Cote n° 1 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

Espaces de Schatten

Le titre est de lui, encadré, en tête de la page 101. Les pages 101 à 104 sont un plan en deux points, puis un énoncé récapitulatif, « Théorème 1 », en cinq points ; les formules y sont numérotées de (18) à (27), à la suite des (1) à (17) du n° 5 transcrit aux pages 93 à 100 du lot précédent. Les numéros des points sont cerclés sur la page et rendus ici par 1., 2., …

1011. Normes de Schatten. Définition. Prop Une norme de Sch[atten] \(N(x)\) est fonction croissante de \(|x|\). Exemples : les \(N_p\). Norme de Schatten définie par une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^n\). Définition \(N(x)\) pour \(x \in \mathbf{C}^{\mathbf{N}}\). \(\ell^N \ni x \iff N(x)\) fini, \(N\) est une norme sur \(\ell^N\). Espace \(\ell_N\), adhérence de \(\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}\) dans \(\ell^N\). Inclusions pour \(N' \leq N''\), en particulier : \(\ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty\), \(\ell^1 \subset \ell_N \subset c_0\). Prop \(\ell_N \subset c_0\) sauf si \(N\) est équivalente à \(N_\infty\). Polarité, \((N^{\circ})^{\circ} = N^{\circ}\) ainsi sur la page ; on attend \((N^{\circ})^{\circ} = N\) ; Prop le dual de \(\ell_N\) est \(\ell^{N^{\circ}}\). Corollaire \(\ell^N\) est complet, \(\ell_N\) est complet. Prop \(\ell_N\) réflexif \(\iff \ell^N\) réflexif \(\iff \ell_{N^{\circ}}\) réflexif \(\iff \ell^{N^{\circ}}\) réflexif \(\iff \ell_N = \ell^N\) et \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\). Exemples Cas des \(N_p\) : […] \((N_p)^{\circ} = N_{p'}\). On retrouve la réflexivité des \(\ell^p\) (\(1 < p < +\infty\)).

2. Espaces de Schatten. Définition si \(u \in L_0(E,F)\), \(\Longrightarrow\) \(N(u) = N((\rho_i(u)))\) ; […] \(u \in L^N(E,F) \iff N(u) < +\infty\), norme sur \(L^N(E,F)\), \(L_N(E,F)\) adhérence de \(E' \otimes F\) (\(N\) non équivalente à \(N_\infty\)). \(N(u) = N(u^{*})\), \(N(vu) \leq \|v\|\,N(u)\). Définition (si \(N\) équivalente à \(N_\infty\)) \(N(u) = \operatorname{Sup}_{N^{\circ}(v) \leq 1,\ v \in F' \otimes E} |\operatorname{Tr} vu|\), si \(u \in L_0(E,F)\), on retrouve \(N(u) = N((\rho_i(u)))\), i.e. […] \[ N((\rho_i(u))) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| . \] les deux définitions et cette formule sont réunies par un grand cadre à main levée, avec des traits de renvoi vers le bas de la page

Définition, si \(u \in L_0(E,F)\), posons \(N(u) = N((\rho_i(u)))\) ; \(N(u) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu|\) la condition \(N^{\circ}(v) \leq 1\) sous le Sup est surchargée, « \(N(v)\) » récrit au-dessous. Définition, pour \(u \in L(E,F)\), \(N(u)\) par la formule ci-dessus. Soit \(N(u) = \operatorname{Sup} \operatorname{Tr} vu\) \(L^N(E,F) \ni u \iff N(u) < +\infty\), \(N(u)\) une norme sur \(L^N(E,F)\). et on a Soit \(L_N(E,F)\) l'adhérence de \(E' \otimes F\) dans \(L^N(E,F)\). Prop \(u \in L_N(E,F) \iff u \in L_0(E,F)\) et \((\rho_i(u)) \in \ell_N\). Inclusions pour \(N' \leq N''\) \(\Longrightarrow\) \(L^{N''}(E,F) \subset L^{N'}(E,F)\) et \(L_{N''}(E,F) \subset L_{N'}(E,F)\), en particulier \(L^1(E,F) \subset L^N(E,F) \subset L(E,F)\), \(L^1(E,F) \subset L_N(E,F) \subset L_0(E,F)\). Prop Soit \(N\) […] \(N_\infty\), alors Prop \(N(u) = N(u^{*})\), \(N(vu) \leq \|v\|\,N(u)\), \(N(uv) \leq \|v\|\,N(u)\) les trois formules sont encadrées. Corollaire […] (Pour prouver […], il suffit de le vérifier pour \(u \in L_0(E,F)\), où [cela] résulte de \(\rho_i(vu) \leq \|v\|\,\rho_i(u)\) […].)

