Cote n° 10, pages 41–60

Cote n° 10 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

Préschémas en groupes affines (pages 41 à 57)

Suite du tapuscrit ouvert page 32 et interrompu au bas de la page 40 : même machine, même papier, mêmes corrections à la main (crayon et encre bleue). La page 41 achève le n^o 10.16 commencé au lot précédent ; la page 42 ouvre un paragraphe nouveau, « 11. — Préschémas en groupes affines », qui court jusqu'à la page 57. Dans tout ce paragraphe \(\mathcal{A}(X) = f_{*}(\mathcal{O}_{X})\), \(\mathbb{V}\) et \(\mathbb{W}\) sont les foncteurs en modules attachés à un Module quasi-cohérent, \(\mathcal{H}om\) le foncteur des morphismes de \(S\)-foncteurs, et \(\mathrm{S}(\mathcal{F})\) l'Algèbre symétrique ; les lettres rondes de la machine sont rendues par les rondes correspondantes. Ses insertions sont données entre crochets, ses suppressions barrées, ses notes marginales en retrait. La machine écorche « biunivoque » à plusieurs reprises et la main le rétablit chaque fois ; ces corrections ne sont pas relevées une à une.

41Fin du n^o 10.16, dont l'énoncé commence au bas de la page 40 : « … soient \(j \in I\), \(G_{j}\) un \(S_{j}\)-grou- ».

pe de présentation finie, \(H_{j}\) un \(S_{j}\)-préschéma de présentation finie à groupe d'opérateurs \(G_{j}\). Pour que \(H = H_{j} \times_{S_{j}} S\) soit un \(S\)-préschéma en espaces homogènes sous […] \(G\) (resp. un fibré principal homogène sous […] \(G\)) pour la topologie fidèlement plate localement de présentation finie, il faut et il suffit qu'il existe un indice \(i \in I\), \(i \geqslant j\), tel que \(H_{i} = H_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) soit un \(S_{i}\)-préschéma en espaces homogènes sous […] \(G_{i}\) (resp. un fibré principal homogène sous \(G_{i}\)).

\(G = G_{j} \times_{S_{j}} S\) ; \(G_{i} = G_{j} \times_{S_{j}} S_{i}\) Les deux définitions marginales sont de sa main, accolées chacune à la ligne où le symbole tapé a été biffé.

Compte tenu de (10.14) et de (EGA IV 8.8.2, 8.8.3 et 8.10.5), […] l'énoncé résulte de la propriété concernant les morphismes […][couvrants] pour la topologie fppf rappelée en (10.0).

4211. — Préschémas en groupes affines.

11.0. — Notations : soient \(S\) un préschéma, \(X\) un \(S\)-préschéma, \(f : X \to S\) le morphisme structural ; on pose \(\mathcal{A}(X) = f_{*}(\mathcal{O}_{X})\).

Lemme 11.1. — Soient \(X\) et \(Y\) deux \(S\)-préschémas quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) les morphismes structuraux. Alors l'homomorphisme canonique \[ \varphi : \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{A}(Y) \longrightarrow \mathcal{A}(X \times_{S} Y) \] est un isomorphisme dans chacun des cas suivants :

a)\(f\) et \(g\) sont affines
b)\(f\) ou \(g\) est plat et affine
c)\(g\) est plat et \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) est un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module plat.

fausse formule \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) Deux notes de sa main, chacune entourée, en regard de la formule et de la condition c). La première met en cause la formule affichée ; le premier mot n'est pas assuré.

Dans le cas b), on peut supposer que c'est \(g\) qui est plat et affine. Posons \(S' = \operatorname{Spec} \mathcal{A}(X)\), \(Y' = Y \times_{S} S'\), \(g' = g \times_{S} S'\) et notons \(v\) le morphisme \(S' \to S\). Alors \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\), et, ou bien \(S'\) est plat sur \(S\) (cas c) d'après (EGA III (1.4.15.5)), ou bien \(g\) est affine (cas a) et b)). Alors (EGA III 1.4.15 et IV 1.2.7 ou II 1.5.2), on a : \[ g'_{*}(\mathcal{O}_{Y'}) = v^{*} g_{*}(\mathcal{O}_{Y}) = \mathcal{A}(Y) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{S'} . \]

D'après (EGA II 1.2.7), \(f\) se factorise à travers \(v\) au moyen d'un morphisme \(p : G \to S'\), et on a : \(X \times_{S} Y = X \times_{S'} Y'\) et \(p_{*}(\mathcal{O}_{X}) = \mathcal{O}_{S'}\). Puisque \(v\) et \(f\) sont quasi-compacts et quasi-séparés, […] il en est de même de \(p\) (EGA IV 1.2.2 et 1.2.4). [Ou] bien \(Y\) est plat sur \(S\) (cas b) et c)) et alors \(Y'\) est plat sur \(S'\), ou bien \(X\) est affine sur \(S\) (cas a)), et alors \(p\) est un isomorphisme. Dans le premier cas, on peut de nouveau appliquer (EGA III 1.4.15 et IV 1.2.7), et dans les deux cas, on trouve : […] \[ p'_{*}(\mathcal{O}_{X \times_{S} Y}) = g'^{*} p_{*}(\mathcal{O}_{X}) = g'^{*}(\mathcal{O}_{S'}) = \mathcal{O}_{Y'} , \] [où \(p' = p \times_{S'} Y'\).] Le morphisme est tapé \(p : G \to S'\) ; c'est \(X\) que l'argument demande. La définition de \(p'\) est ajoutée de sa main en bout de ligne.

D'où : \[ \mathcal{A}(X \times_{S} Y) = v_{*} g'_{*} p'_{*}(\mathcal{O}_{X \times_{S} Y}) = v_{*} g'_{*}(\mathcal{O}_{Y'}) = v_{*}(\mathcal{A}(Y) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{S'}) = \mathcal{A}(Y) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{A}(X) \] d'après (EGA II 1.4.7).

Corollaire 11.2. — On définit un foncteur \(X \rightsquigarrow \operatorname{Spec} \mathcal{A}(X)\) de la sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Sch}_{/S}\) des \(X\)-préschémas plats quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\) tels que \(\mathcal{A}(X)\) soit un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module plat, dans celle des \(S\)-préschémas plats et affines sur \(S\). Ce foncteur commute aux produits finis, donc transforme \(S\)-groupes en \(S\)-groupes. « des \(X\)-préschémas » est tapé ainsi, pour « des \(S\)-préschémas ».

43Définition 11.3. — Etant donné un \(S\)-groupe \(G\) plat, quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\), tel que \(\mathcal{A}(G)\) soit plat sur \(\mathcal{O}_{S}\), nous noterons \(G_{\mathrm{af}}\), et nous appellerons enveloppe affine de \(G\) le \(S\)-groupe \(G_{\mathrm{af}} = \operatorname{Spec} \mathcal{A}(G)\).

11.4. — Etant donnés deux \(\mathcal{O}_{S}\)-Modules \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\) quasi-cohérents, notons \(\mathcal{H}om_{S}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) le \(S\)-foncteur des morphismes de \(S\)-foncteurs de \(\mathbb{V}(\mathcal{F})\) dans \(\mathbb{V}(\mathcal{E})\), et \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) le sous-\(S\)-foncteur de \(\mathcal{H}om_{S}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) formé des \(\mathcal{O}_{S}\)-homomorphismes de \(\mathcal{O}_{S}\)-foncteurs en modules (cf. Exp. I). Alors \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))(T)\) est en correspondance biunivoque canonique avec […] \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}\text{-Mod.}} (\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{T}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{T})\), [i.e. \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E})) \simeq \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{W}(\mathcal{E}), \mathbb{W}(\mathcal{F}))\).]

Soit \(X\) un \(S\)-préschéma. Alors l'ensemble des morphismes de \(S\)-foncteurs de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{S}(\)[…]\(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) est en correspondance biunivoque avec \(\operatorname{Hom}_{S}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\), donc l'ensemble des morphismes de \(S\)-foncteurs de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) est en correspondance biunivoque avec un sous-ensemble de \(\operatorname{Hom}_{S}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E})) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}\text{-Mod.}} (\mathcal{E}, \mathcal{A}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F})))\) (EGA II 1.7.13).

Proposition 11.5. — Soient \(X\) un \(S\)-préschéma quasi-compact quasi-séparé sur \(S\), \(f : X \to S\) le morphisme structural, \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\) deux \(\mathcal{O}_{S}\)-Modules quasi-cohérents. On suppose vérifiée l'une des deux conditions suivantes :

a)\(f\) est affine
b)\(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S}\).

