(\sigma\) de \(\pi\) opérant sur \(\Gamma\). Si \(\sigma\) est une telle orbite, le corps \(Z_{\sigma}\) n'est autre que le corps des invariants \(Z_{\sigma} \subset k'\) du stabilisateur d'un point de l'orbite \(\sigma\). Si \(M_{\sigma}\) est un objet de type \(\sigma\), on a un homomorphisme \[ G \longrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}(M_{\sigma}) = \underline{K}^{*}_{\sigma} \] (les soulignés indiquent qu'on prend des schémas sur \(k\) …) qui se factorise par le centre \(Z_{\sigma}\) de \(K_{\sigma}\) en \[ u_{\sigma} : G \longrightarrow \underline{Z}^{*}_{\sigma} \;\add{\simeq}\; \prod\nolimits_{Z/k} \underline{G}_{m} , \] et on vérifie aussitôt qu'on a \[ u_{\sigma}(\xi) = \xi_{\sigma} , \] où

65\[ \xi \in H^{2}(k_{\mathrm{pl}}, G) \] est la classe de la gerbe tannakienne qui définit \(\mathcal{M}\). Donc la connaissance du caractère numérique de \(\mathcal{M}\) équivaut à la donnée, en plus du […] groupe de t.m. \(G\) sur \(k\), des classes \(u_{\sigma}(\xi)\) pour tous les homomorphismes \(u\) de \(G\) dans des tores de la forme \(\prod_{Z/k} \underline{G}_{m}\), où \(Z\) est une extension finie de \(k\). (On vient de voir en effet que la donnée du caractère numérique permet de reconstituer ce qui précède. Pour voir l'inverse, notons que si le rang \(n(\sigma)\) de \(M_{\sigma}\) est déterminé par la formule \[ n(\sigma) = \operatorname{card}(\sigma)\cdot\operatorname{ord}(\xi_{\sigma}) \] (où \(\operatorname{card}\sigma\) est le cardinal de l'orbite \(\sigma\), \(\operatorname{ord}(\xi_{\sigma})\) est l'ordre de \(\xi_{\sigma}\) dans \(\mathrm{Br}(Z_{\sigma})\)).

La question de savoir si le caractère numérique détermine à équivalence de catégories tannakiennes près revient donc, pour \(G\) fixé, à la question de savoir si un élément […] \(\xi \in H^{2}(k_{\mathrm{pl}}, G)\) est connu quand on connait les \(u_{\sigma}(\xi)\) pour \(u : G \to \underline{Z}^{*}\) comme dessus. […] C'est le cas pour \(G\) diagonalisable pro-dénombrable (pro-dénombrable ?) On va examiner deux autres cas.

Exemple 1. \(G\) est un tore de dimension \(1\), donc (s'il n'est pas trivial) tordu par une extension quadratique \(Z\) de \(k\). On a donc une suite exacte \[ 0 \longrightarrow G \xrightarrow{\ u\ } \underline{Z}^{*} \xrightarrow{\ N_{Z/k}\ } \underline{G}_{m} \longrightarrow 0 , \] d'où on conclut, par la suite exacte de cohomologie et le th. 90 que \[ \operatorname{Ker}\bigl(u : H^{2}(k,G) \longrightarrow H^{2}(k, \underline{Z}^{*})\bigr) \] est nul. Donc dans le cas envisagé, le caractère numérique détermine \(\mathcal{M}\) à équivalence près.

Exemple 2. Gardons […] \(G\) comme dessus, soit \(n\) un entier \(\geq 2\), et soit \(G' = \operatorname{Ker} n\cdot\mathrm{id}_{G}\). La suite exacte \[ 0 \longrightarrow G' \longrightarrow G \xrightarrow{\ n\ } G \longrightarrow 0 \] et le résultat précédent montre que l'ensemble des classes de L'Exemple 2 et sa suite exacte, dont la machine n'a tapé ni les flèches ni les zéros aux bons endroits, sont annulés par de longs traits diagonaux, et le tapuscrit s'interrompt là : la page 66 ouvre un autre texte.

Catégories tannakiennes définies par des cristaux (pages 66 à 80)

Second tapuscrit, corrigé de la même main. Les paragraphes sont numérotés de 1 à 9 et courent sans interruption jusqu'à la dernière page du lot. \(W\) désigne un \(p\)-anneau de corps résiduel \(k\) et \(K\) son corps des fractions, \(\sigma\) le Frobenius, \(\Pi_{p}(k)\) la gerbe des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles ; les majuscules soulignées sont les schémas, comme page 64. La machine n'avait ni le \(\Pi\) majuscule ni les accents circonflexes, et la page 71 porte à ce sujet une note de sa main.

66Catégories tannakiennes définies par des cristaux.

1. Soit \(k\) un corps de car. \(p > 0\), qu'on regarde comme algèbre sur \(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\), dont l'idéal maximal est muni de puissances divisées. Cela donne un sens au site cristallin de \(k\) (sur \(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\), qualifié aussi de « absolu »), et aux Modules loc. libres de type fini [(resp. de présentation finie)] sur ledit, qu'on appellera aussi cristaux en modules (localement libres) [resp. de prés. finie] sur \(k\). Ces cristaux forment une \(\otimes\)-catégorie \(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\)-linéaire, […] On peut expliciter cette catégorie à l'aide d'un \(p\)-anneau \(W\) de corps résiduel \(k\), comme la catégorie des modules libres de type fini (resp. de type fini) \(M\) sur \(W\), avec pour tout entier \(n\) une connexion absolue sur \(M_{n} = M/p^{n}M\) (relativement à \(W_{n}\) sur \(\underline{\mathbb{Z}}/p^{n}\underline{\mathbb{Z}}\)), à courbure nulle, ces connexions se recollant pour \(n\) variable. Lorsque \(k\) est parfait, \(W\) est l'anneau des vecteurs de Witt construit sur \(k\), et dans la description précédente, on peut oublier les connexions : les catégories envisagées sont simplement la catégorie des modules libres de t.f (resp. des modules de t.f.) sur \(W\). Si \(K\) est le corps des fractions de \(W\), la catégorie des isocristaux sur (=cristaux à isogénie près) sur \(k\) est équivalente à \(\operatorname{Modf}(K)\). […]

