Espaces de Schatten
Le titre est de lui, encadré, en tête de la page 101. Les pages 101 à 104 sont un plan en deux points, puis un énoncé récapitulatif, « Théorème 1 », en cinq points ; les formules y sont numérotées de (18) à (27), à la suite des (1) à (17) du n° 5 transcrit aux pages 93 à 100 du lot précédent. Les numéros des points sont cerclés sur la page et rendus ici par 1., 2., …
1. Normes de Schatten. Définition. Prop Une norme de Schatten N(x) est fonction croissante de |x|. Exemples : les N_p. Norme de Schatten définie par une norme de Schatten sur \mathbf{R}^n. Définition N(x) pour x \in \mathbf{C}^{\mathbf{N}}. \ell^N \ni x \iff N(x) fini, N est une norme sur \ell^N. Espace \ell_N, adhérence de \mathbf{C}^{(\mathbf{N})} dans \ell^N. Inclusions pour N' \leq N'', en particulier : \ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty, \ell^1 \subset \ell_N \subset c_0. Prop \ell_N \subset c_0 sauf si N est équivalente à N_\infty. Polarité, (N^{\circ})^{\circ} = N^{\circ} ainsi sur la page ; on attend (N^{\circ})^{\circ} = N ; Prop le dual de \ell_N est \ell^{N^{\circ}}. Corollaire \ell^N est complet, \ell_N est complet. Prop \ell_N réflexif \iff \ell^N réflexif \iff \ell_{N^{\circ}} réflexif \iff \ell^{N^{\circ}} réflexif \iff \ell_N = \ell^N et \ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}. Exemples Cas des N_p : (N_p)^{\circ} = N_{p'}. On retrouve la réflexivité des \ell^p (1 < p < +\infty).
2. Espaces de Schatten. Définition si u \in L_0(E,F), \Longrightarrow N(u) = N((\rho_i(u))) ; u \in L^N(E,F) \iff N(u) < +\infty, norme sur L^N(E,F), L_N(E,F) adhérence de E' \otimes F (N non équivalente à N_\infty). N(u) = N(u^{*}), N(vu) \leq \|v\|\,N(u). Définition (si N équivalente à N_\infty) N(u) = \operatorname{Sup}_{N^{\circ}(v) \leq 1,\ v \in F' \otimes E} |\operatorname{Tr} vu|, si u \in L_0(E,F), on retrouve N(u) = N((\rho_i(u))), i.e.
N((\rho_i(u))) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| .
les deux définitions et cette formule sont réunies par un grand cadre à main levée, avec des traits de renvoi vers le bas de la page
Définition, si u \in L_0(E,F), posons N(u) = N((\rho_i(u))) ; N(u) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| la condition N^{\circ}(v) \leq 1 sous le Sup est surchargée, « N(v) » récrit au-dessous. Définition, pour u \in L(E,F), N(u) par la formule ci-dessus. Soit N(u) = \operatorname{Sup} \operatorname{Tr} vu L^N(E,F) \ni u \iff N(u) < +\infty, N(u) une norme sur L^N(E,F). et on a Soit L_N(E,F) l'adhérence de E' \otimes F dans L^N(E,F). Prop u \in L_N(E,F) \iff u \in L_0(E,F) et (\rho_i(u)) \in \ell_N. Inclusions pour N' \leq N'' \Longrightarrow L^{N''}(E,F) \subset L^{N'}(E,F) et L_{N''}(E,F) \subset L_{N'}(E,F), en particulier L^1(E,F) \subset L^N(E,F) \subset L(E,F), L^1(E,F) \subset L_N(E,F) \subset L_0(E,F). Prop Soit N N_\infty, alorsProp N(u) = N(u^{*}), N(vu) \leq \|v\|\,N(u), N(uv) \leq \|v\|\,N(u) les trois formules sont encadrées. Corollaire
Aussi le dual L^N trois lignes courtes dans le coin supérieur gauche
Corollaire N(u) = N(|u|) ; si u = h + ik, N(h), N(k) \leq N(u) \leq N(h) + N(k), donc u \in L^N(E,F) \iff h, k \in L^N(E,F).
