Cote n° 1 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

La page 121 achève la démonstration commencée au bas de la page 120 du lot précédent. Les pages 123 à 125 sont des feuillets plus anciens, d'une main plus lente, sur les puissances extérieures et le déterminant de Fredholm. Les pages 126 à 139 sont d'un seul tenant : l'énoncé d'un théorème sur les classes \(\mathcal{L}^p(H)\) et sa démonstration, dont les formules sont numérotées de (1) à (14).

121la page poursuit la démonstration de la proposition commencée au bas de la page 120 \[ n!\,\alpha_n \leq \frac{\varepsilon_0}{n+1}\,\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n\, e^{n} \qquad \sqrt[n]{n!\,\alpha_n} \leq e\Bigl(\frac{\varepsilon_0}{n+1}\Bigr)^{\frac1n} (\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n)^{\frac1n} \] comme à la page 120, les indices et les exposants se lisent \(n\) ou \(n+1\) ; le dernier facteur est réécrit au-dessus d'un facteur biffé \((n \to \infty)\), \(\bigl(\frac{\varepsilon_0}{n+1}\bigr)^{\frac1n} \to 1\), et \((\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n)^{\frac1n} \to 0\), d'où […] \(\sum n!\,\alpha_n(\lambda)\) converge absolument […], d'où \(\sqrt[n]{n!\,\alpha_n} \to 0\). […]

[…] \(S(\lambda)\) […] note marginale en biais, dans le coin supérieur gauche, reliée par une accolade aux deux lignes qui suivent ; illisible hormis \(S(\lambda)\)

Comme on a \(|\alpha_n(\lambda)| \leq \|\lambda\|_1^{\,n}\), il est […] que la fonction \(S(\lambda)\) est holomorphe au voisinage de l'origine ; d'ailleurs, la forme […] linéaire \(\alpha_n(\lambda^{(1)}, \ldots, \lambda^{(n)})\) associée à \(\lambda \mapsto \alpha_n(\lambda)\) est \[ \alpha_n(\lambda^{(1)}, \ldots, \lambda^{(n)}) = \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \ldots, i_n} \lambda^{(1)}_{i_1} \cdots \lambda^{(n)}_{i_n} \] (la somme étant étendue aux systèmes \((i_1, \ldots, i_n)\) d'indices tous distincts) d'où \(\|\alpha_n\| \leq \dfrac{1}{n!}\) \(\|n!\,\alpha_n\| \leq 1\), la marge de […]. Le rayon \(R_0\) de la fonction \(S(\lambda)\) à l'origine est donc \(\geq 1\). Soit alors \(a^{(m)}\) l'élément de \(\ell^1\) défini par \[ a^{(m)}_i = \begin{cases} \dfrac{1}{m} & \text{si } i \leq m \\[4pt] 0 & \text{si } i > m \end{cases} \] on a manifestement \(\|a^{(m)}\|_1 = 1\), et \[ \alpha_n(a^{(m)}) = \struck{\ill{}}\ \frac{1}{m^n}\binom{m}{n} = \frac{1}{m^n}\,\frac{m!}{n!\,(m-n)!} \quad \text{si } n \leq m, \] le coefficient binomial est écrit \(C_m^n\) ; un premier membre de droite est biffé d'où \[ n!\,\alpha_n(a^{(m)}) = \frac{1}{m^n}\, m(m-1)\cdots(m-n+1) = \Bigl(1 - \frac{1}{m}\Bigr)\Bigl(1 - \frac{2}{m}\Bigr)\cdots\Bigl(1 - \frac{n-1}{m}\Bigr) \] Donc \(n!\,\alpha_n(a^{(m)}) \to 1\) pour \(m \to \infty\). Il suit que \(S(a^{(m)}) \to \infty\) si \(m \to \infty\) ; donc \(S(\lambda)\) n'est pas bornée dans la boule unité de \(\ell^1\), et par conséquent le rayon […] de convergence […] \(\leq 1\), d'où \(R_0 = R_1 = 1\). « \(R_1\) » est repris au-dessus de la ligne, avec « bref » Enfin, \(S(\lambda)\) étant holomorphe pour […] et prenant […] holomorphes sur chaque […] les deux dernières lignes sont encadrées d'un trait ; la fin de la phrase est perdue

123la page s'ouvre au milieu d'un énoncé dont le début manque ; feuillets plus anciens, d'une main plus lente \[ \bigl(\|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1\bigr)^2 \leq \alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|)\; \alpha_n(|u_1|', \ldots, |u_n|') \] \[ |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|). \] le second facteur de la première ligne est réécrit au-dessus d'une écriture biffée

Démonstration Posons \(u_i = \sum_\alpha \lambda^{(i)}_\alpha\, a^{(i)}_\alpha \otimes b^{(i)}_\alpha\) (représentation canonique de \(u_i\)) alors \[ |u_i| = \sum_\alpha \lambda^{(i)}_\alpha\, a^{(i)}_\alpha, \qquad |u_i|' = \sum_\alpha \lambda^{(i)}_\alpha\, b^{(i)}_\alpha \] ainsi sur la page, sans les produits tensoriels \(a \otimes a\), \(b \otimes b\) \[ u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = \frac{1}{n!} \sum_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \lambda^{(1)}_{\alpha_1} \cdots \lambda^{(n)}_{\alpha_n}\, (a^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge a^{(n)}_{\alpha_n}) \otimes (b^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge b^{(n)}_{\alpha_n}) \] d'où \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!} \sum_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \lambda^{(1)}_{\alpha_1} \cdots \lambda^{(n)}_{\alpha_n}\, \|a^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge a^{(n)}_{\alpha_n}\|\, \|b^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge b^{(n)}_{\alpha_n}\| \] d'autre part […] une ligne courte, interlinéée de « \(= \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)\) » lu avec doute, et se terminant par un \(2\) ou \(\ell\) suivi de « \(= \alpha\) … » \[ \alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|) = \frac{1}{n!} \sum_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \lambda^{(1)}_{\alpha_1} \cdots \lambda^{(n)}_{\alpha_n}\, \|a^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge a^{(n)}_{\alpha_n}\|^2 \struck{\ill{}} \] \[ \alpha_n(|u_1|', \ldots, |u_n|') = \frac{1}{n!} \sum_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \lambda^{(1)}_{\alpha_1} \cdots \lambda^{(n)}_{\alpha_n}\, \|b^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge b^{(n)}_{\alpha_n}\|^2 \] L'inégalité cherchée résulte alors aussitôt de l'inégalité […] de Cauchy-Schwartz. une ligne entière est biffée avant « de Cauchy-Schwartz » ; « Schwartz » ainsi orthographié

