Fonds Grothendieck, cote n° 10, pages 1–20

Polarisations sur les \otimes-catégories graduées (pages 3 à 16)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 1) : « Polarisations sur les \otimes-catégories graduées ». Les paragraphes sont numérotés par lui de 1) à 19). Dans tout le feuillet, « ½-simple » abrège semi-simple, « ss-objet » sous-objet, « comp. : » compatible avec, « rep. » représentation, et u^{*(\varphi,\psi)}, u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} désignent tous deux l'adjoint de u \colon M \to N relativement aux formes \varphi sur M et \psi sur N. L'indice 2 à gauche, {}_2Z(\mathbb{R}), désigne les éléments d'ordre divisant 2.

~~\mathcal{M} catégorie abélienne K-linéaire, K \subset \mathbb{R}~~ Sous « K \subset \mathbb{R} » biffé, deux mots minuscules, .

\mathcal{M} une \otimes-catégorie sur K \subset \mathbb{R}, avec objet inversible ~~K(1) de degré 2.~~ L

1) Soit M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}, \varphi \colon M \otimes M \to L. \mathcal{M} porte un exposant serré, peut-être i, non lu. Supposons \varphi symétrique ou alternée, \varphi non dégénérée. Alors \varphi définit sur \mathrm{End}(M) une anti-involution u \mapsto u^{*} [\varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{*}y) ; posant \varphi(x,y) = \langle x, \tilde{\varphi} y\rangle, \tilde{\varphi} \colon M \to \check{M} \otimes L, avec donc u^{*} = \tilde{\varphi}^{-1} \circ \check{u} \circ \tilde{\varphi}]. On a une bijection \mathrm{Hom}(M \otimes M, L) \simeq \mathrm{End}(M) [\psi et u se correspondent si \psi(x,y) = \varphi(x, uy), i.e. \tilde{\psi} = \tilde{\varphi} u], et cette dernière ~~bijection~~ transforme \psi \mapsto {}^{t}\psi en u \mapsto \varepsilon u^{*}, (où \varepsilon = \pm 1 suivant que \varphi sym. ou alternée). Donc les formes sym. resp. alternées) de \mathrm{Hom}(M \otimes M, L) correspondent aux u tels que u^{*} = \varepsilon u. Le facteur \varepsilon de la dernière égalité est d'une lecture douteuse.

2) On dit que \varphi (sym. ou altern.) ~~est définie~~ satisfait la condition de Weil si \operatorname{Tr} u^{*}u > 0 pour u \in \mathrm{End}(M), u \neq 0. (Ceci implique, si \mathrm{End}(M) de dim. finie sur K, que \mathrm{End}(M) est ½-simple, et pour \forall ss-objet N \hookrightarrow M, \varphi|N est une forme de Weil.) donc que M est semi-simple, s'il est de long. finie et si tt ss-objet a un complément direct « satisfait la condition de Weil » est une insertion interlinéaire au-dessus des mots biffés ; la note marginale est cerclée et reliée d'un trait à la parenthèse.

3) Soient \varphi \in \mathrm{Hom}(M \otimes M, L), \psi \in \mathrm{Hom}(N \otimes N, L), \varphi et \psi \varepsilon-sym. (\varepsilon = \pm 1). Alors \varphi \oplus \psi satisfait la condition de Weil ssi \varphi et \psi y satisfont, et si de plus, pour \forall\, u \colon M \to N, on a \operatorname{Tr} u^{*}u > 0 si u \neq 0. [u^{*} calculé pour les formes \varphi et \psi sur M et N] Généralisation au cas où on a un nombre quelconque de facteurs (ou sommandes)

On dit alors que les formes \varphi et \psi ~~(satisfaisant aux conditions de Weil)~~ sont compatibles.

4) La compatibilité des formes de Weil est une relation ~~d'équivalence~~ réflexive et symétrique. Trois lignes biffées, dont on lit « Si \varphi, \varphi' sur M, \psi, \psi' sur N » et « compatibles » ; une note marginale, écrite en biais dans la marge gauche et rattachée au passage biffé, dit pourquoi la relation n'est pas transitive. relation transitive : si M, N sont tels que \mathrm{Hom}(M,N) = \mathrm{Hom}(N,M) = 0, M \neq 0, \varphi, \varphi' ~~formes de Weil~~ sur M, \psi sur N, \varphi compatible avec \psi et \psi compatible avec \varphi', mais pas \varphi compatible avec \varphi' Si \varphi, \varphi' compatibles, \psi, \psi' compatibles, alors \varphi et \psi sont compatibles ssi \varphi' et \psi' le sont. Pour le voir, il faut expliciter.

