Cote n° 10, pages 1–20

Cote n° 10 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration

Polarisations sur les \(\otimes\)-catégories graduées (pages 3 à 16)

Le titre est de la main de Grothendieck, sur la chemise qui précède (page 1) : « Polarisations sur les \(\otimes\)-catégories graduées ». Les paragraphes sont numérotés par lui de 1) à 19). Dans tout le feuillet, « ½-simple » abrège semi-simple, « ss-objet » sous-objet, « comp. : » compatible avec, « rep. » représentation, et \(u^{*(\varphi,\psi)}\), \(u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)}\) désignent tous deux l'adjoint de \(u \colon M \to N\) relativement aux formes \(\varphi\) sur \(M\) et \(\psi\) sur \(N\). L'indice \(2\) à gauche, \({}_2Z(\mathbb{R})\), désigne les éléments d'ordre divisant \(2\).

3\(\mathcal{M}\) catégorie abélienne \(K\)-linéaire, \(K \subset \mathbb{R}\) Sous « \(K \subset \mathbb{R}\) » biffé, deux mots minuscules, […].

\(\mathcal{M}\) une \(\otimes\)-catégorie sur \(K \subset \mathbb{R}\), avec […] objet inversible \(K(1)\) de degré 2. \(L\)

1) Soit \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\), \(\varphi \colon M \otimes M \to L\). \(\mathcal{M}\) porte un exposant serré, peut-être \(i\), non lu. Supposons \(\varphi\) symétrique ou alternée, \(\varphi\) non dégénérée. Alors \(\varphi\) définit sur \(\mathrm{End}(M)\) une anti-involution \(u \mapsto u^{*}\) [\(\varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{*}y)\) ; posant \(\varphi(x,y) = \langle x, \tilde{\varphi} y\rangle\), \(\tilde{\varphi} \colon M \to \check{M} \otimes L\), avec donc \(u^{*} = \tilde{\varphi}^{-1} \circ \check{u} \circ \tilde{\varphi}\)]. […] On a une bijection \[ \mathrm{Hom}(M \otimes M, L) \simeq \mathrm{End}(M) \] [\(\psi\) et \(u\) se correspondent si \(\psi(x,y) = \varphi(x, uy)\), i.e. \(\tilde{\psi} = \tilde{\varphi} u\)], et cette dernière bijection transforme \(\psi \mapsto {}^{t}\psi\) en \(u \mapsto \varepsilon u^{*}\), (où \(\varepsilon = \pm 1\) suivant que \(\varphi\) sym. ou alternée). Donc les formes sym. resp. alternées) de \(\mathrm{Hom}(M \otimes M, L)\) correspondent aux \(u\) tels que \(u^{*} = \varepsilon u\). Le facteur \(\varepsilon\) de la dernière égalité est d'une lecture douteuse.

2) On dit que \(\varphi\) (sym. ou altern.) est définie [satisfait la condition de Weil] si \(\operatorname{Tr} u^{*}u > 0\) pour \(u \in \mathrm{End}(M)\), \(u \neq 0\). (Ceci implique, si \(\mathrm{End}(M)\) de dim. finie sur \(K\), que \(\mathrm{End}(M)\) est ½-simple, et pour \(\forall\) ss-objet \(N \hookrightarrow M\), \(\varphi|N\) est une forme de Weil.) donc que \(M\) est semi-simple, s'il est de long. finie et si tt ss-objet a un complément direct « satisfait la condition de Weil » est une insertion interlinéaire au-dessus des mots biffés ; la note marginale est cerclée et reliée d'un trait à la parenthèse.

3) Soient \(\varphi \in \mathrm{Hom}(M \otimes M, L)\), \(\psi \in \mathrm{Hom}(N \otimes N, L)\), \(\varphi\) et \(\psi\) \(\varepsilon\)-sym. (\(\varepsilon = \pm 1\)). Alors \(\varphi \oplus \psi\) satisfait la condition de Weil ssi \(\varphi\) et \(\psi\) y satisfont, et si de plus, pour \(\forall\, u \colon M \to N\), on a \(\operatorname{Tr} u^{*}u > 0\) si \(u \neq 0\). [\(u^{*}\) calculé pour les formes \(\varphi\) et \(\psi\) sur \(M\) et \(N\)] Généralisation au cas où on a […] un nombre quelconque de facteurs (ou sommandes)

4On dit alors que les formes \(\varphi\) et \(\psi\) (satisfaisant aux conditions de Weil) sont compatibles.

4) La compatibilité des formes de Weil est une relation d'équivalence réflexive et symétrique. […] Trois lignes biffées, dont on lit « Si \(\varphi, \varphi'\) sur \(M\), \(\psi, \psi'\) sur \(N\) » et « compatibles » ; une note marginale, écrite en biais dans la marge gauche et rattachée au passage biffé, dit pourquoi la relation n'est pas transitive. […] relation […] transitive : si \(M\), \(N\) sont tels que \(\mathrm{Hom}(M,N) = \mathrm{Hom}(N,M) = 0\), \(M \neq 0\), \(\varphi\), \(\varphi'\) formes de Weil sur \(M\), \(\psi\) sur \(N\), \(\varphi\) compatible avec \(\psi\) et \(\psi\) compatible avec \(\varphi'\), mais pas \(\varphi\) compatible avec \(\varphi'\) Si \(\varphi, \varphi'\) compatibles, \(\psi, \psi'\) compatibles, alors \(\varphi\) et \(\psi\) sont compatibles ssi \(\varphi'\) et \(\psi'\) le sont. Pour le voir, il faut expliciter.