Prop L^N(E,F) \subset L_0(E,F) si N non équivalente à N_\infty (sinon L^N(E,F) = L(E,F)). En effet, si u \in L^N(E,F), aurait (\rho_i) \in \ell^N aurait \sum |x_i| \leq M pour N^{\circ}((x_i)) \leq 1, donc N^{\circ} équivalent à N_1, ce qui est absurde. de « C'est impossible » à « absurde », le passage est encadré
Corollaire L^{N_p}(E,F) = L^p(E,F) pour 1 \leq p \leq +\infty, en interligne : « si p < +\infty, on a » L_{N_p}(E,F) = L^p(E,F) (car \ell_N = \ell^N \Longrightarrow L_N(E,F) = L^N(E,F)).
Prop u \in L^N(E,F), v \in L^{N^{\circ}}(F,E) \Longrightarrow vu \in L^1(E,G) ainsi sur la page ; on attend L^1(E,E). D'où accouplement \operatorname{Tr} vu entre L^N(E,F) et L^{N^{\circ}}(F,E). Prop le dual de L_N(E,F) est L^{N}(E,F) ainsi sur la page : ni le « ° » ni l'ordre (F,E) attendus ne sont lisibles ; le point 4 du théorème 1, page 104, donne L^{N^{\circ}}(F,E). Corollaire 1 L^N(E,F) et L_N(E,F) sont complets. Corollaire 2 L_N(E,F) réflexif \Longleftarrow N réflexif souligné au crayon rouge. Réciproque vraie si E et F de dimension infinie. En tous cas, L_N(E,F) réflexif \iff L^N(E,F) réflexif \iff souligné au crayon rouge. Corollaire 3 Si 1 < p < +\infty, alors L^p(E,F) est un espace réflexif ayant pour dual L^{p'}(F,E).
Prop Si N, N', N'' sont des normes de Schatten telles que N(xy) \leq N'(x)\,N''(y), alors u \in L^{N'}(E,F), v \in L^{N''}(F,G) implique vu \in L^N(E,F) ainsi sur la page ; (E,G) attendu, et N(vu) \leq N'(u)\,N''(v). en interligne, cerclé : « Corollaire si on a N, N'' » (Pour prouver la proposition, par le deuxième théorème de convexité si v et u sont ; N(wvu) \leq N'(u)\,N''(v)\,N'''(w). N(u) = \lim N(pup) = \lim_p N(up) = \lim_p N(pu) ; p projecteur orthogonal de rang fini, croissant vers l'identité. (Alors N(pvup) = N((pv)(up)) \leq N''(pv)\,N'(up) \leq N''(v)\,N'(u).) en dimension finie .)
Prop N((\lambda_i(u))) \leq N(u).
Prop (caractérisation axiomatique des espaces de Schatten).
Théorème 1 le « 1 » est cerclé Soit N une norme de Schatten sur \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, E et F deux espaces de Banach en interligne : « Hilbert », et pour u \in L_0(E,F), posons
\text{(18)}\qquad N(u) = N((\rho_i(u)))
et pour u \in L(E,F)
\text{(19)}\qquad N(u) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu|
Ces deux expressions coïncident sur L_0(E,F). Soit L^N(E,F) l'ensemble le sous-espace de L(E,F) formé des u tels que N(u) < +\infty, alors N est une norme sur L^N(E,F), qui en fait un espace de Banach. L'adhérence de E' \otimes F dans L^N(E,F) Pour que u \in L_0(E,F) Si u \in L_0(E,F), u \in L^N(E,F) si et seulement si (\rho_i(u)) \in \ell^N, et alors on a (18). L'adhérence L_N(E,F) de E' \otimes F dans L^N(E,F) est l'ensemble des u \in L_0(E,F) tels que (\rho_i(u)) \in \ell_N.