5) Soient \varphi et \psi deux formes \varepsilon-symétriques M \otimes M \to L, u \mapsto u^{*} l'anti-involution de \mathrm{End}(M) associée à \varphi, et \psi définie par \alpha \in \mathrm{End}(M), \psi(x,y) = \varphi(x, \alpha y), i.e. \tilde{\psi} = \tilde{\varphi} \circ \alpha. Alors u^{\mathrm{ad}(\psi)} défini par \psi c'est : \alpha^{-1} u^{*} \alpha, ~~donc \psi est compatible avec \varphi ssi \operatorname{Tr}~~ et u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} ~~défini par \psi~~ c'est : u^{*}\alpha. ~~Donc~~ \operatorname{Tr} u\, u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} > 0 \text{ pour } \forall\, u \neq 0 \Updownarrow \operatorname{Tr} u\, u^{*} \alpha > 0 \text{ pour } \forall\, u \neq 0 \qquad (= \operatorname{Tr} u^{*} \alpha u) De plus, cette condition indique que \psi est de Weil, i.e. \operatorname{Tr} u\, u^{\mathrm{ad}(\psi,\psi)} > 0 \text{ pour } u \neq 0, \quad \text{i.e.}\quad \operatorname{Tr} u\, \alpha^{-1} u^{*} \alpha > 0 \text{ pour } u \neq 0. La ligne « = \operatorname{Tr} u^{*}\alpha u » est écrite sous la précédente, reliée par un signe \| ; entre les deux conditions encadrées, un signe qui se lit comme une double flèche verticale. Une ligne intercalée après « i.e. » est . Donc les formes de Weil sur M compatibles : \varphi correspondent aux \alpha \in \mathrm{End}(M) tels que (de Weil) \operatorname{Tr} u^{*} u \alpha > 0 pour u \neq 0. Une insertion cerclée, rattachée ici : « Donc, dans l'ens. des formes (de Weil) sur M, la relation de compatibilité est une relation d'équivalence. » Conséquence : si \varphi et \psi sont de Weil compatibles sur M, \varphi \oplus \psi est de Weil, compatible avec \varphi et \psi Note marginale écrite en biais au bas de la marge gauche ; deux mots au milieu ne se lisent pas.

6) Soient (M_i, \varphi_i), ~~des~~ avec \varphi_i \colon M_i \otimes M_i \to L, \varphi_i \varepsilon-symétriques de Weil (\varepsilon = \pm 1 fixé). Supposons que pour i, j, \varphi_i et \varphi_j compatibles. Alors

cette condition est encore vérifiée si on stabilise en prenant des sommes directes des formes et des formes induites, sur des sous-objets. Insertion en haut de page, reliée à « sommes directes » : « de \sum_I, I fini, les formes sur \bigoplus M_i qui sont compatibles aux \varphi_i sont celles qui sont compatibles avec \bigoplus \varphi_i. Si \varphi est de Weil sur M, ». Une note marginale cerclée, en biais : « \psi et N \subset M, deux formes sur N sont compatibles \varphi|N ».

7) ~~Appelons~~ Supposons \mathcal{M} graduée, avec un « objet de Tate » K(1) de degré -2. On appelle prépolarisation ~~de \mathcal{M}~~ la donnée , pour \forall\, M \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M} de degré i, d'une partie non vide P(M) \subset \mathrm{Hom}(M \otimes M, K(-i)), formée de formes (-1)^{i}-sym. ~~de Weil~~, satisfaisant à la condition

(P1) \varphi \in P(M), \psi \in P(N) (M, N \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M}^{i}), u \colon M \to N implique \operatorname{Tr} u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} u > 0 si u \neq 0.

Ceci signifie que pour tout M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i} (i fixé) les \varphi \in P(M) sont mutuellement compatibles. NB Si \exists prépolarisation P, alors \mathcal{M} est semi-simple Si P et P' sont des prépolarisations, alors P \subset P' \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \forall\, M de degré i, on a P(M) \subset P'(M). Notion de prépolarisation maximale. ~~Question : y a-t-il~~

Proposition Toute prépolarisation P est contenue dans une unique prépolarisation maximale \widehat{P}. On a \widehat{P}(M) = ensemble des formes de Weil sur M compatibles aux formes de P(M).

Cor. a) Si \varphi \in \widehat{P}(M), \psi \in \widehat{P}(N), alors \varphi \oplus \psi \in \widehat{P}(M \oplus N) (M et N de même degré i)

b) Si \varphi \in \widehat{P}(M) N \subset M, alors \varphi|N \in \widehat{P}(N)

c) Si \varphi \in \widehat{P}(M), alors \check{\varphi} \in \widehat{P}(\check{M}(-i)) Dans c), l'argument de \widehat{P} est surchargé ; la lecture \check{M}(-i) est douteuse.

8) ~~Pour~~ La donnée d'une prépolarisation P se décompose en des composantes P^{i} (i \in \mathbb{Z}). Elles sont a priori tout à fait indépendantes. Une prépolarisation est dite admissible si elle satisfait les conditions

(P2) \varphi \in P(M), \psi \in P(N), \chi \in P(M \otimes N) \Longrightarrow \chi compatible avec \varphi \otimes \psi, i.e. \in \widehat{P}(M \otimes N)

(P3) \forall\, i, l'iso can K(i) \otimes K(i) \to K(2i) est dans \widehat{P}(K(i)).