5) Soient \(\varphi\) et \(\psi\) deux formes \(\varepsilon\)-symétriques \(M \otimes M \to L\), \(u \mapsto u^{*}\) l'anti-involution de \(\mathrm{End}(M)\) associée à \(\varphi\), et \(\psi\) définie par \(\alpha \in \mathrm{End}(M)\), \(\psi(x,y) = \varphi(x, \alpha y)\), i.e. \(\tilde{\psi} = \tilde{\varphi} \circ \alpha\). Alors \(u^{\mathrm{ad}(\psi)}\) défini par \(\psi\) […] c'est : \(\alpha^{-1} u^{*} \alpha\), donc \(\psi\) est compatible avec \(\varphi\) ssi \(\operatorname{Tr}\) et \(u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)}\) défini par \(\psi\) c'est : \(u^{*}\alpha\). Donc \[ \operatorname{Tr} u\, u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} > 0 \text{ pour } \forall\, u \neq 0 \] \[ \Updownarrow \] \[ \operatorname{Tr} u\, u^{*} \alpha > 0 \text{ pour } \forall\, u \neq 0 \qquad (= \operatorname{Tr} u^{*} \alpha u) \] De plus, cette condition indique que [\(\psi\) est de Weil, i.e.] \[ \operatorname{Tr} u\, u^{\mathrm{ad}(\psi,\psi)} > 0 \text{ pour } u \neq 0, \quad \text{i.e.}\quad \operatorname{Tr} u\, \alpha^{-1} u^{*} \alpha > 0 \text{ pour } u \neq 0. \] La ligne « \(= \operatorname{Tr} u^{*}\alpha u\) » est écrite sous la précédente, reliée par un signe \(\|\) ; entre les deux conditions encadrées, un signe qui se lit comme une double flèche verticale. Une ligne intercalée après « i.e. » est […]. Donc les formes de Weil sur \(M\) compatibles : \(\varphi\) correspondent aux […] \(\alpha \in \mathrm{End}(M)\) tels que [(de Weil)] \(\operatorname{Tr} u^{*} u \alpha > 0\) pour \(u \neq 0\). Une insertion cerclée, rattachée ici : « Donc, dans l'ens. des formes (de Weil) sur \(M\), la relation de compatibilité est une relation d'équivalence. » Conséquence : si \(\varphi\) et \(\psi\) sont de Weil compatibles sur \(M\), […] \(\varphi \oplus \psi\) est de Weil, compatible avec \(\varphi\) et \(\psi\) Note marginale écrite en biais au bas de la marge gauche ; deux mots au milieu ne se lisent pas.

6) Soient \((M_i, \varphi_i)\), des avec \(\varphi_i \colon M_i \otimes M_i \to L\), \(\varphi_i\) \(\varepsilon\)-symétriques de Weil (\(\varepsilon = \pm 1\) fixé). Supposons que pour \(i, j\), \(\varphi_i\) et \(\varphi_j\) compatibles. Alors

5cette condition est encore vérifiée si on stabilise en prenant des sommes directes des formes et des formes induites, sur des sous-objets. Insertion en haut de page, reliée à « sommes directes » : « de \(\sum_I\), \(I\) fini, les formes sur \(\bigoplus M_i\) qui sont compatibles aux \(\varphi_i\) sont celles qui sont compatibles avec \(\bigoplus \varphi_i\). Si \(\varphi\) est de Weil sur \(M\), […] ». Une note marginale cerclée, en biais : « […] \(\psi\) […] et \(N \subset M\), […] deux formes sur \(N\) […] sont compatibles […] \(\varphi|N\) […] ».

7) Appelons Supposons \(\mathcal{M}\) graduée, avec un « objet de Tate » \(K(1)\) de degré \(-2\). On appelle prépolarisation de \(\mathcal{M}\) la donnée […], pour \(\forall\, M \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M}\) de degré \(i\), d'une partie non vide […] \(P(M) \subset \mathrm{Hom}(M \otimes M, K(-i))\), formée de formes \((-1)^{i}\)-sym. de Weil, satisfaisant à la condition

(P1) \(\varphi \in P(M)\), \(\psi \in P(N)\) (\(M, N \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M}^{i}\)), \(u \colon M \to N\) implique \(\operatorname{Tr} u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} u > 0\) si \(u \neq 0\).

Ceci signifie que pour tout \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}\) (\(i\) fixé) les \(\varphi \in P(M)\) sont mutuellement compatibles. NB Si \(\exists\) prépolarisation \(P\), alors \(\mathcal{M}\) est semi-simple Si \(P\) et \(P'\) sont des prépolarisations, alors \(P \subset P' \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\) \(\forall\, M\) de degré \(i\), on a \(P(M) \subset P'(M)\). Notion de prépolarisation maximale. Question : y a-t-il […]

Proposition Toute prépolarisation \(P\) est contenue dans une unique prépolarisation maximale \(\widehat{P}\). On a \(\widehat{P}(M) =\) ensemble des formes de Weil sur \(M\) compatibles aux formes de \(P(M)\).

Cor. a) Si \(\varphi \in \widehat{P}(M)\), \(\psi \in \widehat{P}(N)\), alors \(\varphi \oplus \psi \in \widehat{P}(M \oplus N)\) (\(M\) et \(N\) de même degré \(i\))

b) Si \(\varphi \in \widehat{P}(M)\) […] \(N \subset M\), alors \(\varphi|N \in \widehat{P}(N)\)

c) Si \(\varphi \in \widehat{P}(M)\), alors \(\check{\varphi} \in \widehat{P}(\check{M}(-i))\) Dans c), l'argument de \(\widehat{P}\) est surchargé ; la lecture \(\check{M}(-i)\) est douteuse.

68) Pour La donnée d'une prépolarisation \(P\) se décompose en des composantes \(P^{i}\) (\(i \in \mathbb{Z}\)). Elles sont a priori tout à fait indépendantes. Une prépolarisation est dite admissible si elle satisfait les conditions

(P2) \(\varphi \in P(M)\), \(\psi \in P(N)\), \(\chi \in P(M \otimes N) \Longrightarrow \chi\) compatible avec \(\varphi \otimes \psi\), i.e. \(\in \widehat{P}(M \otimes N)\) (P3) \(\forall\, i\), l'iso can \(K(i) \otimes K(i) \to K(2i)\) […] est dans \(\widehat{P}(K(i))\).