2. La catégorie des cristaux sur \(k\) dépend fonctoriellement de \(k\), d'où pour tout cristal la possibilité de définir son transformé par le changement de base \(\sigma_{k} : x \mapsto x^{p} : k \to k\), soit \(M^{\sigma}\). La donnée d'un \(M\) avec un homomorphisme \[ F_{M} : M^{\sigma} \longrightarrow M \] s'appelle un \(F\)-cristal sur \(k\). On notera que les \(F\)-cristaux forment une [\(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\)-linéaire] catégorie \(\otimes\)- dont les \(\operatorname{Hom}\) sont des modules de type fini sur \(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\) (attention, pas [des modules] sur \(W\), même si \(k\) est parfait !). Ce n'est pas une […] catégorie tannakienne, même une fois tensorisée par \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), car il manque

67un \(\operatorname{Hom}\) interne. On dit qu'un \(F\)-cristal \(M\) est non dégénéré s'il existe un entier \(i \geq 0\) et un homomorphisme \(V : M \to M^{\sigma}\) tel que \(VF = p^{i}\). Soit \(\mathrm{FCris}^{\ddagger}(k)\) la catégorie […] déduite de la catégorie des […] \(F\)-cristaux non dégénérés en localisant par rapport à \(p\) ; c'est donc une sous-\(\otimes\)-catégorie de celle des \(F\)-cristaux à isogénie près. On l'appellera la catégorie des \(F\)-isocristaux effectifs, et on laissera tomber le qualificatif « iso » s'il n'y a pas de risque de confusion. Le \(F\)-isocristal de Tate inverse [\(K(-1)\)] est déduit du \(F\)-cristal défini par le cristal unité, avec \(F_{K(-1)} = p\cdot\mathrm{id}\) [\(W(-1)\)] (cet \(F\)-cristal est évidemment non dégénéré !). On voit alors que \(K(-1)\) est faiblement inversible, et on constate que lorsqu'on ajoute formellement à \(\mathrm{FCris}^{+}(k)\) […] un inverse \(K(1)\) de \(K(-1)\) alors on trouve une catégorie tannakienne sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), ayant un foncteur fibre évident sur \(K\) ; cette catégorie est notée \(\mathrm{FCriso}(k)\), et appelée catégorie des \(F\)-isocristaux (ou simplement, s'il n'y a pas pas de risque de confusion, des \(F\)-cristaux) sur \(k\). \(K(1)\) est le \(F\)-cristal de Tate, et on désigne par \(M \mapsto M(n)\) le foncteur de tensorisation par sa puissance tensorielle \(n\).ème. Si \(n = -m\), \(m \geq 0\), ce foncteur est induit par le foncteur sur les \(F\)-cristaux effectifs (sans isogénie) consistant à multiplier \(F\) par \(p^{m}\).

3. Lorsque \(k\) est parfait, désignant par \(\sigma\) l'automorphisme de Frobenius de \(W = W(k)\), la donnée d'un \(F\)-cristal revient à la donnée d'un module de type fini \(M\) sur \(W\) muni d'un homomorphisme \[ F_{M} : M^{\sigma} = M \otimes_{W} (W, \sigma) \longrightarrow M , \] et le \(F\)-cristal est non dégénéré sss l'homomorphisme précédent est une isogénie i.e. est de rang égal à rang \(M\), ou encore sss il induit un isomorphisme après tensorisation par \(K\). La catégorie \(\mathrm{FCris}^{+}(k)\) s'identifie alors à la catégorie des vectoriels de dimension finie

68\(E\) sur \(K\), munis d'un automorphisme \(\sigma\)-linéaire \(F_{E}\), qu'on a intérêt à interpréter comme un isomorphisme \(K\)-linéaire \[ F_{E} : E^{\sigma} = E \otimes_{K} (K, \sigma) \longrightarrow E . \] Les opérations tensorielles sont définies par transport de structure (cf. cas d'un groupe, ici \(\underline{\mathbb{Z}}\), opérant sur un corps …). Les \(F\)-isocristaux effectifs s'interprètent alors comme les \((E, F_{E})\) tels que \(F_{E}\) laisse invariant un réseau, ce qui signifie aussi que l'ensemble des itérés \(F_{E}^{n}\), \(n \geq 0\), est borné dans le vectoriel \(\operatorname{End}(E)\). Tout \((E, F_{E})\) devient [évidemment] effectif après multiplication de \(F_{E}\) par une puissance convenable de \(p\), ce qui est une autre façon de dire que la catégorie des \(F\)-isocristaux se déduit de celle des \(F\)-isocristaux effectifs par en rendant inversible \(K(-1)\).

4. La catégorie tannakienne \(\mathrm{FCriso}(k)\) est un invariant arithmétique intéressant attaché à \(k\) (fonctoriellement) ; sa […] connaissance équivaut à celle de la gerbe associée (sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)), soit \(\underline{G}(k)\). Parmi les structures supplémentaires qu'il convient d'étudier en même temps que cette gerbe, il faut inclure la structure d'effectivité de la catégorie \(\mathrm{FCriso}(k)\) dans ses représentations linéaires, celle de l'objet de Tate inverse (définissant un homomorphisme canonique de \(\underline{G}(k)\) vers la gerbe triviale de groupe \(\underline{G}_{m}\)), enfin pour \(k\) parfait tout au moins, la donnée du foncteur fibre naturel sur \(K(k)\) (qui est donc une section de la gerbe \(\underline{G}(k)\) sur \(K(k)\)) ; pour \(k\) non parfait, il conviendrait d'étudier de même la section de \(\underline{G}(k)\) sur le corps des fractions \(K\) de n'importe quel \(p\)-anneau \(W\) de corps résiduel \(k\).