Dans (P3), l'exposant du membre de droite se lit mal. En présence de (P2), (P3) équivaut à : ~~(P3)_0 l'iso can K(1) \otimes K(1) \to K(2) est dans \widehat{P}(K(1))~~

(P'3)_1 Si \varphi \in P(M), alors \varphi(i) \in \widehat{P}(M(i)). ~~(et il suffit de le supposer pour i = 1)~~

Une polarisation est une prépolarisation maximale et admissible.

NB Si P est une prépolarisation, elle est admissible ssi \widehat{P} est une polarisation. Ceci provient au fond de ceci : si \varphi \in \mathrm{Hom}(M \otimes M, L), \varphi' \in \mathrm{Hom}(M' \otimes M', L'), \psi, \psi', \varphi \otimes \varphi' \in \mathrm{Hom}((M \otimes M') \otimes (M \otimes M'), L \otimes L') (L, L' inversibles), et si \varphi_1 comp. : \varphi et \varphi'_1 comp. : \varphi', sont de Weil, alors \varphi_1 \otimes \varphi'_1 compatible : \varphi \otimes \varphi'. vérifier Le mot marginal est traversé d'un trait, peut-être une coche.

9) Soit P une polarisation. Alors on a pour les formes de P :

a)stabilité par \varphi \oplus \psi a')stabilité par \varphi + \psi [résulte de a) et b)] b)stabilité par \varphi|N c)stabilité par \varphi \otimes \psi e)stabilité par \check{\varphi} d)stabilité par \varphi(i) f)~~Contient~~ les isos K(i) \otimes K(i) \simeq K(2i) et leurs multiples par \lambda \in K, avec \lambda > 0

a') est une insertion cerclée entre a) et b) ; e) est inséré, cerclé, entre c) et d), dans cet ordre. Au bas de la page à gauche, en petits caractères : « a) résulte de b) c) d) e) f) (NB a) en résulte) ».

NB Les conditions b) c) e) f) impliquent déjà que P est une prépolarisation. Les P maximaux satisfaisant b) c) e) f) sont les prépolarisations maximales satisfaisant (P2). Donc les polarisations sont

10) Soit \mathcal{M}_{\alpha} un système de sous-\otimes-catégories de \mathcal{M}, tel que avec K(1) et K(-1) ils engendrent \mathcal{M} comme \otimes-catégorie. Alors une polarisation est connue quand, pour \forall\, \alpha, on connaît les formes de polarisation P_{\alpha} des \mathcal{M}_{\alpha}. On peut supposer d'ailleurs que les \mathcal{M}_{\alpha} sont formés des degrés 0 et 1, p. ex. si \mathcal{M} est \otimes-engendré par \mathcal{M}^{0} et \mathcal{M}^{1} ! Ce paragraphe et le suivant sont d'une écriture rapide ; les formules passent, les phrases entre elles sont en grande partie perdues. L'exposant « P_{\alpha} » est écrit au-dessus de « de », d'une graphie proche de \varphi_{\alpha}.

11) Remarque 1 ~~Les polarisations~~ Pour M, L fixés, les formes de Weil M \otimes M \to L pour M \otimes_K \mathbb{R}, sont les formes de Weil de M \otimes_K \mathbb{R} . Les qui correspondent aux formes \varepsilon-sym. non dégénérées, et \mathrm{Hom}(M_{\mathbb{R}} \otimes M_{\mathbb{R}}, L_{\mathbb{R}}) des prépolarisations maximales correspondance biunivoque. Donc \mathcal{M} et \mathcal{M}_{\mathbb{R}}. Si P, P_{\mathbb{R}} P est une polarisation ssi P_{\mathbb{R}} .

Remarque 2 \mathcal{M}^{i} \mathcal{M}_{\mathbb{R}}^{i} polarisations de \mathcal{M} si \mathcal{M} est \otimes-engendré par . ~~c) Prouver~~ . On est ainsi ramené à étudier les polarisations, des \otimes-catégories sur \mathbb{R}. De plus, Une note marginale de deux lignes, en biais, à hauteur de la Remarque 2, ne se lit pas.

Remarque 3 : Soit \mathcal{M} = \varinjlim \mathcal{M}(\alpha) sous-\otimes-catégories pleines croissantes. Alors l'ens. P(\mathcal{M}) des polarisations de \mathcal{M} est donné par P(\mathcal{M}) = \varprojlim P(\mathcal{M}(\alpha)) . Donc si les \mathcal{M}(\alpha) sont de t.f., il

s'ensuit que P(\mathcal{M}) \neq \emptyset \Longleftrightarrow \forall\, \alpha, P(\mathcal{M}_{\alpha}) \neq \emptyset. On est ainsi ramené au cas des \otimes-catégories semi-simples de type fini sur \mathbb{R} : étudier l'ens. des polarisations d'une telle \mathcal{M}.