Alors :

i)l'homomorphisme canonique \(\varphi : \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{A}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F}))\) est un isomorphisme (où \(\mathrm{S}(\mathcal{F})\) désigne l'Algèbre symétrique de \(\mathcal{F}\)).
ii)l'ensemble des morphismes de \(S\)-foncteurs de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) est en correspondance biunivoque avec \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}\text{-Mod.}} (\mathcal{E}, \mathcal{A}(X) \otimes \mathcal{F})\).

\(S\) Une lettre \(S\) entourée, de sa main, en regard de i) — l'Algèbre symétrique, que la machine note d'une \(S\) ronde.

Pour montrer i), d'après (11.1, a) et b)), il suffit de montrer que si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S}\), […] alors \(\mathbb{V}(\mathcal{F})\) est plat sur \(S\). D'après (EGA III 1.4.15.5),

44il suffit de voir que si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{S}\), [il en est de même de \(\mathrm{S}(\mathcal{F})\),] ce qui résulte des définitions (EGA II 1.7.1), compte tenu d'[est un corollaire d']un resultat dû à Daniel Lazard, suivant lequel toute limite inductive de modules plats est un module plat [sur un anneau est une limite inductive filtrante de modules libres de type fini.] La correction rétablit le théorème de Lazard dans sa forme exacte : la machine avait tapé « toute limite inductive de modules plats est un module plat ».

Remarquons de plus que \(\mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}\mathcal{F} = \mathrm{S}(\mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{F})\) d'après (EGA II 1.1.2), ce qui montre que l'homomorphisme canonique \(\mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{F} \to \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}\mathcal{F}\) est injectif. Ces deux lignes sont biffées par une suite de diagonales et closes d'une croix.

Montrons maintenant ii). Soit \(\alpha\) un morphisme de \(S\)-foncteurs de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}),\) \(\mathbb{V}(\mathcal{E}))\) ; il lui correspond un homomorphisme \(\rho\) de \(\mathcal{O}_{S}\)-Modules de \(\mathcal{E}\) dans \(\mathcal{A}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F})) = \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}(\mathcal{F})\) tel que si \(\rho\) est une \(S\)-section de \(X\), l'homomorphisme \[ (\mathcal{A}(\eta) \otimes \mathrm{id}_{\mathrm{S}\mathcal{F}}) \circ \rho : \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{O}_{S} \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}\mathcal{F} = \mathrm{S}\mathcal{F} \] corresponde à \(\alpha(\eta)\).

\(\eta = ?\) Note de sa main, à l'encre bleue et entourée, en regard de cette ligne : la \(S\)-section est tapée \(\rho\), alors que c'est \(\eta\) qu'elle doit être — \(\rho\) désigne déjà l'homomorphisme.

Mais puisque \(\alpha(\eta) \in{}\) […] \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))(S)\), \(\mathcal{A}(\eta) \otimes \mathrm{id}_{\mathrm{S}\mathcal{F}}\) se factorise à travers l'homomorphisme canonique injectif \(\mathcal{F} \to \mathrm{S}\mathcal{F}\). On a donc, pour chaque \(S\)-section \(\eta\) de \(X\), un diagramme commutatif :

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{E} \arrow[r, "\rho"] \arrow[d] &
  \mathcal{A}(X) \otimes \mathrm{S}\mathcal{F} \arrow[d]
  \arrow[dl, "\mathcal{A}(\eta) \otimes \mathrm{id}"] \\
\mathrm{S}\mathcal{F} & \mathcal{F} \arrow[l]
\end{tikzcd}

Le diagramme est tracé à la main dans l'intervalle laissé par la machine.

ce qui montre que \(\rho\) se factorise à travers l'homomorphisme canonique injectif \(\mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathrm{S}\mathcal{F}\), donc \(\rho\) peut être considéré comme un homomorphisme de \(\mathcal{O}_{S}\)-Modules de \(\mathcal{E}\) dans \(\mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{F}\).

Réciproquement, soit \(\rho \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}\text{-Mod.}} (\mathcal{E}, \mathcal{A}(X) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{F}) \subset \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}\text{-Mod}} (\mathcal{E}, \mathcal{A}(X \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{F})))\) ; il lui correspond un morphisme \(\alpha\) de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{S}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\). Pour tout \(S\)-préschéma \(T\) et toute \(T\)-section \(\eta\) de \(X \times_{S} T\), \(\alpha(\eta)\) correspond à \(\mathcal{A}(\eta) \otimes \mathrm{id}_{\mathrm{S}\mathcal{F} \otimes \mathcal{O}_{T}}\), homomorphisme de \(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{T}\) dans \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{O}_{T}\), donc \(\alpha(\eta) \in \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))(T)\), ce qui montre que \(\alpha\) est un morphisme de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{E}), \mathbb{V}(\mathcal{F}))\), ce qui prouve ii). Le dernier \(\mathcal{H}om\) est tapé avec ses deux arguments intervertis.

[…] Les trois dernières lignes de la page — l'énoncé d'un résultat sur un \(S\)-groupe plat quasi-compact et quasi-séparé, un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent et plat, et des applications — sont annulées à la machine lettre par lettre, puis barrées d'un long trait ; elles ne sont plus lisibles.

4511.6. — Soient \(G\) un \(S\)-groupe plat quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\), tel que \(\mathcal{A}(G)\) soit un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module plat \(\mathcal{A}\), et \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent et plat. Nous dirons qu'[Notons qu']un morphisme de \(S\)-foncteurs de \(G\) dans [\(\operatorname{End}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{W}(\mathcal{E}))\)] […] \(\simeq \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}}(\mathbb{V}(\mathcal{E}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) définit une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}\), si [et seulement si] le morphisme correspondant \(\theta : G \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathbb{V}(\mathcal{E})\) vérifie les deux conditions suivantes :

1^o) si \(\mu : G \times_{S} G \longrightarrow G\) désigne le morphisme structural, le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
G \times_{S} G \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E})
  \arrow[r, "\mathrm{id}_{G} \times \theta"]
  \arrow[d, "\mu \times \mathrm{id}_{\mathbb{V}(\mathcal{E})}"'] &
G \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E}) \arrow[d, "\theta"] \\
G \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E}) \arrow[r, "\theta"'] &
\mathbb{V}(\mathcal{E})
\end{tikzcd}

est commutatif.

2^o) si \(\varepsilon : S \to G\) est la section unité de \(G\), le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E})
  \arrow[rr, "\varepsilon \times \mathrm{id}_{\mathbb{V}(\mathcal{E})}"] & &
G \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E}) \arrow[dl, "\theta"] \\
 & \mathbb{V}(\mathcal{E}) \arrow[ul, "\simeq"] &
\end{tikzcd}

est commutatif.

Il revient au même de dire que le morphisme \(\rho :\) [\(\mathcal{E} \to\)] \(\mathcal{A}(G) \otimes_{\mathcal{O}_{S}} \mathcal{E}\) déduit de \(\theta\) vérifie les deux axiomes suivants :

\(\mathcal{E} \to \mathcal{A}(G) \otimes \mathcal{E}\) La source du morphisme, omise par la machine, est rétablie deux fois de sa main : au-dessus de la ligne et en marge de gauche.

(CM1) Si \(\Delta : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} = \mathcal{A}(G \times_{S} G)\) est l'homomorphisme \(\mathcal{A}(\theta)\), le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathcal{A} \otimes \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} &
\mathcal{A} \otimes \mathcal{E}
  \arrow[l, "\mathrm{id}_{\mathcal{A}} \otimes \rho"'] \\
\mathcal{A} \otimes \mathcal{E}
  \arrow[u, "\Delta \otimes \mathrm{id}_{\mathcal{E}}"] &
\mathcal{A} \arrow[l, "\rho"'] \arrow[u, "\rho"']
\end{tikzcd}

est commutatif.

Le troisième facteur du sommet supérieur gauche et le sommet inférieur droit sont écrits \(\mathcal{A}\) sur la page, là où l'axiome demande \(\mathcal{E}\) ; la lettre n'est pas distinguée de son \(\mathcal{E}\) avec certitude. L'homomorphisme \(\Delta\) est celui de \(\mu\), et non de \(\theta\) comme le porte la ligne.

