Cote n° 10 · pages 1–197 · Lecture modernisée · Catégories tensorielles : notes manuscrites (s.d.), tapuscrits (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les feuillets qui s'y sont glissés

Les stations

Le dossier n'est pas un texte suivi. C'est un atelier : quatre tapuscrits corrigés, six faisceaux de sa main, un plan de traité, une table des matières, et deux intrus. Voici les stations, dans l'ordre des feuillets, avec ce que chacune apporte au fil.

• Pages 3 à 16, de sa main, sous sa chemise « Polarisations sur les \(\otimes\)-catégories graduées ». L'axiomatique d'une polarisation : formes de Weil, compatibilité, prépolarisation, prépolarisation maximale, admissibilité, polarisation. Se termine sur le cas \(\mathcal{M} = \operatorname{Rep}(G)\) et l'élément \(C\) de carré \(\eta\) qui la définit.
• Pages 18 à 30, d'un papier jauni et d'une encre noire, sous son titre « Notes anciennes ». La même matière prise par l'autre bout : non plus l'axiomatique, mais l'algèbre \(\operatorname{End}(M)\) munie de l'involution adjointe, les cônes de formes positives et leur polarité. Ce sont deux moutures d'un même sujet et non une répétition ; leur écart est le contenu.
• Pages 32 à 57, tapuscrit d'une autre main : SGA 3, n^os 10 et 11. Limites projectives de préschémas en groupes, puis préschémas en groupes affines, jusqu'aux deux théorèmes de Chevalley. Hors sujet, et lu ici brièvement.
• Pages 59 et 60. Le premier morceau du dossier qui touche vraiment au sujet : une catégorie tannakienne dont le lien est un groupe diagonalisable est classée par un homomorphisme du groupe des caractères dans le groupe de Brauer, et elle est reconstruite à partir des algèbres d'Azumaya correspondantes.
• Pages 61 à 65, « Etude numérique des catégories tannakiennes ». Les quatre caractères numériques d'une \(\otimes\)-catégorie, et le résultat négatif : ils ne la déterminent pas.
• Pages 66 à 83, « Catégories tannakiennes définies par des cristaux ». Le calcul le plus poussé du dossier. Aboutit à la structure complète de la gerbe des \(F\)-isocristaux sur un corps fini, et à Dieudonné et Manin récrits.
• Pages 85 et 86, un feuillet d'un tapuscrit sur les topos classifiants, et au dos le recensement des types simples. Second intrus.
• Pages 88 à 98, de sa main, sous sa chemise « Filtration des foncteurs fibres ». Ce qu'est une filtration admissible, ce que le gradué associé est, et la géométrie des sous-groupes paraboliques qui en sort.
• Pages 101 à 108, « Notes Saavedra », adressées à Saavedra et le nommant. Six exemples : graduations, filtrations, pré-structures de Hodge, structures de Hodge réelles, critère de profinitude, et la polarisation renvoyée à plus tard.
• Pages 110 à 112, de sa main. Les catégories de modules d'un schéma en groupes affine, et la question de savoir dans quelle mesure le groupe s'en récupère.
• Pages 114 à 116. Le plan du traité en neuf chapitres, et la table des matières détaillée du chapitre 1. Ce sont les seules pages du dossier qui donnent un plan d'ensemble.
• Pages 117 à 136, tapuscrit « \(\otimes\)-catégories ». Le cœur : les axiomes, les \(\otimes\)-foncteurs, la dissociation des contraintes, le dictionnaire entre catégorie et bigèbre, les foncteurs fibres tordus, les données de symétrie, le changement de base, les exemples instructifs, et un théorème de liberté rapporté par Husemöller.
• Pages 138 et 139, de sa main : les motifs à coefficients dans un corps de nombres, et le calcul du dual.
• Pages 142 à 154, de sa main : les anneaux de représentations. Le formalisme \(A^{G}\), \(\boxtimes\), \(T^{n}\), l'anneau gradué des groupes symétriques, puis \(R(T)\) pour un tore et l'homomorphisme caractéristique.
• Pages 156 à 179, de sa main, d'un trait rapide : le dictionnaire construit une seconde fois dans l'ordre des feuillets. Une classe abélienne de \(k\)-modules, l'algèbre topologique qu'elle reconstruit, les structures supplémentaires une par une, le groupe des éléments de type groupe, et le schéma à trois termes qui clôt la rédaction.
• Pages 180 à 197, de sa main : le groupe ordonné des classes indécomposables, l'hypergroupe discret, et les trois anneaux calculés — \(R(k)\), \(R(k^{*})\), \(R(k \rtimes k^{*})\).

Le dictionnaire, construit deux fois

Il faut le dire ici, parce que c'est la seule chose qui rende le dossier lisible comme un tout. Dans l'ordre des feuillets — rien ne date l'une des deux rédactions par rapport à l'autre — la correspondance \[ \otimes\text{-catégorie} \quad\longleftrightarrow\quad \text{bigèbre} \quad\longleftrightarrow\quad \text{schéma en groupes affine} \] est établie deux fois, indépendamment.

La première fois aux pages 117 à 128, tapée, en six pages sèches : on part d'une catégorie abélienne \(k\)-linéaire \(\mathcal{C}\) munie d'un foncteur \(F \colon \mathcal{C} \to \operatorname{Modf}(k)\) fidèle et exact, on pose \(U = \operatorname{End}(F)\), on observe que \(\mathcal{C}\) s'identifie aux \(U\)-modules continus de dimension finie, et on traduit chaque contrainte.

La seconde fois aux pages 156 à 179, à la main, sans renvoyer au tapuscrit : la même algèbre \(U\) est reconstruite comme le sous-anneau fermé de \(\prod_{i} \operatorname{End}_{k}(A_{i})\) formé des familles cohérentes, les \(U\)-modules utilisables sont appelés permis, et les structures supplémentaires sont ajoutées une par une jusqu'au schéma de la page 179.

Ce ne sont pas deux rédactions d'un même texte. La première est le dictionnaire énoncé ; la seconde est le dictionnaire démontré, avec ses topologies, ses conditions de finitude et son groupe. Et c'est la seconde qui produit ce dont les quinze dernières pages ont besoin : le groupe \(G\) des éléments de type groupe, et le fait que la catégorie soit celle des \(G\)-modules dont les coefficients tombent dans \(A\).

Trois « polarisations », et trois \(\Gamma\)

Le mot polarisation sert quatre fois dans le dossier, pour quatre choses : la polarisation d'une variété projective (le choix d'un plongement, ou d'une classe de diviseur ample) ; la polarisation d'un motif de poids \(n\), qui est une forme \(M \otimes M \to T(n)\) « définie positive » ; la polarisation d'une pré-structure de Hodge, page 106, qui est la même chose transportée en théorie de Hodge ; et l'objet axiomatique \(P\) des pages 6 à 16, qui est la donnée, pour chaque objet, de l'ensemble des formes qu'on décide d'appeler positives. C'est ce dernier sens qui est le sujet du dossier ; les trois autres sont ses modèles.

Et le mot effectivité sert deux fois : l'effectivité d'un \(F\)-isocristal, page 67, qui est une condition de bornitude sur les itérés du Frobenius ; et le chapitre 9 du plan, page 114, « Questions d'effectivité (?) », que le plan n'explique pas et que cette lecture rapproche de la première.

Pour les trois \(\Gamma\), les quatre \(A\) et les trois \(\xi\), voir le commentaire de tête du fichier : ce sont les homonymies qui font le plus de dégâts, et cette lecture les distingue par la notation.

Ce qui n'est pas établi

Le dossier est un atelier, et un atelier se juge aussi à ce qu'il laisse en plan. Neuf choses sont annoncées et non faites, et elles sont enregistrées ici plutôt que franchies :

1. Le traité. Aucun feuillet du dossier ne porte le titre ni le numéro d'un des neuf chapitres de la page 114, hors la table des matières du chapitre 1, pages 115 et 116. Le tapuscrit des pages 117 à 136 traite des sujets de ce chapitre et du suivant, mais sous sa propre numérotation, qui n'est pas celle de la table.
2. Page 121. « A prouver que lorsqu'on prend \(\mathcal{C}\) comme dessus à la Koko, il n'y a pas de foncteur fibre sur aucune extension \(K\) de \(k\) », avec son propre « ??? » en marge. Non prouvé.
3. Page 128. Peut-on construire, à partir de la donnée de symétrie \(\sigma\), l'élément \(\tau\) qui la transporte après changement de base ? La seule voie qu'il voit est l'invariance \(U^{+}\!\cdot\tau = 0\). Non tranché.
4. Page 132. Quatre énoncés « A prouver » sur \(\operatorname{End}(\mathbf{1})\) absolument plat, la présentation finie des \(\operatorname{Hom}\), et la décomposition de \(\mathcal{C}\) en limite inductive.
5. Page 134. « Théorème de ——— (rapporté par Husemöller) » : le nom est laissé en blanc par la machine, et cette lecture le laisse en blanc.
6. Page 151. « Il faudrait prouver que \(\mathbf{Z}[X(T)] \to\) l'anneau de Chern attaché à \(R(T)\) ».
7. Page 154. L'homomorphisme \(CK(G) \to \mathbf{Z}[X(T)]^{W}\) est « sans doute » bijectif en l'absence de torsion. Non prouvé.
8. Pages 89 et 92. Que le pseudo-torseur \(Q\) admette localement une section. « Cependant, il faut démontrer que loc. \(Q\) admet une section ». La page 104 établit à la place que \(H'\) est pro-unipotent, ce qui suffit pour une catégorie à engendrement dénombrable.
9. Page 98. La Proposition en caractéristique \(p > 0\) : « il faut sans doute travailler un peu … ».

Et quatre questions qu'il pose en toutes lettres sans y répondre : l'image essentielle du foncteur de Betti-Hodge, page 107 (« on n'a aucune idée ») ; quelles \(\otimes\)-catégories proviennent d'un schéma en groupes affine, page 112, avec son « ??? » ; une caractérisation intrinsèque des irréductibles sur \(T/W\), page 182 ; et la signification de l'invariant « nombre de cônes riemanniens dans \(\Phi\) », page 30.

3–16

Polarisations : l'axiomatique (pages 3 à 16)

Formes de Weil

Soit \(\mathcal{M}\) une \(\otimes\)-catégorie rigide sur un corps \(K \subset \mathbf{R}\), graduée par \(\mathbf{Z}\) et munie d'un objet de Tate \(K(1)\) inversible de degré \(-2\). Pour \(M\) de degré \(i\) on considère les formes \[ \varphi \colon M \otimes M \longrightarrow K(-i) , \] \((-1)^{i}\)-symétriques. Une telle \(\varphi\), si elle est non dégénérée, définit sur \(\operatorname{End}(M)\) une anti-involution \(u \mapsto u^{*}\) par \[ \varphi(ux, y) = \varphi(x, u^{*}y) , \qquad\text{soit}\qquad u^{*} = \tilde{\varphi}^{-1} \circ \check{u} \circ \tilde{\varphi} , \] où \(\tilde{\varphi} \colon M \xrightarrow{\ \sim\ } \check{M} \otimes K(-i)\) est l'isomorphisme que la non-dégénérescence fournit. La bijection \(\operatorname{Hom}(M \otimes M, K(-i)) \simeq \operatorname{End}(M)\), \(\psi \leftrightarrow u\) pour \(\psi(x,y) = \varphi(x, uy)\), transforme la transposition \(\psi \mapsto {}^{t}\psi\) en \(u \mapsto \varepsilon u^{*}\) avec \(\varepsilon = (-1)^{i}\) : les formes \(\varepsilon\)-symétriques correspondent donc aux \(u\) tels que \(u^{*} = \varepsilon u\).

\(\varphi\) satisfait la condition de Weil si \[ \operatorname{Tr}(u^{*}u) > 0 \qquad\text{pour tout } u \in \operatorname{End}(M) ,\ u \neq 0 . \] Autrement dit, la forme trace \((u,v) \mapsto \operatorname{Tr}(u^{*}v)\) est définie positive sur \(\operatorname{End}(M)\) : l'algèbre involutive \((\operatorname{End}(M), {}^{*})\) est formellement réelle. Lorsque \(\operatorname{End}(M)\) est de dimension finie sur \(K\), cela entraîne qu'elle est semi-simple, et que la restriction de \(\varphi\) à tout sous-objet est encore de Weil.¹

La compatibilité n'est pas transitive

Deux formes de Weil \(\varphi\) sur \(M\) et \(\psi\) sur \(N\), de même degré, sont dites compatibles si \(\varphi \oplus \psi\) est encore de Weil, ce qui revient à \[ \operatorname{Tr}\bigl( u^{*(\varphi,\psi)} u \bigr) > 0 \qquad\text{pour tout } u \colon M \to N ,\ u \neq 0 , \] l'adjoint étant calculé relativement à \(\varphi\) et \(\psi\). La relation est réflexive et symétrique. Elle n'est pas transitive, et la raison est donnée dans la marge de la page 4 : si \(M\) et \(N\) sont tels que \(\operatorname{Hom}(M,N) = \operatorname{Hom}(N,M) = 0\), la condition est vide, de sorte que deux formes de Weil \(\varphi\), \(\varphi'\) quelconques sur \(M\) sont toutes deux compatibles à une même \(\psi\) sur \(N\) sans avoir aucune raison d'être compatibles entre elles.

Ce qui est vrai, et c'est ce sur quoi tout repose, est que sur les formes de Weil d'un objet fixé la compatibilité est une relation d'équivalence. Le calcul est celui de la page 5 : si \(\psi = \varphi(\cdot, \alpha\,\cdot)\) avec \(\alpha \in \operatorname{End}(M)\) inversible, alors \[ u^{\mathrm{ad}(\psi)} = \alpha^{-1} u^{*} \alpha , \qquad u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)} = u^{*}\alpha , \] de sorte que \(\varphi\) et \(\psi\) sont compatibles si et seulement si \(\operatorname{Tr}(u^{*}u\alpha) > 0\) pour \(u \neq 0\) ; et cette même condition dit que \(\psi\) est elle-même de Weil. Les formes de Weil compatibles à \(\varphi\) correspondent donc bijectivement aux \(\alpha\) vérifiant cette inégalité, qui forment un cône convexe ouvert — et la transitivité s'ensuit parce que la condition est symétrique en les deux formes.²

Prépolarisations, admissibilité, polarisations

Une prépolarisation de \(\mathcal{M}\) est la donnée, pour chaque objet \(M\) de degré \(i\), d'une partie non vide \[ P(M) \subset \operatorname{Hom}(M \otimes M, K(-i)) \] formée de formes \((-1)^{i}\)-symétriques de Weil, soumise à l'axiome \[ \text{(P1)}\qquad \varphi \in P(M) ,\ \psi \in P(N) ,\ u \colon M \to N \ (u \neq 0) \ \Longrightarrow\ \operatorname{Tr}\bigl(u^{\mathrm{ad}(\varphi,\psi)}u\bigr) > 0 , \] pour \(M\), \(N\) de même degré. Cela signifie que, pour chaque degré, les formes de \(P\) sont mutuellement compatibles. L'existence d'une prépolarisation force \(\mathcal{M}\) à être semi-simple.

Proposition (page 5). Toute prépolarisation \(P\) est contenue dans une unique prépolarisation maximale \(\widehat{P}\), donnée par \[ \widehat{P}(M) = \{\,\varphi \text{ de Weil sur } M \ \text{compatible à toutes les formes de } P(M)\,\} . \]

C'est une opération de polarité : \(\widehat{P}\) est l'orthogonal de \(P\) pour la compatibilité, et \(\widehat{\widehat{P}} = \widehat{P}\). Trois corollaires suivent : \(\widehat{P}\) est stable par somme directe de deux objets de même degré, par restriction à un sous-objet, et par passage au dual, \(\check{\varphi} \in \widehat{P}(\check{M}(-i))\).³

L'admissibilité est ce qui accroche entre eux les degrés, que (P1) laisse indépendants : \[ \text{(P2)}\quad \chi \in P(M \otimes N) \Longrightarrow \chi \text{ compatible à } \varphi \otimes \psi \qquad \text{(P3)}\quad K(i) \otimes K(i) \xrightarrow{\ \sim\ } K(2i) \ \in\ \widehat{P}(K(i)) . \] En présence de (P2), (P3) équivaut à : \(\varphi \in P(M) \Rightarrow \varphi(i) \in \widehat{P}(M(i))\). Une polarisation est une prépolarisation maximale et admissible. Les formes d'une polarisation sont alors stables par \(\oplus\), par restriction, par \(\otimes\), par dualité, par torsion à la Tate, et contiennent les isomorphismes canoniques \(K(i) \otimes K(i) \simeq K(2i)\) ainsi que leurs multiples positifs.

Les trois réductions, et la chaîne \(\alpha \Rightarrow \beta \Rightarrow \gamma\)

Trois remarques réduisent le problème (pages 7 et 8). D'abord, une polarisation est connue dès qu'on la connaît sur un système de sous-\(\otimes\)-catégories qui engendre \(\mathcal{M}\) avec \(K(1)\) et \(K(-1)\). Ensuite, les formes de Weil de \(M\) sont celles de \(M \otimes_{K} \mathbf{R}\), de sorte que les polarisations de \(\mathcal{M}\) et de \(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\) se correspondent : on est ramené aux \(\otimes\)-catégories sur \(\mathbf{R}\). Enfin, si \(\mathcal{M} = \varinjlim \mathcal{M}(\alpha)\) le long de sous-\(\otimes\)-catégories pleines croissantes, alors \[ \operatorname{Pol}(\mathcal{M}) = \varprojlim \operatorname{Pol}(\mathcal{M}(\alpha)) , \] et si les \(\mathcal{M}(\alpha)\) sont de type fini, \(\operatorname{Pol}(\mathcal{M}) \neq \emptyset\) si et seulement si chaque \(\operatorname{Pol}(\mathcal{M}(\alpha)) \neq \emptyset\). On est ainsi ramené aux \(\otimes\)-catégories semi-simples de type fini sur \(\mathbf{R}\).

Les pages 8 et 9 passent aux objets complexifiés : \(M \in \operatorname{Ob}\mathcal{M}^{i}_{\mathbf{C}}\), c'est-à-dire \(M_{0}\) dans \(\mathcal{M}^{i}\) muni d'un endomorphisme \(J_{M}\) de carré \(-1\), et \(\overline{M}\) le même avec \(J_{\overline{M}} = -J_{M}\). Une forme \(M \otimes_{\mathbf{C}} \overline{M} \to \mathbf{C}(-i)\) équivaut à une forme \(\varphi_{0} \colon M_{0} \otimes M_{0} \to \mathbf{R}(-i)\) vérifiant \(\varphi_{0}(J x, y) = -\varphi_{0}(x, J y)\) et \(\varphi_{0}(J x, J y) = \varphi_{0}(x,y)\) ; elle est dite hermitienne ou antihermitienne selon que \(\varphi_{0}\) est symétrique ou alternée. Le point est un argument de moyennisation : si \(\psi_{0}\) est une polarisation de \(M_{0}\), alors \[ \varphi_{0}(x,y) = \psi_{0}(x,y) + \psi_{0}(J_{M}x, J_{M}y) \] en est une, et elle est \(J_{M}\)-invariante. Il s'ensuit \[ \check{M} \simeq \overline{M}(-i) \qquad\text{pour tout } M \in \operatorname{Ob}\mathcal{M}^{i}_{\mathbf{C}} . \] D'où la chaîne d'implications de la page 9 :

\(\alpha\)) \(\mathcal{M}\) admet une polarisation sur \(\mathbf{R}\) ; \(\Downarrow\) \(\beta\)) \(\mathcal{M}\) est semi-simple et \(\check{M} \simeq \overline{M}(-i)\) pour tout \(M\) de \(\mathcal{M}^{i}_{\mathbf{C}}\) ; \(\Downarrow\) \(\gamma\)) \(\mathcal{M}\) est semi-simple et \(\check{M} \simeq M(-i)\) pour tout \(M\) de \(\mathcal{M}^{i}_{\mathbf{R}}\).

La seconde implication vient de ce que \(M_{\mathbf{C}} \simeq N_{\mathbf{C}}\) entraîne \(M \simeq N\). Et aucune des deux ne se renverse : pour \(\mathcal{M} = \operatorname{Rep}(G)\) avec \(G\) algébrique sur \(\mathbf{R}\), on peut avoir \(\beta\)) sans \(\alpha\)) en prenant \(SO(\varphi)/\text{centre}\) pour \(\varphi\) une forme en un nombre pair de variables avec un nombre impair de carrés négatifs.⁴

Le critère, sur un système de générateurs

Supposons \(\mathcal{M}\) semi-simple sur \(K \subset \mathbf{R}\), engendrée comme \(\otimes\)-catégorie par \(M_{1}, \ldots, M_{r}\) de degrés \(d_{1}, \ldots, d_{r}\) et par \(K(\pm 1)\), et donnons-nous sur chaque \(M_{i}\) une forme de Weil \(\varphi_{i}\), \((-1)^{d_{i}}\)-symétrique. Pour un système d'entiers \(m = (m_{1}, \ldots, m_{r}, m_{r+1})\) avec \(m_{1}, \ldots, m_{r} \geqslant 0\), posons \[ M_{m} = \Bigl( \bigotimes_{i=1}^{r} \otimes^{m_{i}} M_{i} \Bigr)(m_{r+1}) , \qquad \varphi_{m} = \Bigl( \bigotimes_{i=1}^{r} \otimes^{m_{i}} \varphi_{i} \Bigr)(m_{r+1}) , \qquad \delta(m) = -2 m_{r+1} + \sum_{i=1}^{r} m_{i} d_{i} . \]

Critère (pages 10 et 11). Pour qu'il existe une polarisation de \(\mathcal{M}\) dont les \(\varphi_{i}\) soient des formes de polarisation, il faut et il suffit que \[ \operatorname{Tr}\bigl( u^{*(\varphi_{m}, \varphi_{m'})} u \bigr) \geqslant 0 \qquad\text{pour tous } m, m' \text{ avec } \delta(m) = \delta(m') \text{ et tout } u \in \operatorname{Hom}(M_{m}, M_{m'}) . \]

La suffisance est la construction directe : tout \(M \neq 0\) de degré \(n\) se plonge dans un \(M_{m}\) de même degré, on pose \(P(M)\) = l'ensemble des formes compatibles à \(\varphi_{m}|M\), et l'hypothèse dit exactement que ce \(P(M)\) ne dépend pas du plongement choisi. Que ce soit une prépolarisation, et qu'elle soit admissible, se lit sur \(\varphi_{m} \otimes \varphi_{m'} = \varphi_{m+m'}\) et sur \(\varphi_{m}(i) = \varphi_{(m_{1}, \ldots, m_{r}, m_{r+1}-i)}\).⁵

\(\mathcal{M} = \operatorname{Rep}(G)\), et l'involution de Cartan

Les six dernières pages du faisceau sont l'exemple qui commande tout : \(G\) un groupe algébrique sur \(\mathbf{R}\) muni de \[ \mathbf{G}_{m} \xrightarrow{\ i\ } G \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbf{G}_{m} , \qquad \eta = i(-1) , \] et \(C \in G(\mathbf{R})\) avec \(C^{2} = \eta\). Pour \(M\) une représentation de poids \(i\), on dit que \(\varphi \colon M \otimes M \to \mathbf{R}(-i)\) est une \(C\)-polarisation si \[ \varphi^{C}(x,y) := \varphi(x, Cy) \] est symétrique et définie positive. Le calcul essentiel, page 11, est que pour \(u \colon M \to N\) équivariant \[ u^{*(\varphi^{C}, \psi^{C})} = C_{M}^{-1}\, u^{*(\varphi,\psi)}\, C_{N} , \qquad\text{d'où}\qquad \operatorname{Tr}\bigl( u\, u^{*(\varphi,\psi)} \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( u\, u^{*(\varphi^{C},\psi^{C})} \bigr) \geqslant 0 , \] de sorte que la positivité pour \(\varphi^{C}\) donne la condition de Weil pour \(\varphi\). Le produit tensoriel de deux \(C\)-polarisations en est encore une pourvu que \(\varepsilon(C) = 1\), et non \(-1\) : c'est une insertion de sa main, et elle est nécessaire, puisque \(\varepsilon\) mesure l'action de \(C\) sur l'objet de Tate. Sous cette condition, l'application qui à \(M\) associe l'ensemble de ses \(C\)-polarisations est une polarisation de \(\operatorname{Rep}(G)\).