Corollaire 1 encadré \[ |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \tfrac12\bigl(\alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|) + \alpha_n(|u_1|', \ldots, |u_n|')\bigr) \]

Corollaire 2 encadré \[ |\alpha_n(A+B)|^2 \leq \alpha_n(|A| + |B|)\; \alpha_n(|A|' + |B|') \] En effet, on a […] \[\begin{gather*} |\alpha_n(A+B)|^2 = \Bigl|\sum_k C_n^k\, \alpha_n(\overbrace{A, \ldots, A}^{k}, \overbrace{B, \ldots, B}^{n-k})\Bigr|^2 \\ \leq \Bigl(\sum_k C_n^k\, \alpha_n(\overbrace{|A|, \ldots, |A|}^{k}, \overbrace{|B|, \ldots, |B|}^{n-k})^{\frac12}\, \alpha_n(\overbrace{|A|', \ldots, |A|'}^{k}, |B|', \ldots)^{\frac12}\Bigr)^2 \end{gather*}\] les exposants \(2\) et \(\frac12\) sont surchargés et se lisent avec doute ; les accolades horizontales portent \(k\) et \(n-k\) d'où, par l'inégalité de Cauchy-Schwartz \[ |\alpha_n(A+B)|^2 \leq \Bigl(\sum_k C_n^k\, \alpha_n(|A|, \ldots, |A|, |B|, \ldots, |B|)\Bigr)^{\frac12} \Bigl(\sum_k \ldots\Bigr)^{\frac12} \] le second facteur n'est pas écrit en entier : une parenthèse avec \(\sum_k\) et une apostrophe ; l'exposant du premier membre est surchargé

124\[ = \bigl(\alpha_n(|A| + |B|)\bigr)^{\frac12} \bigl(\alpha_n(|A|' + |B|')\bigr)^{\frac12} \] \(\det(1 + A + B) \leq \det(1 + |A|)\det(1 + |B|)\)

Corollaire 3 encadré \[ |\det(1 + A + B)| \leq \tfrac12\bigl(\det(1 + |A| + |B|) + \det(1 + |A|' + |B|')\bigr) \] le premier terme de droite se lit « \(\det(1 + |A + B|)\) » ou « \(\det(1 + |A| + |B|)\) » ; le second est écrit en surcharge résulte aussitôt de \(|\alpha_n(A+B)| \leq \frac12\bigl[\alpha_n(|A| + |B|) + \alpha_n(|A|' + |B|')\bigr]\).

Corollaire 4 encadré \[ |\det(1 + A + B)| \leq \det(1 + |A|)\det(1 + |B|) \] la formule est soulignée d'un double trait

Il suffit de prouver ce résultat pour \(A\) et \(B\) hermitiens positifs ; en effet […], d'après le corollaire 3, \(|\det(1 + A + B)| \leq \frac12\bigl[\det(1 + |A|)\det(1 + |B|) + \det(1 + |A|')\det(1 + |B|')\bigr]\), ce qui donnera l'inégalité voulue, en vertu de \(\det(1 + |A|) = \det(1 + |A|')\), \(\det(1 + |B|) = \det(1 + |B|')\). — Dans le cas hermitien positif « positif » interlinéé, on écrit \[ \det(1 + \uncertain{H} + K) = \det(1 + \uncertain{L})\Bigl(1 + \frac{K}{1 + L}\Bigr) = \det(1 + L)\det(1 + HK) \] la première lettre se lit \(R\) ou \(H\), la suite écrit \(L\) ; la relation entre les deux n'est pas explicitée où \(H = \dfrac{1}{1+L}\), donc est hermitien positif de norme […], \(\det(1 + HK) \leq \det(1 + K)\), il suffit pour cela de prouver \(\alpha_n(HK) \leq \alpha_n(K)\) pour tout \(n\), soit \(\operatorname{Tr}\Lambda^n HK \leq \|\Lambda^n K\|_1\). Or on a \[ \Lambda^n HK = (\Lambda^n H)(\Lambda^n K), \quad \text{d'où} \quad \|\Lambda^n HK\|_1 \leq \|\Lambda^n H\|_\infty\, \|\Lambda^n K\|_1 \quad \text{et} \quad \|\Lambda^n H\|_\infty \leq \|H\|_\infty^{\,n} \leq 1. \] l'exposant \(n\) de \(\Lambda\) est écrit au-dessus de la lettre, comme un accent

Corollaire 5 encadré, la formule aussi \[ \det(1 + |A + B|) \leq \det(1 + |A|)\det(1 + |B|) \]

125la partie supérieure de la page reprend la page 124 jusqu'à « il suffit pour cela » ; seul le feuillet collé sur sa partie inférieure est transcrit ici

Le corollaire contient le précédent, car on sait que \(\det(1 + A + B) \leq \det(1 + |A + B|)\). — Il résulte du précédent, car on a aussi « en général » les guillemets sont de lui \(|A + B| = U(A + B)\), \(U\) unitaire, d'où par ce qui précède \[ \det(1 + UA + UB) \leq \det(1 + |UA|)\det(1 + |UB|) = \det(1 + |A|)\det(1 + |B|) \] (car \(|UA| = U|A|U^{-1}\), \(|UB| = U|B|U^{-1}\)).