102Aussi le dual […] \(L^N\) […] trois lignes courtes dans le coin supérieur gauche

Corollaire \(N(u) = N(|u|)\) ; si \(u = h + ik\), \(N(h), N(k) \leq N(u) \leq N(h) + N(k)\), donc \(u \in L^N(E,F) \iff h, k \in L^N(E,F)\).

Prop \(L^N(E,F) \subset L_0(E,F)\) si \(N\) non équivalente à \(N_\infty\) (sinon \(L^N(E,F) = L(E,F)\)). En effet, si \(u \in L^N(E,F)\), […] alors \(|u| \in L^N(E)\), prouvons \(|u|\) compact (d'où \(u\) compact). Sinon, il existerait un op[érateur] hermitien \(v \in L(E)\) tel que \(v|u|\) soit un projecteur hermitien infini, or on aurait \(v|u| \in L^N(E)\). C'est impossible, car on aurait \((\rho_i) \in \ell^N\) aurait \(\sum |x_i| \leq M\) pour \(N^{\circ}((x_i)) \leq 1\), donc \(N^{\circ}\) équivalent à \(N_1\), ce qui est absurde. de « C'est impossible » à « absurde », le passage est encadré

Corollaire \(L^{N_p}(E,F) = L^p(E,F)\) pour \(1 \leq p \leq +\infty\), en interligne : « si \(p < +\infty\), on a » \(L_{N_p}(E,F) = L^p(E,F)\) (car \(\ell_N = \ell^N \Longrightarrow L_N(E,F) = L^N(E,F)\)).

Prop \(u \in L^N(E,F)\), \(v \in L^{N^{\circ}}(F,E) \Longrightarrow vu \in L^1(E,G)\) ainsi sur la page ; on attend \(L^1(E,E)\). D'où accouplement \(\operatorname{Tr} vu\) entre \(L^N(E,F)\) et \(L^{N^{\circ}}(F,E)\). […] deux lignes biffées Prop le dual de \(L_N(E,F)\) est \(L^{N}(E,F)\) ainsi sur la page : ni le « ° » ni l'ordre \((F,E)\) attendus ne sont lisibles ; le point 4 du théorème 1, page 104, donne \(L^{N^{\circ}}(F,E)\). Corollaire 1 \(L^N(E,F)\) et \(L_N(E,F)\) sont complets. Corollaire 2 \(L_N(E,F)\) réflexif \(\Longleftarrow\) \(N\) réflexif souligné au crayon rouge. Réciproque vraie si \(E\) et \(F\) de dimension infinie. En tous cas, \(L_N(E,F)\) réfl[exif] \(\iff L^N(E,F)\) réflexif \(\iff\) […] souligné au crayon rouge. Corollaire 3 Si \(1 < p < +\infty\), alors \(L^p(E,F)\) est un espace réflexif ayant pour dual \(L^{p'}(F,E)\).

Prop Si \(N, N', N''\) sont des normes de Schatten telles que \(N(xy) \leq N'(x)\,N''(y)\), alors \(u \in L^{N'}(E,F)\), \(v \in L^{N''}(F,G)\) implique \(vu \in L^N(E,F)\) ainsi sur la page ; \((E,G)\) attendu, et \(N(vu) \leq N'(u)\,N''(v)\). en interligne, cerclé : « Corollaire si on a […] \(N\), \(N''\) […] » (Pour prouver la proposition, […] par le deuxième th[éorème] de convexité si \(v\) et \(u\) sont […] ; […] deux lignes biffées si \(N(xyz) \leq N'(x)\,N''(y)\,N'''(z)\), alors même formule vraie […] \(N(wvu) \leq N'(u)\,N''(v)\,N'''(w)\). \(N(u) = \lim N(pup) = \lim_p N(up) = \lim_p N(pu)\) ; \(p\) projecteur orth[ogonal] de rang fini, croissant vers l'identité. (Alors \(N(pvup) = N((pv)(up)) \leq N''(pv)\,N'(up) \leq N''(v)\,N'(u)\).) […] en dimension finie […].)