(CM2) Si \(\eta : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{O}_{S}\) est l'homomorphisme \(\mathcal{A}(\varepsilon)\), le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathcal{O}_{S} \otimes \mathcal{E} & &
\mathcal{A} \otimes \mathcal{E}
  \arrow[ll, "\eta \otimes \mathrm{id}_{\mathcal{E}}"'] \\
 & \mathcal{E} \arrow[ul, "\simeq"] \arrow[ur, "\rho"'] &
\end{tikzcd}

est commutatif.

Il revient au même de dire que le morphisme \(\theta_{\mathrm{af}} : G_{\mathrm{af}} \times_{S} \mathbb{V}(\mathcal{E}) \longrightarrow \mathbb{V}(\mathcal{E})\) correspondant à \(\rho\) définit une opération de \(G_{\mathrm{af}}\) sur \(\mathcal{E}\) […] [(comparer I 4.2)].

Par conséquent, il y a correspondance biunivoque entre opérations de \(G\) sur \(\mathcal{E}\) et opérations de \(G_{\mathrm{af}}\) sur \(\mathcal{E}\).

Lemme 11.7. — Soient \(G\) un \(S\)-groupe quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\), [plat et] tel que \(\mathcal{A}(G)\) soit

46un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module plat \(\mathcal{A}\), et \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent. On suppose soit que \(G\) est affine [sur \(S\)], soit que \(G\) et \(\mathcal{E}\) soit plats sur \(S\). Soit \(\rho : \mathcal{E} \to \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}\) un homomorphisme définissant une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}\). Soit \(\mathcal{E}_{0}\) un sous-\(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent de \(\mathcal{E}\) tel que l'homomorphisme \(\mathcal{E}_{0} \to \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}\) déduit de \(\rho\) se factorise à travers l'homomorphisme canonique [(injectif, […] on fait que \(\mathcal{A}\) est plat !)] \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{E}_{0} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}\) au moyen de l'homomorphisme \(\rho_{0} : \mathcal{E}_{0} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}_{0}\). Alors \(\rho_{0}\) définit une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}_{0}\), qu'on appellera opération induite sur \(\mathcal{E}_{0}\) par \(\rho\), et on dira que \(\mathcal{E}_{0}\) est stable sous \(\rho\). L'incise entre parenthèses est de sa main ; le mot qui l'ouvre après « injectif, » n'est pas lu.

Cela résulte immédiatement des définitions et de (11.6). On remarquera cependant qu'en général l'application canonique \(\mathbb{W}(\mathcal{E}_{0}) \longrightarrow \mathbb{W}(\mathcal{E})\) n'est pas injective.

Lemme 11.8. — Soient \(G\) un \(S\)-groupe quasi-séparé et quasi-compact sur \(S\) tel que \(\mathcal{A}(G)\) soit un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module […] libre \(\mathcal{A}\) de base \((\varphi_{i})\), \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent. On suppose soit que \(G\) est affine [sur \(S\)], soit que \(G\) et \(\mathcal{E}\) sont plats sur \(S\). Soit \(\rho : \mathcal{E} \to \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}\) un homomorphisme définissant une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}\), et soit \(x \in \Gamma(S, \mathcal{E})\). Posons \(\rho(x) = \sum \varphi_{i} \otimes x_{i}\), où les \(x_{i} \in \Gamma(S, \mathcal{E})\) sont bien déterminés par cette relation). Alors le sous-module [\(\mathcal{F}\)] de \(\mathcal{E}\) engendré par les \(x_{i}\) est stable sous \(\rho\), quasi-cohérent et de type fini sur \(\mathcal{O}_{S}\), et \(x \in \Gamma(S, \mathcal{F})\). La parenthèse fermante après « cette relation » est sans ouvrante ; telle quelle. La fin de l'énoncé — « quasi-cohérent et de type fini… » — est retapée au-dessus d'un membre de phrase biffé.

Soit \(\mathcal{F}\) le sous-module de \(\mathcal{E}\) engendré par les \(x_{i}\). Il est clair que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent et de type fini. L'axiome (CM1) montre que \(\sum \Delta(\varphi_{i}) \otimes x_{i} = \sum \varphi_{i} \otimes \rho(x_{i})\) ; d'autre part, \(\Delta(\varphi_{i}) = \sum \varphi_{j} \otimes a_{ij}\), d'où \(\sum \varphi_{j} \otimes a_{ij} \otimes x_{i} = \sum \varphi_{i} \otimes \rho(x_{i})\), d'où, puisque les \(\varphi_{i}\) forment une base de \(\mathcal{A}\), \(\rho(x_{i}) = \sum a_{ji} \otimes x_{j}\), où \(a_{ji} \in \Gamma(S, \mathcal{A})\), ce qui montre que \(\rho(\mathcal{F}) \subset \mathcal{A} \otimes \mathcal{F}\), donc \(\mathcal{F}\) est stable sous \(\rho\). Enfin l'axiome (CM2) montre que \(x = \sum_{i} \eta(\varphi_{i})\, x_{i} \in \Gamma(S, \mathcal{F})\). Dans \(\rho(x_{i}) = \sum a_{ji} \otimes x_{j}\), l'indice du dernier \(x\) est surfrappé sur la page ; c'est \(j\) que la sommation demande.

Proposition 11.9. — Soit \(G\) un \(S\)-groupe quasi-compact quasi-séparé sur \(S\) tel que \(\mathcal{A} = \mathcal{A}(G)\) devienne localement libre après extension fidèlement plate quasi-compacte de la base \(S\) (ce qui est le cas [par exemple] lorsque \(G\) est un groupe réductif, comme nous le verrons dans […] XXV), et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent. On suppose soit que \(G\) est affine [sur \(S\)], soit que \(G\) et \(\mathcal{E}\) sont plats sur \(S\). Soit \(\rho : \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes \mathcal{E}\) un homomorphisme définissant une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}\).

47Alors, pour tout sous-\(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{E}\) il existe un plus petit sous-\(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent \(\overline{\mathcal{F}}\) de \(\mathcal{E}\) contenant \(\mathcal{F}\) qui soit stable sous \(\rho\). Lorsque \(\mathcal{F}\) est de type […] fini, il en est de même de \(\overline{\mathcal{F}}\).

Sa formation commute à toute extension de la base \(S' \to S\)

On se ramène aisément [par descente fidèlement plate] au cas où \(\mathcal{A}\) est un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module libre, auquel cas la proposition est conséquence du lemme 11.8.

Corollaire 11.10. — Soit[Soient] \(S\) un préschéma affine, \(G\) un \(S\)-groupe quasi-séparé [et] quasi-compact sur \(S\), tel que \(\mathcal{A}(G)\) devienne […] localement libre après extension fidèlement plate quasi-compacte de la base \(S\), et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_{S}\)-Module quasi-cohérent. On suppose soit que \(G\) est affine sur \(S\), soit que \(G\) et \(\mathcal{E}\) sont plats sur \(S\). [On se donne une opération de \(G\) sur \(\mathcal{E}\).] Alors \(\mathcal{E}\) est limite inductive d'une famille filtrante croissante de sous-\(\mathcal{O}_{S}\)-Modules quasi-cohérents de type fini de \(\mathcal{E}\) stables sous \(G\). Une main a récrit au-dessus de la ligne « quasi-compact et quasi-séparé », dans l'autre ordre.

C'est une conséquence immédiate de (11.9) car \(\mathcal{E}\) est engendré par ses[limite inductive de ses] sections (EGA I 1.4.1) et car l'ensemble des sous-\(\mathcal{O}_{S}\)-Modules quasi-cohérents de type fini de \(\mathcal{E}\) stables sous \(G\) est stable par engendrement. [sous-Modules quasi-cohérents de type fini (EGA I 9.4.9., IV 1.7.7.)]

Remarque 11.10.1. J.P. Serre a remarqué que dans 11.9. (donc aussi dans 11.10) il suffisait de supposer que pour toute ouvert affine \(U\) de \(S\), il existe un morphisme fidèlement plat \(U' \to U\), avec \(U'\) affine d'anneau \(A'\), tel que \(\mathcal{E} \otimes_{U} U'\) soit défini par un \(A'\)-module projectif (pas nécessairement libre). De plus, lorsque \(S\) est localement noéthérien régulier et de dimension 1, cette hypothèse peut être remplacée par la seule hypothèse que \(G\) soit plat sur \(S\) (ce qui implique que \(\mathcal{A}(G)\) est plat) ; voir à ce sujet un exposé de Serre dans SGA [6] (1966/67). [¹ J.-P. Serre, Sur les Groupes de Grothendieck des schémas en groupes réductifs déployés, Pub. Math. n^o 34, p. 37–52.]