L'intérêt de la notion de \(F\)-cristal non dégénéré provient du fait que l'on a un foncteur « cohomologie cristalline » \[ X \longmapsto H^{*}_{\mathrm{cris}}(X) \]

69allant de la catégorie des schémas propres et lisses sur \(k\) vers les \(F\)-cristaux gardués, […] [[…]] qui est additif (pour la somme des \(X\)) et compatible avec \(\otimes\) (le \(\otimes\) des schémas étant le produit cartésien) de façon compatible avec les associativités et commutativités (tant pour la somme que pour le produit), en faisant attention d'utiliser la règle de Koko pour la contrainte de commutativité. De plus, modulo des vérifications qui n'ont pas encore été faites par Berthelot, mais qui ne peuvent manquer de sortir prochainement, le foncteur précédent est même défini en prenant comme morphismes des correspondances algébriques à équivalence algébrique près, et s'en va vers les \(F\)-cristaux non dégénérés ; de façon précise, il doit être vrai que pour tout \(i\), il existe un \(V_{i} : \struck{\ill{}} H^{i} \to (H^{i})^{\sigma}\) tel que \(F V_{i} = p^{i}\,\mathrm{id}\), \(V_{i} F = p^{i}\,\mathrm{id}\). (C'est en tous cas vrai si \(X\) se remonte en car. \(0\)) Modulo cette vérification, on trouve donc un foncteur \[ H^{*}_{\mathrm{cris}} : \text{schémas propres lisses sur } k \longrightarrow \add{\mathrm{Grad}}\,(\mathrm{FCriso}^{+}(k)) , \] compatible à tout (un « foncteur cohomologique » dans la terminologie de l'exposé de Kleiman \([\ ]\)). Bien entendu, on a \(H^{2}_{\mathrm{cris}}(\mathbb{P}^{1}) = W(-1)\), plus généralement on devra avoir (quand Berthelot aura bien travaillé) \[ H^{2d}_{\mathrm{cris}}(X) \simeq W(-d) \] si \(X\) est géométriquement connexe et de dimension \(d\), (isomorphisme canonique, compatible à la multiplication …). En admettant le yoga des motifs (on a besoin ici de la structure graduée de la catégorie des motifs sur \(k\), pour pouvoir canuler par la règle de Koko la contrainte de commutativité naturelle sur les motifs, provenant de l'isomorphisme de commutativité \(X \times Y \simeq Y \times X\) sur les schémas …) on aura un homomorphisme de gerbes canonique \[ \prod(k)_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \longleftarrow \underline{G}(k) , \qquad \add{\text{associé au } \otimes\text{-foncteur } (\mathrm{Mot}(k) \longrightarrow \mathrm{FCriso}(k))} \] où \(\prod(k)\) est la gerbe associée à la catégorie tannakienne (sur \(\underline{\mathbb{Q}}\))

70des motifs [(iso) (semi-simples)] sur \(k\), et l'indice \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) désigne l'effet du changement de base par \(\underline{\mathbb{Q}} \to \underline{\mathbb{Q}}_{p}\). Cet homomorphisme est compatible à l'augmentation « de Tate » et aux structures d'effectivité. Modulo du travail à faire de Berthelot, pour \(k = \underline{\mathbb{F}}_{q}\) un corps fini à \(q\) éléments, la connaissance de l'image […] \(H^{*}(X)\) dans \(\mathrm{FCriso}(k)\) permet de calculer la fonction \(\zeta_{X}\) de \(X\), par la formule qu'on devine et que je me dispense d'écrire. (D'ailleurs, modulo les conjectures de Weil, la connaissance de la fonction \(\zeta_{X}\) permet, grâce à cette formule, de réconstituer \(H^{*}_{\mathrm{cris}}(X)\) à isomorphisme près dans \(\mathrm{FCriso}(k)\), du moins virtuellement (i.e. l'image de chaque \(H^{i}_{\mathrm{cris}}(X)\) dans l'anneau \(K(\mathrm{FCriso}(k))\)) si on ne désire pas admettre que […] les \(H^{i}\) sont nécessairement des éléments semi-simples de \(\mathrm{FCriso}(k)\) …)

5. \(F\)-cristaux de niveau pente nulle. On définira plus loin la pente d'un \(F\)-cristal « homogène ». Ici, nous allons introduire directement les \(F\)-cristaux de pente nulle. Pour ceci, pour tout faisceau \(p\)-adique constructible [\(V\)] sur \(k\) (correspondant donc à une représentation [opération] continue de \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) dans un module de type fini sur \(\underline{\mathbb{Z}}_{p}\)) on lui associe de façon évidente un \(F\)-cristal \(M\), noté parfois (par abus de notations) \[ M = V \otimes_{\underline{\mathbb{Z}}_{p}} W , \] (même s'il n'y a pas de \(W\) choisi, dans le cas \(k\) imparfait !). On aura :

Proposition 5.1. Le foncteur \(M \mapsto V \otimes_{\underline{\mathbb{Z}}_{p}} W\) est une équivalence de la catégorie des faisceaux \(p\)-adiques constructibles sur \(k\) vers la sous-catégorie pleine de la catégorie des \(F\)-cristaux sur sur \(k\), formée des \(F\)-cristaux \(M\) tels que \(F_{M} : M^{\sigma} \to M\) soit un isomorphisme.