Prop \(N((\lambda_i(u))) \leq N(u)\).

Prop (caractérisation axiomatique des espaces de Schatten[…]).

103Théorème 1 le « 1 » est cerclé Soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), \(E\) et \(F\) deux espaces de Banach en interligne : « Hilbert », et pour \(u \in L_0(E,F)\), posons \[ \text{(18)}\qquad N(u) = N((\rho_i(u))) \] et pour \(u \in L(E,F)\) \[ \text{(19)}\qquad N(u) = \operatorname{Sup}_{v \in F' \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1} |\operatorname{Tr} vu| \] Ces deux expressions coïncident […] sur \(L_0(E,F)\). Soit \(L^N(E,F)\) l'ensemble le sous-espace de \(L(E,F)\) formé des \(u\) tels que \(N(u) < +\infty\), alors \(N\) est une norme sur \(L^N(E,F)\), qui en fait un espace de Banach. L'adhérence de \(E' \otimes F\) dans \(L^N(E,F)\) […] […] deux passages biffés, de deux lignes chacun Pour que \(u \in L_0(E,F)\) […] Si \(u \in L_0(E,F)\), \(u \in L^N(E,F)\) si et seulement si \((\rho_i(u)) \in \ell^N\), et alors on a (18). L'adhérence \(L_N(E,F)\) de \(E' \otimes F\) dans \(L^N(E,F)\) est l'ensemble des \(u \in L_0(E,F)\) tels que \((\rho_i(u)) \in \ell_N\).

2. On a \[ \text{(20)}\qquad N(u) = N(u^{*}) \] formule encadrée et par suite \(u \in L^N(E,F) \iff u^{*} \in L^N(F,E)\), \(u \in L_N(E,F) \iff u^{*} \in L_N(F,E)\). On a \[ \text{(21)}\qquad N(uv) \leq \|u\|\,N(v), \qquad N(vu) \leq \|v\|\,N(u) \] si \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,G)\) ainsi sur la page, les rôles de \(u\) et \(v\) ne s'accordant pas d'une inégalité à l'autre ; en marge, biffé : « sur \(L^N(E,F)\) », avec un point d'interrogation au crayon rouge. Donc, […] : […] de type \(\ell^N\) (resp. \(\ell_N\)) […] injection, on obtient un espace du type \(\ell^N\) (resp. \(\ell_N\)). en interligne : « \(\Longrightarrow\) \(N(u)\) est fonction croissante de \(u\) sur l'ens[emble] des hermitiens positifs dans \(L_0(E)\) »

3. 4. Si \(N, N', N''\) sont des normes de Schatten telles que \[ \text{(22)}\qquad N(xy) \leq N'(x)\,N''(y) \] formule encadrée pour \(x, y \in \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), alors on a, pour \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,G)\), \[ \text{(23)}\qquad N(vu) \leq N'(u)\,N''(v) \] donc si \(u \in L^{N'}(E,F)\), \(v \in L^{N''}(E,F)\), alors \(vu \in L^N(E,F)\) ainsi sur la page ; \((F,G)\) et \((E,G)\) attendus, et si de plus \(u \in L_{N'}(E,F)\) ou \(v \in L_{N''}(E,F)\), on aura \(vu \in L_N(E,F)\). — En particulier, on aura, pour \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,E)\) \[ \text{(24)}\qquad \|vu\|_1 \leq N(u)\,N^{\circ}(v) \] donc si \(u \in L^N(E,F)\), \(v \in L^{N^{\circ}}(F,E)\), on a \(vu \in L^1(E,E)\), et \[ \text{(25)}\qquad |\operatorname{Tr} vu| \leq N(u)\,N^{\circ}(v) . \]

1044. Par l'accouplement \[ \text{(26)}\qquad \langle u, v \rangle = \operatorname{Tr} vu \] le dual de \(L_N(E,F)\) s'identifie à \(L^{N^{\circ}}(F,E)\). Si \(E\) et \(F\) sont de dimension infinie, les en interligne : « alors » les conditions suivantes sont équivalentes : a) \(L_N(E,F)\) est réflexif \(L_N(E,F) = L^N(E,F)\) et \(L_{N^{\circ}}(F,E) = L^{N^{\circ}}(F,E)\) b) \(L^N(E,F)\) est réflexif c) \(\ell_N\) est réflexif […] d) \(\ell^N\) est réflexif ; e) \(\ell_{N^{\circ}}\) est réflexif et f) \(\ell^{N^{\circ}}\) est réflexif ; d) \(L_N(E,F) = L^N(E,F)\) et \(L_{N^{\circ}}(F,E) = L^{N^{\circ}}(F,E)\). la liste est remaniée sur la page : les lettres sont surchargées, « d) » apparaît deux fois, et des traits relient les conditions entre elles ; l'ordre donné ici suit la ligne