2. On a
\text{(20)}\qquad N(u) = N(u^{*})
formule encadrée et par suite u \in L^N(E,F) \iff u^{*} \in L^N(F,E), u \in L_N(E,F) \iff u^{*} \in L_N(F,E). On a
\text{(21)}\qquad N(uv) \leq \|u\|\,N(v), \qquad N(vu) \leq \|v\|\,N(u)
si u \in L(E,F), v \in L(F,G) ainsi sur la page, les rôles de u et v ne s'accordant pas d'une inégalité à l'autre ; en marge, biffé : « sur L^N(E,F) », avec un point d'interrogation au crayon rouge. Donc, :
3. 4. Si N, N', N'' sont des normes de Schatten telles que
\text{(22)}\qquad N(xy) \leq N'(x)\,N''(y)
formule encadrée pour x, y \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}, alors on a, pour u \in L(E,F), v \in L(F,G),
\text{(23)}\qquad N(vu) \leq N'(u)\,N''(v)
donc si u \in L^{N'}(E,F), v \in L^{N''}(E,F), alors vu \in L^N(E,F) ainsi sur la page ; (F,G) et (E,G) attendus, et si de plus u \in L_{N'}(E,F) ou v \in L_{N''}(E,F), on aura vu \in L_N(E,F). — En particulier, on aura, pour u \in L(E,F), v \in L(F,E)
\text{(24)}\qquad \|vu\|_1 \leq N(u)\,N^{\circ}(v)
donc si u \in L^N(E,F), v \in L^{N^{\circ}}(F,E), on a vu \in L^1(E,E), et
\text{(25)}\qquad |\operatorname{Tr} vu| \leq N(u)\,N^{\circ}(v) .
4. Par l'accouplement
\text{(26)}\qquad \langle u, v \rangle = \operatorname{Tr} vu
le dual de L_N(E,F) s'identifie à L^{N^{\circ}}(F,E). Si E et F sont de dimension infinie, les en interligne : « alors » les conditions suivantes sont équivalentes : a) L_N(E,F) est réflexif L_N(E,F) = L^N(E,F) et L_{N^{\circ}}(F,E) = L^{N^{\circ}}(F,E) b) L^N(E,F) est réflexif c) \ell_N est réflexif
5. Remarque Soit u \in L_0(E,F) si u \in L^N(E,F) alors (\lambda_i(u)) \in \ell^N, alors
\text{(27)}\qquad N((\lambda_i(u))) \leq N(u)
« N((\rho_i(u))) » biffé entre les deux membres Si u \in L^N(E,F), alors (\lambda_i(u)) \in \ell^N « \ell_N » biffé, « \ell^N » récrit.
Tout est démontré, sauf 4. et 5. Pour 4, on note : si E et F sont de dimension infinie, alors \ell^N (resp. \ell_N) est isomorphe à un sous-espace normé de L^N(E,F) (resp. L_N(E,F)). (On choisit (e_i), (f_i) systèmes orthonormaux infinis, et (\lambda_i) \mapsto \sum \lambda_i\,\bar{e}_i \otimes f_i de \ell^N dans L^N(E,F).) Donc si L^N(E,F) est réflexif, L_N(E,F) est réflexif, et alors \ell_N est réflexif, d'où \ell_N = \ell^N et \ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}} (voir ) \ell_N réflexif (voir ) d'où L_N(E,F), donc L_N(E,F) est réflexif. 5 : (27) résulte immédiatement est le corollaire 5 du premier théorème de convexité.
Décomposition en facteurs des fonctions entières
Le titre est de lui, souligné, en tête de la page 106. Les pages 106 à 120 sont d'autres feuillets, d'une écriture plus posée, dont les versos imprimés transparaissent ; la page 105 est blanche. Les formules sont numérotées de (1) à (5) aux pages 106 à 108.