Dans (P3), l'exposant du membre de droite se lit mal. En présence de (P2), (P3) équivaut à : (P3)\(_0\) l'iso can \(K(1) \otimes K(1) \to K(2)\) est dans \(\widehat{P}(K(1))\)

(P\('\)3)\(_1\) Si \(\varphi \in P(M)\), alors \(\varphi(i) \in \widehat{P}(M(i))\). (et il suffit de le supposer pour \(i = 1\))

Une polarisation est une prépolarisation maximale et admissible.

NB Si \(P\) est une prépolarisation, elle est admissible ssi \(\widehat{P}\) est une polarisation. Ceci provient au fond de ceci : si \(\varphi \in \mathrm{Hom}(M \otimes M, L)\), \(\varphi' \in \mathrm{Hom}(M' \otimes M', L')\), \(\psi\), \(\psi'\), \(\varphi \otimes \varphi' \in \mathrm{Hom}((M \otimes M') \otimes (M \otimes M'), L \otimes L')\) (\(L\), \(L'\) inversibles), et si \(\varphi_1\) comp. : \(\varphi\) et \(\varphi'_1\) comp. : \(\varphi'\), sont de Weil, alors \(\varphi_1 \otimes \varphi'_1\) compatible : \(\varphi \otimes \varphi'\). vérifier Le mot marginal est traversé d'un trait, peut-être une coche.

9) Soit \(P\) une polarisation. Alors on a pour les formes de \(P\) :

a)stabilité par \(\varphi \oplus \psi\)
a\('\))stabilité par \(\varphi + \psi\) [résulte de a) et b)]
b)stabilité par \(\varphi|N\)
c)stabilité par \(\varphi \otimes \psi\)
e)stabilité par \(\check{\varphi}\)
d)stabilité par \(\varphi(i)\)
f)Contient les isos \(K(i) \otimes K(i) \simeq K(2i)\) […] et leurs multiples par \(\lambda \in K\), avec \(\lambda > 0\)

a\('\)) est une insertion cerclée entre a) et b) ; e) est inséré, cerclé, entre c) et d), dans cet ordre. Au bas de la page à gauche, en petits caractères : « a) résulte […] de b) c) d) e) f) […] (NB […] a) en résulte) ».

NB Les conditions b) c) e) f) impliquent déjà que \(P\) est une prépolarisation. Les \(P\) maximaux satisfaisant b) c) e) f) sont les prépolarisations maximales satisfaisant (P2). Donc les polarisations sont […]

710) Soit \(\mathcal{M}_{\alpha}\) un système […] de sous-\(\otimes\)-catégories de \(\mathcal{M}\), tel que avec \(K(1)\) et \(K(-1)\) ils engendrent \(\mathcal{M}\) comme \(\otimes\)-catégorie. Alors une polarisation est connue quand, pour \(\forall\, \alpha\), on connaît les formes de polarisation \(P_{\alpha}\) des \(\mathcal{M}_{\alpha}\). On peut supposer d'ailleurs que les \(\mathcal{M}_{\alpha}\) sont formés des degrés \(0\) et \(1\), […] p. ex. si \(\mathcal{M}\) est \(\otimes\)-engendré par \(\mathcal{M}^{0}\) et \(\mathcal{M}^{1}\) ! […] Ce paragraphe et le suivant sont d'une écriture rapide ; les formules passent, les phrases entre elles sont en grande partie perdues. L'exposant « \(P_{\alpha}\) » est écrit au-dessus de « de », d'une graphie proche de \(\varphi_{\alpha}\).

11) Remarque 1 Les polarisations Pour \(M\), \(L\) fixés, les formes de Weil […] \(M \otimes M \to L\) pour \(M \otimes_K \mathbb{R}\), sont les formes de Weil de \(M \otimes_K \mathbb{R}\) […]. Les […] [qui correspondent aux formes \(\varepsilon\)-sym. non dégénérées, et] […] \(\mathrm{Hom}(M_{\mathbb{R}} \otimes M_{\mathbb{R}}, L_{\mathbb{R}})\) […] des prépolarisations maximales […] correspondance biunivoque. Donc […] \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}\). Si \(P\), \(P_{\mathbb{R}}\) […] \(P\) est une polarisation ssi \(P_{\mathbb{R}}\) […].

Remarque 2 […] \(\mathcal{M}^{i}\) […] \(\mathcal{M}_{\mathbb{R}}^{i}\) […] polarisations […] de \(\mathcal{M}\) […] si \(\mathcal{M}\) est \(\otimes\)-engendré par […]. c) Prouver […]. On est ainsi ramené à étudier les polarisations, des \(\otimes\)-catégories sur \(\mathbb{R}\). De plus, […] Une note marginale de deux lignes, en biais, à hauteur de la Remarque 2, ne se lit pas.

Remarque 3 : Soit \(\mathcal{M} = \varinjlim \mathcal{M}(\alpha)\) [sous-\(\otimes\)-catégories pleines croissantes]. Alors l'ens. \(P(\mathcal{M})\) des polarisations de \(\mathcal{M}\) est donné par \(P(\mathcal{M}) = \varprojlim P(\mathcal{M}(\alpha))\) […]. Donc si les \(\mathcal{M}(\alpha)\) sont de t.f., […] il

8s'ensuit que \(P(\mathcal{M}) \neq \emptyset \Longleftrightarrow \forall\, \alpha\), \(P(\mathcal{M}_{\alpha}) \neq \emptyset\). On est ainsi ramené au cas des \(\otimes\)-catégories semi-simples de type fini sur \(\mathbb{R}\) : étudier l'ens. des polarisations d'une telle \(\mathcal{M}\).