Proposition 11.11. — Soient \(k\) un corps, \(G\) un corps \(k\)-groupe algébrique. Pour que \(G\) soit affine, il faut et il suffit qu'il existe un espace vectoriel de dimension finie \(V\), et une immersion fermée de \(G\) dans \(\underline{\mathrm{GL}}_{k}(V)\) qui soit un morphisme de \(k\)-groupes.

S'il existe un espace vectoriel \(V\) de dimension finie et une immersion fermée \(u : G \to \underline{\mathrm{GL}}_{k}(V)\) puisque \(\underline{\mathrm{GL}}_{k}(V)\) est affine (Exp. I, 4.5), il en est de même de \(G\) (EGA I 4.2.3).

Réciproquement, supposons \(G\) affine. Notons \(A\) l'algèbre de \(G\). Puisque \(G\) opère sur lui-même par translations à gauche, il opère aussi sur \(A\), cette opération se traduisant par l'application diagonal diagonale \(\Delta : A \longrightarrow A \otimes_{k} A\). D'après (11.10), \(A\) (en tant qu'espace vectoriel) est réunion d'une famille filtrante croissante \((V_{i})_{i \in I}\) de sous-espaces vectoriels de dimension finie stables sous \(G\). […]

De la Proposition 11.11 au bas de la page, le texte est annulé par de longues diagonales : l'énoncé est repris page 48 sous une autre forme, à cinq conditions équivalentes. Les deux dernières lignes sont en outre annulées à la machine lettre par lettre et ne sont plus lisibles.

48Proposition 11.11. — Soit un \(k\) un corps, \(G\) un schéma en groupes quasi-compact [algébrique sur le] sur [corps] \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)\(G\) est affine.
(ii)\(G\) est quasi-affine.
(iii)On peut faire opérer \(G\) fidèlement sur un [\(k\)-]schéma quasi-affine.
(iv)On peut faire opérer \(G\) fidèlement sur un vectoriel sur \(k\) (pas nécessairement de dimension finie).
(v)[…] \(G\) est isomorphe à un sous-groupe fermé d'un groupe \(\mathrm{Gl}(n)_{k}\).

L'énoncé corrigé se lit : « Soit \(G\) un groupe algébrique sur le corps \(k\). » Le membre biffé qui ouvre (v) est illisible sous la rature.

Démonstration. On a (i) \(\Rightarrow\) (ii) trivialement, et (ii) \(\Rightarrow\) (iii), car \(G\) opère fidèlement sur lui-même par translations à gauche. On a (iii) \(\Rightarrow\) (iv) car si \(G\) opère […] sur \(X\) quasi-compact et quasi-séparé sur \(k\), il opère aussi sur le vectoriel \(\Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_{X})\), grâce au fait que la formation de \(f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_{X})\) (\(f : X \to \operatorname{Spec} k\) le morphisme structural) commute à tout changement de base \(S \to \operatorname{Spec} k\) (EGA IV 1.7.12) ; donc il opère sur l'enveloppe affine \(X' = \operatorname{Spec}(\Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}))\), et le morphisme canonique \(X \to X'\) est évidemment compatible avec l'action de \(G\) ; ceci dit, si \(X\) est quasi-affine i.e. \(X \to X'\) est une immersion ouverte, et si \(G\) opère fidèlement sur \(X\), il opère fidèlement sur \(X'\), ou ce qui revient au même, sur le vectoriel \(V = \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_{X})\), ce qui prouve l'implication (iii) \(\Rightarrow\) (iv). La condition sous laquelle \(G\) opère est retapée au-dessus de la ligne annulée, qui portait « fidèlement sur \(X\) quasi-affine sur \(k\), alors \(G\) opère fidèlement sur l'enveloppe affine \(X' = \operatorname{Spec}(\dots)\) ».

Supposons maintenant […][(iv), i.e.] que \(G\) opère fidèlement sur le vectoriel \(V\). Alors, en vertu de 11.10, \(V\) est limite inductive de sous-espaces vectoriels \(V_{i}\) de dimension finie, stables sous l'action de \(G\). Si \(K_{i}\) est le noyau de l'action induite de \(G\) sur \(V_{i}\), i.e. de \(G \to \underline{\mathrm{Aut}}_{V_{i}}\), alors \(K_{i}\) est un sous-schéma fermé de \(G\), et l'hypothèse que \(G\) opère fidèlement s'exprime aussitôt par le fait que […] l'intersection des \(K_{i}\) est le sous-groupe unité de \(G\). Comme \(G\) est noethé-

49rien, il s'ensuit que l'un des \(K_{i}\) est déjà réduit au groupe unité, donc que \(G \to \underline{\mathrm{Aut}}_{V_{i}}\) est un monomorphisme. C'est donc une immersion fermée en vertu de (1.4.2), ce qui prouve que (iv) \(\Rightarrow\) (v). Comme (v) \(\Rightarrow\) (i) trivialement, cela prouve 11.11 pour \(G\) de type fini.

Prenons maintenant le cas général, où il reste à prouver que (iv) \(\Rightarrow\) (i). Avec les notations de la démonstration précédente, soit \(G_{i}\) le sous-groupe[plus petit] sous-groupe fermé de \(\mathrm{Aut}(V_{i})\) par lequel [peut] se factoriser \(G \to \underline{\mathrm{Aut}}_{V_{i}}\) existe (un tel groupe existe, puisque comme intersection de tous ceux par lesquels se factorise \(G \to{}\) […] \(\underline{\mathrm{Aut}}_{V_{i}}\)). Si \(V_{j} \supset V_{i}\), on voit alors tout de suite que \(G_{j}\) invarie \(V_{i}\), et que le morphisme correspondant \(G_{j} \to \underline{\mathrm{Aut}}_{V_{i}}\) se factorise par \(G_{i}\). De cette façon, les \(G_{i}\) forment un système projectif de groupes affines sur \(k\), et on a un morphisme naturel \(G \longrightarrow G' = \varprojlim G_{i}\), où \(G'\) est lui-même un groupe affine (EGA IV 8.2.3). L'hypothèse que \(G\) opère fidèlement sur \(V\) s'exprime alors par le fait que \(G \to G'\) est un monomorphisme. On a donc trouvé un monomorphisme de \(G\) dans un schéma affine, ce qui implique que le schéma quasi-compact [et séparé] \(G\) est quasi-affine, i.e. que son faisceau structural est ample, en vertu de EGA IV 18.12.17. En d'autres termes, posant \(H = \operatorname{Spec} \Gamma(G, \underline{\mathcal{O}}_{G})\), le morphisme canonique \(G \to H\) est une immersion ouverte. Notons maintenant que \(H\) est de façon naturelle un schéma en groupes, et \(G \to H\) un homomorphisme de groupes, grâce à 11.2. Cet homomorphisme est évidemment dominant, il reste à prouver que c'est un isomorphisme, ce qui résulte […] du lemme suivant :

Lemme 11.11.1. — Soient H[G] un schéma en groupes sur un corps [\(k\)] […]. Alors tout sous-schéma en groupes ouvert [\(G\)] de \(H\) est aussi fermé.

Il revient au même de dire que l'ensemble \(H - G\) est ouvert, i.e. est un voisinage de chacun de ses points \(x\). Or, toute extension de corps \(k'/k\) définissant un morphisme \(\operatorname{Spec} k' \to \operatorname{Spec} k\) qui est universellement

La page est traversée de deux longues diagonales qui se croisent ; le texte reste lisible d'un bout à l'autre et la démonstration se poursuit page 50.

50ouvert (EGA IV 2.4.9), il nous suffit de prouver qu'il existe une telle extension \(k'\) et un point \(x'\) de \(H' = H \otimes_{k} k'\) au dessus de \(x\), tels que \(H' - G'\) soit un voisinage de \(x'\). Or il suffira de prendre […] \(k' = k(x)\), de sorte que \(G'\) admet un point \(x'\) rationnel sur \(k'\) au dessus de \(x\). Alors l'ouvert dans \(H'\) translaté de \(G'\) par \(x'\) contient \(x'\) et est contenu dans \(H' - G'\), […] qui est donc un voisinage de \(x'\), ce qui achève la démonstration de 11.11.