12) Soit \mathcal{M} avec polarisation P (sur \mathbb{R} si on veut). Soit M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}, i.e. un objet M_0 de \mathcal{M}^{i}, avec action de \mathbb{C} dessus (i.e. endomorphisme J_M de carré -1). Soit \overline{M} le \mathbb{C}-objet avec l'action conjuguée (J_{\overline{M}} = -J_M = J_M^{-1}). Une forme M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M} \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathbb{C}(-i) = \mathbb{R}(-i) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} équivaut : une forme (M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M})_0 \to \mathbb{R}(-i), i.e. une forme M_0 \otimes M_0 \xrightarrow{\;\varphi_0\;} \mathbb{R}(-i) satisfaisant \varphi_0(J_M x, y) = \varphi_0(x, J_{\overline{M}}\, y) = -\varphi_0(x, J_M y), \qquad \varphi_0(J_M x, J_M y) = \varphi_0(x, y). Sous l'indice 0 de (M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M})_0 : « partie réelle », et une formule 1 - J \otimes \overline{J} ; sous la première égalité, un « \| » et un « \mathbb{R} » dont le sens n'est pas clair. Disons que \varphi est hermitienne resp. antihermitienne si \varphi_0 sont sym. resp. alternée. [ hermitienne symétrique correspond \varphi_0] Le crochet, de deux lignes, est presque entièrement perdu. On dit que \varphi est une polarisation (pour P) si \varphi_0 en est une (pour P). Ceci implique \varphi non dégénérée, i.e. \tilde{\varphi} \colon \check{M} \simeq \overline{M}(-i)

une forme de polarisation P sur M, i.e. une polarisation \varphi_0 de M_0 invariante par J_M. En effet, si \psi_0 est une polarisation de M_0, on pose \varphi_0(x,y) = \psi_0(x,y) + \psi_0(J_M x, J_M y) d'où \varphi_0(J_M x, J_M y) = \psi_0(J_M x, J_M y) + \psi_0(-x, -y) = \varphi_0(x,y). Par suite, on a : \check{M} \simeq \overline{M}(-i) pour \forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}.) Le premier mot de la page, un K ou un Il, ne se lit pas ; la parenthèse fermante finale est sur la page.

13) On voit donc que les implications :

\alpha) \mathcal{M} admet une polarisation sur \mathbb{R}

\Downarrow

\beta) \forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}, \check{M} \simeq \overline{M}(-i), \mathcal{M} ½-simple

\Downarrow

\gamma) \forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{R}}, \check{M} \simeq M(-i), \mathcal{M} ½-simple

Lemme (\beta \Longrightarrow \gamma provient du fait que M_{\mathbb{C}} \simeq N_{\mathbb{C}} implique M \simeq N). Les mentions « \mathcal{M} ½-simple » sont cerclées ; un « ? » dans la marge gauche à hauteur de la première implication. Les implications précédentes ne se renversent pas : \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G), G groupe algébrique sur \mathbb{R}. On peut avoir \beta) ~~sans avoir \alpha)~~ [~~SO(\varphi)~~ SO(\varphi)/\text{centre}, \varphi forme en un nombre pair de variables, avec un nombre impair de carrés négatifs], et \gamma) sans avoir \beta) []. Le second crochet, d'une ligne, est perdu.

14) Supposons \mathcal{M} semi-simple sur K \subset \mathbb{R}, engendrée et K(1), K(-1) par des M_1, \ldots, M_r de degrés d_1, \ldots, d_r, ~~(Pour tt i,~~ et de formes \varepsilon^{d_i}-sym. sur M_i, qui soit formes de Weil. Pour qu'il existe une polarisation de \mathcal{M} ~~définie~~ pour laquelle les \varphi_i soient des formes de polarisation, il faut qu'on ait les conditions suivantes : Le sujet de « qui soit » manque sur la page ; les \varphi_i ne sont nommées qu'à la phrase suivante.

a) Pour deux systèmes d'entiers m = (m_1, \ldots, m_r), m' = (m'_1, \ldots, m'_r) \geqslant 0, avec m_{r+1} + \sum_{1}^{r} m_i d_i = m'_{r+1} + \sum m'_i d_i, posant M_m = \Bigl(\bigotimes_{1 \leqslant i \leqslant r} \bigl(\otimes^{m_i} M_i\bigr)\Bigr)(m_{r+1}), \qquad \varphi_m = \Bigl(\bigotimes_{1 \leqslant i \leqslant r} \bigl(\otimes^{m_i} \varphi_i\bigr)\Bigr)(m_{r+1}), on a, pour tout u \in \mathrm{Hom}(M_m, M_{m'}), la relation \operatorname{Tr} u^{*(\varphi_m, \varphi_{m'})} u \geqslant 0. Au-dessus des deux sommes, l'annotation « \delta(m) » ; le signe de la relation se lit \geqslant, non >.