12) Soit \(\mathcal{M}\) avec polarisation \(P\) (sur \(\mathbb{R}\) si on veut). Soit \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}\), i.e. un objet \(M_0\) de \(\mathcal{M}^{i}\), avec action de \(\mathbb{C}\) dessus (i.e. endomorphisme \(J_M\) de carré \(-1\)). Soit \(\overline{M}\) le \(\mathbb{C}\)-objet avec l'action conjuguée (\(J_{\overline{M}} = -J_M = J_M^{-1}\)). Une forme \(M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M} \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathbb{C}(-i) = \mathbb{R}(-i) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\) équivaut : une forme \((M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M})_0 \to \mathbb{R}(-i)\), i.e. une forme \(M_0 \otimes M_0 \xrightarrow{\;\varphi_0\;} \mathbb{R}(-i)\) satisfaisant \[ \varphi_0(J_M x, y) = \varphi_0(x, J_{\overline{M}}\, y) = -\varphi_0(x, J_M y), \qquad \varphi_0(J_M x, J_M y) = \varphi_0(x, y). \] Sous l'indice \(0\) de \((M \otimes_{\mathbb{C}} \overline{M})_0\) : « partie réelle », et une formule \(1 - J \otimes \overline{J}\) ; sous la première égalité, un « \(\|\) » et un « \(\mathbb{R}\) » dont le sens n'est pas clair. Disons que \(\varphi\) est hermitienne resp. antihermitienne si \(\varphi_0\) sont sym. resp. alternée. [[…] hermitienne […] symétrique […] correspond […] \(\varphi_0\)] Le crochet, de deux lignes, est presque entièrement perdu. On dit que \(\varphi\) est une polarisation (pour \(P\)) […] si \(\varphi_0\) […] en est une (pour \(P\)). Ceci implique \(\varphi\) non dégénérée, i.e. \(\tilde{\varphi} \colon \check{M} \simeq \overline{M}(-i)\)

9[…] une forme de polarisation [\(P\)] sur \(M\), i.e. […] une polarisation \(\varphi_0\) de \(M_0\) invariante par \(J_M\). En effet, si \(\psi_0\) est une polarisation de \(M_0\), on pose \[ \varphi_0(x,y) = \psi_0(x,y) + \psi_0(J_M x, J_M y) \] d'où \[ \varphi_0(J_M x, J_M y) = \psi_0(J_M x, J_M y) + \psi_0(-x, -y) = \varphi_0(x,y). \] Par suite, on a : \(\check{M} \simeq \overline{M}(-i)\) pour \(\forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}\).) Le premier mot de la page, un \(K\) ou un \(Il\), ne se lit pas ; la parenthèse fermante finale est sur la page.

13) On voit donc que les implications :

\(\alpha\)) \(\mathcal{M}\) admet une polarisation [sur \(\mathbb{R}\)] \(\Downarrow\) \(\beta\)) \(\forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{C}}\), \(\check{M} \simeq \overline{M}(-i)\), \(\mathcal{M}\) ½-simple \(\Downarrow\) \(\gamma\)) \(\forall\, M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}_{\mathbb{R}}\), \(\check{M} \simeq M(-i)\), \(\mathcal{M}\) ½-simple

Lemme (\(\beta \Longrightarrow \gamma\) provient du fait que \(M_{\mathbb{C}} \simeq N_{\mathbb{C}}\) implique \(M \simeq N\)). Les mentions « \(\mathcal{M}\) ½-simple » sont cerclées ; un « ? » dans la marge gauche à hauteur de la première implication. Les implications précédentes ne se renversent pas : \(\mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G)\), \(G\) groupe algébrique […] sur \(\mathbb{R}\). On peut avoir \(\beta\)) sans avoir \(\alpha\)) [\(SO(\varphi)\) \(SO(\varphi)/\text{centre}\), \(\varphi\) forme en un nombre pair de variables, avec un nombre impair de carrés négatifs], et \(\gamma\)) sans avoir \(\beta\)) [[…]]. Le second crochet, d'une ligne, est perdu.

1014) Supposons \(\mathcal{M}\) semi-simple [sur \(K \subset \mathbb{R}\)], engendrée […] [et \(K(1)\), \(K(-1)\)] par des \(M_1, \ldots, M_r\) de degrés \(d_1, \ldots, d_r\), (Pour tt \(i\), […] et de formes \(\varepsilon^{d_i}\)-sym. sur \(M_i\), qui soit […] formes de Weil. […] Pour qu'il existe une polarisation de \(\mathcal{M}\) définie pour laquelle les \(\varphi_i\) soient des formes de polarisation, il faut qu'on ait les conditions suivantes : Le sujet de « qui soit » manque sur la page ; les \(\varphi_i\) ne sont nommées qu'à la phrase suivante.

a) Pour deux systèmes d'entiers \(m = (m_1, \ldots, m_r)\), \(m' = (m'_1, \ldots, m'_r) \geqslant 0\), avec \(m_{r+1} + \sum_{1}^{r} m_i d_i = m'_{r+1} + \sum m'_i d_i\), posant \[ M_m = \Bigl(\bigotimes_{1 \leqslant i \leqslant r} \bigl(\otimes^{m_i} M_i\bigr)\Bigr)(m_{r+1}), \qquad \varphi_m = \Bigl(\bigotimes_{1 \leqslant i \leqslant r} \bigl(\otimes^{m_i} \varphi_i\bigr)\Bigr)(m_{r+1}), \] on a, pour tout \(u \in \mathrm{Hom}(M_m, M_{m'})\), la relation \[ \operatorname{Tr} u^{*(\varphi_m, \varphi_{m'})} u \geqslant 0. \] Au-dessus des deux sommes, l'annotation « \(\delta(m)\) » ; le signe de la relation se lit \(\geqslant\), non \(>\).