Remarque 11.11.1. Monsieur M. Raynaud nous signale qu'on peut généraliser 11.11 au cas d'un schéma en groupes quasi-compact et quasi-séparé \(G\) sur un schéma [\(S\) localement noethérien] régulier de dimension \(\leqslant 1\), en supposant de plus \(G\) plat sur \(S\). On a alors équivalence des conditions suivantes :

(i)\(G\) est affine sur \(S\).
(ii)\(G\) est quasi-affine sur \(S\).
(iii)On peut faire opérer \(G\) fidèlement sur un \(S\)-schéma quasi-affine.
(iv)On peut faire opérer \(G\) fidèlement sur un Module quasi-cohérent plat sur \(S\).
(v)(Si \(G\) est de type fini sur \(S\) [et \(S\) noethérien]) \(G\) est isomorphe à un sous-groupe fermé d'un \(\underline{\mathrm{Aut}}_{V}\), où \(V\) est un Module localement libre de type fini sur \(S\).

Remarque 11.11.2. Avec les notations de la démonstration précédente, on voit facilement (une fois qu'on sait que \(G\) est affine) que l'homomorphisme \(G \to G' = \varprojlim G_{i}\) est un isomorphisme, ce qui donne pour \(G\) un théorème de structure, qui sera repris [prouvé] par une autre méthode dans 11.13.

Deux croix, de la même main que celles de la page 49, annulent ici le premier paragraphe et la Remarque 11.11.2 ; le texte reste lisible. Un long crochet de marge relie les deux Remarques.

51Notons \(\varphi_{i} : G \longrightarrow \underline{\mathrm{GL}}_{k}(V_{i})\) le morphisme déterminé par l'opération de \(G\) sur \(V_{i}\), et \(\varphi : G \to \underline{\mathrm{GL}}_{k}(A)\) le morphisme déterminé par l'opération de \(G\) sur \(A\). Alors, puisque \(A\) est réunion des \(V_{i}\), \(\operatorname{Ker} \varphi\) est intrésection des \(\operatorname{Ker} \varphi_{i}\) ; or \(\operatorname{Ker} \varphi\) est le \(k\)-groupe unité ; puisque \(G\) est noethérien, il existe \(i \in I\) tel que \(\operatorname{Ker} \varphi_{i}\) soit le \(k\)-groupe unité, ce qui implique (I 1.4.2) que \(\varphi_{i}\) est une immersion fermée, c.q.f.d. « intrésection » est tapé ainsi. Ce paragraphe est annulé par les mêmes diagonales que les pages 49 et 50 ; il achève la démonstration du cas général, que la Remarque 11.11.2 renvoie à 11.13.

Lemme 11.12. — Soient \(k\) un corps, \(G\) un \(k\)-groupe quasi-compact. Posons \(A = \mathcal{A}(G)\). Etant donné \(x \in A\), il existe un sous-\(k\)-espace vectoriel de dimension finie une sous-\(k\)-algèbre de type fini \(V\) de \(A\) tel que \(x \in V\), que \(\Delta(V) \subset V \otimes_{k} V\) et \(u(V) \subset V\), où \(u\) désigne l'involution de \(A\) correspondant à la symétrie de \(G\).

D'après (11.3), on peut remplacer \(G\) par \(G_{\mathrm{af}}\), donc on peut supposer \(G\) affine.

Soit \((\varphi_{i})\) une base de \(A\). Alors \(\Delta(x) = \sum \varphi_{i} \otimes a_{i}\) et \(\Delta(\varphi_{i}) = \sum \varphi_{j} \otimes b_{ji}\) ; l'axiome (HA1) de (Exp. I 4.2) montre que \(\sum \varphi_{i} \otimes \Delta(a_{i}) = \sum \Delta(\varphi_{i}) \otimes a_{i}\), d'où \(\Delta(a_{i}) = \sum b_{ij} \otimes a_{j}\).

Soit alors \(V\) la sous-espace vectoriel sous-\(k\)-algèbre de \(A\) engendrée par les \(b_{ij}\) et les \(u(b_{ij})\). Il est clair que \(V\) est une \(k\)-algèbre de type fini. L'axiome (HA1) montre aussi que \[ \sum \Delta(\varphi_{j}) \otimes b_{ji} = \sum \varphi_{j} \otimes \Delta(b_{ji}) , \] et on en déduit que \(\Delta(b_{ij}) = \sum b_{ik} \otimes b_{kj}\) et que \(\Delta(u(b_{ij})) = \sum u(b_{kj}) \otimes u(b_{ik})\). Puisque \(\Delta\) est un homomorphisme d'algèbres, on en déduit que \(\Delta(V) \subset V \otimes_{k} V\) et \(u(V) \subset V\). Enfin l'axiome (HA2) de (Exp. I 4.2) montre que \(a_{i} = \sum \eta(a_{j})\, b_{ij}\) et que \(x = \sum \eta(\varphi_{i})\, a_{i}\), si bien que \(x \in V\).

Proposition 11.13. — […] Soient \(k\) un corps et \(G\) un \(k\)-groupe affine d'algèbre \(A\). Alors \(G\) est limite projective d'un système filtrant croissant de \(k\)-groupes affines de type fini, dont les morphismes de transition sont fidèlement plats.

Comme l'ensemble des sous-\(k\)-algèbres de type fini de \(A\) stables par \(\Delta\) et \(u\) est stable par engendrement, \(A\) est limite inductive d'une famille filtrante croissante \((B_{i})_{i \in I}\) de sous-\(k\)-algèbres de type fini stables par \(\Delta\) et \(u\). Alors, cahque algèbre \(B_{i}\), munie de l'homomorphisme \(B_{i} \longrightarrow B_{i} \otimes_{k} B_{i}\) déduit de \(\Delta\) et de la restriction de \(u\) à \(B_{i}\) est munie d'une structure d'hyperalgèbre associative augmentée involutive, donc (Exp. I 4.2) est la \(k\)-algèbre d'un \(k\)-groupe affine \(G_{i}\), de type fini sur \(k\). Enfin, puisque \(A = \varinjlim V_{i}\), Les deux corrections de cette page — « une sous-\(k\)-algèbre de type fini » pour « un sous-\(k\)-espace vectoriel de dimension finie », et « sous-\(k\)-algèbre » pour « sous-espace vectoriel » — sont retapées à la machine au-dessus des membres annulés. Dans la dernière ligne, la limite est celle des \(B_{i}\) ; la page écrit \(V_{i}\).

52\(G = \varprojlim G_{i}\) (EGA IV 8.2.3). […] les morphismes de transition sont fidèlemnet plats d'après le lemme suivant :

Lemme 11.14. — Soient \(k\) un corps, \(G\) et \(H\) deux \(k\)-groupes affines de type fini, \(u : G \to H\) un morphisme de \(k\)-groupes, et \(u^{\mathrm{o}} : B \to A\) l'homomorphisme de \(k\)-algèbres correspondant. Pour que \(u\) soit fidèlement plat, il faut et il suffit que \(u^{\mathrm{o}}\) soit injectif.

la condition est évidemment nécessaire (EGA IV 2.2.3 et \(\mathrm{O}_{\mathrm{IV}}\) 6.6.1). Montrons qu'elle est suffisante. Posons \(K = \operatorname{Ker} u\). Alors \(G/K\) est un \(k\)-groupe [de type fini] (Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) 5.2), et \(u\) se factorise en \(G \xrightarrow{\ p\ } G/K \xrightarrow{\ v\ } H\), où \(p\) est fidèlement plat (Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) 3.2) et où \(v\) est un monomorphisme de \(k\)-groupes de type fini, donc une immersion fermée (1.4.2). Puisque \(H\) est un schéma affine, et que \(v\) est une immersion fermée, \(G/K\) est un schéma affine (EGA I 4.2.3), et, si on note \(C\) l'algèbre de \(G/K\), l'homomorphisme \(v^{\mathrm{o}} : B \to C\) est surjectif (loc. cit.) Or, puisque \(u^{\mathrm{o}}\) est injectif, et que \(u^{\mathrm{o}} = p^{\mathrm{o}} \circ v^{\mathrm{o}}\), \(v^{\mathrm{o}}\) est aussi injectif : c'est un isomorphisme, donc \(v\) est un isomorphisme, et, puisque \(p\) est fidèlement plat, il en est de même de \(u\).