Je dis que cette condition est aussi suffisante. ~~Supposons réalisée en effet~~ Elle étant remplie, si M \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M}^{n}, M \neq 0, \exists\, m avec un \alpha \colon M \hookrightarrow M_m (n = \struck{\ill{}} \sum m_i d_i), soit P(M) l'ens. des formes qui sont \sim \varphi_m|M. Prouvons qu'il est indépendant de m, \alpha. En effet, si M_{m'}, comme \varphi_m et \varphi_{m'} sont et \alpha' \colon M \hookrightarrow M_{m'}, il en est de même, compatibles par hyp., \varphi_m|M et \varphi_{m'}|M. On voit que ces P(M) forment une prépolarisation ~~maximale~~, : Cependant à chacune des \varphi_i. Si \varphi \in P(M), \varphi' \in P(M'), \varphi \sim \varphi_m|M, \varphi' \sim \varphi_{m'}|M', donc \varphi \otimes \varphi' \sim \varphi_m \otimes \varphi_{m'}|M \otimes M' = \varphi_{(m+m')}|M \otimes M', « \sim » est ici la compatibilité. Dans la phrase « Prouvons… », le mot lu « indépendant » est écrit vite ; la ligne suivante est très abrégée.

donc \varphi \otimes \varphi' \in P(M \otimes M'). Enfin, supposons \varphi \in P(M), i.e. \varphi \sim \varphi_m|M, alors \varphi(i) \sim \varphi_m(i)|M(i) = \varphi_{(m_1, \ldots, m_r, m_{r+1}-i)}|M(i), donc \varphi(i) \in P(M(i)).

15) Soit G groupe algébrique sur \mathbb{R}, et avec un homomorphisme G_m \xrightarrow{\;i\;} G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} G_m, \eta = i(-1), et soit C \in G(\mathbb{R}) avec C^{2} = \eta. On prend \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G). ~~1) Soit M~~

a) Si M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}, i.e. (rep. de ~~degré~~ poids i, ), et si \varphi \colon M \otimes M \to \mathbb{R}(-i) est telle que \varphi(x, Cy) est symétrique et ~~une~~ forme définie positive, on dit que \varphi est de Weil, et si \psi \colon N \otimes N \to \mathbb{R}(-i), \psi(x, Cy) déf. positive, alors \varphi et \psi sont compatibles. \varphi est dite une forme de C-polarisation vérifions d'abord que \varphi est (-1)^{i}-sym. Une insertion au-dessus de « poids i », de deux mots, ne se lit pas. En effet, soit u \colon M \to N compatible avec l'action de G. Considérons u^{*(\varphi,\psi)}, et comparons avec u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})} (\varphi^{C}(x,y) = \varphi(x, Cy)). On a u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})} = C_M^{-1}\, u^{*(\varphi,\psi)}\, C_N, \quad\text{donc}\quad u^{*(\varphi,\psi)} = \underbrace{C_M\, u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})}\, C_N^{-1}}_{u'}, donc \operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi,\psi)} = \operatorname{Tr} u\, C_M\, u'\, C_N^{-1} = \operatorname{Tr} C_N^{-1} u\, C_M\, u' = \operatorname{Tr} u\, u' \geqslant 0. L'accolade « u' » est sous C_M u^{*(\varphi^C,\psi^C)} C_N^{-1} ; une seconde accolade sous C_N^{-1} u C_M porte une annotation lue « u ». Dans la marge gauche, en biais : « D'après la condition de positivité (Cor. ) : \operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi,\psi)} = \operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})} ». Suivent trois lignes biffées, dont on lit « orthogonalement pour les formes », « G(\mathbb{R}) » et « orthogonal », puis à gauche un bloc biffé de quatre lignes où l'on lit « C_M et C_N », « \varphi^{C}, \psi^{C} », « \mathrm{Cent}(C) » et « C_N^{-1} = C ».

b) Si \varphi, \psi sont des C-polarisations, \varphi \otimes \psi aussi, pourvu que \varepsilon(C) = 1 (et non -1 !) ; si \varphi est une C-polarisation, alors \varphi(i) aussi ; la forme standard \mathbb{R} \otimes \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une C-polarisation.

que une C-polarisation de , les formes \varphi' sur = M qui sont les C-polarisations, sont exactement celles qui sont compatibles à \varphi.

c) Donc : Supposons \varepsilon(C) = 1. Soit, pour tt M de poids i, P(M) l'ens. des C-polarisations. Alors M \mapsto P(M) est une polarisation de \mathcal{M}, et ceci prouve que les P(M) peuvent en fait être tous \neq \emptyset.

16) Questions : Toute polarisation en \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G) provient-elle se dérive par un C comme dessus (C^{2} = \eta, \varepsilon(C) = 1) ? Est-ce vrai si G connexe ? ou G' = \operatorname{Ker} \varepsilon compact ? « = \operatorname{Ker}\varepsilon » est cerclé au-dessus de G' ; à côté, cerclé : « Cas G' compact ? ».

NB Un tel C est unique mod centre Z est déterminé mod le groupe des G connexe ? conjugaison, Z. Donc ~~bien~~ l'indétermination de C dans ce cas est modulo points d'ordre 2 de Z(\mathbb{R}) et conjugaison.