Je dis que cette condition est aussi suffisante. Supposons réalisée en effet Elle étant remplie, si \(M \in \mathrm{Ob}\, \mathcal{M}^{n}\), \(M \neq 0\), \(\exists\, m\) avec un \(\alpha \colon M \hookrightarrow M_m\) (\(n = \struck{\ill{}} \sum m_i d_i\)), soit \(P(M)\) l'ens. des formes qui sont \(\sim \varphi_m|M\). Prouvons qu'il est indépendant de \(m\), \(\alpha\). En effet, si […] \(M_{m'}\), comme \(\varphi_m\) et \(\varphi_{m'}\) sont […] et \(\alpha' \colon M \hookrightarrow M_{m'}\), il en est de même, compatibles par hyp., […] \(\varphi_m|M\) et \(\varphi_{m'}|M\). On voit que ces \(P(M)\) forment une prépolarisation maximale, […] : Cependant à chacune des \(\varphi_i\). Si \(\varphi \in P(M)\), \(\varphi' \in P(M')\), \(\varphi \sim \varphi_m|M\), \(\varphi' \sim \varphi_{m'}|M'\), donc \(\varphi \otimes \varphi' \sim \varphi_m \otimes \varphi_{m'}|M \otimes M' = \varphi_{(m+m')}|M \otimes M'\), « \(\sim\) » est ici la compatibilité. Dans la phrase « Prouvons… », le mot lu « indépendant » est écrit vite ; la ligne suivante est très abrégée.

11donc \(\varphi \otimes \varphi' \in P(M \otimes M')\). Enfin, supposons \(\varphi \in P(M)\), i.e. \(\varphi \sim \varphi_m|M\), alors \(\varphi(i) \sim \varphi_m(i)|M(i) = \varphi_{(m_1, \ldots, m_r, m_{r+1}-i)}|M(i)\), donc \(\varphi(i) \in P(M(i))\).

15) Soit \(G\) groupe algébrique sur \(\mathbb{R}\), et avec un homomorphisme \[ G_m \xrightarrow{\;i\;} G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} G_m, \] \(\eta = i(-1)\), et soit \(C \in G(\mathbb{R})\) avec \(C^{2} = \eta\). On prend \(\mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G)\). 1) Soit \(M\)

a) Si \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i}\), i.e. (rep. de degré poids \(i\), […]), et si \(\varphi \colon M \otimes M \to \mathbb{R}(-i)\) est telle que \(\varphi(x, Cy)\) est symétrique et une forme définie positive, on dit que \(\varphi\) est de Weil, et si \(\psi \colon N \otimes N \to \mathbb{R}(-i)\), \(\psi(x, Cy)\) déf. positive, alors \(\varphi\) et \(\psi\) sont compatibles. \(\varphi\) est dite une forme de \(C\)-polarisation vérifions d'abord que \(\varphi\) est […] \((-1)^{i}\)-sym. Une insertion au-dessus de « poids \(i\) », de deux mots, ne se lit pas. En effet, soit \(u \colon M \to N\) compatible avec l'action de \(G\). Considérons \(u^{*(\varphi,\psi)}\), et comparons avec \(u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})}\) (\(\varphi^{C}(x,y) = \varphi(x, Cy)\)). On a \[ u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})} = C_M^{-1}\, u^{*(\varphi,\psi)}\, C_N, \quad\text{donc}\quad u^{*(\varphi,\psi)} = \underbrace{C_M\, u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})}\, C_N^{-1}}_{u'}, \] donc \[ \operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi,\psi)} = \operatorname{Tr} u\, C_M\, u'\, C_N^{-1} = \operatorname{Tr} C_N^{-1} u\, C_M\, u' = \operatorname{Tr} u\, u' \geqslant 0. \] L'accolade « \(u'\) » est sous \(C_M u^{*(\varphi^C,\psi^C)} C_N^{-1}\) ; une seconde accolade sous \(C_N^{-1} u C_M\) porte une annotation lue « \(u\) ». Dans la marge gauche, en biais : « D'après la condition de positivité (Cor. […]) : \(\operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi,\psi)} = \operatorname{Tr} u\, u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})}\) ». […] Suivent trois lignes biffées, dont on lit « orthogonalement pour les formes », « \(G(\mathbb{R})\) » et « orthogonal », puis à gauche un bloc biffé de quatre lignes où l'on lit « \(C_M\) et \(C_N\) », « \(\varphi^{C}\), \(\psi^{C}\) », « \(\mathrm{Cent}(C)\) » et « \(C_N^{-1} = C\) ».

b) Si \(\varphi\), \(\psi\) sont des \(C\)-polarisations, \(\varphi \otimes \psi\) aussi, [pourvu que \(\varepsilon(C) = 1\) (et non \(-1\) !)] ; si \(\varphi\) est une \(C\)-polarisation, alors \(\varphi(i)\) aussi ; la forme standard \(\mathbb{R} \otimes \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est une \(C\)-polarisation.

12[…] que une \(C\)-polarisation de […], les formes \(\varphi'\) sur […] \(= M\) qui sont les \(C\)-polarisations, sont exactement celles qui sont compatibles à \(\varphi\).

c) Donc : Supposons \(\varepsilon(C) = 1\). Soit, pour tt \(M\) de [poids \(i\)], \(P(M)\) l'ens. des \(C\)-polarisations. Alors \(M \mapsto P(M)\) est une polarisation de \(\mathcal{M}\), et ceci prouve que les \(P(M)\) peuvent en fait être tous \(\neq \emptyset\).

16) Questions : Toute polarisation en […] \(\mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G)\) provient-elle [se dérive] par un \(C\) comme dessus (\(C^{2} = \eta\), \(\varepsilon(C) = 1\)) ? Est-ce vrai si \(G\) connexe ? ou \(G'\) [\(= \operatorname{Ker} \varepsilon\)] compact ? « \(= \operatorname{Ker}\varepsilon\) » est cerclé au-dessus de \(G'\) ; à côté, cerclé : « Cas \(G'\) compact ? ».

NB Un tel \(C\) [est unique mod centre \(Z\)] […] est déterminé mod le groupe des […] […] \(G\) connexe ? conjugaison, […] […] \(Z\). Donc bien l'indétermination de \(C\) dans ce [cas] est modulo points d'ordre \(2\) de \(Z(\mathbb{R})\) et conjugaison.