Définitions 11.15. — Etant donné un corps \(k\), un \(k\)-espace vectoriel \(V\), un \(k\)-groupe \(G\) opérant sur \(V\), et un vecteur \(v \in V\), on dit que \(v\) est semi-invariant sous \(G\) si le sous-espace vectoriel [\(k.v\)] est stable sous \(G\). Notons \(A\) l'algèbre de \(G\), et \(\rho : V \to A \otimes_{k} V\) l'application linéaire qui définit l'opération de \(G\) sur \(V\). Dire que \(v\) est semi-invariant sous \(G\) revient à dire […] qu'il existe \(\lambda \in A\) tel que, pour tout \(w \in kv\), \(\rho(w) = \lambda \otimes w\). Lorsque \(v \neq 0\), l'élément \(\lambda \in A\) est bien déterminé par cette relation, on l'appellera invariant[poids] de l'élément semi-invariant \(v\).

D'autre part, \(v\) s'interprète comme un élément du bidual de \(V\), donc comme une section de \(\mathbb{V}(V)\) ; notons \(\varphi : G \times \mathbb{V}(V) \to \mathbb{V}(V)\) le morphisme définissant l'opération de \(G\) sur \(V\). Dire que \(v\) est semi-invariant […] d'invariant \(\lambda\) revient à dire que \(\varphi(g, v) = \lambda(g)\, v\) pour tout \(g \in G(k)\), où […] [\(\lambda : G \to \underline{\mathbb{G}}_{m,k}\)] est le morphisme défini par \(\lambda\). On voit donc que \(\lambda\) correspond à[est] un caractère \(\chi\) de \(G\), appelé caractère associé à l'élément semi-invariant \(v\). Enfin nous appellerons poids de l'élément semi-invariant \(v\) le poids du caractère \(\chi\) associé à \(v\). « fidèlemnet » est tapé ainsi. La dernière phrase, qui définissait le poids, est biffée parce que le mot a été reporté plus haut, sur « invariant ».

53Théorème 11.16. — (Chevalley) Soient \(k\) un corps, \(G\) un \(k\)-groupe algébrique affine, \(H\) un sous-préschéma en groupes fermé de \(G\). Alors il existe un nombre fini d'éléments \(a_{i}\) linéairement indépendants de l'algèbre \(A\) de \(G\), tels que \(H\) soit le plus grand sous-préschéma en groupes fermé de \(G\) sous lequel les \(a_{i}\) soient semi-invariants ; on peut de plus supposer que tous les \(a_{i}\) ont même caractère associé (donc même poids) sous \(H\).

Rappelons que, puisque \(G\) est affine, il en est de même de \(H\) (Exp. I 4.2.3). Soit \(A\) (resp. \(B\)) l'algèbre de \(G\) (resp. \(H\)) ; d'après (EGA I 4.2.3, il existe un idéal \(I\) de \(A\) tel que \(B\) soit isomorphe à \(A/I\). Puisque \(G\) opère sur lui-même par translations à gauche, il opère aussi sur \(A\), cette opération se traduisant par l'application diagonale \(\Delta : A \longrightarrow A \otimes_{k} A\) (Exp. I 4.2 et 4.7.2). Puisque \(G\) est de type fini sur \(k\), \(A\) est de type fini sur \(k\), donc \(I\) admet un système fini de générateurs \((g_{1}, \dots, g_{r})\). Il résulte de (11.9) qu'il existe un sous-espace vectoriel \(V\) de dimension finie de \(A\) […] stable sous \(G\), et contenant chacun des \(g_{i}\).

Posons alors \(W = V \cap I\), c'est un espace vectoriel sur \(k\) de dimension finie, dont nous noterons \(d\) la dimension. Puisque \(V\) contient tous les \(g_{i}\), \(W\) engendre l'algèbre[l'idéal] \(I\).

Notons \(p : A \longrightarrow A/I = B\) l'application canonique, et \(q = p \otimes \mathrm{id}_{A} : A \otimes_{k} A \longrightarrow (A/I) \otimes_{k} A\). Alors l'action de \(H\) sur \(A\) est déterminée par \(q \circ \Delta : A \longrightarrow B \otimes_{k} A\). Puisque \(H\) est un sous-préschéma en groupes de \(G\), l'application diagonale \[ A/I \to (A/I) \otimes_{k} (A/I) = ((A/I) \otimes_{k} A) / ((A/I) \otimes_{k} I) \] se déduit de \(q \circ \Delta\) par passage au quotient, ce qui montre que \((q \circ \Delta)(I) \subset (A/I) \otimes_{k} I\), autrement dit, \(I\) est stable sous \(H\). Puisque \(V\) est stable sous \(G\), donc sous \(H\), on voit que \(W\) est stable sous \(H\).

Posons \(E = \bigwedge^{d} V\), soit \((w_{1}, \dots, w_{d})\) une base de \(W\) sur \(k\), et soit \((e_{o}, \dots, e_{n})\) une base de \(E\) sur \(k\) contenant \(e_{o} = w_{1} \wedge \dots \wedge w_{d}\). L'opération de \(G\) sur \(V\) détermine canoniquement une opération de \(G\) sur \(\bigwedge^{d} V\), qui définit une application linéaire \(\rho : E \to A \otimes_{k} E\). Posons \(\rho(e_{i}) = \sum a^{i}_{j} \otimes e_{j}\), et \(a_{i} = a^{o}_{i}\). Puisque \(W\) est stable sous \(H\), si on pose \(\sigma = (p \otimes \mathrm{id}_{E}) \circ \rho : E \longrightarrow (A/I) \otimes_{k} E\), il est clair que \(\sigma(e_{o})\) est proportionnel à \(e_{o}\), autrement dit, pour \(1 \leqslant i \leqslant n\), on a \(a_{i} \in I\). L'axiome (CM1) de (Exp. I 4.7.2) appliqué à

54\(\rho(e_{o}) = \sum a_{i} \otimes e_{i}\) montre que \(\sum \Delta(a_{i}) \otimes e_{i} = \sum a_{i} \otimes \rho(e_{i}) = \sum a_{i} \otimes a^{i}_{j} \otimes e_{j}\), d'où on déduit que \(\Delta(a_{i}) = a_{o} \otimes a_{i} + \sum_{j \geqslant 1} a_{j} \otimes a^{j}_{i}\) ; donc, puisque pour \(j \geqslant 1\), \(a_{j} \in I\), on voit que \(q \circ \Delta(a_{i}) = p(a_{o}) \otimes a_{i}\), si bien que pour \(1 \leqslant i \leqslant n\), \(a_{i}\) est semi-invariant sous \(H\) […] d'invariant[de poids] \(p(a_{o})\), indépendant de \(i\) ; donc tous les \(a_{i}\) sont semi-invariants sous \(H\) de même caractère associé, donc de même poids. Enfin [Extrayons] du système \((a_{1}, \dots, a_{n})\), on peut extraire un système maximal de vecteurs linéairement indépendants, dont on peut supposer qu'il se note \((a_{1}, \dots, a_{m})\). [Alors les \(a_{i}\), \(i = 1, \dots m\) sont linéairement indépendants, semi-invariants sous \(H\), et de même poids.]

Réciproquement, soit \(H'\) un sous-préschéma en groupes fermé de \(G\) sous lequel chacun des \(a_{i}\) (\(1 \leqslant i \leqslant m\)) est semi-invariant. [Montrons que \(H' = H\).] Il existe de même un idéal \(I'\) de \(A\) tel que l'algèbre \(B'\) de \(H'\) soit isomorphe à \(A/I'\) ; notons \(p' : A \to A/I'\) l'application canonique, et \(q' = p' \otimes \mathrm{id}_{A}\).

Par hypothèse, pour \(1 \leqslant i \leqslant m\), il existe \(\lambda_{i} \in B'\) tel que \(q' \circ \Delta(a_{i}) = \sum p'(a_{j}) \otimes a^{j}_{i} = \lambda_{i} \otimes a_{i}\).