Le théorème de la page 13 est, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, que \(C\) définit une involution de Cartan :

Proposition. Si \(C \in G'(\mathbf{R})\), \(G' = \operatorname{Ker} \varepsilon\), avec \(C^{2} = \eta\), définit une polarisation de \(\operatorname{Rep}(G)\), alors \(\operatorname{Centr}_{G'}(C)(\mathbf{R})\) est un sous-groupe compact maximal de \(G'(\mathbf{R})\).

La compacité est immédiate : plongeant \(G'\) dans un produit de \(\operatorname{Aut}_{\mathbf{R}}(M_{\alpha})\) pour des représentations où \(\eta\) opère par \(\pm 1\), le centralisateur de \(C\) laisse invariantes les formes définies positives \(\varphi^{C}_{\alpha}\), donc tombe dans un produit de groupes orthogonaux compacts. La maximalité est l'argument long de la page 13, qui se ramène à montrer que si \(G'\) est compact alors \(C\) est central : on décompose \(V = V^{+} \oplus V^{-}\) selon les valeurs propres \(\pm 1\) de \(C\), la forme est positive sur \(V^{+}\) et négative sur \(V^{-}\), on conjugue \(G'\) dans le compact maximal \(O(V^{+}) \times O(V^{-})\) de \(O(\varphi)\), et \(C = C^{+} \oplus C^{-}\) y devient \(\mathrm{id} \oplus (-\mathrm{id})\), qui est central.⁶ Le cas \(\eta \neq 1\) se traite par le caractère \(\varepsilon \colon G \to \mu_{2}\) défini par \(gCg^{-1} = \varepsilon(g) C\) : si \(\varepsilon(g) = -1\) on aurait \(\varphi^{C}(gx,gx) = -\varphi^{C}(x,x)\), les deux membres respectivement \(> 0\) et \(< 0\), absurde.⁷

L'ensemble des polarisations est un torseur

Deux éléments \(C\), \(C'\) de carré \(\eta\) définissent la même polarisation dès qu'ils sont conjugués sous \(G(\mathbf{R})\). Réciproquement (page 15), en conjuguant par \(G'(\mathbf{R})^{\circ}\) on peut supposer \(C' = zC\) avec \(z\) dans la \(2\)-torsion du centre \(Z'(\mathbf{R})\) ; et si \(z \neq 1\), il existe une représentation \(V \neq 0\) où \(z\) opère par \(-\mathrm{id}\), donc \(\varphi^{C'} = -\varphi^{C} < 0\), absurde. Ainsi :

l'ensemble des polarisations de \(\operatorname{Rep}(G)\) définissables par un \(C\) — celles qu'il appelle hodgiennes — est un torseur sous la \(2\)-torsion de \(Z(\mathbf{R})\).

L'action est explicite : \((zP)\) est la polarisation dont les formes sont les \(\varphi\) telles que \(\varphi^{z}\) soit une \(P\)-polarisation.

Le cas général, page 16, est traité sans supposer \(\mathcal{M} = \operatorname{Rep}(G)\) : pour \(z\) un \(\otimes\)-automorphisme de \(\mathrm{id}_{\mathcal{M}}\) de carré \(1\), on pose \(\varphi^{z}(x,y) = \varphi(x, zy)\) et l'on trouve \[ u^{*(\varphi^{z}, \psi^{z})} = z_{M}^{-1} u^{*(\varphi,\psi)} z_{N} = u^{*(\varphi,\psi)} , \] la seconde égalité parce que \(z\), étant un automorphisme du foncteur identique, commute à tout. Donc \(\varphi\) est de Weil si et seulement si \(\varphi^{z}\) l'est, la compatibilité se transporte, et \(\varphi^{z} \otimes \psi^{z} = (\varphi \otimes \psi)^{z}\). Si de plus \(z\) opère par l'identité sur \(K(1)\), alors \({}^{z}P\) est encore une polarisation, et elle est distincte de \(P\) dès que \(z \neq 1\) : la \(2\)-torsion de ce groupe d'automorphismes opère librement sur \(\operatorname{Pol}(\mathcal{M})\). Reste la question, posée et non tranchée : cette action est-elle transitive ?⁸

18–30

Polarisations : les « Notes anciennes » (pages 18 à 30)

L'adjoint, et l'involution déterminée mod intérieurs

Ces feuillets, d'un papier jauni et d'une encre noire, portent le titre « Notes anciennes » de sa main. Ils prennent la même matière par l'autre bout : non plus l'axiomatique du choix des formes positives, mais l'algèbre \(\operatorname{End}(M)\) et les cônes qui vivent dedans.

Soit \(M\) un motif de poids \(p\) et \(\varphi\) une forme non dégénérée à valeurs dans \(\mathbf{Q}(p)\). Posant \(M^{*} = \check{M}(p)\) et \(\mathcal{Q}(M) = B(M, M ; \mathbf{Q}(p))\) l'espace des formes bilinéaires, on a les identifications \[ \operatorname{End}(M) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \Theta_{\varphi}\ } \mathcal{Q}(M) \simeq \operatorname{Hom}(M, M^{*}) , \qquad \Theta_{\varphi}(u) = \varphi \circ (u \otimes 1) , \] et la symétrie de \(\mathcal{Q}(M)\) devient, transportée sur \(\operatorname{End}(M)\), l'adjoint \(u \mapsto u^{\varphi}\). Le signe \((-1)^{\delta}\) que la page 20 écrit devant \(\tilde{\varphi}^{-1}\) est celui qui rend l'identité valable dans les deux cas, \(\varphi\) symétrique avec \(p\) pair et \(\varphi\) alternée avec \(p\) impair ; l'exposant \(\delta\) n'est pas défini sur ces deux pages, et les deux dernières lignes de la page 20 aboutissent à la même égalité pour les deux cas, ce que le signe est justement censé éviter.⁹

Les quatre règles de la page 22 sont que \(u \mapsto u^{\varphi}\) est additive, \(\mathbf{Q}\)-linéaire, involutive et anti-multiplicative. Remplaçant \(\varphi\) par \(\psi = \varphi a\) avec \(\psi(x,y) = \varphi(ax,y)\), la condition que \(\psi\) soit du même type s'écrit \(a^{\varphi} = a\), et alors \[ u^{\psi} = a^{-1} u^{\varphi} a . \] Donc l'involution de \(A = \operatorname{End}(M)\) est déterminée modulo automorphismes intérieurs — et plus précisément, \(\varphi\) étant fixée, modulo les intérieurs par un élément \(\varphi\)-hermitien inversible. La page 23 ajoute la remarque juste : la donnée de \(\varphi\) est plus fine que celle de l'involution, puisque si \(\operatorname{End}(M)\) est commutatif toutes les \(\varphi\) donnent la même involution, et \(\lambda\varphi\) donne toujours la même que \(\varphi\).

Algèbre de Riemann

La forme \[ \langle u, v \rangle = \operatorname{Tr}(v^{\varphi} u) = \operatorname{Tr}(u^{\varphi} v) \] est symétrique sur \(A\) et s'identifie à \(\check{\varphi} \otimes \varphi\) sous \(A \simeq \check{M} \otimes M\). Quand elle est définie positive — elle est nécessairement non dégénérée, donc définie dès qu'elle est positive — il appelle \(A\) une algèbre de Riemann. C'est, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, une algèbre semi-simple de dimension finie munie d'une involution positive.¹⁰

Le cône est la donnée intrinsèque

Voici le point de ces pages, et il est souligné sur la page 25. Soit \(A^{+}\) l'adhérence du cône des combinaisons à coefficients \(\geqslant 0\) des \(u^{\varphi}u\). Transporté dans l'espace \(\Phi^{s}\) des formes symétriques, il devient le cône fermé \(\Phi^{+}\) engendré par les \[ \varphi^{u}(x,y) = \varphi(ux, uy) , \] c'est-à-dire le plus petit cône convexe fermé contenant \(\varphi\) et stable par les automorphismes de \(M\). La théorie des algèbres de Riemann donne alors : tout élément intérieur à \(A^{+}\) est une unité, donc tout élément intérieur à \(\Phi^{+}\) est une forme non dégénérée ; et si \(\psi\) est intérieur à \(\Phi^{+}\), l'involution \(u \mapsto u^{\psi} = a^{-1}u^{\varphi}a\) s'en déduit par un automorphisme intérieur et a donc les mêmes propriétés de positivité, d'où \(\Phi^{+}(\psi) = \Phi^{+}(\varphi)\). Conclusion :

« C'est la donnée du cône \(\Phi^{+}\) qui, intrinsèquement, constitue une structure supplémentaire importante. »

Et il note aussitôt la limite de la chose : parmi les cônes possibles, on ne peut en distinguer de meilleurs, puisque si \(\varphi\) est positive \(-\varphi\) l'est aussi et définit \(-\Phi^{+}\).

La polarité

Deux énoncés de dualité ferment le faisceau. D'abord (page 25) \(A^{+}\) est son propre polaire dans \(A^{s}\) pour la forme \(\operatorname{Tr}(vw)\) : c'est un cône autopolaire. Ensuite (page 26), identifiant \(A\) à \(\Phi(M) = \check{M} \otimes \check{M}(p)\) par \(\Theta_{\varphi}\) d'une part, et à \(\Phi(M^{*}) = M \otimes M(-p)\) par \(u \mapsto {}^{t}u\) et \(\check{\varphi}\) d'autre part, la forme \(\operatorname{Tr}(vw)\) devient l'accouplement évident de contraction entre \(\Phi(M)\) et \(\Phi(M^{*})\), et \[ \Phi^{+}(M) \quad\text{et}\quad \Phi^{+}(M^{*}) \quad\text{sont polaires l'un de l'autre.} \] Chacun est donc le polaire de l'autre, et chacun détermine l'autre — la bipolarité valant parce que les cônes sont convexes et fermés. Le critère de la page 27 en est la réciproque : si deux cônes convexes fermés \(P \subset \Phi(M)\), \(P^{*} \subset \Phi(M^{*})\) sont stables par automorphismes, d'accouplement \(\geqslant 0\), et contiennent une paire \((\varphi, \varphi^{*})\) de formes admissibles polaires l'une de l'autre, alors \(P\) et \(P^{*}\) sont nécessairement admissibles et polaires.

Le cadre abstrait, et l'invariant laissé ouvert

Les pages 27 et 28 dégagent le cadre : une algèbre \(A\) semi-simple de type fini sur \(\mathbf{Q}\), munie d'une forme trace telle que \(\operatorname{tr}(uv)\) soit non dégénérée ; un module \(\Phi\) sur \(A \otimes A\), de rang \(1\) pour chacune des deux structures ; son dual \(\Phi^{*}\) ; et une symétrie de \(\Phi\) qui échange les deux structures de \(A\)-module. Pour \(\varphi\) fixé par la symétrie, la bijection \(A \to \Phi\) qu'il définit donne sur \(A\) l'application \(u \mapsto u^{\varphi}\), involutive, déterminée modulo intérieurs par les \(a\) avec \(a^{\varphi} = a\) — et anti-multiplicative, ce que la marge de la page 28 note : \((uv)^{\psi} = v^{\psi}u^{\psi}\), indépendamment du choix de \(\psi\).¹¹

Les pages 29 et 30 concluent. \(\varphi\) est dite riemannienne si \(A\), munie de la trace et de \(u \mapsto u^{\varphi}\), est une algèbre de Riemann. Toute \(\varphi\) riemannienne définit le cône \(\Phi^{+}(\varphi)\), et \(A^{\circ} \to \Phi^{*}\) transporte le cône dual en \(\Phi^{*+}\) ; la théorie des algèbres hilbertiennes donne que les deux cônes sont polaires, que leurs intérieurs sont exactement les formes riemanniennes, et que \(\Phi^{+}(\psi) = \Phi^{+}(\varphi)\) pour \(\psi\) intérieur. On trouve ainsi dans \(\Phi\) un nombre fini de cônes convexes fermés \(P_{\alpha}\), stables par les \(u \otimes u\), d'intérieurs deux à deux disjoints, et dont la réunion des intérieurs est l'ensemble des formes riemanniennes. Si \(\varphi\) est riemannienne, \(-\varphi\) l'est aussi mais dans le cône opposé. D'où la question, qui clôt le faisceau et reste ouverte :

« Quelle est la signification de l'invariant : nombre de cônes riemanniens dans \(\Phi\) ? »

C'est un invariant discret du couple \((A, \Phi)\), et donc, pour l'algèbre des endomorphismes d'une variété abélienne munie de son involution de Rosati, un invariant de son type au sens de la classification des involutions positives. Le dossier ne le calcule dans aucun cas.

32–57

Deux numéros de SGA 3 (pages 32 à 57)

Vingt-six feuillets tapés par une autre main, corrigés par lui au crayon et à l'encre bleue, ne sont pas sur le sujet du carton : ce sont les n^os 10 et 11 de SGA 3, sur le passage à la limite projective dans les préschémas en groupes et sur les préschémas en groupes affines. Rien sur les feuillets ne dit pourquoi ils sont classés ici. On les lit brièvement, pour deux résultats dont le travail tannakien du dossier ne peut pas se passer.

Le premier : tout groupe affine est pro-algébrique

Proposition (page 51). Soient \(k\) un corps et \(G\) un \(k\)-groupe affine d'algèbre \(A\). Alors \(G\) est limite projective d'un système filtrant croissant de \(k\)-groupes affines de type fini, dont les morphismes de transition sont fidèlement plats.

La démonstration est en deux temps, et ils sont tous deux utiles ailleurs. Le lemme 11.12 dit que tout \(x \in A\) est contenu dans une sous-\(k\)-algèbre de type fini \(V\) stable par la diagonale \(\Delta\) et par l'involution — ce qui se voit en écrivant \(\Delta(x) = \sum \varphi_{i} \otimes a_{i}\) et \(\Delta(\varphi_{i}) = \sum \varphi_{j} \otimes b_{ji}\), d'où \(\Delta(a_{i}) = \sum b_{ij} \otimes a_{j}\), et en prenant pour \(V\) l'algèbre engendrée par les \(b_{ij}\) et leurs images par l'involution. L'ensemble de ces sous-algèbres est stable par engendrement, donc \(A\) en est la limite inductive, chacune est l'algèbre affine d'un \(G_{i}\) de type fini, et \(G = \varprojlim G_{i}\). Le lemme 11.14 donne enfin que les transitions sont fidèlement plates, parce qu'un morphisme de \(k\)-groupes affines de type fini est fidèlement plat si et seulement si l'homomorphisme d'algèbres correspondant est injectif.

C'est exactement ce dont les pages 108 et 112 auront besoin pour parler de \(G = \varprojlim G_{i}\) et de la composante neutre du pro-groupe, et ce que le dictionnaire des pages 120 et 156 suppose quand il fait de \(U\) une algèbre profinie.

Le second : affine, c'est agir fidèlement sur un espace vectoriel

Proposition 11.11 (pages 48 à 50). Soit \(G\) un groupe algébrique sur un corps \(k\). Sont équivalentes : (i) \(G\) affine ; (ii) \(G\) quasi-affine ; (iii) \(G\) opère fidèlement sur un \(k\)-schéma quasi-affine ; (iv) \(G\) opère fidèlement sur un \(k\)-espace vectoriel, pas nécessairement de dimension finie ; (v) \(G\) est isomorphe à un sous-groupe fermé d'un \(\mathrm{Gl}(n)_{k}\).

Le passage qui compte est (iv) \(\Rightarrow\) (v), et il repose sur le corollaire 11.10 : un module quasi-cohérent où \(G\) opère est réunion filtrante de ses sous-modules de type fini stables. Si \(G\) opère fidèlement sur \(V\), les noyaux \(K_{i}\) des actions induites sur les \(V_{i}\) de dimension finie ont pour intersection le groupe unité ; \(G\) étant noethérien, l'un des \(K_{i}\) est déjà trivial, donc \(G \to \underline{\operatorname{Aut}}_{V_{i}}\) est un monomorphisme, donc une immersion fermée.¹²

Le cas non algébrique de (iv) \(\Rightarrow\) (i) passe par la limite projective \(G' = \varprojlim G_{i}\) des plus petits sous-groupes fermés de \(\operatorname{Aut}(V_{i})\) par lesquels \(G\) se factorise, et par le lemme 11.11.1 : tout sous-schéma en groupes ouvert d'un groupe sur un corps est fermé, le complémentaire étant réunion de translatés de l'ouvert.

Ce que le reste contient

Le n^o 10 est une machine de descente : dans la situation de EGA IV 8.8, la catégorie des \(S\)-préschémas de présentation finie est déterminée par celles des \(S_{i}\), et un grand nombre de propriétés d'un morphisme se lisent à un niveau fini. Les résultats 10.2 à 10.16 étendent cela aux groupes, aux préschémas à groupe d'opérateurs, aux monomorphismes centraux et invariants, à la représentabilité d'un quotient (lemmes 10.7 et 10.8, où la représentabilité de \(X/R\) équivaut à l'existence d'un \(Y\) et d'un \(p\) fidèlement plat rendant cartésien le carré évident), aux transporteurs et normalisateurs (10.11), et au faisceau des commutateurs (10.12).

Y sont encore la proposition 10.6 et le corollaire 10.13, qui ramènent à un niveau fini la représentabilité d'un quotient \(G/G'\) et la condition \((D_{s}, D_{s}) = D_{s}\) sur les fibres d'un sous-groupe invariant.

Le n^o 11 contient, outre les deux propositions ci-dessus, le lemme 11.1 sur \(\mathcal{O}(X) \otimes \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X \times_{S} Y)\) — en marge duquel sa main écrit « fausse formule », et il a raison de le signaler : l'isomorphisme demande une hypothèse de platitude, que les trois cas a), b), c) fournissent chacun à sa façon ; la correction de la page 44, qui rétablit le théorème de Lazard dans sa forme exacte — tout module plat est limite inductive filtrante de modules libres de type fini, là où la machine avait tapé l'implication inverse et fausse ; les définitions 11.15 des vecteurs semi-invariants, de leur poids et de leur caractère associé, où le mot « poids » est déplacé de sa main sur « invariant » et l'ancienne définition biffée ; et les deux théorèmes de Chevalley. Le premier (11.16) : tout sous-groupe fermé \(H\) de \(G\) affine algébrique est le plus grand sous-groupe sous lequel un nombre fini d'éléments indépendants de \(A\), de même poids, soient semi-invariants — la démonstration prend \(W = V \cap I\) de dimension \(d\) et travaille dans \(\bigwedge^{d}V\). Le second (11.17) : pour \(H\) fermé invariant dans \(G\) affine, le faisceau quotient fpqc \(G/H\) est représentable par un groupe affine ; le cas algébriquement clos est supplié par un feuillet de sa main (page 55), qui est le « VOIR CI CONTRE » cerclé de la page 56, et qui remarque en passant que la référence à « BIBLE » est un corollaire de 11.16.

Entre les deux se placent les énoncés qui font marcher la machine et que cette lecture ne détaille pas : le corollaire 11.2, qui fait de \(X \rightsquigarrow \operatorname{Spec}\mathcal{O}(X)\) un foncteur commutant aux produits finis, donc transformant groupes en groupes ; la définition 11.3 de l'enveloppe affine \(G_{\mathrm{af}} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}(G)\), et le n^o 11.6 qui met en bijection les opérations de \(G\) et celles de \(G_{\mathrm{af}}\) sur un module, en donnant les deux axiomes (CM1) et (CM2) sous forme géométrique et sous forme coalgébrique ; la proposition 11.5, qui identifie les morphismes de \(S\)-foncteurs de \(X\) dans \(\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_{S}} (\mathbb{V}(\mathcal{F}), \mathbb{V}(\mathcal{E}))\) aux homomorphismes \(\mathcal{E} \to \mathcal{O}(X) \otimes \mathcal{F}\), et dont la démonstration est l'endroit où Lazard est rétabli ; le lemme 11.7, qui définit l'opération induite sur un sous-module stable ; et le lemme 11.8, qui est le cœur technique de tout le paragraphe — pour \(\mathcal{O}(G)\) libre de base \((\varphi_{i})\) et \(\rho(x) = \sum \varphi_{i} \otimes x_{i}\), le sous-module engendré par les \(x_{i}\) est stable, de type fini, et contient \(x\).

La remarque 11.11.2 note, et c'est ce dont les pages 108 et 112 se serviront, qu'une fois \(G\) su affine l'homomorphisme \(G \to \varprojlim G_{i}\) est un isomorphisme : \(G\) est sa propre limite projective de groupes algébriques, ce que 11.13 redémontre par une autre méthode.

Le dernier énoncé du tapuscrit, le corollaire 11.18 — tout sous-groupe algébrique d'un groupe diagonalisable est diagonalisable — est annulé par des boucles au crayon et le feuillet reste blanc dessous.

59–60

Une catégorie tannakienne de lien diagonalisable (pages 59 et 60)

Deux feuillets d'un tapuscrit étranger au précédent, et les premiers du dossier qui touchent son sujet.

Soit \(\mathcal{M}\) une catégorie tannakienne sur un corps \(k\) dont le lien est un groupe diagonalisable \(D(\Lambda)\), \(\Lambda\) étant un groupe abélien à action galoisienne triviale. Cela revient, la page le dit en insertion, à demander que \(\mathcal{M}\) soit semi-simple et que pour tout objet simple \(S\) de rang \(d(S)\) on ait \(\operatorname{End}(S)\) de rang \(d(S)^{2}\) : l'objet est « isotypique », et son algèbre d'endomorphismes est une algèbre à division de degré maximal.

Une telle catégorie est classée, à équivalence près respectant toutes les structures et contraintes, par un élément \[ \xi \in H^{2}(k, D(\Lambda)) \simeq \operatorname{Hom}(\Lambda, \operatorname{Br}(k)) , \] donc par un homomorphisme \(u \colon \Lambda \to \operatorname{Br}(k)\).¹³

La structure qui s'ensuit est entièrement lisible. \(\mathcal{M}\) est graduée de type \(\Lambda\), les objets homogènes sont les isotypiques, il y a pour chaque \(i \in \Lambda\) exactement un simple \(M_{i}\) de degré \(i\), et son rang est l'ordre \(d(i)\) de \(u(i)\) dans \(\operatorname{Br}(k)\). L'anneau des classes est donc \[ K(\mathcal{M}) = \Bigl\{ \textstyle\sum n_{i} e^{i} \in \mathbf{Z}[\Lambda] \ :\ d(i) \mid n_{i} \ \text{pour tout } i \Bigr\} \subset \mathbf{Z}[\Lambda] , \] de base canonique les \(d(i)e^{i}\), et \(\operatorname{End}(M_{i})\) est le corps gauche de centre \(k\) d'invariant \(u(i)\).¹⁴

La page 60 reconstruit \(\mathcal{M}\) à partir des algèbres. Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}^{(I)}\) libre, la donnée de \(u\) est celle d'éléments \(\xi_{i} \in \operatorname{Br}(k)\) ; choisissant un isotypique non nul \(E_{i}\) de degré \(i\) et posant \(A_{i} = \operatorname{End}(E_{i})\), l'algèbre d'Azumaya de classe \(\xi_{i}\), on considère la catégorie sous-additive dont les objets sont les \(\underline{\gamma} \in \mathbf{N}^{(I)}\) — lu comme \(\bigotimes E_{i}^{\gamma_{i}}\) — avec \[ \operatorname{Hom}(\underline{\gamma}, \underline{\gamma}') = \begin{cases} 0 & \text{si } \underline{\gamma} \neq \underline{\gamma}' \\ \bigotimes_{i} A_{i}^{\otimes \gamma_{i}} & \text{sinon,} \end{cases} \] le \(\otimes\) étant l'addition sur les objets et le produit tensoriel sur les morphismes. Son enveloppe karoubienne est une \(\otimes\)-catégorie abélienne, qui s'identifie à la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{M}\) des objets à degrés dans \(\mathbf{N}^{(I)}\), et qui est munie d'un foncteur fibre sur \(\bar{k}\) ; puis, \(A_{i}\) étant de rang \(d_{i}^{2}\) et \(E_{i}\) de rang \(d_{i}\), les \(L_{i} = \det E_{i} = \bigwedge^{d_{i}} E_{i}\) sont préinversibles, et en les inversant on retrouve \(\mathcal{M}\).