Théorème 1 (Weierstrass) Soit f(z) fonction entière, (a_n) la suite de ses zéros, rangés par ordre de modules croissants. Supposons f(0) \neq 0. Il est possible de trouver une suite croissante de nombres entiers \geq 0 p_n, et une fonction entière g(z), tels que l'on ait
\text{(1)}\qquad f(z) = e^{g(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \frac{z^2}{2a_n^2} + \cdots + \frac{z^{p_n}}{p_n a_n^{p_n}}}
le produit étant uniformément absolument convergent quand z parcourt n'importe quelle région bornée. Si de plus une suite d'entiers p_n vérifie \sum_n |r/a_n|^{p_n+1} < +\infty quel que soit r, alors on peut employer cette suite dans (1). En particulier, supposons k un entier tel que \sum 1/|a_n|^{k+1} < +\infty, alors on peut prendre p_n = p pour tout n, avec p \leq k ainsi lu ; (2) prend p = k : d'où
\text{(2)}\qquad f(z) = e^{g(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^k}{k a_n^k}}
Genre d'une fonction entière. Il arrive que l'on ait \sum 1/|a_n|^{k+1} < +\infty pour quelque k (soit k le plus petit entier qui y satisfasse) et de plus que dans la représentation (2), g(z) soit un polynôme — d'ailleurs déterminé à une constante près. Soit r son degré ; le plus petit grand des nombres r, k s'appelle le genre de f(z). C'est un nombre entier \geq 0. Dire que f(z) est de genre \leq r, signifie : on a la formule
\text{(3)}\qquad f(z) = e^{\alpha_0 + \alpha_1 z + \cdots + \alpha_r z^r} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^r}{r a_n^r}}
Dire que f(z) est de genre zéro, signifie que f(z) est de la forme
\text{(4)}\qquad f(z) = C^{\mathrm{te}} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr), \quad \text{avec } \sum_n \frac{1}{|a_n|} < +\infty .
Ordre d'une fonction entière. Posons M(r) = \operatorname{Sup}_{|z| = r} |f(z)|. Puis \rho = \limsup \dfrac{\log\log M(r)}{\log r} (0 \leq \rho \leq +\infty), \rho est dit l'ordre de f(z), et f(z) est dite d'ordre fini si \rho < +\infty. Cela signifie qu'il existe k > 0 tel que |f(z)| \leq e^{|z|^k} l'exposant est serré et sa lecture douteuse . Alors \rho est la borne inférieure des
l'on ait M(r) \leq e^{r^\sigma} pour r assez grand.
Théorème 2 (Hadamard-Borel) Si l'ordre \rho de f(z) est fini, alors pour tout \varepsilon > 0, la série
\text{(5)}\qquad {\sum_n}' \frac{1}{|a_n|^{\rho+\varepsilon}} < +\infty
(l'indice ' indique qu'on ne somme pas sur les racines nulles). De plus, on a alors (en supposant f(0) \neq 0)
f(z) = e^{P(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^p}{p a_n^p}}
où p \leq \rho, et P(z) est un polynôme de degré \leq \rho. en particulier Le genre de f est donc \leq \rho
Corollaire Si \rho < 1, i.e. s'il existe un \alpha < 1 tel que M(r) \leq e^{r^\alpha} pour r assez grand, alors f(z) est de genre zéro : f(z) = C^{\mathrm{te}} \prod (1 - z/a_n)
Remarque. Il est très facile de se convaincre que ordre de f \leq genre de f + 1. Donc, si on note g son genre et \omega l'ordre, on a
P. ex. e^{z^\omega} l'exposant est surchargé est une fonction d'ordre \omega, de genre \omega. \prod_n (1 - z/n^\alpha) (où \alpha > 1) est d'ordre 1/\alpha lecture douteuse (sauf erreur) et de genre 0.
Notons que l'ordre du produit de deux fonctions entières est au plus égal au maximum des deux ordres : \omega(fg) \leq \operatorname{Max}(\omega f, \omega g) ; de même pour la somme. D'où, si f(z) = e^{P(z)} en interligne : « l'ensemble des » fonctions entières dont l'ordre est < \rho (resp. \leq \rho) est une algèbre.