Or l'axiome (CM2) de (Exp. I 4.7.2) montre que \(e_{i} = \sum \eta(a^{i}_{j})\, e_{j}\), donc que \(\eta(a^{i}_{j}) = \delta_{ij}\) (symbole de Kronecker) ; l'égalité \(\sum p'(a_{j}) \otimes \eta(a^{i}_{j}) = \lambda_{i} \otimes \eta(a_{i})\) s'écrit donc \(p'(a_{i}) = 0\) pour \(1 \leqslant i \leqslant m\), car \(\eta(a_{i}) = \eta(a^{o}_{i}) = 0\) pour \(1 \leqslant i \leqslant m\) ; par conséquent, on a \(a_{i} \in I'\) pour \(1 \leqslant i \leqslant m\), si bien que \(a_{i} \in I'\) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\). Donc, si on pose \(\sigma' = (p' \otimes \mathrm{id}_{E}) \circ \Delta\), \(\sigma'(e_{o}) = \sum p'(a_{i}) \otimes e_{i}\) est proportionnel à \(e_{o}\), de sorte que \(q' \circ \Delta(W) \subset A/I' \otimes_{k} W\), autrement dit que \(W\) est stable sous \(H'\). Puisque \(W\) engendre [l'idéal] \(I\), \(I\) est stable sous \(H'\), donc \(q' \circ \Delta(I) \subset (A/I') \otimes_{k} I\), et \(q' \circ \Delta\) définit par passage au quotient une application linéaire \[ A/I \longrightarrow (A/I') \otimes_{k} (A/I) = ((A/I') \otimes_{k} A) / ((A/I') \otimes_{k} I) \] donc […] la restriction à \(H' \times H\) du morphisme de multiplication de \(G\) se factorise à travers \(H\), ce qui implique que \(H'\) est […] un sous-préschéma en groupes de \(H\), c.q.f.d. La ligne « la restriction à \(H' \times H\)… » est retapée au-dessus d'une ligne annulée à la machine et devenue illisible.

Théorème 11.17 (Chevalley). — Soient \(k\) un corps, \(G\) un \(k\)-groupe affine (non nécessairement algébrique), et \(H\) un sous-préschéma en groupes fermé de \(G\) invariant dans \(G\) ; alors le faisceau quotient (pour la topologie fpqc) \(G/H\) est représentable par un \(k\)-groupe affine.

Il doit exister une référence ici. Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) […] Note au crayon, écrite dans la marge de gauche le feuillet tourné ; une seconde ligne, plus pâle, n'est pas lue.

Premier cas : Supposons d'abord \(G\) algébrique. D'après (Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) 3.2), le conoyau \(K\) de l'injection \(H \to G\) existe, et le morphisme canonique \(p : G \longrightarrow K\) est fidèlement plat, et quasi-compact, puisque \(G\) est de type fini sur \(k\), et que \(K\), qui est muni d'une structure de \(k\)-groupe (Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) 5.2) est séparé sur \(k\) (Exp. \(\mathrm{VI}_{\mathrm{A}}\) 0.2). Donc \(p\) est couvrant pour la topologie fpqc, si bien (Exp. IV 4.4.3) [et] que \(K\) représente le faisceau quotient \(G/H\) pour la topologie fpqc ;

55Feuillet entièrement de sa main, au crayon : c'est le « VOIR CI CONTRE » que la page 56 porte entouré, à la place du renvoi biffé à Chevalley. Il donne le cas où \(k\) est algébriquement clos.

Supposons d'abord \(k\) algébriquement clos, \(G\) réduit et connexe et \(H\) réduit. D'après (BIBLE […] [Exp 4, cor. du th. 1]), il existe une représentation linéaire de dimension finie \(\rho : G \longrightarrow \mathrm{GL}(V)\) telle que \((\operatorname{Ker} \rho)_{\mathrm{red}} = H\). Par 11.11, \(G/\operatorname{Ker} \rho\) est affine, donc \((G/H)/(\operatorname{Ker} \rho/H)\) est affine, donc aussi \(G/H\), le groupe \(\operatorname{Ker} \rho/H\) étant fini.

Si \(k\) est algébriquement clos, et \(G\) et \(H\) réduits, alors \((G/H)/(G^{\mathrm{o}}/H \cap G^{\mathrm{o}})\) est fini, [comme quotient de \(G/G^{\mathrm{o}}\), et] \(G^{\mathrm{o}}/H \cap G^{\mathrm{o}}\) est affine, donc \(G/H\) est affine.

N.B. 1) le th. entraîne que si \(G\) est affine algébrique et \(H\) invariant, il existe une rep. linéaire de dim. finie \(\rho : G \longrightarrow \mathrm{GL}(V)\) telle que \(H = \operatorname{Ker} \rho\).

2) La réf. à BIBLE est un corollaire de 11.16, la démonstration est facile mais un peu longue.

3) Dans la réf. à BIBLE, supposer \(G\) connexe, car la dém. de BIBLE est […] dans le cas général. Les trois N.B. sont annulés par un faisceau de diagonales, puis le bloc entier encadré d'un trait. Le mot qui qualifie la démonstration de BIBLE au 3) n'est pas lu.

56il s'agit donc de montrer que \(K\) est affine.

Le théorème est connu dans le cas où \(k\) est algébriquement clos, et où \(G\) et \(H\) sont réduits (Chevalley [Supposons d'abord] VOIR CI CONTRE « VOIR CI CONTRE » est écrit en grand et entouré : c'est la page 55, qui remplace le renvoi biffé.

Dans le cas où \(k\) est algébriquement clos, et \(G\) et \(H\) quelconques, […], \((G \times_{k} H)_{\mathrm{red}}\) est isomorphe à \((G_{\mathrm{red}}) \times_{k} (H_{\mathrm{red}})\), donc \((G_{\mathrm{red}})/(H_{\mathrm{red}})\) est isomorphe à \((G/H)_{\mathrm{red}}\). Puisque \((G_{\mathrm{red}})/H_{\mathrm{red}}\) est affine, il en est de même de \(G/H\) (EGA I 5.1.10), car, puisque \(G/H\) est de type fini sur \(k\), son nilradical est nilpotent.

Dans le cas où \(k\) est quelconque, \(G \otimes_{k} \bar{k} \,/\, H \otimes_{k} \bar{k}\) est isomorphe à \((G/H) \otimes_{k} \bar{k}\) (9.2 v)), donc puisque le premier est affine, il en est de même du second, donc \(G/H\) est affine [(réf.)].

Deuxième cas : Cas général. D'après (11.13), l'algèbre \(A\) de \(G\) est limite inductive d'une famille filtrante croissante \((A_{i})_{i \in I}\) de sous-algèbres de type fini de \(A\) stables par l'application diagonale et l'involution. D'après (Exp.[EGA] I 4.2.3), \(H\) est affine, et si on note \(B\) l'algèbre de \(H\), l'homomorphisme \(A \longrightarrow B\) déduit de l'injection \(H \longrightarrow G\) est surjectif. Posons \(I = \operatorname{Ker}(A \to B)\), \(I_{i} = I \cap A_{i}\) et \(B_{i} = A_{i}/I_{i}\) ; puisque la structure d'hyperalgèbre associative augmentée involutive de \(A\) passe au quotient à travers \(I\), on vérifie aisément que celle de \(A_{i}\) passe au quotient à travers \(I_{i}\), si bien que \(B_{i}\) est l'algèbre d'un \(k\)-groupe affine de type fini \(H_{i}\) ; il est clair que \(B = \varinjlim B_{i}\). D'après (EGA I 4.2.3), \(H_{i}\) est isomorphe à un sous-préschéma en goupes fermé de \(G_{i}\). D'après (6.7) le fait que \(H\) soit invariant dans \(G\) s'exprime en disant qu'un certain morphisme \(H \times_{k} G \longrightarrow G\) se factorise à travers l'injection \(H \to G\), autrement dit que l'homomorphisme correspondant \(A \longrightarrow B \otimes_{k} A\) se factorise à travers l'homomorphisme canonique \(A \longrightarrow B\) ; on vérifie aisément que l'homomorphisme \(A_{i} \longrightarrow B_{i} \otimes_{k} A_{i}\) défini de manière analogue se factorise à travers \(A_{i} \longrightarrow B_{i}\), donc que \(H_{i}\) est invariant dans \(G_{i}\). D'après ce qui a été vu précédemment, \(G_{i}\) étant de type fini sur \(k\), \(G_{i}/H_{i}\) est représentable par un \(k\)-groupe affine \(K_{i}\), dont nous noterons \(C_{i}\) l'algèbre. Posons alors \(C = \varinjlim C_{i}\), et soit \(K = \varprojlim K_{i}\) le \(k\)-préschéma affine d'algèbre \(K\) (EGA IV 8.2.3). « goupes » est tapé ainsi. La dernière ligne écrit « d'algèbre \(K\) » ; c'est \(C\) que la construction donne.