Deux avertissements de sa main ferment le feuillet : « attention à contrainte de commutativité » en marge de la construction, et « A expliciter ! » à la fin — dans la description des \(\otimes\)-foncteurs de \(\mathcal{M}\), « il semble qu'il doive revenir au même d'exiger que le rang est conservé ». C'est la question que posent aussi, au n^o 12, les pages 129 à 131 : jusqu'où peut-on négliger la contrainte de commutativité ?

61–65

Les caractères numériques, et leur insuffisance (pages 61 à 65)

Ce qu'on peut compter

Soit \(\mathcal{M}\) une catégorie abélienne \(k\)-linéaire à \(\operatorname{Hom}\) de dimension finie. Si \(M\) est simple, la sous-catégorie abélienne qu'il engendre est celle des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps \(K = \operatorname{End}(M)\). Deux conséquences immédiates et utiles :

• \(M\) reste semi-simple après une extension \(k'/k\) si et seulement si \(K \otimes_{k} k'\) est semi-simple ;
• cela vaut pour toute \(k'\) si et seulement si cela vaut pour une extension parfaite, si et seulement si le centre \(Z\) de \(K\) est séparable sur \(k\). On dit alors que \(M\) est absolument semi-simple.

Le groupe \(K(\mathcal{M})\) est libre sur l'ensemble \(\Sigma(\mathcal{M})\) des classes de simples,¹⁵ et la décomposition de \(M_{k'}\) se lit sur \(K \otimes_{k} k' = \prod_{i} M_{n_{i}}(K'_{i})\) : \(r\) composants isotypiques, le \(i\)-ème à \(n_{i}\) composants simples. Pour \(k'/k\) quasi-galoisienne de groupe \(\pi\), les classes obtenues sont conjuguées et \[ \Sigma(\mathcal{M}) \simeq \Sigma(\mathcal{M}_{k'})/\pi . \]

Si \(\mathcal{M}\) est semi-simple, elle est connue à équivalence près par \(\Sigma\) et par l'application \[ \sigma \longmapsto \bigl( Z_{\sigma},\ \xi_{\sigma} \in \operatorname{Br}(Z_{\sigma}) \bigr) , \] \(Z_{\sigma}\) étant le centre de \(\operatorname{End}(M_{\sigma})\) et \(\xi_{\sigma}\) la classe de celle-ci. La variance en \(k'\) se calcule : la fibre de \(\Sigma' \to \Sigma\) au-dessus de \(\sigma\) est l'ensemble des corps composants de \(Z_{\sigma} \otimes_{k} k'\), et l'application \(\mathbf{Z}^{(\Sigma)} \to \mathbf{Z}^{(\Sigma')}\) envoie \(\sigma\) sur \(\sum_{i} n_{i}(\sigma, i)\) avec \[ n_{i} = d/d_{i} , \] \(d\) étant l'ordre de \(\xi_{\sigma}\) et \(d_{i}\) celui de son image dans \(\operatorname{Br}(Z'^{i}_{\sigma})\).

Les quatre caractères numériques d'une \(\otimes\)-catégorie sont alors (pages 62 et 63) : l'ensemble \(\Sigma\) ; la multiplication de \(K(\mathcal{M}) = \mathbf{Z}^{(\Sigma)}\), c'est-à-dire les constantes de structure \(c^{\rho}_{\sigma,\tau} \in \mathbf{N}\) de \[ \sigma\tau = \sum_{\rho} c^{\rho}_{\sigma,\tau}\,\rho\, ; \] l'application \(\sigma \mapsto (Z_{\sigma}, \xi_{\sigma})\) ; et la fonction rang \(\mathcal{M} \to \mathbf{Z}\).¹⁶ Les deux premières données équivalent à celle de l'anneau \(K = K(\mathcal{M})\) avec sa partie effective \(K^{\mathrm{eff}} = \mathbf{N}^{(\Sigma)}\) — et \(\Sigma\) se récupère comme l'ensemble des éléments non nuls minimaux de \(K^{\mathrm{eff}}\), ce qui est la remarque qui rend la liste économique. La quatrième permet de calculer les polynômes caractéristiques d'un endomorphisme en termes de normes et traces réduites dans les algèbres d'Azumaya \(\operatorname{End}(M_{i})\) : pour \(M\) isotypique de rang \(n\), de centre \(Z\) de rang \(r\), avec \(n = n'r\) et \(K\) de rang \(d^{2}\) sur \(Z\), \[ \operatorname{det}_{M} f = \operatorname{N}_{Z/k}\bigl( \operatorname{Nr}_{K/Z}(f) \bigr)^{n'/d} , \qquad \operatorname{Tr}_{M} f = \frac{n'}{d}\,\operatorname{Tr}_{Z/k}\bigl( \operatorname{Trr}_{K/Z}(f) \bigr) . \]

Et ce que cela ne détermine pas

Le résultat de ce paragraphe est négatif, et il est énoncé avec soin :

la connaissance des caractères numériques d'une catégorie tannakienne \(\mathcal{M}\) ne permet pas en général de la reconstituer à équivalence près — même si \(k\) est algébriquement clos de caractéristique \(0\), de sorte que la troisième donnée devient vide, et même si \(\mathcal{M}\) est semi-simple ; et même dans le cas particulier où \(\mathcal{M}\) est la catégorie des représentations d'un groupe fini.

La parenthèse qui suit est une consigne qu'il se donne : « à vérifier dans littérature qu'un groupe fini n'est pas déterminé par la connaissance de la table de multiplication de son ensemble de caractères, et les rangs de ceux-ci … ». La réponse est oui, et elle est classique : le groupe diédral d'ordre \(8\) et le groupe des quaternions d'ordre \(8\) ont la même table de caractères.¹⁷

L'exception qu'il signale est celle de la page 59 : si le lien est diagonalisable, \(\Sigma\) devient un sous-groupe de \(K^{*}\) qui détermine le lien, et la troisième donnée fournit l'homomorphisme \(\Sigma \to \operatorname{Br}(k)\) qui suffit à tout déterminer. Reste le cas d'un lien de type multiplicatif, et c'est ce que fait la partie c).

Lien de type multiplicatif

Par changement de base à une clôture séparable \(k'\), l'ensemble \(\Sigma' = \Sigma(\mathcal{M}_{k'})\) — déduit canoniquement de la donnée numérique, avec l'action de \(\pi = \operatorname{Gal}(k'/k)\) — reçoit de la multiplication de \(K(\mathcal{M}_{k'})\) une structure de groupe respectée par \(\pi\). Cela donne le lien \(G = D(\Lambda)\), \(\Lambda\) étant \(\Sigma'\) avec son action. \(\Sigma\) est l'ensemble des orbites, \(Z_{\sigma}\) le corps des invariants du stabilisateur d'un point de l'orbite \(\sigma\), et pour \(M_{\sigma}\) de type \(\sigma\) l'homomorphisme \(G \to \underline{\operatorname{Aut}}(M_{\sigma})\) se factorise par le centre en \[ u_{\sigma} \colon G \longrightarrow \underline{Z}^{*}_{\sigma} \simeq \prod\nolimits_{Z_{\sigma}/k} \mathbf{G}_{m} , \qquad u_{\sigma}(\xi) = \xi_{\sigma} , \] où \(\xi \in H^{2}(k_{\mathrm{pl}}, G)\) est la classe de la gerbe tannakienne. La connaissance du caractère numérique équivaut donc à celle de \(G\) et des classes \(u_{\sigma}(\xi)\) pour tous les homomorphismes de \(G\) dans des tores \(\prod_{Z/k}\mathbf{G}_{m}\) : la réciproque tient parce que le rang se calcule, \[ n(\sigma) = \operatorname{card}(\sigma) \cdot \operatorname{ord}(\xi_{\sigma}) . \] La question devient : \(\xi\) est-il connu quand on connaît ses images \(u_{\sigma}(\xi)\) ? Oui pour \(G\) diagonalisable. Oui encore pour un tore de dimension \(1\), et c'est l'Exemple 1 : un tel tore non trivial est tordu par une extension quadratique \(Z\), la suite exacte \[ 0 \longrightarrow G \xrightarrow{\ u\ } \underline{Z}^{*} \xrightarrow{\ N_{Z/k}\ } \mathbf{G}_{m} \longrightarrow 0 \] donne que le noyau de \(H^{2}(k,G) \to H^{2}(k, \underline{Z}^{*})\) est un quotient de \(H^{1}(k, \mathbf{G}_{m})\), nul par Hilbert 90. Le caractère numérique détermine donc \(\mathcal{M}\) dans ce cas. L'Exemple 2, sur \(G' = \operatorname{Ker}(n \cdot \mathrm{id}_{G})\), est annulé par de longues diagonales et le tapuscrit s'interrompt là.

66–83

La gerbe des \(F\)-isocristaux (pages 66 à 83)

C'est le calcul le plus poussé du dossier, et le seul qui aille jusqu'à la structure complète d'une gerbe. Dans tout ce paragraphe \(k\) est un corps de caractéristique \(p > 0\), \(W\) un \(p\)-anneau de corps résiduel \(k\), \(K\) son corps des fractions, \(\sigma\) le Frobenius. Attention : ici \(F\) n'est pas un foncteur fibre, c'est le Frobenius d'un cristal.

Les objets

Les cristaux en modules localement libres de type fini sur le site cristallin absolu de \(k\) s'explicitent, via \(W\), comme les modules libres de type fini \(M\) sur \(W\) munis pour chaque \(n\) d'une connexion absolue plate sur \(M/p^{n}M\), ces connexions se recollant. Pour \(k\) parfait, \(W = W(k)\) est l'anneau des vecteurs de Witt et les connexions sont une donnée vide : la catégorie est celle des \(W\)-modules libres de type fini, et celle des isocristaux (cristaux à isogénie près) est \(\operatorname{Modf}(K)\).

Un \(F\)-cristal est un couple \((M, F_{M})\) avec \(F_{M} \colon M^{\sigma} \to M\). Ces objets forment une catégorie \(\mathbf{Z}_{p}\)-linéaire dont les \(\operatorname{Hom}\) sont des \(\mathbf{Z}_{p}\)-modules de type fini — et non des \(W\)-modules, même pour \(k\) parfait, ce qu'il souligne. Elle n'est pas tannakienne, même tensorisée par \(\mathbf{Q}_{p}\) : il manque un \(\operatorname{Hom}\) interne. Le remède est en deux temps. \(M\) est non dégénéré s'il existe \(i \geqslant 0\) et \(V \colon M \to M^{\sigma}\) avec \(VF = p^{i}\) ; localisant en \(p\) la catégorie des \(F\)-cristaux non dégénérés, on obtient les \(F\)-isocristaux effectifs. L'objet de Tate inverse \(K(-1)\) est le cristal unité avec \(F = p \cdot \mathrm{id}\) ; il est faiblement inversible, et en lui adjoignant formellement un inverse on trouve une catégorie tannakienne sur \(\mathbf{Q}_{p}\) munie d'un foncteur fibre évident sur \(K\) : \[ \mathrm{FCriso}(k) . \] Pour \(k\) parfait elle s'identifie à la catégorie des \((E, F_{E})\) avec \(E\) de dimension finie sur \(K\) et \(F_{E}\) un automorphisme \(\sigma\)-linéaire ; et \((E,F_{E})\) est effectif si et seulement si \(F_{E}\) laisse invariant un réseau, c'est-à-dire si et seulement si la famille des itérés \(F_{E}^{n}\), \(n \geqslant 0\), est bornée dans \(\operatorname{End}(E)\).

La gerbe associée sur \(\mathbf{Q}_{p}\) est notée \(\underline{G}(k)\), et le programme est de la déterminer avec ses structures supplémentaires : la structure d'effectivité, l'objet de Tate inverse (qui donne un homomorphisme canonique vers la gerbe triviale de groupe \(\mathbf{G}_{m}\)), et pour \(k\) parfait la section canonique sur \(K\).

Pourquoi c'est intéressant : la cohomologie cristalline

La raison de s'y intéresser est un foncteur \(X \mapsto H^{*}_{\mathrm{cris}}(X)\) des schémas propres et lisses sur \(k\) vers les \(F\)-cristaux gradués, additif, compatible à \(\otimes\) et à toutes les associativités et commutativités — à condition d'utiliser la règle de Koszul pour la contrainte de commutativité. Modulo des vérifications qu'il attribue à Berthelot (« quand Berthelot aura bien travaillé »), il arrive même dans les \(F\)-cristaux non dégénérés, avec \(H^{2}_{\mathrm{cris}}(\mathbf{P}^{1}) = W(-1)\) et \(H^{2d}_{\mathrm{cris}}(X) \simeq W(-d)\) pour \(X\) géométriquement connexe de dimension \(d\). Admettant le yoga des motifs — et il faut ici la structure graduée de la catégorie des motifs, pour pouvoir « canuler par la règle de Koko » la commutativité géométrique — on obtient un homomorphisme de gerbes \[ \underline{G}(k) \longrightarrow \Pi(k)_{\mathbf{Q}_{p}} , \] \(\Pi(k)\) étant la gerbe des motifs, compatible à l'augmentation de Tate et aux structures d'effectivité. Et pour \(k = \mathbf{F}_{q}\) la connaissance de l'image de \(H^{*}(X)\) dans \(\mathrm{FCriso}(k)\) permet de calculer la fonction \(\zeta_{X}\) « par la formule qu'on devine et que je me dispense d'écrire ».

Pente nulle : les cristaux unités

Proposition 5.1 (page 70). Le foncteur \(V \mapsto V \otimes_{\mathbf{Z}_{p}} W\) est une équivalence de la catégorie des faisceaux \(p\)-adiques constructibles sur \(k\) — c'est-à-dire des \(\mathbf{Z}_{p}\)-modules de type fini munis d'une opération continue de \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) — sur la sous-catégorie pleine des \(F\)-cristaux \(M\) tels que \(F_{M} \colon M^{\sigma} \to M\) soit un isomorphisme.

Le corollaire donne, pour \(k\) parfait, quatre conditions équivalentes sur \((E,F_{E})\) : être dans l'image essentielle ; admettre un réseau stable par \(F_{E}\) et par \(F_{E}^{-1}\) ; avoir la famille des \(F^{n}\), \(n \in \mathbf{Z}\), bornée ; être effectif ainsi que son dual. Ces objets sont dits de pente nulle, et l'on obtient un épimorphisme de gerbes \[ \underline{G}(k) \longrightarrow \Pi_{p}(k) , \] où \(\Pi_{p}(k)\) est la gerbe des \(\mathbf{Q}_{p}\)-faisceaux constructibles, équivalente — une clôture \(\bar{k}\) choisie — à la gerbe triviale de l'enveloppe \(\mathbf{Q}_{p}\)-algébrique de \(\pi\). Tenant compte de l'augmentation de Tate, c'est même un épimorphisme \[ \underline{G}(k) \longrightarrow \Pi_{p}(k) \times [\mathbf{G}_{m}]_{\mathbf{Q}_{p}} , \] les objets de la forme \(\sum_{i} V_{i} \otimes \mathbf{Q}_{p}(i)\) étant les \(F\)-isocristaux dits de niveau zéro.¹⁸

Changement de corps, et la question 6.2

Un homomorphisme \(k \to k'\) donne \(\mathrm{FCriso}(k) \to \mathrm{FCriso}(k')\) et, en sens inverse, \(\underline{G}(k') \to \underline{G}(k)\), compatible aux épimorphismes ci-dessus. La Proposition 6.1 dit que pour \(k'/k\) finie étale c'est un monomorphisme d'image la sous-gerbe « ouverte » définie par l'image de \(\pi_{1}(k')\) ; en particulier, pour \(k'/k\) finie galoisienne de groupe \(g\), \[ 0 \longrightarrow \underline{G}(k') \longrightarrow \underline{G}(k) \longrightarrow [g]_{\mathbf{Q}_{p}} \longrightarrow 0 . \] C'est, dit-il, formellement équivalent à l'effectivité de la descente de \(\operatorname{Spec}(k') \to \operatorname{Spec}(k)\) pour la catégorie fibrée des \(\mathrm{FCriso}\), dont la démonstration est « \(\pm\) triviale ».

La Question 6.2 est la même pour \(k'/k\) galoisienne possiblement infinie, et le cas intéressant est \(k' = \bar{k}\) : \[ 0 \longrightarrow \underline{G}(\bar{k}) \longrightarrow \underline{G}(k) \longrightarrow \Pi_{p}(k) \longrightarrow 0 \, ? \] Le n^o 7 annonce que la réponse est affirmative pour \(k\) fini, d'où, pour tout \(k\), \[ \underline{G}(k) \simeq \underline{G}(\mathbf{F}_{p}) \times_{\Pi_{p}(\mathbf{F}_{p})} \Pi_{p}(k) , \] et pour \(k\) parfait une réponse affirmative revient à dire que cet homomorphisme est une équivalence. Cela ramènerait toute la structure de \(\underline{G}(k)\) à celle de \(\underline{G}(\mathbf{F}_{p})\), plus la connaissance de \(\pi_{1}(k) \to \pi_{1}(\mathbf{F}_{p}) = \hat{\mathbf{Z}}\) — et, pour la section canonique sur \(K\), plus l'opération de \(\pi_{1}(k)\) sur la clôture non ramifiée de \(K\). Quant à l'effectivité, elle est invariante par changement de base, donc se ramène au cas algébriquement clos : les \(F\)-isocristaux effectifs seront ceux à pentes \(\geqslant 0\).

La gerbe sur le corps premier

C'est le cœur du calcul. Le foncteur fibre canonique identifie \(\underline{G}(\mathbf{F}_{p})\) à la gerbe triviale de son lien ; et comme \(\mathrm{FCriso}(\mathbf{F}_{p})\) avec son foncteur fibre est la catégorie des automorphismes de \(\mathbf{Q}_{p}\)-espaces de dimension finie, ce lien est l'enveloppe \(\mathbf{Q}_{p}\)-proalgébrique du groupe discret \(\mathbf{Z}\). Appelons-le \(G\). Il est commutatif, donc produit d'un groupe vectoriel \(G_{u}\) par un groupe de type multiplicatif \(G_{r}\), et \(G_{r}\) est l'enveloppe multiplicative de \(\mathbf{Z}\), c'est-à-dire le groupe de type multiplicatif de groupe des caractères \[ X(G_{r}) = \bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*} . \]

De l'autre côté, \(\Pi_{p}(\mathbf{F}_{p})\) est la gerbe triviale de l'enveloppe \(\mathbf{Q}_{p}\)-algébrique de \(\hat{\mathbf{Z}}\). Un faisceau constructible sur \(\mathbf{F}_{p}\) est un \((E, F_{E})\) dont l'opération \(n \mapsto F_{E}^{n}\) de \(\mathbf{Z}\) se prolonge continûment à \(\hat{\mathbf{Z}}\) ; cela ne dépend que de la composante semi-simple de \(F_{E}\), et cela signifie exactement que les valeurs propres de \(F_{E}\) sont des unités \(p\)-adiques. Le lien de \(\Pi_{p}(\mathbf{F}_{p})\) est donc le quotient \(G_{u} \times G'_{r}\) de \(G\) où \(G'_{r}\) correspond au sous-groupe des unités dans \(\bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*}\). D'où une structure d'extension \[ 0 \longrightarrow H \longrightarrow G \longrightarrow G' \longrightarrow 0 , \] où \(H\) est de type multiplicatif de groupe des caractères \(\bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*}/\text{unités}\), canoniquement \(\mathbf{Q}\) par la valuation \(p\)-adique normalisée par \(v_{p}(p) = 1\). L'action de Galois sur ce quotient est triviale, donc \[ \boxed{\ H = D(\mathbf{Q}) \ } \] est diagonalisable de groupe des caractères \(\mathbf{Q}\).¹⁹ L'augmentation de Tate de \(G\) correspond à \(\mathbf{Z} \to \bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*}\), \(1 \mapsto p\), et celle induite sur \(H\) à l'inclusion canonique \(\mathbf{Z} \hookrightarrow \mathbf{Q}\) — grâce au choix de la valuation normalisée.

Le dévissage se résume ainsi :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& \underline{G}(\bar{\mathbf{F}}_{p}) \arrow[d, "\simeq"] & \\
0 \arrow[r] & \underline{H} \arrow[r] & \underline{G}(\mathbf{F}_{p}) \arrow[r, "i"] & \Pi_{p}(\mathbf{F}_{p}) \arrow[r] & 0 \\
& D(\mathbf{Q}) \arrow[u, no head, "\text{lien}" description] & G \arrow[u, no head, "\text{lien}" description] & G' \arrow[u, no head, "\text{lien}" description] &
\end{tikzcd}

La classe de la gerbe noyau

Soit \(\underline{H}\) la gerbe noyau de \(i\), de lien \(H = D(\mathbf{Q})\). Sa classe est \[ \xi \in H^{2}(\mathbf{Q}_{p}, H) = \operatorname{Hom}(\mathbf{Q}, \operatorname{Br}(\mathbf{Q}_{p})) = \operatorname{Hom}(\mathbf{Q}, \mathbf{Q}/\mathbf{Z}) , \] et vaut \(\xi = \partial(\eta)\) où \(\eta \in H^{1}(\mathbf{Q}_{p}, G')\) est la classe du torseur \(P\) qui définit \(i\). Le calcul de la page 77 identifie \(P\) : il y a un homomorphisme canonique \(\pi_{1}(\mathbf{F}_{p}) = \hat{\mathbf{Z}} \to G'(\mathbf{Q}_{p})\), donc un foncteur des torseurs sous \(\hat{\mathbf{Z}}\) vers les torseurs sous \(G'\), et \(P\) est l'image du torseur évident \(P_{o}\) correspondant à l'extension non ramifiée maximale de \(\mathbf{Q}_{p}\). Le diagramme d'extensions \[ \begin{array}{ccccccccc} 0 &\to& H &\to& G &\to& G' &\to& 0 \\ && \big\| && \downarrow && \downarrow && \\ 0 &\to& H &\to& H' &\to& \hat{\mathbf{Z}}_{\mathbf{Q}_{p}} &\to& 0 \end{array} \] où \(H'\) est le quotient de \(G_{r}\) correspondant au sous-groupe de \(\bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*}\) engendré par les racines de l'unité et par toutes les racines \(p^{1/n}\) de \(p\), ramène le calcul à \(\eta_{o}\), la classe de \(P_{o}\). Et l'on vérifie que \(\xi\) correspond, par l'isomorphisme \(\operatorname{Br}(\mathbf{Q}_{p}) \simeq \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) du corps de classes local, à l'homomorphisme canonique de passage au quotient \[ \mathbf{Q} \longrightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \qquad \text{« sauf erreur de signe, car je n'ai nulle part fait attention aux signes ».} \]

Dieudonné et Manin

Que \(\underline{G}(\bar{\mathbf{F}}_{p}) \to \underline{G}(\mathbf{F}_{p})\) se factorise par \(\underline{H}\) est clair. Par Dieudonné et Manin, les objets de \(\mathrm{FCriso}(\bar{k})\) sont semi-simples et proviennent de \(\mathrm{FCriso}(\mathbf{F}_{p})\), donc l'homomorphisme est un monomorphisme ; et pour qu'il soit une équivalence il suffit qu'un objet simple non constant de \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) donne un objet non constant sur \(\bar{\mathbf{F}}_{p}\), ce que la classification donne. Ainsi \(\underline{G}(\bar{k}) \simeq \underline{H}\) pour tout corps algébriquement clos \(\bar{k}\) de caractéristique \(p\), indépendamment du choix de la clôture.