Re NB Pour qu'il existe un C comme dessus fournissant une polarisation, il faut et suffit que G' = \operatorname{Ker} \varepsilon muni de \eta = i(-1), soit tel qu'il existe un C \in G'(\mathbb{R}) tel que rep. de G' sur lesquelles \eta opère par \pm 1 une C-polarisation, i.e. une forme inv. \varphi telle que \varphi(x, Cy) soit sym. déf > 0. On dit que G' est hodgien s'il existe un tel C (avec C^{4} = 1) ~~d'ordre 4~~ (\eta = C^{2} n'est pas fixé a priori). Le Re NB est chargé d'insertions interlinéaires, dont deux ne se lisent pas ; « faut et suffit » est écrit « f. et s. ».

17) Soit C \in G'(\mathbb{R}), avec C^{2} = \eta (= i(-1)), définissant une polarisation de K \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G), — donc G hodgien ! Alors \mathrm{Centr}_{G'}(C)(\mathbb{R}) est un compact maximal de G'(\mathbb{R}). En effet, on ~~G' \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M) \times \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M')~~ a G' \hookrightarrow \prod_{\alpha} \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M_{\alpha}), pour des rep. convenables (en nb de 2 si on veut) de G', et avec \eta opérant par \pm 1. Si \varphi_{\alpha} est une forme de C-polarisation sur M_{\alpha}, alors le gr. \mathrm{Centr}_{G'}(C) laisse invariant \varphi^{C}_{\alpha}, donc ~~\mathrm{Cent}~~ K \subset \underbrace{\prod_{\alpha} \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M_{\alpha}, \varphi^{C}_{\alpha})}_{\text{groupes orthogonaux compacts}}, donc K est compact . Prouvons compacte qu'il est maximal. Soit ~~donc~~ K' \subset G'(\mathbb{R}), K' \supset K(\mathbb{R}), K' compact maximal. On sait que K' est algébrique, K' = \mathbf{K}'(\mathbb{R}), \mathbf{K}' sous-groupe algébrique de G' G' contient C. Quitte à remplacer G' par K', on peut supposer G' compact, et il faut prouver qu'alors C est central. Prenons le d'abord dans G'/\{1, \eta\}, i.e. supposons donc \eta = 1. Soit une rep. fidèle de G' dans un V, avec forme de C-pol. \varphi sur V, ~~Alors~~ ~~C|V^{+} = \mathrm{id}, C|V^{-} = -\mathrm{id}~~ alors V = V^{+} + V^{-} et (\varphi|V^{+}) > 0, (\varphi|V^{-}) < 0. ~~On a~~ Comme G' est un sous-groupe de O(\varphi), on peut par conjugaison par un élément de O(\varphi)(\mathbb{R}), l'envoyer dans le compact maximal de O(\varphi) O(V^{+}) \times O(V^{-}), donc on peut supposer G \subset O(V^{+}) \times O(V^{-}). Donc C \in G(\mathbb{R}) est de la forme C^{+} \oplus C^{-}, avec \varphi^{+}(x, C^{+} y) et « K » n'est pas défini sur la page ; c'est le centralisateur qui vient d'être nommé. Sous « (\varphi|V^{-}) < 0 » : « = -\varphi^{-} ». Le passage sur le compact maximal de O(\varphi) est écrit dans la marge gauche, en petits caractères, sous une double barre.

\varphi^{-}(x, C^{-} y) sur V^{+} resp. V^{-} définies positives, C^{+} et C^{-} sont des involutions orthogonales, on conclut que C^{+} = \mathrm{id}, C^{-} = -\mathrm{id}, donc C est dans ~~O(\varphi)~~ le centre de O(V^{+}) \times O(V^{-}) donc, dans le centre de G.

Cas \eta \neq 1. Alors Trois lignes biffées, dont on lit « un morphisme G », « \{1, \eta\} », « gCg^{-1} \in \{1, \eta\} », « nulle ». Alors gCg^{-1} \in \{C, \eta C\}, donc G' ~~pour g \in G(\mathbb{R})~~. Un long passage encadré d'une accolade dans la marge gauche, de sept lignes, biffé en partie par un trait oblique, où l'on lit : « Soit une représentation il suffit de prouver que central. Donc \eta opérant par -\mathrm{id}. Donc considérons G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M), l'image, C devient Donc C définit sur M ~~G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(M)~~ Les formes satisfont à \varphi(\cdot, \cdot\, C) ». Considérons soit G'' le stabilisateur de C, d'indice 1 ou 2, ~~G'' et~~ (\varepsilon \colon G \to \mu_2) g C g^{-1} = \varepsilon(g)\, C, \qquad \varphi^{C}(gx, gy) = \varphi(gx, Cgy) = \varepsilon(g)\, \varphi(gx, gCy) = \varepsilon(g)\, \varphi^{C}(x, y). ~~Donc G' \subset Sp(\varphi^{G})~~ Si on avait \varepsilon(g) = -1, on aurait \varphi^{C}(gx, gx) = -\varphi^{C}(x, x), et si x \neq 0 les deux membres seraient resp. > 0 et < 0, absurde. Le \varepsilon de cette page, caractère de G à valeurs dans \mu_2, n'est pas celui de 15) ; la page réemploie la lettre.