Re NB Pour qu'il existe un \(C\) comme dessus fournissant une polarisation, il faut et suffit [[…]] que \(G' = \operatorname{Ker} \varepsilon\) muni de \(\eta = i(-1)\), soit tel qu'il existe un \(C \in G'(\mathbb{R})\) tel que [[…]] rep. [de \(G'\) sur lesquelles \(\eta\) opère par \(\pm 1\)] […] une \(C\)-polarisation, i.e. une forme [inv.] \(\varphi\) telle que \(\varphi(x, Cy)\) soit sym. déf \(> 0\). On dit que \(G'\) est hodgien s'il existe un tel \(C\) (avec \(C^{4} = 1\)) d'ordre \(4\) (\(\eta = C^{2}\) n'est pas fixé a priori). Le Re NB est chargé d'insertions interlinéaires, dont deux ne se lisent pas ; « faut et suffit » est écrit « f. et s. ».

1317) Soit \(C \in G'(\mathbb{R})\), avec \(C^{2} = \eta\) (\(= i(-1)\)), définissant une polarisation de [\(K\)] \(\mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G)\), — donc \(G\) hodgien ! Alors \(\mathrm{Centr}_{G'}(C)(\mathbb{R})\) est un compact maximal de \(G'(\mathbb{R})\). En effet, on […] \(G' \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M) \times \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M')\) […] [a] \(G' \hookrightarrow \prod_{\alpha} \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M_{\alpha})\), pour des rep. convenables [(en nb de \(2\) si on veut)] de \(G'\), et [avec] \(\eta\) opérant par \(\pm 1\). Si \(\varphi_{\alpha}\) est une forme de \(C\)-polarisation sur \(M_{\alpha}\), alors le gr. \(\mathrm{Centr}_{G'}(C)\) laisse invariant \(\varphi^{C}_{\alpha}\), donc \(\mathrm{Cent}\) \(K \subset \underbrace{\prod_{\alpha} \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M_{\alpha}, \varphi^{C}_{\alpha})}_{\text{groupes orthogonaux compacts}}\), donc \(K\) est compact […]. Prouvons [compacte] qu'il est […] maximal. […] Soit donc \(K' \subset G'(\mathbb{R})\), \(K' \supset K(\mathbb{R})\), [[…]] \(K'\) compact maximal. […] On sait que \(K'\) est algébrique, \(K' = \mathbf{K}'(\mathbb{R})\), \(\mathbf{K}'\) sous-groupe algébrique de \(G'\) [[…]] […] \(G'\) contient \(C\). Quitte à remplacer \(G'\) par \(K'\), on peut supposer \(G'\) compact, et il faut prouver qu'alors \(C\) est central. Prenons le d'abord dans \(G'/\{1, \eta\}\), i.e. supposons donc \(\eta = 1\). Soit une rep. fidèle de \(G'\) dans un \(V\), avec forme de \(C\)-pol. \(\varphi\) sur \(V\), Alors […] \(C|V^{+} = \mathrm{id}\), \(C|V^{-} = -\mathrm{id}\) [alors] \(V = V^{+} + V^{-}\) et \((\varphi|V^{+}) > 0\), \((\varphi|V^{-}) < 0\). On a [Comme] \(G'\) est un sous-groupe de \(O(\varphi)\), on peut [par conjugaison par un élément de \(O(\varphi)(\mathbb{R})\), l'envoyer dans le compact maximal de \(O(\varphi)\)] \(O(V^{+}) \times O(V^{-})\), donc on peut supposer \(G \subset O(V^{+}) \times O(V^{-})\). Donc \(C \in G(\mathbb{R})\) est de la forme \(C^{+} \oplus C^{-}\), […] avec \(\varphi^{+}(x, C^{+} y)\) et « \(K\) » n'est pas défini sur la page ; c'est le centralisateur qui vient d'être nommé. Sous « \((\varphi|V^{-}) < 0\) » : « \(= -\varphi^{-}\) ». Le passage sur le compact maximal de \(O(\varphi)\) est écrit dans la marge gauche, en petits caractères, sous une double barre.

14\(\varphi^{-}(x, C^{-} y)\) sur \(V^{+}\) resp. \(V^{-}\) [[…]] définies positives, […] \(C^{+}\) et \(C^{-}\) [sont des] involutions orthogonales, […] on conclut que \(C^{+} = \mathrm{id}\), \(C^{-} = -\mathrm{id}\), donc \(C\) [est] dans \(O(\varphi)\) [le centre de] \(O(V^{+}) \times O(V^{-})\) donc, dans le centre de \(G\).

Cas \(\eta \neq 1\). Alors […] Trois lignes biffées, dont on lit « un morphisme \(G\) », « \(\{1, \eta\}\) », « \(gCg^{-1} \in \{1, \eta\}\) », « nulle ». Alors \(gCg^{-1} \in \{C, \eta C\}\), donc \(G'\) […] pour \(g \in G(\mathbb{R})\). Un long passage encadré d'une accolade dans la marge gauche, de sept lignes, biffé en partie par un trait oblique, où l'on lit : « Soit une représentation […] il suffit de prouver que […] central. Donc […] \(\eta\) opérant par \(-\mathrm{id}\). Donc […] considérons […] \(G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(M)\), […] l'image, \(C\) devient […] Donc \(C\) définit sur \(M\) […] \(G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{C}}(M)\) Les formes […] satisfont à […] \(\varphi(\cdot, \cdot\, C)\) ». Considérons […] soit \(G''\) le stabilisateur [de \(C\)], d'indice \(1\) ou \(2\), \(G''\) et […] (\(\varepsilon \colon G \to \mu_2\)) \[ g C g^{-1} = \varepsilon(g)\, C, \qquad \varphi^{C}(gx, gy) = \varphi(gx, Cgy) = \varepsilon(g)\, \varphi(gx, gCy) = \varepsilon(g)\, \varphi^{C}(x, y). \] Donc \(G' \subset Sp(\varphi^{G})\) Si on avait \(\varepsilon(g) = -1\), on aurait \(\varphi^{C}(gx, gx) = -\varphi^{C}(x, x)\), et si \(x \neq 0\) les deux membres seraient resp. \(> 0\) et \(< 0\), absurde. Le \(\varepsilon\) de cette page, caractère de \(G\) à valeurs dans \(\mu_2\), n'est pas celui de 15) ; la page réemploie la lettre.