Et \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) se catalogue. Les classes de simples sont indexées par \(\mathbf{Q}\) — l'élément correspondant s'appelle la pente — et l'objet \(\mathbf{Q}_{p}[T]/(T^{r} - p^{s})\) muni de la multiplication par \(T\), avec \(r \geqslant 1\) et \((r,s) = 1\), est simple de pente \(s/r\). On obtient donc le catalogue complet \[ E_{r,s} , \qquad \operatorname{rang} E_{r,s} = r , \qquad \operatorname{End}(E_{r,s}) = K_{r,s} \ \text{de classe } s/r \ \text{dans } \operatorname{Br}(\mathbf{Q}_{p}) . \] \(\operatorname{Rep}(\underline{H})\) est la limite inductive des \(\operatorname{Rep}(\underline{H}, r)\), où \((H,r)\) est la gerbe de lien \(\mathbf{G}_{m}\) de classe le générateur canonique \(1/r\) de la \(r\)-torsion de \(\operatorname{Br}(\mathbf{Q}_{p})\), c'est-à-dire « la » gerbe définie par le corps gauche \(K_{r,1}\) ; ce sont les \(F\)-isocristaux dont les pentes sont multiples de \(1/r\). Deux exercices sont posés et non faits : expliciter la \(\otimes\)-structure en termes des \(E_{r,s}\), et décrire canoniquement les modules de Dieudonné des réduits des groupes de Lubin-Tate.²⁰

La pente, pour \(k\) quelconque

Pour \(k\) quelconque, un choix de clôture donne \(\mathrm{FCriso}(k) \to \operatorname{Rep}(\underline{H})\) et \(\underline{H} \to \underline{G}(k)\), et un \(F\)-isocristal est dit de pente \(\lambda\) si son image l'est. On voit aussitôt : pente nulle équivaut à « trivial » au sens du n^o 5, et l'effectivité équivaut aux pentes \(\geqslant 0\). Et pour \(k\) parfait l'homomorphisme de liens \(H \to G(k)\) est central, donc \(H\) opère sur le foncteur identique : tout \(F\)-isocristal se décompose en composantes isopentiques, \[ E = \sum_{\lambda \in \mathbf{Q}} E_{\lambda} , \] et \(E\) est trivial si \(E_{\lambda} = 0\) pour \(\lambda \neq 0\), effectif si \(E_{\lambda} = 0\) pour \(\lambda < 0\). Le cristal de Tate \(K(1)\) est de pente \(-1\), d'où l'écriture unique \[ E = \sum_{i \in \mathbf{Z}} E_{i}(-i) , \qquad E_{i} \ \text{à pentes dans } [0,1) . \]

Ce que les pentes dans \([0,1]\) veulent dire

Les trois premières pages du lot suivant achèvent le tapuscrit. Les \(F\)-isocristaux à pentes dans \((0,1]\) sont exactement les modules de Dieudonné des groupes formels \(p\)-divisibles sur \(k\), la catégorie des modules étant opposée à celle des groupes modulo isogénie ; et l'amplitude dans l'intervalle fermé \([0,1]\) caractérise les modules de Dieudonné des groupes de Barsotti-Tate, le \(F\)-isocristal unité répondant au groupe ind-étale \(\mathbf{Q}_{p}/\mathbf{Z}_{p}\). Pour \(k\) parfait, l'existence d'un \(V_{i}\) effectif avec \(FV_{i} = V_{i}F = p^{i}\,\mathrm{id}\) signifie que l'amplitude est contenue dans \([0,i]\).

Pour \(\mathbf{F}_{q}\), \(q = p^{a}\), le foncteur fibre canonique sur \(K_{a} = K(\mathbf{F}_{q})\) porte une structure de plus : l'automorphisme linéaire \(F_{E}^{a}\). Le sous-groupe \(G_{a} \subset G_{K_{a}}\) correspondant, ouvert d'indice \(a\) — il répond aux racines \(a\)-èmes de l'unité dans le groupe des caractères — est muni du Frobenius relatif \(f_{q} = f^{a}\). Et comme \(a \cdot \mathrm{Id}_{G}\) est un monomorphisme (\(x \mapsto x^{a}\) étant surjectif dans \(\bar{\mathbf{Q}}_{p}^{*}\)), il induit un isomorphisme \(G_{K_{a}} \xrightarrow{\sim} G_{a} \simeq G(\mathbf{F}_{q})\) transformant le Frobenius absolu en le relatif. D'où :

Proposition 10.1. \(\mathrm{FCriso}(\mathbf{F}_{q})^{\mathrm{tann}} \otimes_{\mathbf{Q}_{p}} K_{a}\) est équivalente à \(\mathrm{FCriso}(\mathbf{F}_{p})^{\mathrm{tann}} \otimes_{\mathbf{Q}_{p}} K_{a}\), avec \(f_{q}\) correspondant à \(f^{a}\) et correspondance des foncteurs fibres canoniques. Sous cette équivalence, le foncteur de changement de base \(\mathbf{F}_{p} \to \mathbf{F}_{q}\) est \((E, F_{E}) \mapsto (E, F_{E}^{a})\).

Lisant l'homomorphisme de liens \(\underline{H} \xrightarrow{u_{a}} G_{a} \to G\) sur les groupes de caractères, on trouve \[ u_{a}^{*}(\lambda) = \frac{v_{p}(\lambda)}{a} , \] et le théorème de Manin en sort :

Proposition 10.3. Soit \((E, F_{E})\) un \(F\)-isocristal sur \(\mathbf{F}_{q}\), \(q = p^{a}\), et soient \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}\) (\(N = \operatorname{rang} E\)) les racines du polynôme caractéristique de \(F_{E}^{a}\). Alors les pentes de \((E, F_{E})\) sont les \(v_{p}(\lambda_{i})/a\), et si les pentes distinctes sont \(s_{i}/r_{i}\) avec \((s_{i}, r_{i}) = 1\), \(r_{i} \geqslant 1\), de multiplicité \(d_{i}\), alors \(r_{i} \mid d_{i}\), et l'image de \((E, F_{E})\) dans \(\mathrm{FCriso}(\bar{\mathbf{F}}_{p})\) est \(\sum_{i} E_{s_{i}/r_{i}}^{d_{i}/r_{i}}\).

C'est le résultat de Manin « énoncé sous une forme plus jolie et débarassé d'hypothèses restrictives parasites », et sa marge propose la simplification qui achève le nettoyage : prendre la valuation \(v_{q}\) normalisée par \(v_{q}(q) = 1\), et ne diviser par rien. Le tapuscrit s'arrête sur un « Cor. » de sa main que rien ne suit.

85–86

Deux feuillets étrangers (pages 85 et 86)

Un feuillet d'un tout autre tapuscrit définit le topos classifiant d'un pro-groupe. Pour \(\underline{G} = (G_{i})_{i \in I}\) un système projectif strict de groupes — transitions surjectives — une opération de \(\underline{G}\) sur un ensemble \(E\) est la donnée d'une famille \((E_{i})\) de parties de réunion \(E\), d'une opération de chaque \(G_{i}\) sur \(E_{i}\), et de la condition que pour \(j \geqslant i\), \(E_{i}\) soit l'ensemble des points de \(E_{j}\) fixes sous le noyau de \(G_{j} \to G_{i}\). Ces ensembles forment un topos \(B_{\underline{G}}\), par le critère de Giraud. Dans le cas profini, une opération de \(\underline{G}\) est une opération continue de \(G = \varprojlim G_{i}\), c'est-à-dire à stabilisateurs ouverts. Et \(B_{\underline{G}}\) n'est de la forme \(\hat{C}\) que si le système est essentiellement constant — donc, pour un groupe profini, que s'il est fini.

Au dos, de sa main seule, le recensement des types simples : \(A_{n}\) avec sa forme adjointe et ses formes intermédiaires \(A_{n,d}\) pour \(d \mid n\) ; \(B_{n}\), \(C_{n}\) ; \(D_{n}\) avec \(D_{n}'\) et \(D_{n}''\) pour \(n\) pair \(\geqslant 6\) ; \(E_{6}\), \(E_{7}\), \(E_{8}\), \(F_{4}\), \(G_{2}\) ; et en regard les formes portant un tilde. Le feuillet se clôt sur « 21 cas à examiner » et deux alternatives dont seule la seconde se lit, « un … des Chevalley ». Rien n'indique de quoi ces vingt-et-un cas sont les cas.

88–98

Filtrations d'un foncteur fibre (pages 88 à 98)

Onze feuillets de sa main, sous sa chemise « Filtration des foncteurs fibres », qu'il numérote lui-même. C'est la station où le dossier passe de l'algèbre à la géométrie des groupes.

Ce qu'est une filtration admissible

Soient \(\mathcal{M}\) une \(\otimes\)-catégorie rigide sur un corps \(k\), \(S\) un schéma sur \(k\), et \(F\) un foncteur fibre relatif de \(\mathcal{M}\) vers les faisceaux localement libres sur \(S\). Une filtration de \(F\) par des sous-foncteurs \(F^{(p)}\) est admissible si

• (0)chaque \(F^{(p)}(M)\) est localement facteur direct ;
• (i)\(F^{(p)}(M \oplus N) = F^{(p)}M \oplus F^{(p)}N\) ;
• (ii)\(F^{(p)}(M \otimes N) = \sum_{q+r=p} F^{(q)}(M) \otimes F^{(r)}(N)\) ;
• (iii)\(F^{(p)}(\check{M})\) est l'orthogonal de \(F^{(-p)}(M)\) ;
• (iv)pour chaque \(M\) la filtration est localement exhaustive et séparée.

Le foncteur \(M \rightsquigarrow \operatorname{gr}F(M)\) est alors à valeurs dans les modules localement libres par (0), additif par (i), multiplicatif par (ii), et commute à la dualité par (iii). Les conditions (iii) et (iv) forcent \(F^{(0)}(\mathbf{1}) = \mathbf{1}\) et \(F^{(1)}(\mathbf{1}) = 0\), donc \(\operatorname{gr}F(\mathbf{1}) = \mathbf{1}\) concentré en degré \(0\). Si \(\mathcal{M}\) est semi-simple, \(\operatorname{gr}F\) est exact — sinon il faut en faire une condition de plus, et il le dit.

Le torseur, et ce qui reste à démontrer

Posant \(G = \underline{\operatorname{Aut}}_{S}(F)\), un schéma en groupes affine sur \(S\), le foncteur \(\operatorname{gr}F\) est le foncteur fibre tordu \(F^{P}\) par le \(G\)-torseur \[ P = \underline{\operatorname{Isom}}_{S}(F, \operatorname{gr}F) , \] et la graduation de \(\operatorname{gr}F\) est un homomorphisme \(i \colon \mathbf{G}_{m,S} \to G^{P} = G'\). Parmi les isomorphismes de \(F\) sur \(\operatorname{gr}F\) on distingue ceux qui respectent la filtration et induisent l'identité sur les gradués ; ils forment un sous-foncteur \(Q\) de \(P\), qui est a priori un pseudo-torseur sous un sous-groupe \(H'\) de \(G'\).

« Cependant, il faut démontrer que loc. \(Q\) admet une section. »

Ce n'est pas fait dans le dossier. Ce qui est fait, page 104, est autre chose et suffit dans les cas utiles : \(H'\) est toujours une limite projective de groupes unipotents, donc si \(\mathcal{M}\) est à engendrement dénombrable, tout torseur sous \(H'\) est trivial.²¹

Le groupe \(H'\) se détermine (page 90) en choisissant un générateur \(M\) : alors \(G' = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{O}_{S}}(F'(M))\) et \(H'\) est formé des \(g'\) tels que \(g'x_{p} \equiv x_{p}\) modulo \(F'^{(p+1)}(M)\) pour tout \(p\). Décomposant \(\mathfrak{g}'\) suivant les caractères de \(\mathbf{G}_{m}\) agissant par \(i\), on trouve l'énoncé qu'il encadre : \[ \boxed{\ \mathfrak{h}' = \sum_{n \geqslant 1} \mathfrak{g}'_{n}\ } \qquad\text{et}\qquad \mathfrak{b}' = \sum_{n \geqslant 0} \mathfrak{g}'_{n} , \] \(\mathfrak{h}'\) nilpotente donc unipotente, \(\mathfrak{b}'\) parabolique, et le centralisateur de \(i\) un sous-groupe de Levi.

Le dictionnaire, et les homomorphismes complémentaires

Résumé (page 92). Pour \(k\) convenable et \(\mathcal{M}\) semi-simple, la donnée d'un foncteur fibre filtré admissible sur \(\mathcal{M}\) à valeurs dans \(S\) équivaut à celle

1. (i)d'un foncteur fibre gradué admissible \(F'\), c'est-à-dire d'un foncteur fibre \(F'\) et d'un homomorphisme \(i \colon \mathbf{G}_{m,S} \to G' = \underline{\operatorname{Aut}}_{S}F'\) ;
2. (ii)d'un torseur à droite \(Q'\) sous le groupe uni-parabolique de \(G'\) défini par \(i\),

le foncteur étant \(F = F'^{Q'}\) avec la filtration descendue.

Si \(\mathcal{M}\) porte une structure intrinsèque qui impose à \(i\) d'être central, et qu'on s'est donné \(i_{1}\), il convient de prendre \(i_{2}\) défini par \[ i_{1}(\lambda)\,i_{2}(\lambda) = f(\lambda) , \] et \(i_{1}\), \(i_{2}\) sont dits complémentaires : leurs paraboliques sont opposés et leur intersection est un Levi commun. S'il y a de plus la structure de Tate, définissant \(\tau \colon G' \to \mathbf{G}_{m}\), alors \(\tau\,i_{1}(\lambda) = \lambda^{n}\) et l'entier \(n\) est le degré du motif de Tate ; dans le cas qui l'intéresse, \(\tau\,i_{1}(\lambda) = \lambda\).

L'exemple qui commande : De Rham, Hodge, Betti

Soient \(S\) un préschéma connexe sur \(\mathbf{Q}\) et \(\mathcal{M}\) la catégorie des motifs sur \(S\). Le foncteur de De Rham est admissible ; le \(F'\) qu'il définit n'est autre que le foncteur de Hodge ; et comme \(G'^{\geqslant}\) a la structure qu'on vient de dire, si \(S\) est réduit à un point le torseur \(Q\) est trivial et le foncteur de De Rham filtré splitte. Mais — et c'est le point — le splitting n'est pas canonique, en particulier il n'est pas stable par les automorphismes du foncteur qui respectent la filtration et induisent l'identité sur les gradués.

Pour \(S = \operatorname{Spec}K\) et un plongement \(K \to \mathbf{C}\), le foncteur de Betti \(F''\) à valeurs dans \(\mathbf{Q}\) s'ajoute, et l'on a deux isomorphismes canoniques :

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
F''_{\mathbf{C}} \arrow[r, "\text{Gaga}", "\sim"'] & F_{\mathbf{C}} \arrow[r, "\text{int.\ harmoniques}", "\sim"'] & F'_{\mathbf{C}}
\end{tikzcd}

le premier par Gaga, le second par le théorème de Hodge des intégrales harmoniques. Le composé \(F_{\mathbf{C}} \simeq \operatorname{gr} F_{\mathbf{C}}\) se déduit de \(F_{\mathbf{C}} \simeq F''_{\mathbf{C}}\), qui traduit une structure réelle sur \(F_{\mathbf{C}}\) donnée par une involution \(\sigma\), et la bigraduation est \[ F^{p,q}_{\mathbf{C}} = F^{(p)}_{\mathbf{C}} \cdot \sigma\bigl( F^{(q)}_{\mathbf{C}} \bigr) . \] C'est la théorie de Hodge dite dans le vocabulaire des foncteurs fibres : le splitting existe, il vient de la conjugaison complexe, et il n'est pas algébrique.

Parabolique et radical unipotent

Les trois dernières pages traduisent tout cela en théorie des groupes, sans catégories. Soient \(G\) un schéma en groupes affine sur \(k\) et \(i \colon \mathbf{G}_{m,k} \to G\) — c'est-à-dire une \(\otimes\)-graduation du foncteur oubli sur \(\operatorname{Rep}(G)\). Elle définit une \(\otimes\)-filtration, et l'on regarde \[ U \subset P \subset G , \qquad P = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\mathrm{filt}} , \qquad U = \underline{\operatorname{Aut}}_{\otimes,\mathrm{filt},\,\mathrm{id\ sur\ Gr}} . \] Si \(G\) admet un module fidèle \(V\), alors \(V\) est gradué par les \(\operatorname{Gr}^{i}(V)\), filtré par \(\operatorname{Fil}^{p}(V) = \sum_{i \geqslant p}\operatorname{Gr}^{i}(V)\), et \(P\) est le stabilisateur de la filtration dans \(\underline{\operatorname{Aut}}_{k}(V)\), \(U\) le noyau de \(P \to \prod_{i}\underline{\operatorname{Aut}}_{k}\operatorname{Gr}^{i}(V)\) ; dans le cas général ce sont des intersections de tels groupes.

Écrivant \(\mathfrak{g} = \sum_{\alpha \in \mathbf{Z}}\mathfrak{g}^{\alpha}\) et \(V = \sum_{\beta}V^{\beta}\) suivant les caractères de \(\mathbf{G}_{m}\), on a \([\mathfrak{g}^{\alpha}, \mathfrak{g}^{\beta}] \subset \mathfrak{g}^{\alpha+\beta}\) et \(\mathfrak{g}^{\alpha}V^{\beta} \subset V^{\alpha+\beta}\). L'algèbre de Lie de \(P_{V}\) est formée des \(x\) tels que \(xV^{\beta} \subset \sum_{\beta' \geqslant \beta}V^{\beta'}\) ; il suffit que \(x \in \sum_{\alpha \geqslant 0}\mathfrak{g}^{\alpha}\), et c'est nécessaire si \(V\) est fidèle, car en écrivant \(x = \sum x^{\alpha}\) et en prenant \(\mu\) minimal avec \(x^{\mu} \neq 0\), la condition \(x^{\mu}V^{\alpha} \subset V^{\alpha+\mu}\) impose \(\mu \geqslant 0\).²² Par passage à la limite, \[ \mathfrak{p} = \sum_{\alpha \geqslant 0}\mathfrak{g}^{\alpha} , \qquad \mathfrak{u} = \sum_{\alpha > 0}\mathfrak{g}^{\alpha} . \]

Proposition (page 98). Si \(G\) est connexe, de type fini et réductif, alors \(P\) est parabolique et \(U\) est son radical unipotent.

En caractéristique \(0\) cela résulte aisément de la théorie ; en caractéristique \(p > 0\), « il faut sans doute travailler un peu … ». Le corollaire, en revanche, est net :

Corollaire. Toute \(\otimes\)-filtration d'un foncteur fibre sur un corps parfait splitte, car \(H^{1}(k, U) = 0\) par Rosenlicht.

Le crochet de sa main ajoute « ou même sur un quelconque » ; c'est un espoir et non un énoncé, et la restriction à un corps parfait est celle que l'annulation invoquée demande.²³

Une Remarque ferme le faisceau : posant \(T = \operatorname{Im}i\), les \(uTu^{-1}\) pour \(u\) dans un ouvert dense de \(U\) engendrent \(T \cdot U\) — parce que \([\mathfrak{g}^{\alpha}, x] = \alpha\,\mathfrak{g}^{\alpha} = \mathfrak{g}^{\alpha}\) pour \(\alpha > 0\) — d'où, pour toute représentation \(V\) de \(G\), \[ V^{T \cdot U} = \bigcap_{u}V^{uTu^{-1}} \qquad\text{et}\qquad V^{G} = V^{P} . \] Le dernier bloc de la page est encadré et barré d'une dizaine de diagonales ; il ne rend que ces deux formules.

101–108

Les exemples des « Notes Saavedra » (pages 101 à 108)

Huit feuillets tapés, corrigés de bout en bout à l'encre, annoncés par les deux mots « Notes Saavedra » de la page 99. Ils sont adressés à Saavedra, qui y est nommé deux fois, et ils sont le seul endroit du dossier où il le soit. Six exemples numérotés.

1) Graduations : le critère de centralité

Soit \(\underline{C}_{M}\) la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur \(k\) munis d'une graduation de type un groupe \(M\). C'est une \(\otimes\)-catégorie munie du foncteur fibre « oubli de la graduation », et le groupe associé est le groupe de type multiplicatif \(D_{k}(M)\) ; pour \(M = \mathbf{Z}^{r}\) on trouve \(\mathbf{G}_{m}^{r}\).

D'où l'application. Soit \(\underline{C}\) une \(\otimes\)-catégorie sur \(k\) munie d'un foncteur fibre \(F\), de groupe \(G\). Les manières de graduer \(F(V)\) de type \(M\), fonctoriellement en \(V\) et compatiblement à \(\otimes\), correspondent aux \(\otimes\)-foncteurs \(\underline{C} \to \underline{C}_{M}\) compatibles aux foncteurs fibres, donc aux homomorphismes \[ D_{k}(M) \longrightarrow G . \] Et voici le critère qui sera réutilisé partout : une telle graduation de \(F\) provient d'une graduation des objets eux-mêmes si et seulement si l'homomorphisme est central. Pour \(\underline{C}\) les motifs sur \(k\) munis d'un foncteur fibre, on trouve donc un homomorphisme central canonique \(i \colon \mathbf{G}_{m} \to G\) — la graduation par le poids ; et le motif de Tate donne \(j \colon G \to \mathbf{G}_{m}\), avec \[ j\,i(\lambda) = \lambda^{2} \] puisque \(T\) est de poids \(2\).²⁴

En caractéristique nulle il y a toujours un foncteur fibre naturel, le foncteur de Hodge, qui associe à un motif le vectoriel bigradué \(\coprod H^{q}(X, \Omega^{p})\). Il donne \(\mathbf{G}_{m}^{2} \to G\), c'est-à-dire deux homomorphismes commutant l'un à l'autre \(i_{1}\), \(i_{2}\), avec \(i(\lambda) = i_{1}(\lambda)i_{2}(\lambda)\) — et il faut faire attention que \(i_{1}\) et \(i_{2}\) ne sont pas centraux, la bigraduation de Hodge ne provenant pas d'une bigraduation du motif.

2) La filtration de De Rham

Le foncteur de De Rham, qui donne l'hypercohomologie \(H^{*}(X, \Omega^{*})\), n'est plus bigradué : gradué et filtré seulement, la filtration étant celle de la suite spectrale d'hypercohomologie, qui commence par la cohomologie de Hodge et qui dégénère — d'où \(\operatorname{Gr}(H_{DR}(V)) \simeq H_{Hdg}(V)\), fonctoriellement.