Théorème 3 (Hadamard) Soit la fonction entière f(z) = \sum c_n z^n. Si n^\alpha \sqrt[n]{|c_n|} \to 0 pour fini, alors f est au plus de genre la fin de la ligne sort du champ du cliché ; le feuillet s'arrête là
Proposition Soit f(z) une fonction entière
En effet, h(z) étant Démonstration. On peut supposer que h(z) est de la forme h(z) = K \prod_{i=1}^{\infty} (1 + \alpha_i z), où \alpha_i \geq 0, et \sum \alpha_i < +\infty. Comme h(z) est d'ordre \leq 1, il en est de même de f(z), donc on aura f(z) = e^{\alpha + \beta z}\, z^m \prod_i (1 - z/z_i). Il faut montrer que \beta = 0. On peut supposer, en modifiant , \beta > 0, sinon on remplace f(z) par f(\theta z), avec \theta = \bar{\beta}/|\beta| la barre sur \beta est douteuse. On a alors |f(z)| = K e^{\beta x}\, |z|^m \prod_i |1 - z/z_i| le K porte un exposant « te ». D'autre part, on sait que prend \varepsilon < \beta, on aura |f(z)| \leq |z|^m \prod |1 - z/z_i| \leq K e^{\varepsilon|z|} deux lignes biffées
Notons que si -\theta \leq \arg z \leq +\theta, où \theta est un angle arbitraire compris strictement entre
[Ordre d'une suite, fonction de comptage]
Titre de l'éditeur : les pages 112 à 118 n'en portent pas. Elles poursuivent le même sujet, dans la même écriture, et numérotent (1) et (1') deux formules de la page 115.
Soit (\alpha_n) une suite décroissante en interligne : « et convergeant vers zéro » de nombres positifs. Soit \rho la borne inférieure des nombres s > 0 tels que (\alpha_n) soit majorée par un multiple de la suite (1/n^{1/s}) (et +\infty si un tel s n'existe pas) et soit \sigma la borne inférieure des nombres s > 0 tels que \sum \alpha_n^s < +\infty (et +\infty si un tel s n'existe pas). On a aussi 1/\rho = \limsup_n \dfrac{\log(1/\alpha_n)}{\log n}. \rho \leq \sigma \sigma \leq \rho. Mais on a aussi \rho \leq \sigma,
Lemme Si s > 0 est tel que \sum_n \alpha_n^s < +\infty, alors la suite (\alpha_n) est majorée par un multiple de la suite (1/n^{1/s}) \alpha_n = o(1/n^{1/s}). (\alpha_n étant décroissant !) Démonstration. On se ramène au cas où s = 1 (en posant \beta_n = \alpha_n^s) et à prouver qu'il est impossible que
Supposons que l'on ait \sum \alpha_i < +\infty, f(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \alpha_i z). Alors \rho est aussi l'ordre de la fonction entière, i.e. \rho = \limsup_{r \to \infty} \dfrac{\log\log f(r)}{\log r}. En effet, on sait que \rho est \leq ordre de f . on est ramené à montrer que : dans le cas \alpha_n = 1/n^\beta, on a \limsup \dfrac{\log\log f(r)}{\log r} \leq 1/\beta (on sait que c'est = 1/\beta). En effet, on a f(r) = \prod_1^{\nu} (1 + r/n^\beta) \prod_{\nu+1}^{\infty} (1 + r/n^\beta), le deuxième facteur est \leq e^{R(\nu)\, r} où R(\nu) = \sum_{\nu+1}^{\infty} 1/n^\beta \leq \int_\nu^{\infty} dx/x^\beta = \dfrac{1}{\beta - 1}\cdot\dfrac{1}{\nu^{\beta-1}}. Prenons \nu tel que r \cdot \dfrac{1}{\nu^{\beta-1}} \leq r^{1/\beta}, i.e. \nu \geq r^{1/\beta}, par exemple \nu = [r^{1/\beta}] + 1. Alors e^{R(\nu)\, r} est une fonction de r d'ordre \leq 1/\beta. Il reste d'autre part que le produit \prod_1^{\nu} (1 + r/n^\beta) \leq (1 + r)^\nu = e^{\nu \log(1+r)}, qui est visiblement d'ordre \leq 1/\beta. Rappelons que si on pose f(r) = \sum a_n r^n, et B(r) = \operatorname{Sup}_n (a_n r^n), alors on a aussi ordre de f = \limsup_{r \to \infty} \dfrac{\log\log B(r)}{\log r}.
Soit f(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \lambda_i z) une fonction entière de genre 1 « genre » souligné, posons \alpha_i = |\lambda_i|, F(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \alpha_i z). Alors f et F ont même ordre (qui s'exprime donc aussi en fonction de la suite des |\lambda_i|). En effet, l'ordre de f \leq ordre de F (évident). D'autre part, ordre de F = ordre de la suite des |\alpha_i| (voir ci-dessus) \leq ordre de f (théorème d'Hadamard).