Montrons que \(K\) représente \(G/H\) ; pour cela, il suffit de vérifier que le diagramme \(H \times_{k} G \rightrightarrows G \times_{K} G\) est cartésien, et que le morphisme \(G \to K\) est couvrant pour la topologie fpqc. (Exp. IV 4.4.3). Or, chacun des diagrammes [pour chaque \(i\), on a] \(H_{i} \times_{k} G_{i} \rightrightarrows G_{i} \times_{K_{i}} G_{i}\), étant cartésien [donc] il en est de même du [morphisme] diagramme obtenu en passant à la limite projective ; enfin chacun des morphismes est-ce défini ? Note au crayon dans la marge de gauche, le feuillet tourné.

57\(G_{i} \longrightarrow K_{i}\) est fidèlement plat (9.2 (xi)), autrement dit \(C_{i}\) est fidèlement plat sur \(A_{i}\) ; puisque \(A = \varinjlim A_{i}\) et \(C = \varinjlim C_{i}\), on en déduit que \(C\) est fidèlement plat sur \(A\), (cf. Bourbaki, Alg. Comm. […]) si bien que \(G \longrightarrow K\) est un morphisme fidèlement plat. Puisque ce morphisme est affine, il est quasi-compact, donc couvrant pour la topologie fpqc, c.q.f.d.

Corollaire 11.18. — Soient \(k\) un corps, \(G = D(M)\) un groupe diagonalisable sur \(k\) (I 4.4), H un sous-groupe de avec \(M\) un \(\mathbb{Z}\)-module de type fini, \(H\) un sous-groupe algébrique de \(G\). Alors \(H\) est également diagonalisable. Le Corollaire est annulé par une suite de larges boucles au crayon. C'est la dernière ligne écrite du tapuscrit : le reste du feuillet est blanc.

Catégorie tannakienne de lien un groupe diagonalisable (pages 59 et 60)

Deux feuillets d'un tapuscrit étranger au précédent — autre papier, autre frappe — corrigés de sa main. Ce sont les seules pages du lot qui touchent aux catégories tannakiennes, c'est-à-dire au sujet du carton. La lettre \(\mathcal{M}\), que la machine n'avait pas, est encrée à la main partout. La page 58, verso blanc de la page 59, où seule transparaît la frappe de celle-ci, est absente.

59Catégorie tannakienne (sur un corps \(k\)) de […] lien un groupe diagonalisable \(G = D(\Gamma)\) [\(\Longleftarrow\)] (\(\mathcal{M}\) semi-simple, et pour tout objet simple (ou isotypique) \(S\) de \(\mathcal{M}\), de rang \(d(S)\), \(\operatorname{End}(S)\) est de rang \(d(S)^{2}\)).

Soit \(\mathcal{M}\) cette catégorie. Elle est définie à équivalence près (respectant structures et contraintes) par un élément [\(\xi\)] de \(H^{2}(k, G)\). On a d'autre part \[ H^{2}(k, G) \simeq \operatorname{Hom}(\Gamma, \mathrm{Br}(k)) , \] donc \(\mathcal{M}\) est définie essentiellement par l'homomorphisme […] \[ \add{\xi}\, u : \Gamma \longrightarrow \mathrm{Br}(k) . \]

Pour tout La catégorie \(\mathcal{M}\) est graduée de type \(\Gamma\), les objets homogènes de type \(\Gamma\) sont [les objets] isotypiques, donc pour tout \(i \in \Gamma\), il y a exactement un objet simple, à isomorphisme près, \(E_{i}\), de homogène de degré \(i\). (Il semble que ce soit une deuxième caractérisation des catégories tannakiennes de lien \(D(\Gamma)\), [\(\Longleftrightarrow\) le produit de deux isotypiques […] isotypique]) Le degré de cet élément est égal à l'ordre [\(d(i)\)] de \(u(i)\) dans \(\mathrm{Br}(k)\). Donc l'anneau \(K(\mathcal{M})\) est donné par \[ K(\mathcal{M}) \subset \underline{\mathbb{Z}}[\Gamma] , \] \[ \sum n_{i} e^{i} \in K(\mathcal{M}) \iff n_{i} \equiv 0 \ (d(i)) \quad \text{pour tout } i \in \Gamma \] La base canonique de \(K(\mathcal{M})\) formée par les objets simples étant formée des \(d(i) e^{i}\). Si \(M_{i}\) est l'objet simple de poids degré \(i\), alors \(\operatorname{End}(M_{i})\) est le corps gauche […] de centre \(k\) dont l'invariant dans \(\mathrm{Br}(k)\) est \(u(i)\).

En termes d'un système de générateurs ([…]\(_{i})_{i \in I}\) de \(\Gamma\), et (d'un système d'objets simples \(M_{i}\) de type isotypiques degré \(i\)) et des Membre annulé d'un trait ondulé ; deux incises tapées au-dessous, « i.e. \(G = \mathbb{G}_{m}^{I}\) » et « i.e. de \(\xi\) », sont accolées de sa main.

Si \(\Gamma = \mathbb{Z}^{(I)}\), la donnée de \(u\) revient à la donnée d'éléments \(\xi_{i} \in \mathrm{Br}(k)\). Choisissant pour tout \(i\) un objet isotypique non nul de degré \(i\), soit \(E_{i}\), et désignant par \(A_{i} = \operatorname{End}(M_{i})\) l'algèbre d'Azumaya [de classe \(\xi_{i}\),] associée, on reconstitue (à équivalence unique près respectant tout)

60\(\mathcal{M}\) en termes de la famille des \(A_{i}\) […] comme suite. On considère d'abord la catégories sous-additive engendrée ayant comme objets les éléments \(\gamma\) de \(\underline{\mathbb{N}}^{(I)}\), (\(\underline{\gamma} = (\gamma_{i})_{i \in I}\) étant interprété comme \(\bigotimes E_{i}^{\gamma_{i}}\)), ou avec \(\operatorname{Hom}(\underline{\gamma}, \underline{\gamma}') = 0\) si \(\underline{\gamma} \neq \underline{\gamma}'\) et \(= \bigotimes_{i} A_{i}^{\otimes \gamma_{i}}\) si \(\underline{\gamma} = \underline{\gamma}'\), la composition des morphismes évidentes. On définit de façon évidente le foncteur \(\otimes\) (addition de \(\underline{\mathbb{N}}^{(I)}\) sur les objets, produit tensoriel sur les homomorphismes) et ses contraintes, de façon que l'on trouve une sous-\(\otimes\)-catégorie.

attention à contrainte de commutativité

Son enveloppe Karoubienne est une [\(\otimes\)-]catégorie abélienne, qui s'identifie à la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{M}\) formée des éléments dont les composantes homogènes non nulles sont à degrés \(\in \underline{\mathbb{N}}^{(I)}\), [et à un foncteur fibre sur \(\bar{k}\).] D'autre part, pour tout \(i\), si \(A_{i}\) est de [rang]degré \(d_{i}^{2}\) (donc \(E_{i}\) de rang \(d_{i}\)), soit \(L_{i} = \det E_{i} = \bigwedge^{d_{i}} E_{i}\), (où \(E_{i}\) désigne l'objet de la catégorie construite correspondant à […] \(i\)-ème élément de la base canonique de \(\underline{\mathbb{Z}}^{(I)}\), soit \(l_{i} \dots\)), c'est un objet préinversible ([\(x \to\)] \(\otimes L_{i}\) est pleinement fidèle) et en inversant les \(L_{i}\), on trouve (à équ équivalence près respectant tout) la catégorie \(\mathcal{M}\). Dans \(\det E_{i}\), les deux lettres qui suivent le signe \(=\) sont surfrappées et reprises à la main ; l'exposant \(d_{i}\) est écrit au-dessus. Le \(\bar{k}\) de l'insertion est repris, entouré, dans la marge de gauche.

Quand \(\Gamma\) n'est pas libre, on trouve une construction analogue en termes d'un système de générateurs [convenable] \((\gamma_{i})_{i \in I}\), mais en « rendant de plus égaux à \(1^{x}\) » de plus certains éléments. Ces constructions sont bien adaptées pour décrire les \(\otimes\)-foncteurs de \(\mathcal{M}\) dans une […] catégorie tannakienne, et pour décrire le changement de base. (Pour cette dernière raison notamment, il aurait été maladroit dans le cas général de prendre les \(M_{i}\) simples …). Attention, dans la description des \(\otimes\)-foncteurs en question, de tenir compte des contraintes, notamment de celle de commutativité ; il semble qu'il doive revenir au même d'exiger que le rang est conservé …

A expliciter !