Corollaire 5.1. Le foncteur précédent induit un foncteur pleinement fidèle (compatible avec les \(\otimes\)-structures) [\(i\)] de la catégorie des

71\(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles sur \(k\) vers la catégorie \(\mathrm{FCriso}(k)\). Pour un objet […] \((E, F_{E})\) de cette dernière, les conditions suivantes sont équivalentes [(si \(k\) parfait)] : a) \((E, F_{E})\) appartient à l'image essentielle du foncteur précédent ; b) il existe un réseau \(M \subset E\) stable par \(F_{E}\) et [et] par \(F_{E}^{-1}\) (i.e. tel que \(F_{E}\) induise un automorphisme de \(M\)) ; c) la famille des itérés \(F^{n}\), \(n \in \underline{\mathbb{Z}}\), est bornée ; d) \(E\) et \(\check{E}\) sont effectifs.

Les \(F\)-isocristaux en question sont appelés « trivaux » ou « de pente nulle ». On trouve ainsi un épimorphisme de gerbes \[ \underline{G}(k) \longrightarrow \underline{\Pi}_{p}(k) , \]

\(\Pi\) majuscule ?

où \(\underline{\Pi}_{p}(k)\) est la gerbe sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) […] associée à la catégorie tannakienne des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles, équivalente […] (une fois choisie une clôture algébrique \(\bar{k}\) de \(k\)) à la gerbe triviale définie par l'enveloppe algébrique du \(p\)-adique du groupe pro-fini \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\). Tenant compte de l'homomorphisme d'augmentation de Tate, on trouve même un homomorphisme \[ \underline{G}(k) \longrightarrow \underline{\Pi}_{p}(k) \times [\underline{G}_{m}]_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \] où \([\underline{G}_{m}]\) est la gerbe triviale définie par \(\underline{G}_{m}\). On vérifie facilement que c'est encore un épimorphisme (i.e. que le foncteur \[ (V_{i})_{c} \longmapsto \sum V_{i} \otimes \underline{\mathbb{Q}}_{p}(i) \] allant de la catégorie des […] \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles [gradués] sur \(k\) vers \(\mathrm{FCriso}(k)\) est pleinement fidèle). Les \(F\)-isocristaux de la forme précédente pourraient être appelés les \(F\)-isocristaux de niveau zéro.

6. Considérons maintenant un homomorphisme de corps […] \[ k \longrightarrow k' , \] d'où un homomorphisme de catégories tannakiennes sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) \[ \mathrm{FCriso}(k) \longrightarrow \mathrm{FCriso}(k') , \] et un homomorphisme de gerbes tannakiennes sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) en sens inverse

72\[ \underline{G}(k') \longrightarrow \underline{G}(k) . \] [(mod isomorphisme canonique)] Ce dernier rend commutatif le diagramme

\begin{tikzcd}[row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{G}(k) \arrow[r] \arrow[d] & \underline{G}(k') \arrow[d] \\
\underline{\Pi}(k') \times [\underline{G}_{m}]_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \arrow[r] & \underline{\Pi}_{p}(k) \times [\underline{G}_{m}]_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}}
\end{tikzcd}

(i.e. on a, sur les catégories tannakiennes […] correspondantes, un diagramme commutatif à isomorphisme [can.] près).

Oubliant dans ce dernier les facteurs \([\underline{G}_{m}]\), on voit donc que \(\underline{G}(k') \to \underline{G}(k)\) se factorise par la sous-catégorie gerbe de \(\underline{G}(k)\) correspondant au sous-groupe fermé de \(\pi_{1}(k)\) image de \(\pi_{1}(k')\) … A prouver :

Proposition 6.1. Si \(k'\) est une extension finie étale de \(k\), alors l'homomorphisme de gerbes \(\underline{G}(k') \to \underline{G}(k)\) est un monomorphisme dont l'image est exactement la sous-gerbe « ouverte » définie ci-dessus. En particulier, si \(k'\) est une extension finie galoisienne de \(k\), […] de groupe de Galois \(g\), et on une suite exacte canonique de gerbes \[ 0 \longrightarrow \underline{G}(k') \longrightarrow \underline{G}(k) \longrightarrow [g]_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \longrightarrow 0 . \]

Cet énoncé devrait être formellement équivalent au suivant : \(\operatorname{Spec}(k') \to \operatorname{Spec}(k)\) est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée des \(\mathrm{FCriso}(L)\) sur des composés finis [\(L\)] de corps de car. \(p\). La démonstration de ce dernier fait est \(\pm\) triviale.

Question 6.2. A-t-on encore un énoncé analogue lorsqu'on suppose que \(k'\) est une extension galoisienne de \(k\) qui peut-être infinie ? Le cas le plus intéressant serait celui où \(k'\) est la clôture séparable de \(k\), de sorte qu'on aurait un dévissage de \(\underline{G}(k)\) en \[ \add{(6.2.1)} \qquad 0 \longrightarrow \underline{G}(\bar{k}) \longrightarrow \underline{G}(k) \longrightarrow \underline{\Pi}_{p}(k) \longrightarrow 0 ; \] lorsque \(k\) est parfait i.e. \(\bar{k}\) alg. clos, nous verrons que \(\underline{G}(\bar{k})\) ne dépend pas essentiellement de \(k\). À