126[…] quatre lignes au crayon en tête de page, en partie biffées, dont on lit « Théorème », « le déterminant de Fredholm », « Notation \(\mathcal{L}_0\) », « partie du théorème » et « sont connues »

Théorème

1) Pour […] \(0 < p \leq \infty\), \(\mathcal{L}^p(H)\) est un idéal bilatère « bilatère » est interlinéé dans \(\mathcal{L}(H)\), stable pour l'involution \(A \to A^*\). De façon précise […] : \[\begin{gather*} (1)\qquad \|A\|_p = \|A^*\|_p \qquad \text{pour } A \in \mathcal{L}^p(H),\ B \in \mathcal{L}(H) \\ (2)\qquad \|BA\|_p \leq \|B\|\,\|A\|_p, \qquad \|AB\|_p \leq \|B\|\,\|A\|_p \end{gather*}\] devant les normes de (1) et (2) un \(S_p\) est amorcé puis biffé : il avait d'abord écrit l'énoncé pour \(S_p\) Si \(\infty \geq p \geq 1\), \(A \to \|A\|_p\) est une norme sur \(\mathcal{L}^p(H)\) […] i.e. on a \[ (3)\qquad \|A + B\|_p \leq \|A\|_p + \|B\|_p, \qquad \|\lambda A\|_p = |\lambda|\,\|A\|_p \qquad (1 \leq p \leq \infty) \] le domaine entre parenthèses, en bout de ligne, se lit avec doute et \(\mathcal{L}^p(H)\) est complet pour cette norme. Si \(0 < p \leq \uncertain{1}\), alors l'expression \(S_p(A) = \|A\|_p^{\,p}\) sur \(\mathcal{L}^p(A)\) ainsi : \(\mathcal{L}^p(A)\) pour \(\mathcal{L}^p(H)\), ici et deux lignes plus bas satisfait à l'inégalité du triangle \[ (4)\qquad S_p(A + B) \leq S_p(A) + S_p(B) \qquad (0 < p \leq 1) \] et muni de la distance, invariante par translation, \(S_p(A - B)\), \(\mathcal{L}^p(A)\) est un espace vectoriel top. métrisable et complet, non localement convexe si \(p < 1\), et \(\dim H = +\infty\).

2) Si \(A \in \mathcal{L}^p(H)\) (\(0 < p < +\infty\)), alors la suite des valeurs propres \((\lambda_i)\) interlinéé de \(A\) est de puissance \(p\)-ième sommable, et on a \[ (5)\qquad \sum |\lambda_i|^p \leq S_p(A) \] \(S_p(A)\) et \(\|A\|_p\) sont des fonctions croissantes sur l'ensemble des opérateurs hermitiens positifs, i.e. \(H\) et \(K\) hermitiens positifs, \(H \leq K\), entraîne \(S_p(H) \leq S_p(K)\).

3) le chiffre corrige un \(2\) Soient \(0 < p, q, r \leq +\infty\), avec \(\dfrac1p + \dfrac1q \geq \dfrac1r\). Si donc \(A \in \mathcal{L}^p(H)\), \(B \in \mathcal{L}^q(H)\), alors \(AB \in \mathcal{L}^r(H)\), et on a \[ (6)\qquad \|AB\|_r \leq \|A\|_p\,\|B\|_q \]

② Dual de \(\mathcal{L}^p\) ; réflexivité en biais dans la marge gauche, à hauteur du point 2) […] généralisation […] Schatten […] seconde note marginale en biais, plus bas, de plusieurs lignes courtes ; une courbe la relie au « (1) ..... » du bas de page (1) .....

127[…] Démonstration finie dans un cadre, en biais, dans le coin supérieur gauche ; trois lignes dont seules les deux dernières se laissent lire avec doute

La première partie du théorème est résumée dans les formules (1) à (4), et les affirmations relatives aux […] topologies naturelles de ces espaces \(\mathcal{L}^p(H)\) […] d'abord que ces dernières sont conséquences très faciles des formules (1) à (4) ligne interlinéée en petits caractères. La formule (1) est évidente, […] trois lignes biffées, dont « \(p < +\infty\) », « soit », « conséquence » et « Rem. 2) » se lisent par ce que \(|A|\) et \(|A^*|\) ont […] valeurs propres […]. La formule (2) est un cas particulier de la formule (6), mais […] demande une démonstration […] directe simplement de façon directe directe, en procédant comme dans [ ] les crochets sont vides sur la page. En effet, si \((k_i)\) […] désigne la suite des valeurs propres de \(|BA|^{2}\) surchargé ; un « \(= (AB)^*(AB)\) » et un « \(|BA|\) » biffés, puis « \(|A|\) » à la ligne et \((h_i)\) celles de \(|BA|\) rangées par ordre de grandeur décroissante (chacune répétée autant de fois que l'exige sa multiplicité) on a \(k_i \leq \|B\|\, h_i\) pour tout \(i\) (loc. cit., page […]) d'où aussitôt les formules (2).

[…] deux lignes biffées, dont « La […] des formules […] », « (3) peut être regardée », « de la formule », « première […] immédiate » Les formules (3) doivent être regardées comme conséquence de la formule (6) (que nous démontrerons de façon indépendante) de la façon suivante. Si \(p'\) est tel que \(\dfrac1p + \dfrac1{p'} = 1\), et si \(B \in \mathcal{L}^{p'}(H)\), […] \(\|B\|_{p'} \leq 1\), alors on a en vertu de (6) \(\|AB\|_1 \leq \|A\|_p\), d'où \[ |\operatorname{Tr}(AB)| \leq \|A\|_p, \qquad \text{et} \qquad \operatorname*{Sup}_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB| \leq \|A\|_p \]

128Cette inégalité peut être remplacée par une égalité, car il suffit en fait de […] isométrie \(U\) telle que \(UA = |A|\), […] et d'autre part, comme il résulte aussitôt de la décomposition spectrale de \(|A|\) et du th. de Hölder classique sur les espaces \(L^p\) et \(L^{p'}\), un opérateur hermitien positif \(H \in L^{p'}\) tel que \(\operatorname{Tr}(H|A|) = \|A\|_p\), soit \(\operatorname{Tr}(HUA) = \|A\|_p\). Si on pose \(B = \uncertain{HU}\) lu \(UA\) ou \(HU\) ; le second est ce que demande l'argument, on aura \(\|B\|_{p'} \leq \|U\|\,\|H\|_{p'}\) (formule (2)) donc \(\|B\|_{p'} \leq 1\), ce qui prouve notre assertion. Par suite on a bien \[ (7)\qquad \|A\|_p = \operatorname*{Sup}_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB| \] ce qui prouve que \(\|A\|_p\) est bien une semi-norme, comme borne supérieure de semi-normes \(A \to |\operatorname{Tr} AB|\).