\Longrightarrow On peut parler de l'ordre d'un ensemble en interligne : « dénombrable » de nombres complexes, indépendamment de rangés en suite, comme la borne inférieure des s > 0 tels que \sum |z_i|^s < +\infty encadré. Suite à décroissance rapide = suite d'ordre zéro.
Ordres d'une suite dans un espace de Banach, (deux définitions, suivant qu'on sommabilité , ou sommabilité absolue). Ordre d'une partie bornée (plus petit en interligne : « borne inférieure » des s > 0 tels que la partie soit contenue dans l'enveloppe convexe fermée d'une suite d'ordre s). le bas de la page, une dizaine de lignes au crayon très pâle, n'a pu être lu ; on y distingue des fractions et « M \geq »
Soit (r_\nu) suite croissante de nombres > 0, \to \infty, soit n(r) le nombre des indices \nu tels que r_\nu \leq r. Soit 0 \leq a \leq b < +\infty, et \alpha > 0, on a :
\text{(1)}\qquad \sum_{\nu,\ a < r_\nu < b} \frac{1}{r_\nu^{\alpha}} = \Bigl(\frac{n(b-0)}{b^{\alpha}} - \frac{n(a+0)}{a^{\alpha}}\Bigr) + \alpha \int_a^b \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}}
(car le premier membre est l'intégrale \int_a^b r^{-\alpha}\,dn(r) ).
Proposition \sum_\nu 1/r_\nu^{\alpha} < +\infty \iff \int_0^{\infty} \dfrac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} < +\infty, alors n(r)/r^{\alpha} \to 0 pour r \to \infty, et on a :
\text{(1')}\qquad \sum_{\nu,\ r_\nu > a} \frac{1}{r_\nu^{\alpha}} = -\frac{n(a+0)}{a^{\alpha}} + \alpha \int_a^{\infty} \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}}
formule encadrée
Montrons que par ailleurs n(r)/r^{\alpha} \to 0 ; sinon n(b_i)/b_i^{\alpha} > \varepsilon pour une suite b_i \to +\infty, et on aurait n(b_i) - n(b_{i-1}) \geq \varepsilon \lambda_i^{\alpha} - M \lambda_{i-1}^{\alpha} ainsi sur la page : la suite est notée b_i dans le texte et \lambda_i dans les formules, d'où \sum_{b_{i-1} < r_\nu \leq b_i} r_\nu^{-\alpha} \geq (n(b_i) - n(b_{i-1}))\,\lambda_i^{-\alpha} \geq \varepsilon - M(\lambda_{i-1}/\lambda_i)^{\alpha},
Supposons maintenant que (r_\nu) soit la suite des modules des zéros d'une fonction entière f(z). On a 2\pi\, n(r) = \int_0^{2\pi} \dfrac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, re^{i\varphi}\, d\varphi, d'où
2\pi \int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr = \int_a^b \int_0^{2\pi} \frac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, e^{i\varphi}\, r\mu(r)\, dr\, d\varphi
= \int_0^{2\pi} d\varphi \int_a^b \frac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, e^{i\varphi}\, r\mu(r)\, dr = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_a^b \frac{d}{dr}\log f(re^{i\varphi})\; r\mu(r)\, dr
= \int_0^{2\pi} d\varphi \Bigl( \bigl[ r\mu(r) \log f(re^{i\varphi}) \bigr]_a^b - \int_a^b \log f(re^{i\varphi})\, d(r\mu(r)) \Bigr)
(en supposant \mu(r) continûment différentiable). — On devrait bien entendu préciser la détermination du logarithme ; simplement d'ailleurs, on , en prenant les parties réelles, : le passage aux parties réelles tient en deux lignes en grande partie illisibles
\int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr = \bigl[ r\mu(r)\,V(r) \bigr]_a^b - \int_a^b V(r)\, d(r\mu(r))
encadré ; un « 2\pi » biffé en tête du premier membre où V(r) = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\varphi})|\,d\varphi. Prenons \mu(r) = -\lambda'(r), on obtient (0 < a < b < +\infty) :
\sum_{a < r_\nu < b} \lambda(r_\nu) = \lambda(b)\,n(b-0) - \lambda(a)\,n(a+0) + \bigl[ r\mu(r)\,V(r) \bigr]_a^b + \int_a^b V(r)\, d(r\lambda'(r))
« +\int » biffé avant le dernier terme, puis récrit
a priori deux mots obliques dans la marge gauche, en regard du milieu de la page, et un cercle tracé à main levée au-dessous
(Si r^2\mu(r) \to 0 pour r \to 0, et |f(0)| = 1, on a : \sum_{r_\nu < b} \lambda(r_\nu) = \lambda(b)\,n(b-0) - b\lambda'(b)\,V(b) + \int_0^b V(r)\, d(r\lambda'(r)).) Comme |V(r)| \leq M(r) = \operatorname{Sup}_{|z|=r} |f(z)| ainsi sur la page ; \log M(r) est ce que V demande, on obtient une majoration de \sum \lambda(r_\nu) \int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr en fonction de M(r). le reste de la page est blanc
Sur une certaine fonction holomorphe sur l'espace de Banach
\ell^1
Le titre est de lui, souligné, en tête de la page 119 ; « définie » y est biffé entre « holomorphe » et « sur ».