737. Nous verrons ci-dessus que la réponse à la question précédente est affirmative lorsque \(k\) est un corps fini, en particulier si c'est le corps premier \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\). On trouve alors, grâce à cette structure d'extension sur \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), un homomorphisme canonique de Gerbes (pour tout \(k\)) \[ \underline{G}(k) \simeq \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \times_{\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})} \underline{\Pi}_{p}(k) , \] et pour \(k\) parfait, une réponse affirmative à la question précédente revient à l'assertion que l'homomorphisme précédent est une équivalence de Gerbes. Comme on connait parfaitement bien la Gerbe \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) et son homomorphisme dans \(\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) (cf plus bas) cela donnerait donc la structure de \(\underline{G}(k)\) en termes de la connaissance de […] \(\underline{\Pi}_{p}(k)\) (connu quand on connait \(\pi_{1}(k) = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\)) et de l'homomorphisme \(\underline{\Pi}_{p}(k) \to \underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) (connu quand on connait \(\pi_{1}(k) \to \pi_{1}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \to \hat{Z}\)). Cela résoudrait donc la question de la structure de \(\underline{G}(k)\) pour \(k\) parfait. On notera que l'objet de Tate de \(\mathrm{FCriso}(k)\) provient de celui de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) et sera donc également déterminé. Le foncteur fibre canonique sur \(K\) [\(= K(k)\)] correspond alors à un foncteur fibre de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) sur \(K\), un foncteur fibre de […] [la catégorie des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constr. sur \(k\)] sur \(K\), et un isomorphisme entre les « restrictions » de ces foncteurs à la catégorie des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles sur \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\) ; or le premier foncteur n'est autre que [celui déduit par] l'extension des scalaires \(\underline{\mathbb{Q}}_{p} = K(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \to K = K(k)\) du foncteur fibre analogue sur \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), le deuxième est le foncteur \(V \mapsto V \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} K\), et l'isomorphisme […] entre les restrictions est l'isomorphisme canonique évident [(compatibilité de l'anneau de […] des corps de base)]. Donc la structure supplémentaire de \(\underline{G}(k)\) (savoir sa section sur canonique sur \(K\)) est déterminée par la connaissance de la section de \(\underline{\Pi}_{p}(k)\) sur \(K\) (i.e. le foncteur précédent \(V \mapsto V \otimes_{\underline{\mathbb{Q}}} K\)) et l'isomorphisme de l'image de ladite section dans \(\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) avec la section provenant de […] la section canonique de \(\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) ; ce sont là des données qui ne sont évidemment pas contenues dans celle du groupe

N.B. On a donc, en comparant le foncteur « fibre […] en \(\bar{k}\) » sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), et le foncteur précédent, un torseur canonique sur \(K\) de groupe de lien \(\underline{\Pi}_{p}(k)_{K}\) […]

74pro-fini « abstrait » \(\pi_{1}(k)\), mais on se convainc facilement qu'elles sont contenues dans la donnée de ce groupe, \(+\) son opération sur la clôture algébrique \(\bar{K}\) de \(K\) (ou simplement, sur sa clôture non ramifiée sur \(W\) …). \(-\) Il resterait enfin à déterminer la structure d'effectivité dans la catégorie \(\mathrm{FCriso}(k)\) définie par la récette précédente [[…]] […] Or il est immédiat que l'effectivité d'un \(F\)-isocristal est invariante par changement de base, en particulier par le changement de base \(k \to \bar{k}\), ce qui ramène au cas d'un \(k\) algébriquement clos, ou encore au cas de \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\). Dans les termes de la terminologie introduite plus bas, on trouvera donc que les \(F\)-isocristaux effectifs sont ceux qui sont à pente \(\geq 0\) (i.e. dont toutes les composantes isopentiques […] non nulles sont de pente \(> 0\)).

On a un hom. (une fois choisi \(\bar{k}\), d'où une trivialisation de lien \(\underline{\Pi}_{p}(k)\)) \(\pi_{1}(k)_{K} \to G'(K)\), d'où un foncteur (torseurs sous \(\pi_{1}(k)_{K}\)) \(\to\) torseurs sous \(G'\), et on prend l'image d'un torseur sous \(\pi_{1}(k)_{K}\), défini par […], interprété en \(\pi_{1}(k)\) comme […] de l'extension […] non ramifiée […] de \(k\).

8. Il reste donc à étudier la gerbe \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), avec sa […] […] section canonique sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), sa structure d'extension, et sa structure d'effectivité. [d.1.] Tout d'abord, la donnée du foncteur fibre canonique permet d'identifier \(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) à la gerbe triviale définie par le lien \(\underline{G}\) de cette gerbe. Comme \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) avec son foncteur fibre s'identifie à la catégorie des automorphismes [\(F_{E}\)] de vectoriels de dimension finie [\(E\)] sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), avec le foncteur « oubli de \(F_{E}\) », on voit que le lien de la gerbe est l'enveloppe \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-[pro]algébrique du groupe discret \(\underline{\mathbb{Z}}\). Soit \(G\) ce groupe affine sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\). Il est évidemment commutatif, donc produit d'un groupe vectoriel \(G_{u}\) par un groupe de t.m. \(G_{r}\). Ce dernier est l'enveloppe [de type] multiplicative du groupe \(\underline{\mathbb{Z}}\), et il s'ensuit aussitôt que c'est le groupe de t.m. dont le groupe des caractères sur \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}\) est donné par \[ \Gamma = \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}_{p} , \] (isomorphisme compatible avec l'action de \(\operatorname{Gal}(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}/\underline{\mathbb{Q}}_{p})\)). D'autre

75une fois choisi une clôture de \(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}\) part, la gerbe \(\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), grâce au […] foncteur fibre évident « fibre en \(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}\) » sur la catégorie des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles sur \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\), s'identifie à la […] [gerbe triviale définie] par l'enveloppe \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-algébrique du groupe profini \(\pi_{1}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) = \hat{Z}\), […]