Une telle démonstration n'est plus praticable pour \(p < 1\) ; et nous démontrons la formule (4) par voie analytique, grâce au

Lemme 1 Soit \((\alpha_i)\) une suite décroissante de nombres \(\geq 0\), de puissance \(p\)-ième […], soit et soit \(0 < p < 1\). Posons \(f(z) = \prod_{i=1}^{\infty} (1 + \alpha_i z)\). Alors on a \[ (8)\qquad \sum \alpha_i^{\,p} = \frac{p \sin \pi p}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log f(v)}{v^{1+p}}\, dv \] (les deux membres pouvant être infinis simultanément).

129Corollaire Si \(A \in \mathcal{L}^1(H)\), soit \(M_A(v) = \operatorname*{Sup}_{|z| = v} \det(1 + zA)\), si \(A\) est hermitien positif, et si \(A \in \mathcal{L}^p(H)\), on et avec \(0 < p < 1\) ; on a \[ (9)\qquad S_p(A) = \frac{p \sin \pi p}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log M_{|A|}(v)}{v^{1+p}}\, dv \] Il suffit en effet de poser \(f(z) = \det(1 + z|A|)\), les \(\alpha_i\) étant les valeurs propres de \(|A|\) ; on aura alors \(M(v) = f(v)\).

Pour démontrer (4), on peut peut écrire \[ S_p(A + B) = S_p(|A + B|) = \frac{p \sin \pi p}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log M_{|A+B|}(v)}{v^{1+p}}\, dv \] Or \(M_{|A+B|}(v) = \det(1 + v|A + B|) \leq \det(1 + v|A|)\det(1 + v|B|)\) (formule […]) soit \(M_A\) soit \[ (10)\qquad M_{|A+B|}(v) \leq M_{|A|}(v) \cdot M_{|B|}(v) \qquad \text{d'où} \] \[ S_p(A + B) \leq \frac{p \sin \pi p}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log M_{|A|}(v)}{v^{1+p}}\, dv + \frac{p \sin \pi p}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log M_{|B|}(v)}{v^{1+p}}\, dv \] Appliquant de nouveau (9), on obtient bien la formule voulue (4).

Pour prouver

2) Pour prouver la formule (5), je ne connais qu'une méthode analytique. De façon précise, si \(A\) est un opérateur cpt quelconque, soient la suite de ses val. propres \((\lambda_i)\), posons et on \(0 < p < +\infty\), posons \[ s_p(A) = \sum |\lambda_i|^p. \] […] une ligne biffée, dont « \(S_p(A) \leq S_p\) » et « évidemment pour » se lisent pour tout entier \(n > 0\) le début de la ligne est biffé \(s_p(A) = s_{p/n}(A^n)\) \(s_{p/n}\) porte l'indice \(\frac{p}{n}\) en fraction sous le \(s\) ; la ligne est traversée de courbes de renvoi et se termine par un mot perdu

130Supposons d'abord \(p < 1\), alors on a, d'après une formule de majoration classique pour la somme des puissances \(p\)-ièmes des inverses des modules des zéros d'une fonction entière \[ f(z) = \det(1 - zA) \qquad (0 < p < 1) \] \[ \struck{(10)}\qquad s_p(A) \leq p^2 \int_0^\infty \frac{\log M_A(r)}{r^{p+1}}\, dr \] or \(M_A(v) \leq M_{|A|}(v)\) ([…]) d'où \[ s_p(A) \leq p^2 \int_0^\infty \frac{\log M_{|A|}(v)}{v^{p+1}}\, dv \] ; utilisant alors la formule (9), on obtient donc la majoration \[ (10)\qquad s_p(A) \leq \frac{p\pi}{\sin p\pi}\, S_p(A) \] Le facteur \(\dfrac{p\pi}{\sin p\pi}\) est \(> 1\), mais tend vers \(1\) pour \(p \to 0\). Soit alors \(0 < p < +\infty\) quelconque, et soit \(n\) un entier \(> 0\) tel que \(\dfrac{p}{n} < 1\). On a évidemment \(s_p(A) = s_{p/n}(A^n)\), d'où, en vertu de (10) : \[ s_p(A) \leq \frac{\frac{p}{n}\pi}{\sin \frac{p}{n}\pi}\, S_{p/n}(A^n) \] Or, on a \(S_{p/n}(A^n) \leq S_p(A)\) \(\|A^n\|_{p/n} \leq \underbrace{\|A\|_p \cdots \|A\|_p}_{n \text{ facteurs}}\), comme il résulte aussitôt de la formule (6), qui se démontre plus bas (alors il est immédiat que cette formule se généralise en prenant un nombre fini quelconque d'opérateurs), d'où \[ S_{p/n}(A^n) = \bigl(\|A^n\|_{p/n}\bigr)^{\frac{p}{n}} \leq \|A\|_p^{\,p} = S_p(A) \]

131d'où \[ s_p(A) \leq \frac{\pi \frac{p}{n}}{\sin \pi \frac{p}{n}}\, S_p(A). \] Faisant tendre \(n\) vers l'infini, on trouve l'inégalité (5).