18) Supposons que C, C' (C^{2} = C'^{2} = \eta) définissent des polarisations de \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G). Quand celles-ci sont-elles égales ? Il suffit qu'on ait C' = gCg^{-1}, avec g \in G(\mathbb{R}), car alors pour \varphi forme invariante , on aura \varphi^{C'}(x, y) = \varphi(x, gCg^{-1} y) = \varphi(g^{-1}x, Cg^{-1}y) = \varphi^{C}(g^{-1}x, g^{-1}y). Cette condition est-elle aussi nécessaire ? Question G' connexe G'(\mathbb{R})^{\circ} ! Tout d'abord, par un élément de G'(\mathbb{R})^{\circ} des groupes compacts maximaux , il existe g \in G'(\mathbb{R})^{\circ} tel que g C g^{-1} C'^{-1} \in Z'(\mathbb{R}) (Z' = centre de G') [NB (G'/Z')(\mathbb{R})^{\circ} \longleftarrow G'(\mathbb{R})^{\circ} est surjectif !]. Donc on aura C' = z\, g C g^{-1}, \qquad g \in G'(\mathbb{R})^{\circ},\ z \in Z'(\mathbb{R}). D'ailleurs z^{2} = 1 i.e. z \in {}_2Z'(\mathbb{R}). Quitte à remplacer C' par , on aura C' = zC, z \in {}_2Z(\mathbb{R}), et on va prouver que si z \neq 1, C et C' donnent des polarisations diff. Or si z \neq 1, il y a une rep. fidèle V \neq 0 de G' où z opère par -\mathrm{id}_V. Si \varphi est une forme de C-polarisation, \varphi^{C} > 0, alors \varphi^{C'} = \varphi^{zC} = -\varphi^{C} < 0, absurde ! Donc on trouve que l'ensemble des polarisations sur \mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G) qui sont définissables par un C (i.e. qui sont « hodgiennes ») forme un torseur sous {}_2Z(\mathbb{R}) : Si P est une polarisation hodgienne et z \in {}_2Z(\mathbb{R}), soit zP est la polarisation Dans la marge gauche, cerclé, à hauteur de la formule pour \varphi^{C'} : « NB C' commute avec C et l'existence C C' = \eta ». Le passage « Tout d'abord … compacts maximaux » est de trois lignes très abrégées.

telle que les formes \varphi sur M qui sont des (zP)-polarisations, sont celles pour lesquelles \varphi^{z} (défini par \varphi^{z}(x,y) = \varphi(x, zy)) sont ~~définies~~ des P-polarisations.

19) Le cas général, \mathcal{M} sur K \subset \mathbb{R}, \otimes-cat. quelconque, si \varphi est une forme M \otimes M \to L , et z \in {}_2\mathrm{Aut}_{\otimes} (\mathrm{id}_{\mathcal{M}}) =: {}_2Z(K) (Z = centre des groupes de de \mathcal{M}), on définit \varphi^{z} sur M \times M par \varphi^{z}(x,y) = \varphi(x, zy). On trouve alors, si \varphi^{z} et \psi (sur N) sont \varepsilon-sym. (\varepsilon = \pm 1), et si u \colon M \to N, u^{*(\varphi,\psi)} \colon N \to M, alors u^{*(\varphi^{z}, \psi^{z})} = z_M^{-1}\, u^{*(\varphi,\psi)}\, z_N = u^{*(\varphi,\psi)}. Donc : ~~\varphi et \psi sont~~ \varphi de Weil \Longleftrightarrow \varphi^{z} de Weil, \varphi et \psi de Weil comp. \Longleftrightarrow idem pour \varphi^{z} et \psi^{z}. ~~D'ailleurs on constate~~ \varphi^{z} \otimes \psi^{z} = (\varphi \otimes \psi)^{z}. Donc si z opère par \mathrm{id} sur K(1) (i.e. z \in {}_2Z'(K)) ~~pour que~~ on voit que si P est une polarisation, alors {}^{z}(P(M)) = \{ {}^{z}\varphi \mid \varphi \in P(M) \} \qquad (M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i},\ i \in \mathbb{Z}) forme une polarisation {}^{z}P sur \mathcal{M}. On voit tout de suite que cette dernière ne peut être égale à P que si z = 1. Ainsi, {}_2Z'(\mathbb{R}) opère librement sur \mathrm{Pol}(\mathcal{M}). Questions : \mathrm{Pol}(\mathcal{M}) est-il un pseudo-torseur sous {}_2Z(\mathbb{R}) ? la condition z^{2} = 1 sert que \varphi \varepsilon-sym. \Longrightarrow \varphi^{z} \varepsilon-sym. La note marginale est cerclée, en biais, à hauteur de la formule pour u^{*(\varphi^z,\psi^z)}. Le passage de Z'(K) à Z'(\mathbb{R}) puis Z(\mathbb{R}) dans les dernières lignes est sur la page. Un « ? » dans la marge gauche, avec une double barre, à hauteur de la question finale. La notation passe de \varphi^{z} à {}^{z}\varphi au milieu de la page.