Le paragraphe pose alors le problème général : déterminer les filtrations décroissantes, discrètes, indexées par \(\mathbf{Z}\), d'un foncteur fibre \(F\), compatibles aux produits tensoriels. Et il énonce immédiatement pourquoi la réponse ne peut pas être un homomorphisme dans \(G\) :

la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie filtrés n'est pas abélienne — les bimorphismes n'y sont pas des isomorphismes.

C'est l'obstruction structurelle, et toute la construction des pages 103 à 105 est faite pour la contourner : on remplace le « groupe des filtrations » par un second foncteur fibre plus un torseur. On pose \(F'(V) = \operatorname{Gr}F(V)\), à valeurs dans les gradués ; \(F'\) correspond à un torseur \(P\) sous \(G\), de groupe tordu \(G'\) ; la graduation de \(F'\) est \(i_{1} \colon \mathbf{G}_{m} \to G'\) ; et l'on regarde \[ H'_{i_{1}} \subset G' \qquad\text{et}\qquad Q = \underline{\operatorname{Isom}}^{\mathrm{filt}}(F, F') \subset P = \underline{\operatorname{Isom}}(F, F') , \] \(H'_{i_{1}}\) étant les \(\otimes\)-automorphismes de \(F'\) qui respectent la filtration et induisent l'identité sur le gradué. \(Q\) est a priori un pseudo-torseur à droite sous \(H'\) — vide ou torseur — et « il faudrait prouver que c'est bien un torseur ».

Le dictionnaire, et le splitting non canonique

Modulo cette vérification, la donnée d'un foncteur fibre filtré \(F\) revient à celle de :

1. (i)un foncteur fibre \(F'\), de groupe \(G' = \underline{\operatorname{Aut}}(F')\) ;
2. (ii)une graduation \(i_{1} \colon \mathbf{G}_{m} \to G'\), qui définit \(H'_{i_{1}}\) ;
3. (iii)un torseur à droite \(Q'\) sous \(H'_{i_{1}}\),

avec \(F = F' \wedge^{H'_{i_{1}}} Q'\).

Et voici le résultat, qui remplace sur la page un N.B. barré de dix diagonales :

le groupe \(H'\) est nécessairement une limite projective de groupes algébriques unipotents. Donc si \(\underline{C}\) est à engendrement dénombrable — de façon que \(G'\), donc \(H'\), soit limite projective d'une suite de groupes algébriques — alors tout torseur sous \(H'\) est trivial, et tout foncteur fibre filtré est en fait associé à un foncteur fibre gradué.

Autrement dit la filtration admet un splitting compatible aux produits tensoriels. Mais le choix d'un tel splitting est le choix d'un point d'un torseur sous le groupe pro-unipotent \(H\), et il n'est

« pas du tout canonique ! »

C'est la même conclusion que la page 94 tire du foncteur de De Rham, et le dossier y revient trois fois : le scindage existe, il n'est pas donné avec l'objet.²⁵

3) Pré-structures de Hodge

Une pré-structure de Hodge sur un \(\mathbf{Q}\)-espace \(V\) de dimension finie est une bigraduation \(V_{\mathbf{C}} = \coprod_{p,q}V^{p,q}\) telle que

• a)la graduation totale soit définie sur \(\mathbf{Q}\), i.e. \(\coprod_{p+q=n}V^{p,q}\) provienne d'un sous-espace \(V^{n}_{\mathbf{Q}}\) ;
• b)\(\overline{V^{p,q}} = V^{q,p}\).

C'est, dans le vocabulaire d'aujourd'hui, une structure de Hodge rationnelle tout court ; ce qu'il appelle structure de Hodge est la structure de Hodge polarisable.²⁶

Ces objets forment une \(\otimes\)-catégorie sur \(\mathbf{Q}\) à foncteur fibre canonique, donc un groupe \(G\), et la bigraduation donne deux homomorphismes \(i_{1}\), \(i_{2}\) de \(\mathbf{G}_{m,\mathbf{C}}\) dans \(G_{\mathbf{C}}\) qui commutent. La condition a) dit que \(i_{\mathbf{C}} = i_{1}i_{2}\) provient d'un \(i \colon \mathbf{G}_{m} \to G\), nécessairement central — parce que les composantes homogènes d'une pré-structure de Hodge en sont elles-mêmes, de sorte que \(V\) est somme directe des \(V^{n}_{\mathbf{Q}}\) en tant que pré-structure. La condition b) dit \(i_{2}(\lambda) = \overline{i_{1}(\bar{\lambda})}\).

Vient alors la traduction de la conjecture de Hodge. Le foncteur de Betti-Hodge, qui à une variété projective lisse sur \(\mathbf{C}\) associe \(H^{*}(X, \mathbf{Q})\) avec sa pré-structure, va des motifs sur \(\mathbf{C}\) vers les pré-structures ; et

la conjecture de Hodge standard équivaut à ce que ce foncteur soit pleinement fidèle, c'est-à-dire à ce que l'homomorphisme du groupe de Galois de Hodge vers le groupe de Galois motivique soit un épimorphisme.

La polarisation de poids \(n\) est un accouplement \(\varphi \colon V \times V \to \mathbf{Q}(n)\) dont la forme hermitienne associée \[ \psi(x,y) = \varphi(x, \bar{y})\,(-i)^{p-q} \qquad\text{pour } x \text{ de bidegré } (p, n-p) \] est définie positive.²⁷ La théorie de Hodge assure que le foncteur arrive en fait dans les structures de Hodge. Sur l'image essentielle, en revanche :

« On n'a aucune idée sur ce que pourrait être l'image essentielle du foncteur précédent … cela semble peu probable, mais on n'a aucune indication sérieuse dans un sens ou l'autre. »

Et l'exercice qu'il laisse — expliciter en termes de \((G, i_{1})\) la condition pour que les objets soient polarisables — est celui qu'il appelle « plaisant et délectable », en notant que l'on trouve des restrictions très sérieuses sur \(G\), en plus de sa réductivité.

4) et 5) Le Frobenius à l'infini, et le critère de profinitude

Le n^o 4 est ce qu'il laisse à Saavedra : la structure supplémentaire portée par la structure de Hodge d'une variété complexe donnée comme déduite d'une variété réelle. On trouve un élément \(f_{\infty}\) de \(G(\mathbf{Q})\) d'ordre \(2\) — « un élément de Frobenius à l'infini » — qui est l'automorphisme du foncteur de Betti induit par la conjugaison sur \(X_{0}(\mathbf{C})\), et il reste à expliciter ses relations avec \(i_{1}\) et \(i_{2}\).

Le n^o 5, pour \(k\) de caractéristique nulle, est le critère :

\(G\) est profini si et seulement si tout objet \(M\) de \(\underline{C}\) engendre une \(\otimes\)-catégorie semi-simple n'ayant qu'un nombre fini d'objets simples non isomorphes.

Et \(\underline{C}_{0}\), la sous-catégorie pleine des objets ayant cette propriété, est celle des objets sur lesquels \(G\) opère à travers un quotient fini, c'est-à-dire celle qui correspond au pro-groupe quotient de \(G\) par les composantes neutres, \(\varprojlim G_{i}/G_{i}^{\circ}\).²⁸ Il ajoute qu'il serait intéressant de trouver les énoncés correspondants en caractéristique quelconque.

6) La polarisation, renvoyée

Le dernier numéro est une page de programme, sur le sujet même des trente premiers feuillets du dossier : la polarisation d'un motif de poids \(n\) — le choix, parmi les formes symétriques pour \(n\) pair et alternées pour \(n\) impair \(M \otimes M \to T(n)\), de celles qui sont définies positives — est une structure supplémentaire remarquable dans la catégorie des motifs, qui se reflète en structures supplémentaires sur les groupes de Galois motiviques.

« Il y a lieu de faire une étude axiomatique abstraite d'une telle notion de polarisation sur une \(\otimes\)-catégorie générale au dessus d'un sous-corps du corps des réels. On pourra en rediscuter à l'occasion. »

Une étude axiomatique de cette sorte est celle que contiennent les pages 3 à 16. Rien sur les feuillets ne dit laquelle des deux pages a été écrite la première, ni si l'une renvoie à l'autre.

110–112

Récupérer le groupe de sa catégorie de modules (pages 110 à 112)

Trois feuillets de sa main, écrits vite. Soit \(G\) un schéma en groupes sur une base \(S\), soumis à l'une des deux conditions : \(a)\) \(G\) affine, ou \(b)\) \(G\) quasi-compact, quasi-séparé et plat sur \(S\). Soient \(\underline{C}_{qc}(G)\) la catégorie des \(S\)-modules quasi-cohérents où \(G\) opère et \(\underline{C}_{f}(G)\) sa sous-catégorie pleine des modules de type fini. Alors \[ \underline{C}(G) \xrightarrow{\ \approx\ } \operatorname{Ind}\underline{C}_{f}(G) , \] ce qui est le point technique : tout module à opérateurs est réunion filtrante de ses sous-modules de type fini stables, exactement le corollaire 11.10 du tapuscrit SGA 3 des pages 47 à 51.

Le premier calcul est une restriction de Weil. Pour \(f \colon T \to S\) affine et \(\mathcal{B} = f_{*}(\mathcal{O}_{T})\), la donnée d'un \(\mathcal{O}_{T}\)-module quasi-cohérent \(\underline{F}\) revient à celle de \(\underline{E} = f_{*}(\underline{F})\) muni d'une opération de \(\mathcal{B}\) ; et la donnée d'une opération de \(G_{T}\) sur \(\underline{F}\) revient à celle d'une opération de \(G\) sur \(\underline{E}\) commutant à \(\mathcal{B}\), parce que \[ \prod_{T/S}\underline{\operatorname{Aut}}(\underline{F}) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{B}} \Bigl( \prod_{T/S}\underline{F} \Bigr) = \underline{\operatorname{Aut}}_{\mathcal{B}}(\underline{E}) . \] Donc \(\underline{C}(G_{T})\) est la catégorie des objets de \(\underline{C}(G)\) munis d'une opération de \(\mathcal{B}\) — si \(S\) est affine d'anneau \(A\) et \(\mathcal{B}\) défini par une \(A\)-algèbre \(B\), la catégorie des objets de \(\underline{C}(G)\) à anneau \(B\) d'endomorphismes. Tout cela est donc déterminé par \((\underline{C}_{f}(G), \varphi_{G}^{f})\), le couple formé de la catégorie des modules de type fini et du foncteur oubli.

Vient alors la question qui est celle du dossier tout entier, posée ici dans sa forme la plus nue. Soit \(G\) affine sur un anneau \(A\) :

dans quelle mesure \(G\) se récupère-t-il par la connaissance de \((\underline{C}_{f}(G), \varphi_{G}^{f})\), la première comme \(\otimes\)-catégorie et le second comme \(\otimes\)-foncteur ?

Il suffirait de récupérer \(G(A)\), et l'on a l'homomorphisme canonique \[ G(A) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\otimes}(\varphi_{G}^{f}) . \] L'injectivité se prouve en regardant l'effet de \(g \in G(A)\) sur l'algèbre affine de \(G\) elle-même. La surjectivité, dit-il, « se prouve sans doute aussi », en regardant l'effet d'un \(\otimes\)-automorphisme sur cette même algèbre — et en marge : « à détailler ».²⁹

Et la question finale, qu'il marque de trois points d'interrogation :

« À quelle condition une \(\otimes\)-catégorie \(A\)-linéaire munie d'un \(\otimes\)-foncteur \(\varphi^{f} \colon \underline{C}_{f} \to \operatorname{Mod}_{f}(A)\) provient-elle d'un schéma en groupes affine sur \(A\) ??? »

avec l'indication de ce qu'il faudrait supposer : que \(\underline{C}\) soit un \(\mathcal{A}b\)-topos et que \(\varphi\) commute aux limites inductives. C'est la question dont la théorie des catégories tannakiennes est la réponse ; le dossier la pose et n'y répond pas.

114–116

Le plan du traité (pages 114 à 116)

Ces trois pages sont les seules du dossier à donner un plan. La première porte le plan en neuf chapitres, tapé, avec l'appendice et les deux derniers alinéas ajoutés à l'encre :

1. Généralités sur les opérations \(\otimes\) sur une catégorie. Appendice : rappels sur les coalgèbres, comodules, bigèbres.
2. Relations entre \(\otimes\)-catégories avec foncteur fibre, et coalgèbres resp. hyperalgèbres : dualité de Tannaka. (Structures mixtes, connexions.)
3. Exemples nombreux et divers. Dictionnaire détaillé.
4. Filtrations sur un foncteur fibre.
5. Théorème de structure des \(\otimes\)-catégories en termes de gerbes.
6. Polarisation d'une \(\otimes\)-catégorie. Groupes de Hodge.
7. \(\otimes\)-Catégories à lien réductif. Classification sur \(\mathbf{R}\).
8. Structures de Hodge, groupes de Mumford-Tate et espaces modulaires correspondants.
9. Questions d'effectivité (?)

et en marge, de sa main, trois ajouts : un chapitre éventuel sur le cas non commutatif, un autre pour les catégories triangulées, et un sur les catégories de Picard, plus généralement les groupoïdes à loi \(\otimes\), et le cas des catégories ayant les deux lois \(\oplus\) et \(\otimes\).

Rapportées à ce plan par leur sujet — le rapprochement est de cette lecture, aucun de ces feuillets ne porte de numéro de chapitre, et une même station touche parfois plusieurs chapitres —, les stations du dossier se répartissent ainsi : les généralités et la dualité de Tannaka des chapitres 1 et 2, aux pages 117 à 136 et 156 à 179 ; des exemples au sens du chapitre 3, aux pages 129 à 136, 142 à 154 et 180 à 197 ; les filtrations du chapitre 4, aux pages 88 à 98 et 101 à 105 ; les gerbes du chapitre 5, aux pages 59 à 83 ; la polarisation du chapitre 6, aux pages 3 à 30 ; peut-être le chapitre 7, avec le recensement des types simples de la page 86 ; les structures de Hodge du chapitre 8, aux pages 105 à 107 ; et l'effectivité du chapitre 9, avec la structure d'effectivité des \(F\)-isocristaux des pages 66 à 83. Le traité lui-même n'est rédigé nulle part dans le dossier.

La table des matières du chapitre 1 (pages 115 et 116) est annotée partout, les numéros de paragraphes renumérotés à l'encre. Elle est instructive sur deux points. D'abord elle nomme un objet que le dossier n'emploie presque pas : le \(\operatorname{Hom}\) interne pris de l'autre côté, que la machine écrit \(\underline{\operatorname{Moh}}(Y,X)\), avec la remarque au paragraphe 2.5 que la commutativité les identifie, \(\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y) \simeq \underline{\operatorname{Moh}}(Y,X)\) — contre laquelle sa main écrit « non ! ». Ensuite elle place les « lois \(\otimes\) rigides » et le « formalisme des traces » au paragraphe 2, donc avant les \(\otimes\)-foncteurs, et elle ajoute en marge du paragraphe 0 cinq exemples de lois \(\otimes\) : le produit tensoriel de modules, une catégorie à produits cartésiens, les torseurs sous un faisceau abélien, les familles de modules indexées, et l'espace des lacets d'un espace topologique.

117–128

Les axiomes, et le dictionnaire (pages 117 à 128)

Les axiomes, et le fait que les contraintes sont indépendantes

Une \(\otimes\)-catégorie est une catégorie additive munie d'un bifoncteur \((X,Y) \mapsto X \otimes Y\), d'un isomorphisme d'associativité \(\varphi(X,Y,Z)\) et d'un isomorphisme de commutativité \(\psi(X,Y)\), soumis à : a) l'axiome du pentagone pour \(\varphi\) ; b) \(\psi(X,Y)\psi(Y,X) = \mathrm{id}\) ; c) l'axiome de l'hexagone, qui est la compatibilité de \(\varphi\) et \(\psi\) ; d) l'existence d'une unité \(\mathbf{1}\) avec les isomorphismes \(u(X) \colon \mathbf{1} \otimes X \simeq X\) et \(v(X) \colon X \otimes \mathbf{1} \simeq X\) vérifiant \(u(\mathbf{1}) = v(\mathbf{1})\), ce qui équivaut à \(\psi(\mathbf{1},\mathbf{1}) = \mathrm{id}\) ; e) la biadditivité de \(\otimes\).

Le premier résultat est une observation de méthode, et c'est elle qui organise le chapitre :

a) est indépendant de \(\psi\) ; b) est indépendant de \(\varphi\) ; a), b), c), d) sont indépendants du fait que \(\underline{C}\) soit additive.

D'où la dissociation du n^o 4 : la donnée d'un \(\otimes\) se décompose en aspects indépendants — l'associativité soumise au pentagone ; l'unité bilatère, unique à isomorphisme unique près ; la commutativité soumise à la réflexivité — chacun avec sa notion de foncteur compatible, et les compatibilités croisées à postuler séparément (il pense qu'elles ne sont pas conséquences des autres axiomes, et le dit). L'additivité et la biadditivité ne viennent qu'en dernier lieu. L'unité elle-même n'est pas une donnée mais un axiome d'existence, puisque deux unités sont reliées par un unique isomorphisme compatible, qu'il construit comme le composé \(\mathbf{1} \to \mathbf{1} \otimes \mathbf{1}' \to \mathbf{1}'\).

Deux conséquences se lisent aussitôt. Pour \(u\), \(v\) endomorphismes de \(\mathbf{1}\) on a \(u \otimes v = uv = vu\) : sous la contrainte de commutativité, \(\operatorname{End}(\mathbf{1})\) est un monoïde commutatif, et si \(\underline{C}\) est additive c'est un anneau commutatif \[ k = \operatorname{End}(\mathbf{1}) \] qui opère sur chaque objet, de sorte que \(\underline{C}\) est \(k\)-linéaire et \(\otimes\) est \(k\)-bilinéaire. Et sans la commutativité, ce monoïde opère des deux côtés et les deux opérations ne coïncident pas.

Le dictionnaire

Voici le n^o 6, le cœur du chapitre. Supposons \(\underline{C}\) abélienne \(k\)-linéaire, \(k\) un corps, munie d'un foncteur fidèle et exact \(F \colon \underline{C} \to \operatorname{Modf}(k)\). Alors \(\underline{C}\) s'identifie à la catégorie des représentations continues de dimension finie d'une algèbre profinie associative unitaire \(U\), ou encore des comodules sur son dual topologique \(A\), qui est une coalgèbre associative unitaire. Et :

la donnée d'un \(\otimes\) bilinéaire compatible avec \(F\) — au sens fort \(F(X \otimes Y) = F(X) \otimes F(Y)\) — équivaut à celle d'un morphisme diagonal \(U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}_{k}} U\), ou encore d'une loi de multiplication sur \(A\).

Puis, contrainte par contrainte : une donnée supplémentaire d'associativité, d'unité ou de commutativité compatible avec \(F\) est uniquement déterminée si elle existe, et elle existe si et seulement si \(A\) est respectivement associative, unitaire, commutative. Quand les trois conditions sont satisfaites, on a un schéma en monoïdes affine sur \(k\) qui permet de reconstituer la situation — un monoïde et non un groupe, la rigidité n'étant pas encore supposée.

La fonctorialité suit : les foncteurs \(\underline{C} \to \underline{C}'\) compatibles avec \(F\), \(F'\) correspondent aux homomorphismes d'algèbres topologiques \(U' \to U\), ou de coalgèbres \(A \to A'\) ; et un tel foncteur est un \(\otimes\)-foncteur si et seulement si \(U' \to U\) est compatible aux diagonales, c'est-à-dire \(A \to A'\) aux multiplications. Enfin, en marge, ce qui sera repris au n^o 9 : les endomorphismes de \(F\) compatibles avec \(c = \mathrm{id}\) sont les \(g \in U\) tels que \(\Delta(g) = g \otimes g\), et si l'on veut respecter l'unité il faut ajouter \(\varepsilon(g) = 1\).

Le dictionnaire se résume à ce carré, où chaque colonne est déterminée par les deux autres :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\underline{C}, F) \arrow[r, "\text{6)}"] \arrow[d, "\otimes"'] & U = \operatorname{End}(F) \arrow[r, "\text{dual}"] \arrow[d, "\Delta"'] & A \arrow[d, "\text{mult.}"] \arrow[r] & \operatorname{Spec}A \\
(\underline{C}, \otimes, F) \arrow[r] & U \rightarrow U \mathbin{\widehat{\otimes}} U \arrow[r] & A \otimes A \rightarrow A \arrow[r] & \text{monoïde affine}
\end{tikzcd}

Le signe de Koszul, et les foncteurs fibres tordus

Le n^o 7 prend l'exemple des modules gradués sur un anneau commutatif \(k\), avec le produit tensoriel gradué ordinaire : tous les axiomes sont vérifiés, le foncteur oubli est un \(\otimes\)-foncteur respectant tout, et pour \(k\) un corps on trouve le groupe \(\mathbf{G}_{m}\), à partir duquel \(\underline{C}\) se récupère.

Puis il change \(\psi\) pour la règle de Koszul, et il donne la raison de le faire. Soit \(\underline{V}\) la catégorie des espaces compacts avec le produit cartésien — où, dit-il, « pour le coup on n'a vraiment pas le choix » pour l'associativité et la commutativité — et considérons \(X \mapsto H^{\bullet}(X,k)\). Künneth donne l'isomorphisme de compatibilité \(c\), et \(c\) n'est compatible aux contraintes qu'à condition de choisir \(\psi\) par la règle de Koszul : la cohomologie force le signe. Suit alors l'énoncé qu'il marque « ??? » en marge et ne démontre pas :

« A prouver que lorsqu'on prend \(\underline{C}\) comme dessus à la Koko, il n'y a pas de foncteur fibre sur \(\underline{C}\) sur aucune extension \(K\) de \(k\). »

C'est l'obstruction qui commande le reste. Le remède du n^o 8 est de changer de cible : on étudie les \(\otimes\)-foncteurs à valeurs dans les modules gradués, qu'il appelle foncteurs fibres tordus. Se donner une factorisation de \(F\) par \(\operatorname{Gradf}(k)\) revient à un homomorphisme de coalgèbres \(A \to k[T, T^{-1}]\), ou à la donnée de projecteurs \(\pi_{i} \in U\) avec \(\pi_{i}^{2} = \pi_{i}\), \(\pi_{i}\pi_{j} = 0\) pour \(i \neq j\), \(\sum \pi_{i} = 1\). La \(\otimes\)-structure impose \[ \Delta(\pi_{i}) = \sum_{j+k=i} \pi_{j} \otimes \pi_{k} , \] et la condition de symétrie se lit :

en graduant \(U\) par le « degré des opérateurs dans les gradués », \(U^{i}_{\alpha} = \widehat{\sum}\,\pi_{i+j}U_{\alpha}\pi_{i}\), l'application diagonale devient anticommutative — c'est-à-dire que la multiplication de \(A\) est anticommutative.

Et le n^o 9 note que le groupe des \(\otimes\)-automorphismes du foncteur oubli est indépendant des contraintes a) à c) en jeu : ce sont les \(g \in U\) avec \(\Delta(g) = g \otimes g\) et \(\varepsilon(g) = 1\).

Le critère qui règle la question est page 123 :

il suffit que l'homomorphisme induit \(\mu_{2} \to G\) soit central, a fortiori que \(\mathbf{G}_{m} \to G\) le soit.