Un faisceau constructible sur \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\) s'identifie à un vectoriel de dimension finie \(E\) sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\), muni d'un automorphisme \(F_{E}\) tel que l'[…] opération \(n \mapsto F_{E}^{n}\) de \(\underline{\mathbb{Z}}\) sur \(E\) se prolonge par continuité en une opération de \(\hat{Z}\). Identifiant [(par un foncteur \(q\), distinct de celui de d.2.)] la catégorie de ces \((E, F_{E})\) à une sous-catégorie pleine de la catégorie […] \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{Q}}_{p})\) des couples \((E, F_{E})\), où \(F_{E}\) est un automorphisme quelconque, on voit que le lien […] \(\underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) de cette catégorie s'identifie à un quotient du lien \(G\) de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) déterminé plus haut, et on voit aussitôt que ce quotient est de la forme \(G_{u} \times G'_{r}\), où \(G'_{r}\) est le [\(G'\) de] quotient de \(G_{r}\) (ceci revient à dire que si on décompose \(F_{E}\) en produit de sa composante unipotente par sa composante semi-simple, alors la condition que \(F_{E}\) définisse une opération de \(\hat{Z}\) ne dépend que de la composante semi-simple) ; de façon précise, \(G'_{r}\) est le groupe quotient de \(G_{r}\) défini par le sous-groupe du groupe des caractères \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}_{p}\) de \(G_{r}\) formé des unités \(p\)-adiques : cela signifie en effet que \(F_{E}\) définit une opération de \(\hat{Z}\) (i.e. définit un \(F\)-isocristal de pente nulle) sss les valeurs propres de \(F_{E}\) sont des unités, ce qui résulte en effet aussitôt du critère donné plus haut des \(F\)-isocristaux de pente nulle (ou se vérifie directement de façon immédiate ; la référence au résultat sur les fourbis de pente nulle devrait se justifier par un grain de sel, car l'inclusion utilisée ici des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles sur \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\) dans les \(F\)-isocristaux n'est pas celle utilisée plus haut [dans d.2], cf. plus bas). On trouve ainsi une structure d'extension sur \(G \add{=} \operatorname{Lien}(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p}))\) : \[ 0 \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow G' \longrightarrow 0 , \] où \(H\) est le groupe de t.m. dont le groupe des caractères est le

76quotient de \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}\) par le sous-groupe des unités, donc canoniquement isomorphe à \(\underline{\mathbb{Q}}\), par l'isomorphisme \[ \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}/\text{unités} \longrightarrow \underline{\mathbb{Q}} \] donnés par la valuation \(p\)-adique \(v_{p}\), normalisée par la condition \[ v_{p}(p) = 1 . \] L'opération de […] \(\operatorname{Gal}(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}/\underline{\mathbb{Q}}_{p})\) sur ce groupe quotient \(Q\) est triviale, de sorte que \(H\) est diagonalisable de groupe des caractères \(\underline{\mathbb{Q}}\) : \[ H = D(\underline{\mathbb{Q}}) . \] L'augmentation de Tate de \(G\) correspond à l'homomorphisme \[ \underline{\mathbb{Z}} \longrightarrow \bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*} , \qquad 1 \longmapsto p , \] et l'augmentation induite sur \(H\) correspond à l'inclusion canonique \[ \underline{\mathbb{Z}} \hookrightarrow \underline{\mathbb{Q}} \] (grâce à notre choix de la valuation normalisée comme indiqué).

8.2. Il faut maintenant expliciter l'homomorphisme de gerbes \[ \add{(8.2.1)} \qquad i : \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \longrightarrow \underline{\Pi}_{p}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \] correspondant à l'inclusion \[ i : \underline{\mathbb{Q}}_{p}\text{-faisceaux constructibles} \hookrightarrow \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \] de 5.2. On a vu que l'image essentielle est exactement égale à la sous-catégorie [pleine] (\(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles), […] de sorte que \(i\) s'identifie à une […] \(\otimes\)-équivalence de la catégorie des \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles avec elle-même. On constate alors que l'homomorphisme correspondant sur les liens […] \(G' \to G'\) est l'identité, […] de sorte que \(i\) est défini par un torseur sous \(G'\), et que ce torseur sous \(G'\) peut se décrire ainsi (aurait pu passer à la fin de 7, dans le cas d'un \(k\) quelconque …). On a un homomorphisme canonique \[ \add{(8.2.2)} \qquad \pi_{1}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) = \hat{Z} \longrightarrow G'(\underline{\mathbb{Q}}_{p}) , \qquad \text{i.e.}\quad (\pi_{1}(\underline{\mathbb{F}}_{p}))_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \longrightarrow G' \] d'où un homomorphi foncteur \[ \text{torseurs sous } (\hat{Z})_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} \longrightarrow \text{torseurs sous } G' \]

77d'autre part, on a un torseur évident \(P_{o}\) sur \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) de groupe \((\hat{Z})\), correspondant à l'extension non ramifiée maximale de \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\) ; on prend l'image [\(P\)] de ce torseur : c'est lui.