1518) Supposons que \(C\), \(C'\) [(\(C^{2} = C'^{2} = \eta\))] définissent des polarisations de \(\mathcal{M}\) [\(= \mathrm{Rep}(G)\)]. Quand celles-ci sont-elles égales ? Il suffit qu'on ait \(C' = gCg^{-1}\), avec \(g \in G(\mathbb{R})\), car alors pour \(\varphi\) forme invariante […], on aura \[ \varphi^{C'}(x, y) = \varphi(x, gCg^{-1} y) = \varphi(g^{-1}x, Cg^{-1}y) = \varphi^{C}(g^{-1}x, g^{-1}y). \] Cette condition est-elle aussi nécessaire ? Question […] [\(G'\) connexe] [\(G'(\mathbb{R})^{\circ}\) !] Tout d'abord, […] […] par un élément de \(G'(\mathbb{R})^{\circ}\) […] des groupes compacts maximaux […], il existe \(g \in G'(\mathbb{R})^{\circ}\) tel que \[ g C g^{-1} C'^{-1} \in Z'(\mathbb{R}) \] (\(Z' =\) centre de \(G'\)) [NB \((G'/Z')(\mathbb{R})^{\circ} \longleftarrow G'(\mathbb{R})^{\circ}\) est surjectif !]. Donc on aura \[ C' = z\, g C g^{-1}, \qquad g \in G'(\mathbb{R})^{\circ},\ z \in Z'(\mathbb{R}). \] D'ailleurs \(z^{2} = 1\) i.e. \(z \in {}_2Z'(\mathbb{R})\). Quitte à remplacer \(C'\) par […], on aura \(C' = zC\), \(z \in {}_2Z(\mathbb{R})\), et on va prouver que si \(z \neq 1\), \(C\) et \(C'\) donnent des polarisations diff. Or si \(z \neq 1\), il y a une rep. fidèle \(V \neq 0\) de \(G'\) où \(z\) opère par \(-\mathrm{id}_V\). Si \(\varphi\) est une forme de \(C\)-polarisation, \(\varphi^{C} > 0\), alors \[ \varphi^{C'} = \varphi^{zC} = -\varphi^{C} < 0, \] absurde ! Donc on trouve que […] l'ensemble des polarisations sur \(\mathcal{M} = \mathrm{Rep}(G)\) qui sont définissables par un \(C\) (i.e. qui sont « hodgiennes ») forme un torseur sous \({}_2Z(\mathbb{R})\) : Si \(P\) est une polarisation [hodgienne] et \(z \in {}_2Z(\mathbb{R})\), soit \(zP\) est la polarisation Dans la marge gauche, cerclé, à hauteur de la formule pour \(\varphi^{C'}\) : « […] NB \(C'\) commute avec \(C\) et […] l'existence […] \(C\) […] \(C' = \eta\) ». Le passage « Tout d'abord … compacts maximaux » est de trois lignes très abrégées.

16telle que les formes \(\varphi\) sur \(M\) qui sont des \((zP)\)-polarisations, sont celles pour lesquelles \(\varphi^{z}\) (défini par \(\varphi^{z}(x,y) = \varphi(x, zy)\)) sont définies des \(P\)-polarisations.

19) Le cas général, \(\mathcal{M}\) sur \(K \subset \mathbb{R}\), [\(\otimes\)-cat. quelconque], si \(\varphi\) est une forme \(M \otimes M \to L\) [[…]], […] et \(z \in {}_2\mathrm{Aut}_{\otimes} (\mathrm{id}_{\mathcal{M}}) =: {}_2Z(K)\) (\(Z =\) centre des groupes de […] de \(\mathcal{M}\)), on définit \(\varphi^{z}\) sur \(M \times M\) par \(\varphi^{z}(x,y) = \varphi(x, zy)\). On trouve alors, si \(\varphi^{z}\) et \(\psi\) (sur \(N\)) sont \(\varepsilon\)-sym. (\(\varepsilon = \pm 1\)), et si \(u \colon M \to N\), \(u^{*(\varphi,\psi)} \colon N \to M\), alors \[ u^{*(\varphi^{z}, \psi^{z})} = z_M^{-1}\, u^{*(\varphi,\psi)}\, z_N = u^{*(\varphi,\psi)}. \] Donc : \(\varphi\) et \(\psi\) sont \(\varphi\) de Weil \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi^{z}\) de Weil, \(\varphi\) et \(\psi\) de Weil comp. \(\Longleftrightarrow\) idem pour \(\varphi^{z}\) et \(\psi^{z}\). D'ailleurs on constate […] \(\varphi^{z} \otimes \psi^{z} = (\varphi \otimes \psi)^{z}\). Donc si \(z\) opère par \(\mathrm{id}\) sur \(K(1)\) (i.e. \(z \in {}_2Z'(K)\)) pour que on voit que si \(P\) est une polarisation, alors \[ {}^{z}(P(M)) = \{ {}^{z}\varphi \mid \varphi \in P(M) \} \qquad (M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}^{i},\ i \in \mathbb{Z}) \] forme une polarisation \({}^{z}P\) sur \(\mathcal{M}\). On voit tout de suite que cette dernière ne peut […] être égale à \(P\) que si \(z = 1\). Ainsi, \({}_2Z'(\mathbb{R})\) opère librement sur \(\mathrm{Pol}(\mathcal{M})\). Questions : \(\mathrm{Pol}(\mathcal{M})\) est-il un pseudo-torseur sous \({}_2Z(\mathbb{R})\) ? la condition […] \(z^{2} = 1\) sert […] que \(\varphi\) \(\varepsilon\)-sym. \(\Longrightarrow\) \(\varphi^{z}\) \(\varepsilon\)-sym. La note marginale est cerclée, en biais, à hauteur de la formule pour \(u^{*(\varphi^z,\psi^z)}\). Le passage de \(Z'(K)\) à \(Z'(\mathbb{R})\) puis \(Z(\mathbb{R})\) dans les dernières lignes est sur la page. Un « ? » dans la marge gauche, avec une double barre, à hauteur de la question finale. La notation passe de \(\varphi^{z}\) à \({}^{z}\varphi\) au milieu de la page.