Cela signifie que la décomposition d'un objet en composantes paires et impaires est invariante sous \(G\), donc se fait dans \(\underline{C}\) elle-même. En caractéristique \(2\) « Koko ne change rien, tous nos ennuis et distinguos disparaissent ».³⁰

L'application, au n^o 10, est aux motifs semi-simples : les graduations naturelles sur les \(H^{\bullet}\) proviennent d'une graduation de la catégorie des motifs, et

« ce qui n'est qu'une traduction du fait que les correspondances de Künneth cohomologiques sur une variété algébrique projective lisse sont algébriques. On respire ! »

avec l'avertissement immédiat : ces \(H^{\bullet}\) ne sont pas des foncteurs fibres à proprement parler, mais des foncteurs fibres tordus. « On ne pourra s'empêcher de les appeler quand-même foncteurs fibres ! » Pour des motifs pas nécessairement semi-simples la catégorie n'est plus graduée mais filtrée, et ce qu'on veut est que les foncteurs cohomologiques se factorisent par elle en foncteurs fibres véritables, ce qui « n'est pas idiot » : la symétrie de Koko ayant été mise une fois pour toutes sur \(\operatorname{Grad}(\underline{M})\), on s'est débarrassé de la torsion.

Les données de symétrie

Le n^o 11 demande des théorèmes de structure intrinsèques, en termes de gerbes, et le n^o 12 ouvre « quelques cogitations dans ce sens » : \(\underline{C}\) munie de \(F\) additif exact fidèle \(k\)-linéaire, donc de \(U\) et \(A\), et d'un \(\otimes\) compatible, on se propose de déterminer toutes les données de symétrie \(\psi\) pour ce \(\otimes\) — pas seulement celles compatibles à \(F\) et à la symétrie ordinaire. On trouve qu'elles correspondent aux éléments inversibles \[ \sigma \in \bigl( U \mathbin{\widehat{\otimes}} U \bigr)^{*} \] vérifiant \[ (1)\quad \sigma'\sigma = 1 , \qquad \sigma\,(\Delta u)\,\sigma^{-1} = (\Delta u)' \quad \text{pour tout } u \in U , \] où \(x \mapsto x'\) est l'automorphisme de symétrie de \(U \mathbin{\widehat{\otimes}} U\). Il souligne ce que dit la seconde relation : \(\sigma\) transforme \(\Delta\) en la diagonale opposée \(\Delta'\), et \(\sigma'\) fait l'inverse — « condition de symétrie tordue de l'application diagonale ». En présence d'une unité bilatère, \[ (2)\quad (\mathrm{id} \otimes \varepsilon)(\sigma) = (\varepsilon \otimes \mathrm{id})(\sigma) = 1 , \quad\text{i.e.}\quad \sigma \in 1 + U^{+} \mathbin{\widehat{\otimes}} U^{+} , \] ³¹ et en présence d'associativité, la compatibilité \(\varphi\)–\(\psi\) s'exprime par une relation d'hexagone \[ (3)\quad (\Delta \mathbin{\widehat{\otimes}} \mathrm{id})(\sigma) = \sigma^{13}\sigma^{23} , \qquad (\mathrm{id} \mathbin{\widehat{\otimes}} \Delta)(\sigma) = \sigma^{13}\sigma^{12} . \] ³²

Le triplet \((U, \Delta, \sigma)\) ainsi axiomatisé est ce qu'on appelle aujourd'hui une bigèbre triangulaire, et \(\sigma\) une matrice \(R\) universelle : les conditions (1), (2), (3) sont mot pour mot celles d'une \(R\)-matrice avec \(R_{21}R = 1\).³³

Changement de base, et le torseur

Reste à faire varier le corps. Pour \(k'\) une \(k\)-algèbre commutative, on détermine les foncteurs \(G \colon \underline{C} \to \operatorname{Projf}(k')\) exacts et \(k\)-linéaires munis d'un \(c\). La donnée de \(G\) exact à droite revient à celle d'un pro-module \(L = (L_{\alpha})\) à droite sur \(U\) muni d'une structure de \(k'\)-module commutant aux opérations, par \(G(M) = L \otimes_{U} M\) avec \(L_{\alpha} = G(U_{\alpha})\) ; la \(k\)-linéarité dit que \(L\) provient d'un pro-module sur \(U' = U \otimes k'\) ; et l'exactitude plus l'arrivée dans \(\operatorname{Projf}(k')\) disent que les \(L_{\alpha}\) sont plats sur les \(U_{\alpha}\) et projectifs de type fini sur \(k'\). La donnée de \(c\) est alors celle d'un isomorphisme de bi-\(U'\)-modules \[ L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k'} L \xleftarrow{\ \sim\ } L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k'} U' , \] et posant \(B = \operatorname{Homcont}_{k'}(L, k')\) — une coalgèbre sur \(A'\), chaque \(B_{\alpha}\) coplat sur \(A_{\alpha}\) — cela devient un isomorphisme de comodules \[ (*)\quad B \otimes_{k'} B \xleftarrow{\ \sim\ } B \otimes_{k'} A' , \] d'où, par l'augmentation du facteur \(A'\), une loi de composition \(B \otimes_{k'} B \to B\) compatible à la structure de \(A'\)-comodule. Sa marge note, et c'est juste, que la donnée de \((*)\) équivaut à celle de cette loi.

Et alors tout se traduit :

\(\Delta\) unitaire \(\Leftrightarrow\) la loi de \(B\) est unitaire ; \(\Delta\) associative \(\Leftrightarrow\) \(B\) est une algèbre associative ; \(\Delta\) commutative et \(c\) compatible à la symétrie \(\Leftrightarrow\) la loi de \(B\) est commutative.

En termes du monoïde affine \(H = \operatorname{Spec}A\), cela dit que \(H_{k'}\) opère à droite sur \(\operatorname{Spec}B\), et qu'après le changement de base fidèlement plat \(k' \to B\) l'action devient triviale : on a un torseur sous \(H_{k'}\), et le nouveau foncteur fibre \(G\) est déduit de \(F \otimes_{k} k'\) par torsion.³⁴

La dernière question du paragraphe est celle du \(\tau\). Supposons \(A\) seulement associative unitaire avec antipodisme, et donnons-nous \(\sigma\). Posant \(V = G(U) = L \mathbin{\widehat{\otimes}}_{U} (U, \mathrm{int})\), le pro-anneau qui définit \(\underline{C}' = \underline{C} \otimes_{k} k'\) : peut-on construire à partir de \(\sigma\) un \(\tau \in V \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} V\) vérifiant les mêmes relations, de façon que \((G,c)\) soit compatible aux symétries ? La seule chance qu'il voit est que \(\tau\) soit invariant, \(U^{+}\!\cdot\tau = 0\). Et il dit ce que cela donnerait :

« cela montrerait que dans l'étude des foncteurs fibres, il y a lieu de laisser tomber les questions de compatibilité aux symétries, celles-ci se récupérant toujours après coup. »

Suit, en marge, le renvoi qui annule l'espoir : « Mais, cf. exemples n^o 11 ».

129–136

Les exemples instructifs (pages 129 à 136)

Le montage

Soit \(G\) un monoïde fini. Contrairement au yoga galoisien ordinaire, on prend non pas \(A = k(G)\) mais \[ U = k(G) , \] avec l'application diagonale déduite de la composition \(G \times G \to G\) — c'est la bigèbre duale au sens de Cartier de celle qu'on considère d'habitude. La catégorie \(\underline{C}\) est alors celle des familles \((X_{g})_{g \in G}\) de vectoriels, avec le produit de convolution \[ Z_{g} = \sum_{g'g''=g} X_{g'} \otimes Y_{g''} \] et pour unité la famille de Dirac. Elle a \(\otimes\), \(\varphi\), \(\mathbf{1}\), elle a \(\psi\) si \(G\) est commutatif, et une dualité si \(G\) est un groupe. Un foncteur fibre est la donnée d'une famille \((M_{g})\) avec des isomorphismes \[ (*)\quad M_{gg'} \simeq M_{g} \otimes M_{g'} , \qquad (**)\quad M_{e} \simeq k , \] et cela impose que le rang des \(M_{g}\) soit \(0\) ou \(1\).³⁵

a) Exact, compatible à tout, et non fidèle

Prenons \(G = \{e, p\}\) avec \(p^{2} = p\), et \(M_{e} = k\), \(M_{p} = 0\). On n'a plus le choix pour les isomorphismes \((*)\), qui satisfont toutes les compatibilités. On obtient un \(\otimes\)-foncteur exact, compatible à \(\varphi\), \(\psi\), \(\mathbf{1}\), et non fidèle — donc pas localement isomorphe au foncteur fibre donné. Et ce n'est possible que parce que \(G\) n'est pas un groupe.

D'où sa question, au bas de la page :

« Un \(\otimes\)-foncteur compatible avec tout entre \(\otimes\)-catégories satisfaisant à tous les axiomes (y compris rigidité) est-il néc. fidèle et exact ?? »

La réponse est affirmative, et c'est l'un des premiers lemmes de la théorie telle qu'elle s'est constituée : un \(\otimes\)-foncteur entre \(\otimes\)-catégories abéliennes rigides sur un corps est fidèle et exact, la dualité forçant l'un et l'autre. Le dossier pose la question et ne la tranche pas ; son exemple montre qu'il faut bien la rigidité.

b) Exact, fidèle, et pas compatible à \(\psi\)

Prenons maintenant \(G\) un groupe. La donnée d'un système de \(M_{g}\) avec les isomorphismes \((*)\), \((**)\) et leurs compatibilités est équivalente à la donnée d'une extension de \(G\) par \(k^{*}\), et le foncteur ainsi obtenu est isomorphe à \(F\) si et seulement si l'extension est scindée. Donc

l'ensemble des classes d'isomorphie de foncteurs fibres définis sur \(k\) est en bijection avec \(H^{2}(G, k^{*})\).

Or ce \(H^{2}\) peut être non nul même pour \(G\) commutatif — le produit de deux groupes cycliques isomorphes d'ordre premier à la caractéristique — et \(k\) algébriquement clos ; et surtout, pour \(k\) algébriquement clos, un élément non nul ne se tue dans aucune extension de \(k\), par le principe de l'extension finie. Il y a donc des foncteurs fibres compatibles à un \(\psi\) donné et d'autres qui ne le sont pas, et qui par suite ne sont pas localement isomorphes aux premiers. Conclusion, soulignée :

« on ne peut négliger la contrainte de commutativité comme on aurait aimé pouvoir le faire. De plus, cela suggère qu'en l'absence de contrainte de commutativité, la classification des foncteurs fibres se fait par des groupes du type de cohomologie de Brauer. »

Si l'on se restreint aux \(F'\) compatibles à \(\psi\), on ne trouve plus que les extensions commutatives, qui pour \(k\) algébriquement clos — donc \(k^{*}\) divisible — sont toutes scindées : \(F'\) est alors isomorphe à \(F\), « en conformité avec la théorie galoisienne relative au cas où l'application diagonale de \(U\) est commutative ».³⁶

La page 131 pousse plus loin. Sur cette \(\underline{C}\), il y a une contrainte de commutativité compatible aux autres données si et seulement si \(G\) est commutatif, et alors les contraintes correspondent aux fonctions \(G \times G \to k^{*}\) bilinéaires antisymétriques. Donc si \(H^{2}(G, k^{*})\) est nul — \(G\) cyclique, par exemple — tout choix non nul de \(\sigma\) donne une contrainte de commutativité pour laquelle il n'existe aucun foncteur fibre compatible, sur aucune extension de \(k\). Les foncteurs fibres gradués ne sauvent pas la situation en caractéristique \(2\), et sans doute en aucune. Reste à donner l'exemple, qu'il demande et ne construit pas : une \(\otimes\)-catégorie définissable par une bialgèbre, admettant une contrainte de commutativité, mais aucune contrainte pour laquelle un foncteur fibre existe. Sa note du bas de page dit ce qu'il faut pour cela : \(A\) commutative et \(U\) non commutative, sinon l'existence de \(\sigma\) entraînerait la commutativité de \(\Delta\).

c) La rigidité tombe

Soit \(X\) propre sur \(k\) avec \(H^{0}(X, \mathcal{O}_{X}) = k\). La catégorie des faisceaux cohérents a \(\otimes\), \(\varphi\), \(\psi\), \(\mathbf{1}\) et des \(\operatorname{Hom}\) internes, mais \[ \check{X} \otimes Y \longrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y) \] n'est pas un isomorphisme : l'axiome de rigidité tombe, et « c'est pour cela qu'il n'y a pas lieu de s'attendre à une vraie théorie de Galois ». Les foncteurs fibres aux points de \(X\) ont toutes les compatibilités mais ne sont ni exacts ni fidèles. Pour rétablir l'exactitude sans quitter l'abélianité, on fixe un ouvert \(U \subset X\) et on prend les faisceaux cohérents munis sur \(U\) d'une stratification : tout point de \(U\) donne alors un foncteur fibre exact — mais non fidèle si \(U \neq X\). Pour \(U = X\) la rigidité est satisfaite et l'on a une théorie de Galois, dont il doit résulter que \(\underline{C}\) n'a aucun foncteur fibre sur aucune extension de \(k\).

Suivent quatre énoncés « A prouver », pour \(\underline{C}\) abélienne à \(\otimes\) biadditif, \(\varphi\), \(\psi\), \(\mathbf{1}\), dualité et rigidité, avec \(k = \operatorname{End}(\mathbf{1})\) : a) \(k\) est absolument plat, donc un composé fini de corps s'il est noethérien ; b) les \(\operatorname{Hom}(X,Y)\) sont de présentation finie sur \(k\), qui est cohérent ; c) \(\underline{C}\) est limite inductive de sous-catégories stables par tout et attachées à des composés de corps ; d) le cas d'un composé de corps se ramène à celui d'un corps. Aucun n'est prouvé ici.

13) La variante sans fidélité, et l'algèbre de Steenrod

Le n^o 13 est la « variante utile du tapis de n^o 6 », et son intérêt est de lâcher deux hypothèses : \(\underline{C}\) n'est pas supposée additive, ni \(F\) fidèle. On pose \(U = \operatorname{End}_{k}(F)\), \(A\) la coalgèbre duale, et l'on trouve la factorisation canonique de \(F\) par \(\operatorname{Modf}(U/k) = \operatorname{Comodf}(A/k)\). Si l'on se donne un bifoncteur \(\otimes\) et un isomorphisme \(F(X \otimes Y) \simeq F(X) \otimes F(Y)\), on obtient une application diagonale sur \(U\) : car l'anneau des endomorphismes du bifoncteur \((X,Y) \mapsto F(X \otimes Y)\) est \(U \mathbin{\widehat{\otimes}}_{k} U\), et \(U\) s'y envoie par l'isomorphisme donné. Les compatibilités s'expriment comme au n^o 6, et ce qui reste spécifique au cas fidèle sont les réciproques : comment déduire d'une diagonale sur \(U\) un \(\otimes\) sur \(\underline{C}\).

L'exemple qu'il nomme est les opérations cohomologiques sur \(\mathbf{F}_{p}\) : sauf le morceau engendré par les \(\pi_{i}\), les degrés dans \(U\) sont \(> 0\), et \(\widetilde{U} = k + U^{+}\) est le complété canonique d'un anneau gradué à application diagonale anticommutative, donc \(\widetilde{A}\) est un anneau analogue.³⁷

Le théorème de liberté

La page 134 énonce, sous un titre dont le nom est resté en blanc :

Théorème de ——— (rapporté par Husemöller). Soient \(A\) une bialgèbre sur un corps \(k\), associative et unitaire pour ses deux structures, cocomplète pour sa filtration canonique de comodule ; \(M\) un \(A\)-module muni d'un homomorphisme diagonal unitaire \(M \to M \otimes_{k} M\) qui soit \(A\)-linéaire, d'une unité \(k \to M\) qui soit un homomorphisme de coalgèbres unitaires — de sorte que l'image \(e_{M}\) de \(1\) vérifie \(\varepsilon_{M}(e_{M}) = 1\) et \(\Delta_{M}(e_{M}) = e_{M} \otimes e_{M}\) — \(M\) cocomplet, et \(u \mapsto u.e\) injectif. Alors \(M\) est un \(A\)-module libre : posant \(\overline{M} = M \otimes_{A} k\), il existe un isomorphisme de \(A\)-modules \(M \simeq A \otimes_{k} \overline{M}\), non canonique, compatible aux projections sur \(\overline{M}\).

Le nom est laissé en blanc par la machine, et cette lecture le laisse en blanc.³⁸

Deux exemples l'éclairent. Si la diagonale de \(A\) est commutative, \(A\) est l'hyperalgèbre d'un groupe formel connexe \(G\) ; si \(\Delta_{M}\) est associative et commutative, \(M\) est l'algèbre des distributions à l'origine d'une variété formelle connexe \(V\), et l'hypothèse d'injectivité dit que \(g \mapsto g.a\) est un monomorphisme. Alors \(G \times V \to V \times V\) est un monomorphisme par Nakayama, le quotient \(W = V/G\) existe, \(V \to W\) est la projection d'un \(G_{W}\)-torseur, et \(\overline{M}\) est la coalgèbre de \(W\). Le torseur n'est pas trivial en général : on peut seulement dire que tout relèvement \(\overline{M} \to M\) comme \(k\)-espaces vectoriels donne l'isomorphisme \(A \otimes_{k} \overline{M} \simeq M\) de \(A\)-modules. Mais si \(G\) est formellement lisse — en particulier en caractéristique nulle — on a splitting parfait.

Le second exemple suppose \(A\) commutative pour sa loi d'algèbre, donc algèbre affine d'un schéma en monoïdes affine \(G\), et la condition de cocomplétude y devient étrange : pour toute fonction \(f\) sur \(G\) il doit exister \(n \geqslant 1\) tel que \(f(g_{1}\cdots g_{n})\) soit somme de fonctions de \(n-1\) des variables. Sa conjecture est que pour \(G\) de type fini cela équivaut à \(G\) fini unipotent, et sans hypothèse de type fini à \(G\) prounipotent.

Le corollaire de la page 136 est net, et c'est lui qui ramène tout au dossier :

Corollaire. Si \(M \to M \otimes_{k} M\) induit un isomorphisme \(M \otimes_{(A, \Delta_{A})}(A \otimes_{k} A) \to M \otimes_{k} M\), alors \(u \mapsto u.e\) est un isomorphisme pour toutes les structures.

La démonstration est l'argument de rang : le rang de \(M \otimes_{k}M\) sur \(A \otimes_{k}A\) est \(n^{2}\), l'hypothèse donne \(n = n^{2}\), donc \(n = 1\) — et il note que l'argument ne marche que si l'on sait le rang fini, d'où la variante : la diagonale de \(\overline{M}\) est surjective, donc bijective puisqu'unitaire, donc tout élément de \(\overline{M} \otimes \overline{M}\) est de la forme \(\bar{e} \otimes x\), ce qui n'est possible que si \(\bar{e}\) engendre.

Et la conclusion, qui renvoie explicitement à ses propres notes :

« Ceci montre que la conjecture de locale trivialité soulevée dans mes notes sur les \(\otimes\)-catégories marche si la bialgèbre \(A\) envisagée est finie sur \(k\), et sa duale est cocomplète, pourvu que l'algèbre \(B\) admette un homomorphisme d'algèbres dans \(k\) (ou une extension de \(k\)), i.e. pourvu que \(B\) ne soit pas identique à son idéal des commutateurs. »

La conjecture en question est celle des pages 126 à 128 : que \(\operatorname{Spec}B\) soit un torseur et non un pseudo-torseur, c'est-à-dire que deux foncteurs fibres soient localement isomorphes. Le corollaire en donne un cas, sous une hypothèse dont il dit lui-même la fragilité.

138–139

Motifs à coefficients dans un corps de nombres (pages 138 et 139)

Deux feuillets de sa main, d'une autre encre et d'un autre papier. Soient \(\underline{C}\) une \(\otimes\)-catégorie sur un corps \(K\) et \(K'\) une extension finie. On note \(\underline{C}^{K'}\) la catégorie des objets de \(\underline{C}\) sur lesquels \(K'\) opère, c'est-à-dire des \(X\) munis d'un homomorphisme de \(K\)-algèbres \(K' \to \operatorname{End}(X)\). C'est encore une \(\otimes\)-catégorie, en posant \[ X \otimes_{K'} Y = \operatorname{coker}\Bigl( X \otimes_{K} Y \xrightarrow{\ \lambda \otimes \mathrm{id} - \mathrm{id} \otimes \lambda\ } X \otimes_{K} Y \Bigr)_{\lambda \in K'} , \] et \(\underline{\operatorname{Hom}}_{K'}(X,Y)\) comme le noyau correspondant dans \(\underline{\operatorname{Hom}}_{K}(X,Y)\). Quand \(\underline{C}\) est définie par un schéma en groupes affine \(G\) sur \(K\) muni d'un foncteur fibre, alors \(\underline{C}^{K'}\) est définie par \(G_{K'} = G \otimes_{K} K'\), avec le foncteur fibre déduit ; et le \(\otimes\)-foncteur naturel \(\underline{C} \to \underline{C}^{K'}\), \(X \mapsto X \otimes_{K}K'\), a pour composé avec l'oubli le foncteur \(X \mapsto X \otimes_{K} \widetilde{K'}\), \(\widetilde{K'}\) étant l'espace vectoriel sous-jacent à \(K'\).

Prenons \(\underline{C}\) la catégorie des motifs semi-simples sur un corps \(k\), donc \(K = \mathbf{Q}\), et \(K'\) un corps de nombres. Un motif à coefficients dans \(K'\) est un \(\mathbf{Q}\)-motif \(E_{0}\) muni de \[ \varphi \colon K' \longrightarrow \operatorname{End}_{\mathbf{Q}}(E_{0}) . \] Une polarisation sur \(E_{0}\), de poids \(\rho\), donne \(\check{E}_{0} \simeq E_{0}(\rho)\), donc \(\operatorname{End}(\check{E}_{0}) \simeq \operatorname{End}(E_{0})\), et par là une involution sur \(\operatorname{End}(E_{0})\). Le motif dual de \(E_{\varphi}\) est alors défini par \(\lambda \mapsto \varphi(\lambda)'\), où le prime est cette involution, et l'énoncé qu'il encadre est \[ \boxed{\ (E_{\varphi})^{\vee} = (E_{\varphi'})(\rho)\ } \] avec l'avertissement immédiat :

« Ce n'est pas en général un isom. \((E_{\varphi})^{\vee} \simeq E_{\varphi}(\rho)\) ! »

Autrement dit, le dual d'un motif à coefficients n'est pas le tordu du motif lui-même : c'est le tordu du motif à coefficients conjugués.³⁹

La vérification qu'il donne est celle du cas le plus simple, et elle est concluante. Les \(K'\)-motifs de niveau zéro et de poids \(0\) forment une catégorie équivalente à celle des \(K'\)-espaces de dimension finie munis d'une opération continue de \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\), le dual répondant à la contragrédiente. Les \(K'\)-motifs de rang \(1\) à isomorphisme près correspondent aux caractères continus \(\chi \colon \pi \to K'^{*}\), avec \((L_{\chi})^{\vee} = L_{\check{\chi}}\), \(\check{\chi}(g) = \chi(g^{-1})\). Donc \[ L_{\chi}^{\vee} \simeq L_{\chi} \iff \chi = \check{\chi} \iff \chi \text{ à valeurs dans } \pm 1 , \] ce qui est bien une condition, et non une identité.

142–154

Les anneaux de représentations (pages 142 à 154)

Treize feuillets de sa main, d'un trait rapide, qu'il numérote lui-même de \((1)\) à \((34)\). Le sujet change : ce n'est plus la reconstruction d'un groupe, c'est le calcul de l'anneau de ses représentations, et des opérations \(\lambda\)-adiques qui le structurent.