L'assertion que si \(0 \leq H \leq K\), […] alors on a positif \(S_p(H) \leq S_p(K)\) résulte aussitôt du fait bien connu que sous les conditions envisagées, la suite décroissante interlinéé des valeurs propres de \(H\) est majorée par la suite des valeurs propres décroissante de \(K\) ([…] il résulte de la caractérisation Fischer classique « classique » interlinéé extrémale de la suite des valeurs propres d'un opérateur hermitien complètement continu positif).

la moitié inférieure de la page, de « 3) » à la fin, est barrée de longs traits obliques ; elle est reprise à la page 132

3) Pour prouver la formule (6), on […] peut […] écrire, pour un entier \(n > 0\) arbitraire \(S_{r/2}(L)\) où \(L = (AB)(AB)^*\) encadré \[ S_r(AB) = S_{r/2}\bigl(AB(AB)^*\bigr) = \struck{S_{r/2m}\bigl((AB(AB)^*)^m\bigr)} \] Si \(m\) est un entier \(> 0\), on aura encore \[ S_r(AB) = S_{r/2}(L) = S_{r/2m}(L^m), \quad \text{d'où, en vertu de la formule (9),} \qquad k(\alpha) = \frac{\pi\alpha}{\sin \pi\alpha} \] \(k(\alpha)\) est défini à droite, dans un renvoi ; suivent deux lignes encadrées et biffées, dont on lit « \(r' = \frac{r}{2m}\) » et « \(S_r(AB) = \frac{\ill{}}{k(r/2)} \int_0^\infty \frac{\log M_{L^m}(v)}{v^{1+r/2m}}\, dv\) » Posons \(r' = \dfrac{r}{2m}\), \(p' = \dfrac{p}{2m}\), \(q' = \dfrac{q}{2m}\), on aura évidemment encore \(\dfrac{1}{p'} + \dfrac{1}{q'} \geq \dfrac{1}{r'}\). La formule (9) donne alors \[ S_r(AB) = S_{r'}(L^m) = \frac{r' \sin \pi r'}{\pi} \int_0^\infty \frac{\log M_{L^m}(v)}{v^{1+r'}}\, dv \]

1323) La preuve de la formule (6) est la plus difficile. Nous commencerons par donner une preuve directe et très simple pour le cas où \(p \geq 1\), \(q \geq 1\), \(r = 1\) interlinéé au-dessus d'un « \(p, q, r \geq\) […] » biffé, avec un astérisque (preuve qui, d'ailleurs, a l'avantage de s'appliquer sans modification au cas d'une D trace au sens de von Neumann définie sur une algèbre auto-adjointe \(\mathfrak{A}\) […] (1) (les éléments les « opérateurs […] de puissance \(p\)-ième sommable » de \(\mathfrak{A}\) se définissent comme ceux des \(A \in \mathfrak{A}\) tels que \(\struck{\operatorname{Tr}}(|A|^p) < +\infty\).) une accolade relie ces lignes à une note marginale en biais, illisible hormis « Schatten » et un point d'interrogation redoublé ([…] obtiendrons d'ailleurs le résultat comme conséquence d'une proposition plus générale).

Nous commencerons par prouver que si \(A_1, \ldots, A_{2^n}\) sont \(2^n\) opérateurs cpt continus (\(n\) entier \(\geq 1\)) alors on a \({}^{(1)}\) \[ (11)\qquad \|A_1 A_2 \cdots A_{2^n}\|_1 \leq \|A_1\|_{2^n}\, \|A_2\|_{2^n} \cdots \|A_{2^n}\|_{2^n} \] les \(2^n\) sont écrits « \(2n\) » sur la ligne, ici et dans la suite ; la récurrence sur \(n\) avec \(2^{n-1}\) facteurs fixe la lecture Nous le prouvons par récurrence sur \(n\) ; c'est vrai si \(n = 1\), (formule […] bien), […] \(\|A_1 A_2\|_1 \leq \|A_1\|_2 \|A_2\|_2\) supposons-le démontré pour \(2^{n-1}\) facteurs, et démontrons alors (11). Écrivons \(A_1 \cdots A_{2^n} = (A_1 A_2) \cdots (A_{2^n - 1} A_{2^n})\) ; le premier membre est, en vertu de l'hypothèse de récurrence, majoré par \(\|A_1 A_2\|_{2^{n-1}} \cdots \|A_{2^n - 1} A_{2^n}\|_{2^{n-1}}\)

au bas de la page, sous un trait, la note de renvoi : \({}^{(1)}\) Le lecteur notera que ce résultat suffirait pour démontrer directement directement réécrit au-dessus du mot biffé, comme nous le verrons plus bas, la formule (6) dans le cas général.

133On voit qu'on est ramené à démontrer la formule telle pour \(\|A_1 B_1\|_{2^{n-1}} \leq \|A_1\|_{2^n} \|B_1\|_{2^n}\), soit, plus simplement, \(\|AB\|_{2^{n-1}} \leq \|A\|_{2^n}\, \|B\|_{2^n}\). On a […] \[ \|AB\|_{2^{n-1}} = \Bigl(\bigl\|\bigl(AB(AB)^*\bigr)^{\frac{2^{n-1}}{2}}\bigr\|_1\Bigr)^{\frac{1}{2^{n-1}}} = \bigl(\|C\|_1\bigr)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \] où \[ C = (ABB^*A^*)^{2^{n-2}} = A(BB^*)(A^*A)\cdots(BB^*)A^* \] (\(2^{n-1} + 1\) facteurs dans le dernier membre) on a \[ \|C\|_1 = \operatorname{Tr} C = \operatorname{Tr} C' \quad \text{où } C' = A^*A \cdot BB^* \cdot A^*A \cdots BB^* \] « \(= \operatorname{Tr} C'\) » est interlinéé au-dessus d'un membre biffé ; un « \(= \operatorname{Tr}\) » biffé en fin de ligne […] dernier membre figurant \(2^{n-1}\) facteurs (\(2^{n-1}\) facteurs dans le second membre). Or \(|\operatorname{Tr} C'| \leq \|C'\|_1\), et d'après l'hypothèse de récurrence, on a de nouveau \[ \|C'\|_1 \leq \|A^*A\|_{2^{n-1}}\, \|BB^*\|_{2^{n-1}} \cdots \|BB^*\|_{2^{n-1}} = \bigl(\|A^*A\|_{2^{n-1}}\bigr)^{2^{n-2}} \bigl(\|B^*B\|_{2^{n-1}}\bigr)^{2^{n-2}} \] Or \(\|A^*A\|_{2^{n-1}} = \bigl(\|A\|_{2^n}\bigr)^2\), \(\|B^*B\|_{2^{n-1}} = \bigl(\|B\|_{2^n}\bigr)^2\), d'où \(\|C'\|_1 \leq \bigl(\|A\|_{2^n} \|B\|_{2^n}\bigr)^{2^{n-1}}\). On obtient donc bien \[ \|AB\|_{2^{n-1}} = \bigl(\|C\|_1\bigr)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \leq \bigl(\|C'\|_1\bigr)^{\frac{1}{2^{n-1}}} \leq \|A\|_{2^n}\, \|B\|_{2^n}, \] ce qui prouve la formule (11).