8.3. Soit \(\underline{H}\) la gerbe noyau de (8.2.1), qui a donc comme lien le groupe diagonalisable \(H\) de 8.1. D'après le sorite général la classe \[ \xi \in H^{2}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}, \struck{\ill{}}\ H) = \operatorname{Hom}(\underline{\mathbb{Q}}, \mathrm{Br}(\underline{\mathbb{Q}}_{p})) = \operatorname{Hom}(\underline{\mathbb{Q}}, \underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}}) \] de cette gerbe est donnée par \[ \xi = \partial(\eta) \] où \[ \eta \in H^{1}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}, G') \] est la classe du torseur \(P\). Pour faire le calcul, notons qu'on a un [quotient] sous-groupe \(H'\) de \(G_{r}\), correspondant au sous-groupe de \(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}^{*}_{p}\) formé engendré par les racines de l'unité (= éléments de torsion) et toutes les racines de \(p\), \(p^{1/n}\) (ce groupe est bien invariant par \(\operatorname{Gal}(\bar{\underline{\mathbb{Q}}}_{p}/\underline{\mathbb{Q}}_{p})\)). On a alors un homomorphisme d'extensions \[ \begin{array}{ccccccccc} 0 &\longrightarrow& H &\longrightarrow& G &\longrightarrow& G' &\longrightarrow& 0 \\ && \big\| && \downarrow && \downarrow && \\ 0 &\longrightarrow& H &\longrightarrow& H' &\longrightarrow& (\hat{\underline{\mathbb{Z}}})_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}} &\longrightarrow& 0 , \end{array} \] qui montre qu'on […] a \[ \xi = \partial(\eta_{o}) , \] où \[ \eta_{o} \in H^{1}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}, \hat{\underline{\mathbb{Z}}}) \] est l'image de \(\eta\) par \(G' \to \hat{\underline{\mathbb{Z}}}\). On constate que le composé de (8.2.2) avec l'homomorphisme précédent est l'identité de \(\hat{\underline{\mathbb{Z}}}\), donc \(\eta_{o}\) est la classe du torseur canonique \(P_{o}\) de la fin de 8.2. À l'aide de ceci, il faut vérifier que la classe \(\xi\) correspond (par l'isomorphisme \[ \mathrm{Br}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}) \simeq \underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}} \] du corps de classe local, à l'homomorphisme canonique \(\underline{\mathbb{Q}} \to \underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}}\)

N.B. Ce diagramme est induit par un diagramme de gerbes (valable pour un corps \(k\) parfait quelconque) où \(\underline{H}'\) = gerbe correspondant à la sous-catégorie de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\) formée des objets qui deviennent isomorphes par une extension finie \(k'\) de \(k = \underline{\mathbb{F}}_{p}\) : une somme d'objets \(E_{r,s}\) ; et \(\underline{H}\) s'identifie à la gerbe des relèvements de \(P_{o}\), pour l'homom. \(j : \underline{H}' \to [\underline{\mathbb{Z}}]\) associé ; \(\gamma : \underline{H}' \to (\hat{\underline{\mathbb{Z}}})_{\underline{\mathbb{Q}}_{p}}\) …

78de passage au quotient (sauf erreur de signe, car je n'ai nulle part fait attention aux signes).

8.4. Considérons maintenant l'homomorphisme \[ (8.4.1) \qquad \underline{G}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}) \longrightarrow \underline{G}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) . \] Il est clair qu'il se factorise par \(\underline{H}\) (i.e. que le composé \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)-faisceaux constructibles sur \(\underline{\mathbb{F}}_{p} \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \longrightarrow \mathrm{FCriso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})\) s'envoie dans les objets « constants » …), d'où un homomorphisme \[ (8.4.2) \qquad \underline{G}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}) \longrightarrow \underline{H} . \] Par Dieudonné-Manin, on connait la structure des objets de \(\mathrm{FCriso}(\bar{k})\) pour \(\bar{k}\) algébriquement clos, on sait que ces objets sont semi-simples et proviennent (mod isomorphisme) d'objets de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\). Cela implique que (8.4.1), donc aussi (8.4.2), est un monomorphisme de gerbes. Pour montrer que c'est une équivalence, il suffit de montrer qu'un objet simple non constant de […] \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) donne un objet non constant de \(\operatorname{Rep}(\underline{G}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})) \simeq \mathrm{FCriso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})\). Or les classes d'objets simples de \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) sont indexées par les éléments de \(\underline{\mathbb{Q}}\), et si on considère l'objet simple de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p}) \simeq \operatorname{Rep}(\underline{G}(\underline{\mathbb{F}}^{*}_{p}))\) défini par \((E, F_{E})\), avec \(F_{E}\) ayant comme polynôme minimal \(T^{r} - p^{s}\) avec \(r, s \in \underline{\mathbb{Z}}\), \(r \geq 1\), \((r,s) = 1\), alors sa restriction à \(\underline{H}\) donne un objet simple […] (car il reste simple dans \(\mathrm{FCriso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})\)) de classe \(s/r \in \underline{\mathbb{Q}}\), et celui-ci, d'après la classification de Dieudonné-Manin, […] a une image dans \(\mathrm{Fc\,iso}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p})\) qui n'est pas constante si \(r \neq 0\) …

8.5. On a donc déterminé résolu par l'affirmative, pour \(k = \underline{\mathbb{F}}_{p}\), la question 6.2, en déterminant en même temps (à équivalence définie à isomorphisme unique près) la gerbe \(\underline{G}(\bar{k})\) associée à une clôture algébrique \(\bar{k}\) de \(k = \underline{\mathbb{F}}_{p}\) ; […] elle ne dépend pas (à […] équivalence déterminée à isomorphisme unique près) du choix de la clôture algébrique envisagée \(\bar{k}\), et par Dieudonné-Manin est can. équi-

79valente à \(\underline{G}(\gamma)\) pour tout corps alg. clos \(\gamma\) de car. \(p > 0\) (de façon précise, si \(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}\) est la clôture algébrique de \(\underline{\mathbb{F}}_{p}\) dans \(\gamma\), l'inclusion de celle-ci dans \(\gamma\) induit une équivalence de gerbes \[ \underline{G}(\gamma) \approx \underline{G}(\bar{\underline{\mathbb{F}}}_{p}) \add{\simeq \underline{H}} \quad ). \]