Notes anciennes (pages 18 et 20)

Le titre est de sa main, en haut à droite de la page 18, dans un cadre : « Notes anciennes ». Ces deux feuillets, d'un papier et d'une encre différents, portent une notation plus ancienne : le motif M de poids p, \mathbb{Q}(p), M^{*} = \check{M}(p), \mathcal{Q}(M) = B(M, M ; \mathbb{Q}(p)) l'espace des formes bilinéaires. Le glyphe dans « \mathbb{Q}(p) » et « \check{M}(p) » se lit entre p et \varphi ; la lecture p suit « poids p » de la première ligne.

\varphi forme symétrique resp. alternée sur le motif M de poids p, \varphi à valeurs dans \mathbb{Q}(p), \varphi non dégénérée

\varphi définit un isomorphisme \mathrm{End}(M) \simeq \struck{\ill{}} \mathcal{Q}(M) en associant à toute forme \psi l'endomorphisme \tilde{\varphi}^{-1}\tilde{\psi} de M, et à tout endomorphisme u de M la forme \varphi \circ (u \otimes \mathrm{id}), ~~donc~~ correspondant à \tilde{\varphi} \circ u. M \underset{\tilde{\psi}}{\overset{\tilde{\varphi}}{\rightrightarrows}} M^{*} = \check{M}(p), \qquad \varphi(x,y) = \struck{\ill{}} (y, \tilde{\varphi}(x)) Deux termes biffés, l'un après « \simeq », l'autre avant « (y, \tilde{\varphi}(x)) », sont illisibles sous la rature. Alors le symétrique de \mathcal{Q}(M) devient une application de \mathrm{End}(M) en lui-même, notée u \mapsto u^{\varphi}, qui n'est autre que l'adjoint relativement à \varphi,

\mathcal{Q}(M) = B(M, M ; \mathbb{Q}(p)) \simeq \mathrm{Hom}(M, M^{*}) \qquad \text{où } M^{*} = \check{M}(p) par \langle \tilde{\varphi}(x), y\rangle = \varphi(x,y) Sous \tilde{\varphi}(x) : « \in M^{*} » ; sous y : « \in M ».

Si \tilde{\varphi} est un isom., on trouve \mathrm{End}(M) \xrightarrow[\;\sim\;]{\;\Theta_{\varphi}\;} \struck{\ill{}}\ \mathcal{Q}(M) \simeq \mathrm{Hom}(M, M^{*}) en associant à u \Theta_{\varphi}(u) = \varphi \circ (u \otimes 1) \qquad\text{donc}\qquad \widetilde{\Theta_{\varphi}(u)} = \tilde{\varphi} \circ u et en sens inverse \Theta_{\varphi}^{-1}(\psi) = \tilde{\varphi}^{-1} \tilde{\psi} \qquad M \underset{\tilde{\psi}}{\overset{\tilde{\varphi}}{\rightrightarrows}} M^{*} La symétrie (dans \mathcal{Q}(M)) \psi \mapsto \psi' = \ill{}\ {}^{s}\psi, devient un endomorphisme s de \mathrm{End}(M), savoir u \mapsto u^{\varphi}, u^{\varphi} = \struck{\ill{}}\ \tilde{\varphi}^{-1}\bigl[{}^{s}[\varphi \circ (u \otimes 1)]\bigr] = \tilde{\varphi}^{-1}\bigl(\varphi^{s} \circ (1 \otimes u)\bigr) de sorte que \struck{\varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{\varphi} y)} \varphi(u^{\varphi} x, y) = (-1)^{\delta} \varphi(u\struck{x}, \struck{x}) (-1)^{\delta}\, \Theta_{\varphi}(u)(x,y) = \Theta_{\varphi}(u)'(y,x) donc si \varphi est symétrique (et p pair, ou ) \struck{(a)}\quad \varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{\varphi} y) si \varphi est antisymétrique ~~et p impair, c'est~~ \struck{(a)}\quad \varphi(ux, y) = \struck{\ill{}}\ \varphi(x, u^{\varphi} y) Dans la définition de u^{\varphi}, un facteur biffé et surchargé précède \tilde{\varphi}^{-1}, au-dessus duquel est écrit « (-1)^{\delta} \tilde{\varphi}^{-1} » ; l'exposant \delta n'est pas défini sur ces deux pages. Dans la formule pour \varphi(u^{\varphi}x, y), les deux arguments du membre de droite sont biffés d'une croix et la formule est laissée telle quelle. Les deux dernières lignes, symétrique et antisymétrique, aboutissent à la même égalité ; le signe biffé dans la seconde ne se lit pas.