Le formalisme

Pour \(G\) un groupe fini, \(A^{G}\) est la catégorie des \(k\)-espaces de dimension finie où \(G\) opère — une \(\otimes\)-catégorie avec involution. Elle dépend contravariantement de \(G\) : \(u \colon G \to G'\) donne \[ A^{u} \colon A^{G'} \longrightarrow A^{G} , \qquad A^{\mathrm{id}} = \mathrm{id} , \qquad A^{uv} = A^{v}A^{u} , \] et par là le produit tensoriel extérieur \[ M \boxtimes M' = A^{p_{1}}(M) \otimes A^{p_{2}}(M') \ \in\ A^{G \times G'} , \] d'où le \(\otimes\) interne par la diagonale, \(M \otimes M' = A^{\Delta_{G}} (M \boxtimes M')\). Dans l'autre sens vient l'induction \(I^{u}\), covariante et additive, avec \(I^{uv} = I^{u}I^{v}\). Pour \(G \subset G'\), la restriction de l'induit est donnée par la formule de Mackey, \[ A^{u}\bigl( I^{u}(M) \bigr) \simeq \bigoplus_{s \in G \backslash G' / G} \operatorname{Ind}_{G \cap sGs^{-1}}^{G} \operatorname{Res}^{sGs^{-1}}_{G \cap sGs^{-1}}\bigl( {}^{s}M \bigr) , \] où \({}^{s}M\) est \(M\) transporté à \(sGs^{-1}\) par conjugaison, de dimension \([G':G]\dim M\) et contenant \(M\) comme facteur direct (le terme \(s = 1\)) ; elle n'est pas \(M^{[G':G]}\) en général.⁴⁰ Viennent ensuite deux homomorphismes fonctoriels \(M \to A^{u}I^{u}(M)\) et \(M' \to I^{u}(A^{u}(M'))\), et \(I^{u} = A^{u^{-1}}\) quand \(u\) est un isomorphisme.

Avec les injections \(u_{p_{1},\ldots,p_{h}}\) d'un produit de groupes symétriques dans \(\mathfrak{S}_{p}\), on définit le produit d'induction \[ M * M' = I^{u_{p,q}}(M \boxtimes M') \qquad (M \in A^{\mathfrak{S}_{p}} , \ M' \in A^{\mathfrak{S}_{q}}) . \] Sa commutativité se lit sur l'élément \(\alpha\) de \(\mathfrak{S}_{p+q}\) vérifiant \(\alpha\,u_{p,q}\,\alpha^{-1} = u_{q,p}\,s_{p,q}\), et son associativité passe par \(u_{p,q,r}\). Enfin \(T^{n}(M) = \otimes^{n}M\), vu dans \((A^{G})^{\mathfrak{S}_{n}}\), est un foncteur non additif, et sa propriété essentielle est celle qu'il encadre : \[ \boxed{\ T^{n}(M \oplus M') \simeq \sum_{p+q=n} T^{p}(M) * T^{q}(M')\ } \] avec, pour la composition, \(T^{m}(T^{n}(M)) \simeq A^{u_{m,n}}(T^{mn}(M))\) à travers l'homomorphisme \(u_{p,q} \colon \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \to \mathfrak{S}_{pq}\) construit sur les permutations \(\alpha_{p,q}(\sigma)\) croissantes sur les intervalles \(\,]iq, (i+1)q]\,\) et les envoyant sur les \(\,]\sigma(i)q, (\sigma(i)+1)q]\,\) ; et \(T^{n}(M \otimes M') \simeq T^{n}(M) \otimes T^{n}(M')\).

Les groupes de classes, et l'anneau des fonctions symétriques

Passant aux classes, \(R(G) = K(A^{G})\) est un anneau de Chern commutatif augmenté, contravariant en \(G\), avec \[ \alpha \boxdot \beta = R(p_{1})(\alpha) \cdot R(p_{2})(\beta) , \] et l'induction \(I(u)\) est additive mais pas multiplicative. Pour \(u\) l'inclusion d'un sous-groupe, les deux composés sont \[ I(u)\,R(u)(x) = x \cdot I(u)(1) = x \cdot [k[G'/G]] , \qquad R(u)\,I(u) = \text{la somme de Mackey ci-dessus} ; \] le premier est la formule de projection, et \([k[G'/G]]\) est la classe de la représentation de permutation. Ni l'un ni l'autre n'est la multiplication par \([G':G]\) ; ils le deviennent après passage aux dimensions, c'est-à-dire composés avec l'augmentation. Un automorphisme intérieur agit par l'identité : \(R(\sigma_{g}) = I(\sigma_{g}) = \mathrm{id}\).⁴¹

L'objet qui sort est l'anneau gradué \[ R^{\bullet} = \coprod_{n \geqslant 0} R(\mathfrak{S}_{n}) , \qquad R^{0} = \mathbf{Z} , \] muni du produit d'induction \(*\), et c'est ce qu'on appelle aujourd'hui l'anneau des fonctions symétriques.⁴² La relation qui relie la multiplication des \(R^{n}\) à la multiplication globale est \[ R(u_{p,q})(\alpha * \beta) = \frac{(p+q)!}{p!\,q!}\,\alpha \boxdot \beta , \qquad\text{et en particulier}\qquad \frac{(2p)!}{(p!)^{2}}\,\alpha\beta = R(u_{p})(\alpha * \beta) \] où \(u_{p}\) est le composé \(\mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{\Delta} \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{p} \xrightarrow{u_{p,p}} \mathfrak{S}_{2p}\). Et la formule d'addition devient un homomorphisme de groupes \[ T \colon R(G) \longrightarrow 1 + \widehat{R(G)^{\bullet +}} , \qquad T(\alpha) = \sum_{n} T^{n}(\alpha) , \quad T^{0}(\alpha) = 1 , \] soumis aux deux règles \[ T^{n}(\alpha + \beta) = \sum_{p+q=n} T^{p}(\alpha) * T^{q}(\beta) , \qquad T^{n}(\alpha \cdot \beta) = T^{n}(\alpha)\,T^{n}(\beta) , \] et fonctoriel en \(G\). La page 149 récapitule le tout en quatre articles : les anneaux de Chern \(R^{n}\), les \(R(u)\), les applications bilinéaires \(R^{p} \times R^{q} \to R^{p+q}\) avec la relation ci-dessus, et \(T\).⁴³

Un tore

Pour \(T\) un tore, \(R(T) \simeq \mathbf{Z}[X(T)]\), l'algèbre du groupe des caractères. Une représentation \(\rho \colon T \to Gl(n)\) se diagonalise en \(n\) caractères \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\), et l'on pose \(C^{i}(\rho)\) pour leurs fonctions symétriques élémentaires, \(C(\rho) = \sum_{i}C^{i}(\rho)\) — de sorte que \(C(\rho) = C(\rho')C(\rho'')\) pour une extension. On prolonge \(\rho \mapsto (\deg \rho, C(\rho))\) en un homomorphisme d'anneaux de Chern \[ R(T) \simeq \mathbf{Z}[X(T)] \longrightarrow \mathbf{Z} \times \bigl( 1 + \mathbf{Z}[[X(T)]]^{+} \bigr) , \qquad \chi \longmapsto (1, 1 + [\chi]) , \] et l'assertion est qu'il est injectif à image dense. L'injectivité se voit en composant avec \(\chi \mapsto e^{\chi}\) dans \(\mathbf{Q}[[X(T)]]\) et en notant que les \(e^{\chi}\) sont linéairement indépendants. La densité se ramène, par récurrence, à un lemme sur les fonctions symétriques : étant donné un polynôme \(C^{n}\) de degré \(n\) en \(X_{1}, \ldots, X_{r}\), trouver des formes linéaires \(\alpha^{1}, \ldots, \alpha^{N}\) telles que \(\sigma^{1} = \cdots = \sigma^{n-1} = 0\) et \(\sigma^{n}((\alpha^{i})) = C^{n}\). Le lemme est énoncé au haut de la page 151 et sa démonstration n'y est pas.

Le reste de la page est un schéma au crayon qui dit à quoi cela devait servir : le fibré universel \(E_{T} \to B_{T}\), la surjection \(\mathbf{Z}[X(T)] \to H^{*}(B_{T}, \mathbf{Z})\), et \(R(T)\) atteignant ce dernier de deux façons — « alg » d'un côté, « top. via Chern » de l'autre — avec la même figure pour \(H^{*}(X, \mathbf{Z})\) et l'homomorphisme caractéristique entouré. Et la tâche laissée :

« Il faudrait prouver que \(\mathbf{Z}[X(T)] \to\) l'anneau de Chern attaché à \(R(T) \simeq \mathbf{Z}[X(T)]\). »

L'homomorphisme caractéristique

Les trois derniers feuillets passent à un groupe algébrique. \(K(G)\) est l'anneau engendré par les classes des représentations rationnelles irréductibles — libre comme groupe additif, et anneau de Chern — et \(CK(G)\) « l'anneau des classes de Chern » de \(K(G)\), gradué, avec l'homomorphisme canonique fonctoriel \[ c_{G} \colon K(G) \longrightarrow \mathbf{Z} \times \bigl( 1 + CK(G)^{+} \bigr) , \] sur lequel les automorphismes intérieurs agissent trivialement. Pour \(P\) un fibré principal de groupe \(G\) et de base \(X\), chaque représentation donne un fibré vectoriel sur \(X\), d'où \(K(G) \to K(X)\) et l'homomorphisme caractéristique \[ CK(G) \longrightarrow CK(X) = A(X) , \] compatible aux deux carrés évidents. La proposition de la page 153 calcule le cas d'un tore de dimension \(r\) : \[ K(T) \simeq \mathbf{Z}(X(T)) \simeq \mathbf{Z}[x^{1}, \ldots, x^{r}]_{x^{1}\cdots x^{r}} , \qquad CK(T) \simeq \mathbf{Z}[X(T)] , \] avec \(\varepsilon(\chi) = 1\) et \(c_{T}(\chi) = 1 + \chi\), c'est-à-dire \(c_{T}^{1}(\chi) = \chi\) et \(c^{i}_{T}(\chi) = 0\) pour \(i > 1\).⁴⁴

Et la page 154 pose la question qui reste ouverte. Soient \(T\) un tore maximal, \(N\) son normalisateur, \(W = N/T\) ; l'homomorphisme canonique \(CK(G) \to CK(T) \simeq \mathbf{Z}[X(T)]\) est compatible aux opérations de \(N\), qui opère trivialement à gauche et par \(W\) à droite. On a donc \[ (5)\qquad CK(G) \longrightarrow \mathbf{Z}[X(T)]^{W} , \] et :

en général ce n'est pas une bijection. Mais c'est « sans doute » une bijection s'il n'y a pas de torsion ; et l'homomorphisme analogue \[ (5\,\mathrm{bis})\qquad C\bigl( K(G) \otimes_{\mathbf{Z}} k \bigr) \longrightarrow k[X(T)]^{W} \] est bijectif si la caractéristique de \(k\) est première à la torsion de \(G\).

Ni l'un ni l'autre n'est démontré ; le feuillet s'arrête là et la page 155 est blanche.⁴⁵

156–179

Le dictionnaire, à la main (pages 156 à 179)

Vingt-quatre feuillets de sa main, écrits plus vite encore, et les plus raturés du dossier. C'est la seconde construction du dictionnaire dans l'ordre des feuillets, qui ne renvoie pas au tapuscrit des pages 117 à 136, et c'est elle qui produit les objets dont les quinze dernières pages ont besoin.

L'algèbre de la catégorie

Soit \(\mathcal{C}\) une classe abélienne dont les objets sont des modules sur un anneau commutatif \(k\), les morphismes des homomorphismes de modules, telle que le foncteur d'oubli soit exact et qu'il existe un ensemble \((A_{i})\) de représentants des classes d'isomorphie. Noyaux, images et conoyaux y sont les ordinaires.

Lemme I. Les endomorphismes du foncteur d'oubli sont exactement les familles \((u_{i})\) avec \(u_{i} \in \operatorname{End}_{k}(A_{i})\), telles que pour tout \(\varphi \in \operatorname{Hom}_{k}(A_{i}, A_{j})\) on ait \(\varphi u_{i} = u_{j}\varphi\).

Ils forment donc un sous-anneau de \(\prod_{i}\operatorname{End}(A_{i})\), fermé pour la topologie produit quand chaque \(\operatorname{End}(A_{i})\) porte la topologie de la convergence simple, les \(A_{i}\) étant discrets. D'où une algèbre linéairement topologisée, séparée et complète, \[ U , \] pour laquelle tout objet \(V\) de \(\mathcal{C}\) est un \(U\)-module, l'application \(U \to \operatorname{End}(V)\) étant continue, et pour laquelle les \(k\)-homomorphismes sont des \(U\)-homomorphismes. Un \(U\)-module est dit permis quand \(U \to \operatorname{End}(V)\) est continue ; si les \(A_{i}\) sont de type fini sur \(k\), les \(\operatorname{End}(A_{i})\) sont discrets et \(U\) est linéairement topologisée avec des idéaux ouverts, et on peut se borner aux permis de type fini.

Le foncteur canonique \(I\) de \(\mathcal{C}\) vers les \(U\)-modules permis est alors l'objet du dictionnaire, et l'on demande deux choses de lui :

1. \(1^{\circ}\))que pour tout \(k\)-module \(V\), l'application \(K(V) \to K'(V)\) des structures « de type \(\mathcal{C}\) » vers les structures de \(U\)-module permis soit bijective ;
2. \(2^{\circ}\))que pour \(V, W\) dans \(\mathcal{C}\), les \(k\)-homomorphismes soient exactement les \(U\)-homomorphismes.

La première structure supplémentaire est une augmentation continue \(\varepsilon\) sur \(U\), qui singularise le module trivial.

Et la première proposition de fonctorialité, soulignée sur la page 159 :

les homomorphismes continus \(V \to U\) de deux telles algèbres s'identifient aux foncteurs permis \(\mathcal{C}^{U} \to \mathcal{C}^{V}\) au-dessus de \(\mathcal{C}^{k}\) ;

et ceux qui sont compatibles aux augmentations correspondent aux foncteurs qui transforment le module trivial en le module trivial.

Dualité, puis produit tensoriel

La dualité (pages 160 et 161) est un foncteur \(F^{\vee}\) mettant sur le dual \(V'\) une structure de \(U\)-module permise, au-dessus du passage au dual des \(k\)-modules, avec \(F^{\vee}F^{\vee} = \mathrm{id}\). Un tel foncteur est un homomorphisme de l'anneau opposé \(U^{\circ}\) dans \(U\), c'est-à-dire une application \(x \mapsto \check{x}\) anti-multiplicative, et la relation \(F^{\vee}F^{\vee} = \mathrm{id}\) en fait un anti-automorphisme involutif. La compatibilité avec l'augmentation s'écrit \[ \varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x) \] et signifie que les modules triviaux vont sur les modules triviaux ; celle d'un homomorphisme continu \(\varphi \colon V \to U\) s'écrit \(\varphi(\check{x}) = \check{\overline{\varphi(x)}}\) et signifie que le foncteur permis commute au passage au dual.

Le produit tensoriel (pages 162 à 164) est plus délicat, et ces trois feuillets sont les plus raturés du lot. Ce qu'on veut est un bifoncteur \(T(V,W)\) au-dessus de \(\otimes_{k}\), c'est-à-dire une structure de \(U\)-module sur \(V \otimes_{k}W\), naturelle en les deux arguments et transformant les \(U\)-homomorphismes en \(U\)-homomorphismes. Le chemin est celui-ci. Un module permis sur \(U \mathbin{\widehat{\otimes}} U\) définit fonctoriellement un \(U\)-module permis, et cela revient à un homomorphisme \[ \boxed{\ U \longrightarrow U \mathbin{\widehat{\otimes}} U\ } \] — l'énoncé qu'il souligne page 163. La vérification passe par les quotients \(U_{V} = U/J_{V}\), qui sont artiniens, par Krull-Schmidt sur les indécomposables \(W_{ijk}\) de \(V_{i} \otimes V_{j}\), et par l'inclusion \[ U/J \otimes_{k} U/J \subset \operatorname{End}_{k}(V) \otimes_{k} \operatorname{End}_{k}(W) = \operatorname{End}_{k}(V \otimes_{k} W) \] qui montre que les \(U\)-structures sur \(V \otimes V\) sont les \(\sum u_{i} \otimes v_{i}\). « On vérifie que c'est bon. »

Les axiomes, rassemblés

La page 165 énumère les axiomes supplémentaires : l'associativité de \(\Delta\), accompagnée de son axiome pour les produits tensoriels ; la commutativité, c'est-à-dire que \(V \otimes_{k}W \to W \otimes_{k}V\) soit un \(U\)-homomorphisme ; l'augmentation, avec \(\Delta(u) = 1 \otimes u + u \otimes 1 + \cdots\) pour les primitifs ; la compatibilité avec la dualité, \((V \otimes_{k}W)' \simeq V' \otimes_{k} W'\) ; et le carré \[ \Delta \circ \vee = (\vee \otimes \vee) \circ \Delta , \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \vee \ \text{est un isomorphisme de co-algèbres.} \] La compatibilité combinée de \(\varepsilon\), \(\vee\) et \(\Delta\) (page 166) est la condition que l'accouplement naturel \(V' \otimes V \to k\) soit un \(U\)-homomorphisme pour \(k\) trivial, ce qui s'écrit \[ P(v \otimes 1)\Delta = P(1 \otimes v)\Delta = 1 , \] \(P\) étant la multiplication \(U \mathbin{\widehat{\otimes}} U \to U\). Et deux algèbres \(U\), \(V\) munies de \(\Delta\) donnent un foncteur permis \(\varphi \colon \mathcal{C}^{V} \to \mathcal{C}^{U}\) compatible aux produits tensoriels si et seulement si \(\varphi\) commute à \(\Delta\).

La page 167 rassemble le tout en quatre articles, et c'est la définition complète :

• \(U\) une algèbre associative topologique avec assez de représentations de dimension finie ;
• \(U\) munie d'une structure de co-algèbre associative \(U \to U \mathbin{\widehat{\otimes}} U\), les deux structures compatibles, c'est-à-dire un homomorphisme continu d'algèbres ;
• \(U\) munie d'une augmentation \(\varepsilon\), qui est un homomorphisme d'algèbres et de co-algèbres ;
• \(U\) munie d'une involution \(\vee\), anti-automorphisme involutif d'algèbres et automorphisme de co-algèbres, avec \(\varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x)\) ;

plus la relation \(P(v \otimes 1)\Delta = P(1 \otimes v)\Delta = 1\). Et « par dualité », les mêmes données vivent sur une algèbre commutative \(A\).

Le groupe

Vient alors la définition, page 168 : \[ G = \bigl\{ s \in U \ \text{inversible} \ :\ \Delta s = s \otimes s ,\ \varepsilon(s) = 1 \bigr\} . \] Et deux faits, démontrés. D'abord \(\Delta s = s \otimes s\) donne \(\varepsilon(s) = \varepsilon(s)^{2}\), donc \(\varepsilon(s)\) vaut \(0\) ou \(1\), et pas \(0\) puisque \(s\) est inversible : la condition \(\varepsilon(s) = 1\) est automatique. Ensuite \(P(v \otimes 1)\Delta = 1\) donne \(\check{s}s = 1\), donc \[ \check{s} = s^{-1} : \] l'involution est l'inverse sur \(G\).

Posant \(A = U'\), le dual topologique, la page 169 identifie ses éléments :

les formes linéaires continues sur \(U\) sont exactement les \(u \mapsto \langle u \cdot a, b \rangle\) pour \(a\), \(b'\) dans un objet \(V\) — c'est-à-dire les coefficients des représentations linéaires continues de dimension finie.

Et trois classes d'éléments sont distinguées : le groupe \(U^{*}\) des inversibles, qui répond aux automorphismes du foncteur d'oubli ; les éléments primitifs ; et les endomorphismes du foncteur additif qui, à des \(A\), \(B\) sur \(V\), \(W\), associent \[ A \otimes 1 + 1 \otimes B \quad\text{sur } V \otimes W , \] lesquels forment une algèbre de Lie.⁴⁶

« \(G\) est total dans \(U\) »

La page 170 fait de \(A\) une algèbre de fonctions sur \(G\) : \(A \to \{\text{fonctions } G \to k\}\), homomorphisme d'algèbres transportant \(1\) en \(\mathbf{1}\), compatible avec la multiplication diagonale, l'augmentation et \(\vee\). Et l'énoncé qu'il souligne :

dire que cette application est injective signifie précisément que \(G\) est total dans \(U\),

c'est-à-dire que l'adhérence de \(G\) pour la topologie faible est tout \(U\).⁴⁷

D'où le théorème, page 171 :

si \(G\) est total dans \(U\), la classe des \(U\)-modules permis s'identifie, avec toutes ses structures, à la classe des \(G\)-modules dont les coefficients tombent dans \(A\).

Ainsi une bigèbre \(U\) donne un groupe \(G\) et une algèbre \(A_{0}\) de fonctions sur \(G\) séparant ses points, stable sous \(\vee\), avec \(f(xy) \in A_{0} \otimes A_{0}\). Et la page renverse le problème : partant de \(G\) et d'une telle \(A_{0}\), on reconstruit \(U\) avec \(A_{0} \subset A\) et une bijection de \(G\) sur le groupe des éléments de type groupe de \(U\).

Les pages 172 à 176 le démontrent, en passant par une algèbre associative \(\Omega\) avec \(1\) : on prend pour \(A\) l'ensemble des fonctions sur \(\Omega\) qui sont coefficients de représentations linéaires de dimension finie ; la multiplication de \(\Omega\) est continue pour \(\sigma(\Omega \otimes \Omega, A \otimes A)\) et \(\sigma(\Omega, A)\), ce qui est un homomorphisme \(A \to A \otimes A\) ; les \(\Omega\)-modules de dimension finie sont exactement les \(\hat{\Omega}\)-modules permis, \(\hat{\Omega}\) étant le complété de \(\Omega\) pour \(\sigma(\Omega, A)\) ; on a \(\langle u \otimes v, f \rangle = \langle uv, f \rangle\) et \(f(uv) \in A_{0} \otimes A_{0}\) ; et la classe des \(\Omega\)-modules dont les \(f_{x,x'}\) tombent dans \(A_{0}\) est isomorphe à la classe des \(A_{0}\)-comodules et à celle des \(\hat{\Omega}\)-modules pour \(\sigma(\Omega, A_{0})\), la réciproque tenant « grâce à la dimension finie ». CQFD, page 176.

Reprenant le groupe, la stabilité de \(A_{0}\) se lit en deux mots : \(A_{0}\) est stable sous la multiplication, autrement dit \(A_{0}\) est une sous-algèbre, et \(A_{0}\) est stable sous \(\vee\). La page 177 ajoute \(1 \in A_{0}\) pour la représentation triviale, et demande que \[ G \longrightarrow G'(A_{0}) \] soit bijective, c'est-à-dire que \(A_{0}\) sépare les points de \(G\) et que toute fonction de \(A_{0}\) provienne de \(G\) ; et la structure est algébrique quand \(A_{0}\) est de type fini sur \(k\).

Le schéma qui clôt la rédaction

La page 179 porte le résultat de tout le faisceau sous forme de schéma : \[ K\text{-catégorie} \iff K\text{-bigèbre } U \iff \text{hyperalgèbre commutative } A , \] avec deux termes qui montent vers le membre médian : groupe pseudo-algébrique — car si \(G(U)\) est total dans \(U\), on retrouve \(A\) — et au-dessous groupe algébrique, si de plus \(A\) est de type fini.⁴⁸

C'est le théorème du dossier, et c'est le seul endroit où il soit écrit en entier.