1344) Soient \(p \geq 1\), \(q \geq 1\) \(\dfrac1p + \dfrac1q = 1\), \(A \in \mathcal{L}^p\), \(B \in \mathcal{L}^q\), alors \(AB \in \mathcal{L}^1\), et \(\|AB\|_1 \leq \|A\|_p\, \|B\|_q\). Preuve On peut supposer \(A, B \in \mathcal{L}^1\) ligne interlinéée, « Preuve » souligné. On a \(A = UH\), \(B = KV\) (\(U\), \(V\) partiellement isométriques). Posons […] \(n\), soient \(\alpha, \beta\) deux entiers […] tels que \(\alpha + \beta = 2^n\), posons \(h = H^{\frac1\alpha}\), \(k = K^{\frac1\beta}\), … \(AB = U h^\alpha k^\beta V\) d'où \(\|AB\|_1 \leq \|h^\alpha k^\beta\|_1 \leq\) or (Lemme 1) ainsi ; c'est la formule (11) qui est invoquée \[ \|h^\alpha k^\beta\|_1 \leq \underbrace{\|h\|_{2^n} \cdots \|h\|_{2^n}}_{\alpha} \underbrace{\|k\|_{2^n} \cdots \|k\|_{2^n}}_{\beta} = \bigl(\operatorname{Tr} h^{2^n}\bigr)^{\frac{\alpha}{2^n}} \bigl(\operatorname{Tr}(k^{2^n})\bigr)^{\frac{\beta}{2^n}} \] d'où \[ \|AB\|_1 \leq \bigl(\operatorname{Tr} H^{\lambda}\bigr)^{\frac1\lambda} \bigl(\operatorname{Tr} K^{\mu}\bigr)^{\frac1\mu} \qquad \text{où } \lambda = \frac{2^n}{\alpha},\ \mu = \frac{2^n}{\beta} \] l'exposant de \(H\) est surchargé, \(\frac{2^n}{\alpha}\) corrigé en \(\lambda\) Faisons alors on voit Cette inégalité est vraie pour (\(\lambda, \mu > 1\)) rationnels tels qu'on puisse les mettre sous la forme \(\dfrac{2^n}{\alpha} \cdot \dfrac{2^n}{\beta}\) avec \(\alpha + \beta = 2^n\), i.e. pour tous \(\dfrac1\lambda + \dfrac1\mu = 1\), […] et \(\dfrac1\lambda\) et \(\dfrac1\mu\) sont des multiples de \(\dfrac{1}{2^n}\) ; par un passage à la limite évident, on conclut \[ \|AB\|_1 \leq \bigl(\operatorname{Tr} H^p\bigr)^{\frac1p} \bigl(\operatorname{Tr} H^{p'}\bigr)^{\frac{1}{p'}} \] ainsi, \(H^{p'}\) pour \(K^{p'}\) […] \(\|A_1 \cdots A_n\|_1 \leq \|A_1\|_{p_1} \cdots\) si \(\dfrac{1}{p_1} + \dfrac{1}{p_2} + \cdots + \dfrac{1}{p_n} = 1\) interlinéé en petits caractères, avec une flèche partant de la marge gauche ; la généralisation à \(n\) facteurs

3) On en conclut que l'on a (\(p \geq 1\), \(\dfrac1p + \dfrac1{p'} = 1\)) \[ \|A\|_p = \operatorname*{Sup}_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB| \qquad (\text{d'où} \ \ill{}) \] \[ \|A_1 + A_2\|_p \leq \|A_1\|_p + \|A_2\|_p \qquad ) \ \uncertain{de} \ \uncertain{même} \] \(AB\) si \(\dfrac1p + \dfrac1q \geq \dfrac1r\) (\(p \geq 1\), \(q \geq 1\), \(r \geq 1\))

135Le résultat précédent nous permet de démontrer le résultat auxiliaire suivant, qui nous permettra de démontrer la formule (6) en toute généralité :

Lemme Soient \(A\) et \(B\) deux opérateurs \(\in \mathcal{L}^{2m}(H)\), posons \(H = A^*A\), \(K = B^*B\), \(L = (AB)^*(AB)\). Soient et soit \(m\) et \(n\) des entiers \(\geq 1\). Alors \(L^n\), \(H^n\) \(L^m\), \(H^m\) et \(K^m\) les exposants sont surchargés, \(n\) corrigé en \(m\), et « \(L^m\), \(H^m\) » repris dans la marge droite sont opérateurs à trace, et on a \[ (12)\qquad \alpha_n(L^m) \leq \alpha_n(H^m)\, \alpha_n(K^m) \] Le fait que \(L^m\), \(H^m\), \(K^m\) soient opérateurs à trace résulte immédiatement […] de ce qui précède ; si l'on vérifie (12) s'écrit alors, et en posant \(A' = \Lambda^n A\), \(B' = \Lambda^n B\) deux lignes serrées, en partie biffées ; le passage à \(\Lambda^n\) est ce qui ramène (12) au cas \(n = 1\) \[\begin{gather*} \struck{H = A^*A,\ K = B^*B,\ L = (AB)^*(AB)} \\ \struck{\operatorname{Tr} L^m \leq \operatorname{Tr} H^m\, \operatorname{Tr} K^m} \\ \struck{(\|L\|_m)^m \leq (\|H\|_m)^m (\|K\|_m)^m} \\ \struck{\|AB\|_m \leq \|A\|_m \|B\|_m.\ \text{Or, on a}\ \ill{}} \\ \struck{\ill{}\ \|AB\|_m \leq \|A\|_{\frac m2} \|B\|_{\frac m2}} \end{gather*}\]