Notes anciennes (pages 18 et 20)

Le titre est de sa main, en haut à droite de la page 18, dans un cadre : « Notes anciennes ». Ces deux feuillets, d'un papier et d'une encre différents, portent une notation plus ancienne : le motif \(M\) de poids \(p\), \(\mathbb{Q}(p)\), \(M^{*} = \check{M}(p)\), \(\mathcal{Q}(M) = B(M, M ; \mathbb{Q}(p))\) l'espace des formes bilinéaires. Le glyphe dans « \(\mathbb{Q}(p)\) » et « \(\check{M}(p)\) » se lit entre \(p\) et \(\varphi\) ; la lecture \(p\) suit « poids \(p\) » de la première ligne.

18\(\varphi\) forme symétrique resp. alternée sur le motif \(M\) de poids \(p\), \(\varphi\) à valeurs dans \(\mathbb{Q}(p)\), \(\varphi\) non dégénérée

\(\varphi\) définit un isomorphisme \[ \mathrm{End}(M) \simeq \struck{\ill{}} \mathcal{Q}(M) \] en associant à toute forme \(\psi\) l'endomorphisme \(\tilde{\varphi}^{-1}\tilde{\psi}\) de \(M\), et à tout endomorphisme \(u\) de \(M\) la forme \(\varphi \circ (u \otimes \mathrm{id})\), donc correspondant à \(\tilde{\varphi} \circ u\). \[ M \underset{\tilde{\psi}}{\overset{\tilde{\varphi}}{\rightrightarrows}} M^{*} = \check{M}(p), \qquad \varphi(x,y) = \struck{\ill{}} (y, \tilde{\varphi}(x)) \] Deux termes biffés, l'un après « \(\simeq\) », l'autre avant « \((y, \tilde{\varphi}(x))\) », sont illisibles sous la rature. Alors le symétrique […] de \(\mathcal{Q}(M)\) devient une application de \(\mathrm{End}(M)\) en lui-même, notée \(u \mapsto u^{\varphi}\), qui n'est autre que l'adjoint relativement à \(\varphi\),

20\[ \mathcal{Q}(M) = B(M, M ; \mathbb{Q}(p)) \simeq \mathrm{Hom}(M, M^{*}) \qquad \text{où } M^{*} = \check{M}(p) \] par \(\langle \tilde{\varphi}(x), y\rangle = \varphi(x,y)\) Sous \(\tilde{\varphi}(x)\) : « \(\in M^{*}\) » ; sous \(y\) : « \(\in M\) ».

Si \(\tilde{\varphi}\) est un isom., on trouve \[ \mathrm{End}(M) \xrightarrow[\;\sim\;]{\;\Theta_{\varphi}\;} \struck{\ill{}}\ \mathcal{Q}(M) \simeq \mathrm{Hom}(M, M^{*}) \] en associant à \(u\) \[ \Theta_{\varphi}(u) = \varphi \circ (u \otimes 1) \qquad\text{donc}\qquad \widetilde{\Theta_{\varphi}(u)} = \tilde{\varphi} \circ u \] et en sens inverse \[ \Theta_{\varphi}^{-1}(\psi) = \tilde{\varphi}^{-1} \tilde{\psi} \qquad M \underset{\tilde{\psi}}{\overset{\tilde{\varphi}}{\rightrightarrows}} M^{*} \] La symétrie (dans \(\mathcal{Q}(M)\)) \(\psi \mapsto \psi' = \ill{}\ {}^{s}\psi\), devient un endomorphisme \(s\) de \(\mathrm{End}(M)\), […] savoir \(u \mapsto u^{\varphi}\), \[ u^{\varphi} = \struck{\ill{}}\ \tilde{\varphi}^{-1}\bigl[{}^{s}[\varphi \circ (u \otimes 1)]\bigr] = \tilde{\varphi}^{-1}\bigl(\varphi^{s} \circ (1 \otimes u)\bigr) \] de sorte que \[ \struck{\varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{\varphi} y)} \] \[ \varphi(u^{\varphi} x, y) = (-1)^{\delta} \varphi(u\struck{x}, \struck{x}) \] \[ (-1)^{\delta}\, \Theta_{\varphi}(u)(x,y) = \Theta_{\varphi}(u)'(y,x) \] donc si \(\varphi\) est symétrique ([et \(p\) pair], ou […]) \[ \struck{(a)}\quad \varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{\varphi} y) \] si \(\varphi\) est […] antisymétrique et \(p\) impair, c'est \[ \struck{(a)}\quad \varphi(ux, y) = \struck{\ill{}}\ \varphi(x, u^{\varphi} y) \] Dans la définition de \(u^{\varphi}\), un facteur biffé et surchargé précède \(\tilde{\varphi}^{-1}\), au-dessus duquel est écrit « \((-1)^{\delta}\) \(\tilde{\varphi}^{-1}\) » ; l'exposant \(\delta\) n'est pas défini sur ces deux pages. Dans la formule pour \(\varphi(u^{\varphi}x, y)\), les deux arguments du membre de droite sont biffés d'une croix et la formule est laissée telle quelle. Les deux dernières lignes, symétrique et antisymétrique, aboutissent à la même égalité ; le signe biffé dans la seconde ne se lit pas.