180–182

L'hypergroupe des classes indécomposables (pages 180 à 182)

Le groupe ordonné

Soit \(\mathcal{R}\) une classe abélienne dont les objets sont de longueur finie, \(I\) l'ensemble des classes d'indécomposables, et \[ \Gamma = \mathbf{Z}(I) \] le groupe abélien libre sur \(I\). Krull-Schmidt en fait un groupe ordonné : le cône positif \(\Gamma^{+} = \mathbf{N}(I)\) s'identifie canoniquement au monoïde des classes d'isomorphie, la somme de \(\Gamma^{+}\) répondant à la somme directe.⁴⁹

Deux structures supplémentaires s'y transportent. Si \(\mathcal{R}\) porte un produit tensoriel et si \(k\) est muni d'une structure privilégiée, alors \(I\) a un élément distingué \(e\) ; et si \(\mathcal{R}\) porte une involution \(\vee\), alors \(I\) porte une involution \(i \mapsto \check{\imath}\), dont la compatibilité avec \(e\) s'écrit \[ \check{e} = e . \] Enfin \(n(i) = \dim M_{i}\) est une fonction privilégiée sur \(I\), qui se prolonge par linéarité à \(\Gamma\), et sur \(\Gamma^{+}\) c'est la fonction « dimension d'un module ». On a \(n(e) = 1\) et \(n(\check{\imath}) = n(i)\).

Ce qui reconstruit \(\mathcal{R}\), page 181, est la donnée de \(I\), de \(n\), de représentants \(M_{i}\) avec \(M_{i} = k^{n(i)}\) comme \(k\)-module, et pour chaque couple \((i,j)\) d'un sous-espace \(\operatorname{Hom}_{j,i}(k^{n(i)}, k^{n(j)})\), ces données étant stables par composition : \(\operatorname{Hom}_{kj} \circ \operatorname{Hom}_{ji} \subset \operatorname{Hom}_{ki}\).

L'hypergroupe discret

Supposons maintenant \(\mathcal{R}\) munie d'un produit tensoriel. Alors \(\Gamma\) devient un anneau commutatif dont la multiplication, restreinte à \(\Gamma^{+}\), est celle du produit tensoriel ; \(n\) y est une fonction multiplicative ; la compatibilité avec \(e\) indique que \(e\) est l'unité ; la compatibilité avec \(\vee\) indique que \(\vee\) est un automorphisme de l'anneau ; et enfin la compatibilité simultanée des trois indique que

\(i \otimes \check{\imath}\) a toujours l'unité \(e\) pour composante.

Et il conclut : \(I\) est alors un « hypergroupe discret ».⁵⁰

Le cas d'un groupe

La page 182 calcule ce que cela donne quand la catégorie vient d'un groupe. Si tout objet de \(\mathcal{C}\) est complètement réductible et si \(\mathcal{C}\) est engendrée par un groupe \(G\) muni d'une algèbre \(A\) de fonctions sur lui, alors \(\Gamma\) s'identifie à l'algèbre des combinaisons linéaires des représentations — l'anneau des caractères — et \(\Gamma^{+}\) aux fonctions des représentations linéaires de \(G\), toutes les structures étant conservées : \[ n(f) \rightsquigarrow f(e) \ (e \in G) , \qquad \vee \rightsquigarrow \vee , \qquad e \rightsquigarrow \text{la fonction } \mathbf{1} \text{ sur } G , \] et il note en passant qu'il s'agit de fonctions centrales. Si \(G\) est un groupe algébrique semi-simple, on obtient ainsi une description concrète de \(\Gamma\) : c'est l'algèbre des fonctions sur \(T/W\), \(T\) un tore maximal et \(W\) le groupe de Weyl.⁵¹ Et la tâche qui reste :

« il faudrait essayer de trouver une caractérisation intrinsèque des irréductibles, i.e. des éléments de \(I\) ; pour cela il faut mettre sur \(T/W\) une structure d'hypergroupe, dont on doit construire les fonctions irréductibles »

— avec un point d'interrogation porté dans la marge en regard de cette parenthèse.⁵²

Le feuillet se clôt sur le premier cas calculé : pour \(G = k^{*}\) avec \(k\) algébriquement clos, \[ \Gamma(G) \simeq \text{l'algèbre du groupe } \mathbf{Z} , \qquad I(G) \simeq \mathbf{Z} . \]

183–197

Trois anneaux calculés (pages 183 à 197)

Les quinze derniers feuillets font, à la main et jusqu'au bout, le calcul de l'anneau des représentations dans trois cas — l'anneau dont les pages 142 à 154 posent le formalisme. Ils sont numérotés par lui II et III pour les deux derniers ; le premier ne porte pas de numéro.

Le groupe additif : le problème

Soit \(G = k\), le groupe additif, \(k\) algébriquement clos. Toutes les représentations rationnelles de \(G\) sont unipotentes, donc leur classification est celle des opérateurs unipotents, donc celle des opérateurs nilpotents, donc celle des \(k[X]\)-modules annulés par une puissance de \(X\) — les \(k[X]\)-modules \(X\)-primaires de type fini. Les indécomposables sont les \(k[X]/X^{i}\), d'où \[ I \simeq \mathbf{N}^{+} , \qquad i \leftrightarrow k[X]/X^{i} , \] l'élément neutre est \(1\), l'involution est l'identité — et la question :

« Quelle est la multiplication ? »

avec, en marge, la question qui commande tout : « Caractéristique \(0\) ? »

Pourquoi un seul irréductible

Les pages 184 et 185 règlent le préalable. Soit \(P(x)\) une application polynomiale de \(G = k\) à valeurs dans un groupe linéaire, vérifiant \[ P(x+y) = P(x)\,P(y) . \] Pour une représentation irréductible, le commutant de l'image est un corps \(D\) par le lemme de Schur, les \(P(x)\) prennent leurs valeurs dans son centre \(Z\), et l'on est ramené à une application polynomiale de \(k\) dans les inversibles d'une extension commutative. L'argument est alors immédiat : si \(P\) était un polynôme de degré \(n > 0\), alors \(P(x+y)\) serait de degré \(n\) et \(P(x)P(y)\) de degré \(2n\) — absurde. Donc \(P(x) = 1\), \(Z = k\), et

Proposition. La seule représentation rationnelle irréductible du groupe additif est la représentation triviale de dimension \(1\).

⁵³

Corollaire. Toute représentation rationnelle de \(k\) se met sous forme triangulaire avec des \(1\) sur la diagonale.

Et il met aussitôt en regard la caractéristique \(p\), où la situation est « tout à fait distincte ». Les applications \[ f(\lambda,\mu)(x) = \lambda x^{p^{h}} + \mu \qquad (h \text{ fixé}) \] donnent, par translation, \[ \tau_{y}f(\lambda,\mu)(x) = \lambda(x+y)^{p^{h}} + \mu = \lambda x^{p^{h}} + \mu + \lambda y^{p^{h}} = f\bigl(\lambda,\ \mu + \lambda y^{p^{h}}\bigr) , \] c'est-à-dire la représentation de dimension \(2\) \[ E_{h}(y) = \begin{pmatrix} 1 & y^{p^{h}} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \] et ces représentations sont deux à deux inéquivalentes pour \(h\) variable : il y a donc une infinité de classes de représentations indécomposables de dimension \(2\), là où la caractéristique nulle n'en a qu'une.⁵⁴

Caractéristique nulle : la Proposition 2

La page 186 énonce, pour \(k\) de caractéristique nulle, ce qui suit : les représentations rationnelles du groupe additif correspondent aux représentations linéaires de son algèbre de Lie, qui est de dimension \(1\) et abélienne ; et par la Proposition qui précède, ce sont exactement les représentations nilpotentes de cette algèbre. D'où :

Proposition 2. En caractéristique nulle, la classification des représentations linéaires du groupe additif est équivalente à celle des \(k[X]\)-modules de type fini \((X)\)-primaires.

⁵⁵

Les indécomposables \((X)\)-primaires sont les \(k[X]/X^{n}\) pour \(1 \leqslant n < \infty\), et le Corollaire nomme l'objet cherché : \(R(k)\), l'anneau des classes de représentations du groupe additif.

Le calcul : les puissances de \(\xi\)

Les pages 187 et 188 sont les deux seules du faisceau qui se lisent presque de bout en bout, et elles font le calcul. Notons \(E_{n}\) la classe de \(k[X]/X^{n}\) ; l'involution est l'identité, \(d(E_{n}) = n\), et \(E_{1}\) est l'unité. Posons \[ \xi = E_{2} , \qquad d(\xi) = 2 . \] Alors \(\xi^{n}\) est la classe de \[ F_{n} = k[X_{1}, \ldots, X_{n}]\,/\,(X_{1}^{2}, \ldots, X_{n}^{2}) \] muni de l'opérateur nilpotent \(T\) de multiplication par la classe \(\dot{S}\) de \(S = X_{1} + \cdots + X_{n}\). Le point du calcul est l'expression des itérés : comme les carrés sont nuls, le développement multinomial de \(S^{k}\) ne laisse que les monômes à indices distincts, chacun avec le coefficient \(k!\), \[ \dot{S}^{k} = k!\,\sum_{1 \leqslant i_{1} < \cdots < i_{k} \leqslant n} \dot{X}_{i_{1}} \cdots \dot{X}_{i_{k}} . \] En particulier \(T^{n}\) est la multiplication par \(n!\,\dot{X}_{1}\cdots\dot{X}_{n}\) et \(T^{n+1} = 0\) ; donc \(T^{n}F_{n}\) est de dimension \(1\), de base \(\dot{X}_{1}\cdots\dot{X}_{n}\), et \(F_{n}\) a un unique bloc de Jordan de taille \(n+1\). D'où : \(\xi^{n}\) est une combinaison linéaire à coefficients dans \(\mathbf{N}\) des \(E_{1}, \ldots, E_{n+1}\), celui de \(E_{n+1}\) valant \(1\) : \[ \xi^{n} = \sum_{i=1}^{n+1} c_{ni}\,E_{i} , \qquad c_{n,n+1} = 1 . \] ⁵⁶

Proposition 3. \(R(k)\) est l'anneau de polynômes \(\mathbf{Z}[\xi]\) sur \(\mathbf{Z}\) engendré par \(\xi = E_{2}\), de degré \(2\).

Le calcul explicite, qu'il donne des deux côtés : \[\begin{align*} \xi^{0} &= E_{1} & E_{1} &= 1 \\ \xi^{1} &= E_{2} & E_{2} &= \xi \\ \xi^{2} &= E_{1} + E_{3} & E_{3} &= \xi^{2} - 1 \\ \xi^{3} &= 2E_{2} + E_{4} & E_{4} &= \xi^{3} - 2\xi \\ \xi^{4} &= 2E_{1} + 3E_{3} + E_{5} & E_{5} &= \xi^{4} - 3\xi^{2} + 1 \end{align*}\] ⁵⁷

La règle qui les engendre est la récurrence à trois termes \[ \xi\,E_{n} = E_{n-1} + E_{n+1} , \qquad\text{soit}\qquad E_{n+1} = \xi\,E_{n} - E_{n-1} , \] qui est la décomposition du produit tensoriel de deux blocs de Jordan nilpotents : \(J_{m} \otimes J_{n} \simeq \bigoplus_{i=1}^{\min(m,n)} J_{m+n+1-2i}\).⁵⁸

Une parenthèse ferme le feuillet, dont le premier mot — une capitale \(A\) — ne se lit pas : toutes les structures sont bien données, mais la structure d'anneau « est un peu cachée ! ».

II. Le groupe multiplicatif

La page 189 ouvre le second cas, et cette fois tout est semi-simple. Les représentations irréductibles de \(k^{*}\) passent par une représentation rationnelle \(P \colon k^{*} \to L^{*}\), \(L\) une extension finie de \(k\), avec \[ P(\lambda) = \sum_{i=-n}^{n} \lambda^{i} c_{i} , \qquad c_{i} \in L . \] La relation \(P(\lambda\lambda') = P(\lambda)P(\lambda')\) s'écrit \[ \sum_{i} \lambda^{i}\lambda'^{i}c_{i} = \sum_{i,j} \lambda^{i}\lambda'^{j}c_{i}c_{j} , \] et comme c'est une identité en \(\lambda\), \(\lambda'\), on doit avoir \[ c_{i} = c_{i}^{2} , \qquad c_{i}c_{j} = 0 \ \text{ pour } i \neq j . \] Il ne peut donc y avoir qu'un seul \(c_{n}\) non nul, et \(c_{n}^{2} = c_{n}\) avec \(c_{n}\) inversible donne \(c_{n} = 1\). Donc \(P(\lambda) = \lambda^{n}\), et l'irréductibilité impose \(L = k\). D'où :

Proposition. Les seules représentations irréductibles de \(k^{*}\), \(k\) un corps quelconque, sont celles de dimension \(1\), \[ \sigma_{n}(\lambda)\,t = \lambda^{n}\,t , \] avec \[ \sigma_{n}\sigma_{m} = \sigma_{n+m} , \qquad \check{\sigma}_{n} = \sigma_{-n} . \]

Pour une représentation quelconque, écrivant \(P(\lambda) = \sum_{i=0}^{n} c_{i}\lambda^{i}\) avec \(c_{i} \in \operatorname{End}(V)\), le même calcul donne \(c_{i}c_{j} = 0\) et \(c_{i}^{2} = c_{i}\), et de plus \[ \sum_{i} c_{i} = P(1) = 1 : \] les \(c_{i}\) sont des projecteurs deux à deux orthogonaux de somme \(1\), c'est-à-dire une décomposition de \(V\). D'où la complète réductibilité :

Proposition. Toute représentation linéaire rationnelle de \(k^{*}\) est complètement réductible.

⁵⁹

Corollaire. \(R(k^{*}) \simeq \mathbf{Z}[\mathbf{Z}]\), l'algèbre du groupe des entiers, \(\sigma_{n}\) répondant à \(n\) ; l'involution et l'augmentation y sont les usuelles. Et la généralisation à un tore : si \(\Gamma = X(G)\) est le groupe des caractères rationnels de \(G\) dans \(k^{*}\), alors \(\Gamma \simeq \mathbf{Z}^{n}\) et \[ R(G) \simeq \mathbf{Z}[X(G)] . \]

III. Le produit semi-direct

La page 191 ouvre le troisième et dernier cas, qui occupe les sept derniers feuillets : \[ G = k \rtimes k^{*} , \qquad k^{*} \ \text{opérant dans } k \ \text{par } \ \sigma_{p}(\lambda)t = \lambda^{p}t , \] les deux facteurs étant notés \(F = k\) et \(H = k^{*}\) sur la page. En caractéristique nulle, l'algèbre de Lie est l'extension de \(F\) par \(H\) avec \[ (1)\qquad [\,Y, X\,] = pX , \] \(X\) et \(Y\) étant les générateurs canoniques de \(F\) et de \(H\).

Soit \(\varphi\) une représentation linéaire indécomposable rationnelle de \(G\). Restreinte à \(H = k^{*}\) elle est semi-simple par le cas II, d'où la décomposition en sous-espaces propres \[ V = \sum_{n} V_{n} , \qquad Y \cdot a = n\,a \ \text{ pour } a \in V_{n} . \] La condition \((1)\) appliquée aux composantes \(X_{ji} \in L(V_{i}, V_{j})\) de \(X\) donne \[ (j - i)\,X_{ji} = p\,X_{ji} , \qquad\text{donc}\qquad X_{ji} = 0 \ \text{ sauf si } \ j - i = p : \] \(X\) décale le poids de exactement \(p\).

Deux cas. Si tous les \(X_{ji}\) sont nuls, l'indécomposabilité laisse un seul \(V_{n}\) non nul, de dimension \(1\), et la représentation est le \(\sigma_{n}\) du cas II remonté par la projection \(G \to H\). Sinon, posant \[ V' = \sum_{n \equiv \alpha \ (p)} V_{n} , \qquad V'' = \sum_{n \not\equiv \alpha \ (p)} V_{n} , \] les deux sont stables sous \(G\) et \(V = V' \oplus V''\) ; comme \(V' \neq 0\), l'indécomposabilité donne \(V' = V\) : tous les poids non nuls sont congrus modulo \(p\). Prenant \(n\) minimal avec \(V_{n} \neq 0\), les \(V\) non nuls sont les \[ V_{n+pk} , \qquad k = 0, 1, \ldots \] Soit \(k\) le plus grand indice avec \(V_{n+pk} \neq 0\) — et \(k \geqslant 1\) dans ce cas. Posant \[ u_{i} = X_{n+p(i+1),\,n+pi} , \qquad E_{i} = V_{n+pi} , \] on a une suite d'applications \[ E_{0} \xrightarrow{\ u_{0}\ } E_{1} \xrightarrow{\ u_{1}\ } E_{2} \ \cdots\ \xrightarrow{\ u_{k-1}\ } E_{k} . \]

Lemme 1. Les \(u_{i}\), \(0 \leqslant i \leqslant k-1\), sont injectifs.

Lemme 2. Ils sont bijectifs.

La démonstration du premier, page 193, est une récurrence sur \(i\), triviale pour \(u_{-1} \colon 0 = E_{-1} \to E_{0}\), et l'argument de l'étape est celui-ci : un \(x\) non nul du noyau de \(u_{\ell}\) engendre un \(D \subset E_{\ell+1}\), on choisit un supplémentaire \(F\) de \(D\), et l'on pose \[ E'_{j} = \begin{cases} E_{j} & j \leqslant \ell' \\ E_{j} \cap F & \ell' \leqslant j \leqslant \ell \end{cases} \qquad E''_{j} = \begin{cases} 0 & j \leqslant \ell' \ \text{ou} \ j > \ell \\ D & \ell' \leqslant j \leqslant \ell \end{cases} \] de sorte que \(E_{j} = E'_{j} \oplus E''_{j}\) pour tout \(j\), et que \(\sum E'_{j}\) et \(\sum E''_{j}\) soient tous deux stables et non nuls — ce qui contredit l'indécomposabilité.⁶⁰

Le catalogue des indécomposables

Conclusion (page 194). Les \(u_{i}\) sont bijectifs et les \(E_{i}\) sont de dimension \(1\). La représentation ainsi obtenue est notée \(e_{n,k+1}\), avec \(k+1 \geqslant 2\) ; et comme pour \(k = 0\) on retrouve le cas précédent, il est naturel de poser \(e_{n,1} = \sigma_{n}\).

Proposition. Les représentations indécomposables de \(G = k \rtimes k^{*}\) sont, à équivalence près, les \[ e_{n,k} , \qquad n \in \mathbf{Z} , \quad k \geqslant 1 , \] deux à deux inéquivalentes, avec \(e_{n,k} = \sigma_{n} \otimes e_{0,k}\) ; \(e_{0,k}\) est la représentation sur l'espace \[ k[Z]/Z^{k} \] où \(X\) est l'opérateur de multiplication par \(Z\) modulo \(Z^{k}\) et \[ Y \cdot Z^{\alpha} = \alpha p\,Z^{\alpha} . \] \(e_{0,k}\) est de dimension \(k\), les poids de \(e_{n,k}\) sont \(n\), \(n+p\), …, \(n + p(k-1)\), et \[ \check{e}_{n,k} = e_{-n-p(k-1),\,k} . \]

La formule du dual se lit sur les poids : le dual de \(e_{n,k}\) a pour poids les opposés, donc pour poids minimal \(-n-p(k-1)\), et il est encore indécomposable de dimension \(k\).

Le calcul de l'anneau

Les trois derniers feuillets calculent \(R(G)\). Les homomorphismes \(F \xrightarrow{i} G \xrightarrow{j} H\) donnent \[ R(H) \xrightarrow{\ j^{*}\ } R(G) \xrightarrow{\ i^{*}\ } R(F) . \] \(R(H)\) est l'algèbre engendrée par les \(\sigma_{n}\), \(n \in \mathbf{Z}\), avec \(\sigma_{n}\sigma_{m} = \sigma_{n+m}\) et \(\sigma_{0} = 1\) — c'est \(\mathbf{Z}[\mathbf{Z}]\) du cas II — et elle se plonge dans \(R(G)\) par \[ j^{*}(\sigma_{n}) = e_{n,1} . \] \(R(F)\) est \(\mathbf{Z}[e_{2}]\) du premier cas, de base les \(e_{n}\) avec \(e_{1} = 1\), et \(R(G)\) s'y envoie par \[ i^{*}(e_{n,k}) = e_{k} . \] Identifiant \(\Lambda = R(H)\) à une sous-algèbre de \(R(G)\) et posant \(\xi = e_{0,2}\), l'énoncé à prouver est \[ R(G) = \Lambda[\xi] , \] c'est-à-dire que les \(\xi^{n}\), \(n = 0, 1, \ldots\), forment une base de \(R(G)\) sur \(\Lambda\). Comme les \(e_{0,1}, e_{0,2}, \ldots\) en forment une, il suffit d'établir les formules \[ (1)\qquad \xi^{n} = \sum_{i=1}^{n+1} c_{ni}\,e_{0i} , \qquad c_{ni} \in \Lambda , \quad c_{n,n+1} = 1 , \] qui sont triangulaires à diagonale \(1\) et donc inversibles.

La démonstration, page 196, est un raisonnement en deux temps qu'il vaut la peine de suivre. A priori \(\xi^{n} = \sum_{i} c_{ni}e_{0i}\) avec \(c_{ni} \in \Lambda^{+}\). Appliquant \(i^{*}\) — qui, sur \(\Lambda\), est l'augmentation \(d\) — on trouve \[ e_{2}^{\,n} = \sum_{i} d(c_{ni})\,e_{i} , \] et l'on sait par ailleurs, c'est le calcul des pages 187 et 188, que \(e_{2}^{\,n} = \sum_{i=1}^{n+1}a_{ni}e_{i}\) avec les \(a_{ni}\) entiers \(\geqslant 0\) et \(a_{n,n+1} = 1\). La comparaison donne \[ \varepsilon(c_{ni}) = 0 \ \text{ pour } i > n+1 , \qquad \varepsilon(c_{n,n+1}) = 1 , \] et comme les \(c_{ni}\) sont dans \(\Lambda^{+}\) — combinaisons à coefficients \(\geqslant 0\) des \(\sigma_{\alpha}\) — il s'ensuit que \[ c_{ni} = 0 \ \text{ pour } i > n+1 , \qquad c_{n,n+1} = \sigma_{\alpha} \ \text{ pour un certain } \alpha . \] Reste à voir que \(\alpha = 0\), et c'est l'argument de poids de la page 197, pris des deux côtés, sur le terme \(c_{n,n+1}e_{0,n+1} = \sigma_{\alpha} e_{0,n+1} = e_{\alpha,n+1}\), dont les poids sont \(\alpha, \alpha + p, \ldots, \alpha + pn\). D'un côté, le plus haut poids figurant dans \(\xi^{n}\) est \(n\) fois le plus haut poids figurant dans \(\xi\), soit \(pn\), ce qui donne \(\alpha + pn \leqslant pn\), donc \(\alpha \leqslant 0\). De l'autre, les poids intervenant dans \(\xi = e_{0,2}\) sont \(0\) et \(p\), donc positifs, donc ceux de \(\xi^{n}\) aussi, et le plus bas poids \(\alpha\) de \(e_{\alpha,n+1}\) impose \(\alpha \geqslant 0\). Donc \(\alpha = 0\), \(\sigma_{\alpha} = 1\), c.q.f.d.⁶¹

Proposition (page 197). \(R(G)\) est l'algèbre de polynômes sur \(\Lambda = \mathbf{Z}[\Gamma]\), \(\Gamma = \mathbf{Z}\), engendrée par \(\xi = e_{0,2}\) ; l'augmentation de \(\Lambda\) est l'augmentation usuelle, \[ d(\xi) = 2 , \] l'involution \(\vee\) est l'involution usuelle sur \(\Lambda\), et \[ \check{\xi} = e_{-p,2} = \sigma_{-p} \cdot \xi . \]

La dernière formule est le cas \(n = 0\), \(k = 2\) de celle de la page 194 : \(\check{e}_{0,2} = e_{-p,2}\), et \(e_{-p,2} = \sigma_{-p} \otimes e_{0,2}\). Le dossier se referme là-dessus.⁶²