cinq lignes biffées, la deuxième et la troisième encadrées d'une accolade ce qui nous ramène au cas où \(n = 1\). On doit alors démontrer \[ \operatorname{Tr}\bigl[(ABB^*A^*) \cdots (ABB^*A^*)\bigr] \leq \bigl(\|A^*A\|_m\bigr)^m \bigl(\|B^*B\|_m\bigr)^m \] le premier membre porte un indice \(1\) ou \(m\) après le crochet, surchargé Or, le premier membre […] la même chose […] d'un produit de \(4m\) facteurs est […] est la trace du produit de \(2m\) facteurs majoré par \((A^*A)(BB^*)\cdots(BB^*)\), donc est majoré par la norme de ce produit, donc en vertu de (11) : \[ \bigl(\|A^*A\|_{2m}\bigr)^m \bigl(\|BB^*\|_{2m}\bigr)^m \] d'après la formule \(\|A_1 \cdots A_{2m}\|_1 \leq \|A_1\|_{2m} \cdots \|A_{2m}\|_{2m}\). Or, on a \(\|A^*A\|_{2m} \leq \|A^*A\|_m\), et \(\|BB^*\|_{2m} = \|B^*B\|_{2m} \leq \|B^*B\|_m\), d'où résulte le lemme.

136Soient maintenant \(A \in \mathcal{L}^p\), \(A \in \mathcal{L}^q\) ainsi, \(A\) pour \(B\), \(0 < p, q, r \leq \infty\) interlinéé au-dessus de la première ligne \(\dfrac1p + \dfrac1q \geq \dfrac1r\), démontrons la formule (6). Nous pouvons supposer que \(p\) et \(q\) sont finis […] si l'un d'eux était infini, […] les formules (2) […] deux infinis ([…]) deux lignes biffées, la première interlinéée et ... démontrons le résultat. \(\|AB\|_r \leq \|AB\|_{\ill{}} = \|A\|_{\ill{}} \|B\|_{\ill{}}\) […] De plus, on peut supposer évidemment […] que l'on a exactement \(\dfrac1p + \dfrac1q = \dfrac1r\) (puisque \(\|A\|_r\) est fonction décroissante de \(r\)). Soit \(m\) un entier tel que \(p \leq 2m\), \(q \leq 2m\). Alors \(A\) […] \(L\) […] On a \(S_r(AB) = S_{r/2}(AB(AB)^*) = S_{r/2m}(L)\) \(L = (AB)^*(AB)\), \(H = A^*A\), \(K = B^*B\), on aura \[ S_r(AB) = S_{r/2}(L) = S_{r/2m}(L^m) \struck{\ill{}} \] d'où, en vertu de la formule (9), on trouve, en posant \(\lambda(x) = \dfrac{\pi}{\sin \pi x}\) \[ (11)\qquad S_r(AB) = S_{r/2m}(L^m) = \frac{r/2m}{\lambda(r/2m)} \int_0^\infty \frac{\log M_{L^m}(\rho)}{\rho^{1 + r/2m}}\, d\rho \] le numéro (11) est repris ici pour une autre formule que celle de la page 132 Or, \(M\) \(M_{L^m}(\rho) = \sum \alpha_n(L^m)\, \rho^n\), et \(M_{L^m}(\rho) = \sum_n \alpha_n(L^m)\rho^n\) \(\alpha_n(L^m) \leq \alpha_n(H^m)\, \alpha_n(K^m)\) en vertu du lemme 2 \(\alpha_n(L^m) \leq \alpha_n(H^m) \ill{}\), d'où \[ M_{L^m}(\rho) \leq \sum \alpha_n(H^m)\, \alpha_n(K^m)\, \rho^n \] Posons \(\Bigl[\, p' = \dfrac1p,\ q' = \dfrac1q,\ r' = \dfrac1r \,\Bigr]\), on a : \(p' + q' = r'\) \(p'r + q'r = 1\), d'où \[ M_{L^m}(\rho) \leq \sum \alpha_n(H^m)\, \alpha_n(K^m)\, \rho^{np'r + nq'r} = \sum_n \bigl(\alpha_n(H^m)\rho^{np'r}\bigr)\bigl(\alpha_n(K^m)\rho^{nq'r}\bigr) \] […] trois lignes en biais dans la marge gauche, à hauteur des deux dernières formules, illisibles