Soit, pour \lambda = (\lambda_i) \in \ell^1 et tout entier n \geq 0 :
\alpha_n(\lambda) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}
\alpha_n(\lambda) \leq \frac{\|\lambda\|_1^{\,n}}{n!}
Les \alpha_n(\lambda) sont les coefficients de la fonction entière de genre zéro f(z) = \prod (1 + \lambda_i z), et on obtient les coefficients de toutes les fonctions entières de genre zéro.
Proposition Pour tout \lambda \in \ell^1, la série \sum_0^{\infty} n!\,\alpha_n(\lambda) est absolument convergente, soit S(\lambda) sa somme. La fonction \lambda \mapsto S(\lambda) est holomorphe au voisinage de 0, avec un rayon de convergence égal à 1, et ses restrictions sont holomorphes. la fin de l'énoncé est en partie perdue ; une accolade verticale réunit ses lignes, une autre celles du corollaire
Corollaire Pour tout \lambda \in \ell^1,
\sqrt[n]{|\alpha_n(\lambda)|} = o\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr),
donc si \sum a_n z^n est une fonction entière de genre zéro, \sqrt[n]{n!\,|\alpha_n(\lambda)|} \to 0, i.e. \alpha_n(\lambda) = \dfrac{\varepsilon_n^{\,n}}{n!} avec \varepsilon_n \to 0, une fonction entière et . En effet, \sqrt[n]{n!\,|\alpha_n(\lambda)|} \to 0 exprime que
\sum n!\,\alpha_n(\lambda z) = \sum n!\,\alpha_n(\lambda)\, z^n converge quel que soit z. Les deux relations
Démonstration de la proposition « Démonstration » est souligné ; la ligne est biffée d'un trait puis reprise. On peut supposer les \lambda_i > 0 et décroissants. Soit alors f(z) = \prod (1 + \lambda_i z) = \sum \alpha_n z^n, où \alpha_n = \alpha_n(\lambda) . Prenons R > 0 , alors Cauchy : \alpha_n \leq \dfrac{M(R)}{R^{n+1}} ainsi sur la page ; R^n attendu, où M(R) est le maximum de |f(z)| sur la circonférence |z| = R, donc M(R) = \prod (1 + \lambda_i R). Soit Or \prod_{i=n+2}^{\infty} (1 + \lambda_i R) \leq e^{\rho_{n+1} R}, où \rho_{n+1} = \sum_{k=n+2}^{\infty} \lambda_k. Prenons R = \dfrac{n+1}{\rho_{n+1}}, on obtient :
\alpha_n \leq \Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_1\Bigr)\cdots\Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_{n+1}\Bigr) e^{n+1} \leq \Bigl(\frac{\rho_1}{1} + \lambda_1\Bigr)\Bigl(\frac{\rho_2}{2} + \lambda_2\Bigr)\cdots\Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_{n+1}\Bigr) e^{n+1}
les exposants de e sont lus n ou n+1 ; un facteur intermédiaire est biffé Or,