8.6. Etude de \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\). Nous avons dit que les classes d'objets simples sont en correspondance biunivoque avec les éléments de \(\underline{\mathbb{Q}}\) ; l'élément de \(\underline{\mathbb{Q}}\) correspondant à un objet isotypique est dit la pente de cet élément. Nous avons vu que l'objet de \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) défini par l'objet \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}[T]/(T^{r} - p^{s})\) de \(\mathrm{FCriso}(\underline{\mathbb{F}}_{p})\), muni de la multiplication par \(T\), est simple de pente \(s/r\) (\(s, r \in \underline{\mathbb{Z}}\), \(r \geq 1\), \((s,r) = 1\)), de sorte que nous obtenons ainsi un catalogue complet des objets simples \(E_{r,s}\). Bien entendu, \(E_{r,s}\) est de rang \(r\), d'autre part son corps des endomorphismes est un corps gauche [\(K_{r,s}\)] dont la classe dans \(\mathrm{Br}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}) = \underline{\mathbb{Q}}/\underline{\mathbb{Z}}\) est \(s/r \bmod 1\), d'après ce qu'on a vu dans 8.3. \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) est limite inductive des sous-catégories pleines \(\operatorname{Rep}(\underline{H}, r)\), \(r \geq 1\), où \((H,r)\) est le quotient de la gerbe \(\underline{H}\) correspond au quotient \((H,r) \approx \underline{G}_{m}\) de son lien, tel que l'homomorphisme de Tate […] induise un homomorphisme \((H,r) \xrightarrow{\ ?\ } \underline{G}_{m}\) s'identifiant à \(x \mapsto x^{r}\) : [\(F\)-isocristaux (sur \(\bar{k}\)) de pente multiple de \(1/r\).] Donc \((H,r)\) […] est la gerbe de lien \(\underline{G}_{m}\), ayant comme classe dans \(\mathrm{Br}(\underline{\mathbb{Q}}_{p})\) le générateur canonique \(1/r \bmod \underline{\mathbb{Z}}\) de \(_{r}\mathrm{Br}(\underline{\mathbb{Q}}_{p}) \simeq \underline{\mathbb{Z}}/r\underline{\mathbb{Z}}\). C'est aussi, plus canoniquement, « la » gerbe définie par le corps gauche \(K_{r,1}\) plus haut, mais

Notation \(E_{s/r}\) pour \(E_{r,s}\) indiquée, donc \(E_{\lambda} \otimes E_{\lambda'} \simeq E_{\lambda\lambda'}^{n(\lambda,\lambda')}\) pour \(\lambda, \lambda' \in \underline{\mathbb{Q}}\). Dans le membre de droite, l'indice se lit \(\lambda\lambda'\) sur la page ; la somme \(\lambda + \lambda'\) que le contexte appellerait n'est pas écrite, et on laisse comme il est.

[[]Exercice amusant, que je n'ai pas fait : la structure additive de \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) étant entièrement décrite par la collection des \(K_{r,s}\), expliciter sa \(\otimes\)-structure … i.e. écrire les « relations canoniques » en termes de produits tensoriels entre les \(E_{r,s}\). Autre exercice suggéré : trouver « canoniquement » une description des modules de Dieudonné des réduits des groupes de Lubin-Tate en termes des \(E_{r,s}\) (en particulier, les Lubin-Tate associés aux extensions non ramifiées

80de \(\underline{\mathbb{Q}}_{p}\)) qui sont donc isomorphes [« géométriquement » i.e. dans \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\),] (mais sans doute non canoniquement) aux \(E_{r,1}\) pour \(r \geq 1\) : ils donnent des modules libres de rang \(1\) canoniques sous les \(K_{r,1}\) …[]]

9. Pour \(k\) quelconque, on trouve un […] \(\otimes\)-homomorphisme canonique […] défini à isomorphisme unique près (on utilise un choix d'une clôture algébrique \(\bar{k}\) de \(k\), mais ce choix est inessentiel …) \[ \mathrm{FCriso}(k) \longrightarrow \operatorname{Rep}(\underline{H}) \] ou encore un homomorphisme de gerbes \[ \underline{H} \longrightarrow \underline{G}(k) \] (rappelons que cet homomorphisme se factorise par le noyau, […] soit […] \(\underline{H}(k)\), de \(\underline{G}(k) \to \underline{\Pi}_{p}(k)\), et que pour \(k\) parfait on devine que l'homomorphisme obtenu \(\underline{H} \to \underline{H}(k)\) est une équivalence …). Si \(\lambda \in \underline{\mathbb{Q}}\), un \(F\)-isocristal sur \(k\) est dit […] de pente \(\lambda\) si son image dans \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) est de pente \(\lambda\). On voit alors aussitôt qu'un \(F\)-isocristal est de pente zéro sss il est « trivial » i.e. satisfait aux conditions de 5.2 (ce qui justifie la terminologie qui est introduite, un peu prématurément, à cet endroit), il est effectif sss son image dans \(\operatorname{Rep}(H)\) l'est, i.e. est à pente \(\geq 0\).

Considérons l'homomorphisme de liens associé \[ H \longrightarrow G(k) , \] on trouve alors que si \(k\) est parfait, l'homomorphisme précédent est central, en d'autres termes \(H\) opère sur le foncteur identique de \(\mathrm{FCriso}(k) \to \operatorname{Rep}(\underline{G}(k))\), de sorte que tout \(F\)-isocristal [\((E, F_{E})\)] se décompose en ses « composantes isopentiques » \(E_{\lambda}\), \(\lambda \in \underline{\mathbb{Q}}\). \(E\) est « trivial » resp. effectif sss \(E_{\lambda} = 0\) pour \(\lambda \neq 0\) (resp. \(\lambda < 0\)).

Notons que le [\(F\)-iso]cristal de Tate \(K(1)\) est de pente \(-1\). Donc (pour \(k\) parfait) tout \(F\)-isocristal se met de façon unique sous la forme \[ E = \sum_{i \in \underline{\mathbb{Z}}} E_{i}(-i) , \] où \(E_{i}\) est à composantes isopentiques de pente \(0 \leq i < 1\). D'ailleurs, Le tapuscrit s'interrompt là, en bas de la dernière page du lot.