137\[ \leq \Bigl(\sum_n \alpha_n(H^m)\, \rho^{np'r}\Bigr)\Bigl(\sum_n \alpha_n(K^m)\, \rho^{nq'r}\Bigr) \struck{\leq} = M_{H^m}(\rho^{p'r})\, M_{H}(\rho^{q'r}) \] ainsi, \(M_H\) pour \(M_{K^m}\) d'où, compte tenu de (12), \[ (13)\qquad \frac{\lambda(r/2m)}{r/2m}\, S_r(AB) \leq \int_0^\infty \frac{\log M_{H^m}(\rho^{p'r})}{\rho^{1 + r/2m}}\, d\rho + \int_0^\infty \frac{\log M_{K^m}(\rho^{q'r})}{\rho^{1 + r/2m}}\, d\rho \] Calculons par exemple la première intégrale du second membre, par le changement de variable \(\sigma = \rho^{p'r}\) d'où \(\rho = \sigma^{pr'}\), \(\dfrac{d\rho}{\rho} = pr'\,\dfrac{d\sigma}{\sigma}\). il vient \[ \int_0^\infty \frac{\log M_{H^m}(\rho^{p'r})}{\rho^{r/2m}}\, \frac{d\rho}{\rho} = pr' \int_0^\infty \frac{\log M_{H^m}(\sigma)}{\sigma^{p/2m}}\, \frac{d\sigma}{\sigma} \] Le deuxième membre est égal (formule (9)) à \[ pr'\, \frac{\lambda(p/2m)}{p/2m}\, S_{p/2m}(H^m) = \frac{\lambda(p/2m)}{r/2m}\, S_p(A). \] le numérateur du dernier membre est surchargé De De même la deuxième intégrale dans (13) est égale à \(\dfrac{\lambda(q/2m)}{r/2m}\, S_q(B)\), et (13) s'écrit […] : \[ \lambda(r/2m)\, S_r(AB) \leq \lambda(p/2m)\, S_p(A) + \lambda(q/2m)\, S_q(B) \] ou encore \[ S_r(AB) \leq \frac{\sin \pi \frac{r}{2m}}{\sin \pi \frac{p}{2m}}\, S_p(A) + \frac{\sin \pi \frac{r}{2m}}{\sin \pi \frac{q}{2m}}\, S_q(B) \] une ligne interlinéée en très petits caractères, dont on lit « cette relation […] \(S_r(AB) < +\infty\) » et « \(S_p(A)\) et \(S_q(B)\) » : elle observe que l'inégalité donne déjà la finitude de \(S_r(AB)\) Faisant tendre \(m\) vers \(+\infty\), on obtient la formule plus simple \[ (14)\qquad S_r(AB) \leq \frac{r}{p}\, S_p(A) + \frac{r}{q}\, S_q(B) \] encadrée ; le \(p\) du premier dénominateur est surchargé C'est une inégalité remarquable, mais n'est pas celle que nous cherchons. Mais cette relation […]

138à part d'homogénéité évidente, qui permet Remplaçons dans cette formule \(A\) par \(\lambda A\), \(B\) par \(\mu B\) (\(\lambda\) et \(\mu\) nombres \(\geq 0\)) on obtient \[ \struck{\ill{}}\qquad (\lambda\mu)^r\, S_r(AB) \leq \frac{\lambda^p}{p}\, S_p(A) + \frac{\mu^q}{q}\, S_q(B) \] le premier membre est réécrit sous une première version biffée Exprimons que cette inégalité doit être vérifiée pour […] \(\lambda, \mu \geq 0\). Pour simplifier, posons \[ a = S_p(A), \quad b = S_q(B), \quad c = S_r(C), \quad \ill{} \] ainsi, \(S_r(C)\) pour \(S_r(AB)\) \[ c \leq \operatorname*{Inf}_{\substack{\lambda \geq 0 \\ \mu \geq 0}} \frac{a\,\dfrac{\lambda^p}{p} + b\,\dfrac{\mu^q}{q}}{\struck{\ill{}}\,(\lambda\mu)^r} \] Posons \(x = \lambda^p\), \(y = \mu^q\) Posons \(x = \lambda^p\), \(y = \mu^q\), \(\alpha = \dfrac{r}{p}\), \(\beta = \dfrac{r}{q}\), d'où \(\dfrac rp + \dfrac rq = 1\) souligné, dans la marge droite on a \[ c \leq \operatorname*{Inf}_{\substack{x \geq 0 \\ y \geq 0}} \frac{\alpha a\, x + \beta b\, y}{x^\alpha y^\beta} = \operatorname*{Inf}_{\substack{x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x^\alpha y^\beta = 1}} \alpha a\, x + \beta b\, y \] le numérateur porte des exposants biffés : il avait d'abord écrit \(\alpha a\, x^{\ill{}} + \beta b\, y^{\ill{}}\) \(c \leq a^{\uncertain{r/p}} b^{\uncertain{r/q}}\) \(c \leq a^\alpha b^\beta\) en biais dans la marge gauche, sous un trait ; c'est le résultat visé On vérifie aussitôt que le minimum borne inférieure du second membre est atteinte (car l'on a points \((x, y)\) tels que \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), \(\alpha a x + \beta b y \leq M\) […] est compact) la parenthèse est écrite sur deux lignes serrées, la seconde interlinéée elle est donc atteinte en un point \((x, y)\) tel que les équations, \(\alpha a x + \beta b y = 0\) \(d(\alpha a x + \beta b y) = 0\) aient une solution non nulle en \(d(x^\alpha y^\beta) = 0\) soient compatibles en \(dx\), \(dy\) ; or \(d(x^\alpha y^\beta) = \alpha x^{\alpha-1} y^\beta\, dx + \beta y^{\beta-1} x^\alpha\, dy\) ; i.e. tel que \(d(\ill{})\) la condition d'extremum est donc \[ \frac{\alpha a}{\alpha x^{\alpha-1} y} = \frac{\beta b}{\beta x^\alpha y^{\beta-1}} \] ainsi ; le \(y\) du premier dénominateur est sans exposant soit \(ax = by\) […] ; d'où \(ax = by = \dfrac{\alpha a x + \beta b y}{\alpha + \beta}\) ; \(\alpha a x + b y = \dfrac{\alpha a x}{\ill{}}\) […] comme \(\alpha + \beta = 1\), le minimum cherché est donc \(\alpha x + b\) égal à \(ax = by\) ; compte tenu de la condition

139d'où \(x^\alpha y^\beta = 1\) on trouve \(x = \Bigl(\dfrac ba\Bigr)^\beta\), d'où […] le minimum cherché \(ax = b^\beta a^{1-\beta} = a^\alpha b^\beta\). le \(b^\beta\) est corrigé au-dessus d'un facteur biffé On trouve donc \(c \leq a^\alpha b^\beta\), ce qui achève la démonstration.