5. Remarque Soit \(u \in L_0(E,F)\) si \(u \in L^N(E,F)\) alors \((\lambda_i(u)) \in \ell^N\), alors \[ \text{(27)}\qquad N((\lambda_i(u))) \leq N(u) \] « \(N((\rho_i(u)))\) » biffé entre les deux membres Si \(u \in L^N(E,F)\), alors \((\lambda_i(u)) \in \ell^N\) « \(\ell_N\) » biffé, « \(\ell^N\) » récrit.

Tout est démontré, sauf 4. et 5. Pour 4, on note : si \(E\) et \(F\) sont de dimension infinie, alors \(\ell^N\) (resp. \(\ell_N\)) est isomorphe à un sous-espace normé de \(L^N(E,F)\) (resp. \(L_N(E,F)\)). (On choisit \((e_i)\), \((f_i)\) systèmes orthonormaux infinis, et \((\lambda_i) \mapsto \sum \lambda_i\,\bar{e}_i \otimes f_i\) de \(\ell^N\) dans \(L^N(E,F)\).) Donc si \(L^N(E,F)\) est réflexif, \(L_N(E,F)\) est réflexif, et alors \(\ell_N\) est réflexif, […] donc (voir […]) \(\ell_N = \ell^N\), \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\), donc \(L^N(E,F) = L_N(E,F)\) (car […] si \(N \neq N_\infty\)), donc \(L^N(E,F)\) est réflexif, d'où l'équivalence de a), b), c), et le fait que ces conditions impliquent d) (donc aussi la première relation, […] \(\ell_{N^{\circ}}\) est aussi réflexif). Enfin, si […] le dual de \(L_N(E,F)\) est \(L_{N^{\circ}}(F,E)\), d'où \(\ell_N = \ell^N\) et \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\) (voir […]) […] \(\ell_N\) réflexif (voir […]) d'où […] \(L_N(E,F)\), donc \(L_N(E,F)\) est réflexif. 5 : (27) résulte immédiatement est le corollaire 5 du premier th[éorème] de convexité.

Décomposition en facteurs des fonctions entières

Le titre est de lui, souligné, en tête de la page 106. Les pages 106 à 120 sont d'autres feuillets, d'une écriture plus posée, dont les versos imprimés transparaissent ; la page 105 est blanche. Les formules sont numérotées de (1) à (5) aux pages 106 à 108.

106Théorème 1 (Weierstrass) Soit \(f(z)\) fonction entière, \((a_n)\) la suite de ses zéros, rangés par ordre de modules croissants. Supposons \(f(0) \neq 0\). Il est possible de trouver une suite croissante de nombres entiers \(\geq 0\) \(p_n\), et une fonction entière \(g(z)\), tels que l'on ait \[ \text{(1)}\qquad f(z) = e^{g(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \frac{z^2}{2a_n^2} + \cdots + \frac{z^{p_n}}{p_n a_n^{p_n}}} \] le produit étant uniformément absolument convergent quand \(z\) parcourt n'importe quelle région bornée. Si de plus une suite d'entiers \(p_n\) vérifie \(\sum_n |r/a_n|^{p_n+1} < +\infty\) quel que soit \(r\), alors on peut employer cette suite dans (1). En particulier, supposons \(k\) un entier tel que \(\sum 1/|a_n|^{k+1} < +\infty\), alors on peut prendre \(p_n = p\) pour tout \(n\), avec \(p \leq k\) ainsi lu ; (2) prend \(p = k\) : d'où \[ \text{(2)}\qquad f(z) = e^{g(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^k}{k a_n^k}} \]

107Genre d'une fonction entière. Il arrive que l'on ait \(\sum 1/|a_n|^{k+1} < +\infty\) pour quelque \(k\) (soit \(k\) le plus petit entier qui y satisfasse) et de plus que dans la représentation (2), \(g(z)\) soit un polynôme — d'ailleurs déterminé à une constante près. Soit \(r\) son degré ; le plus petit grand des nombres \(r\), \(k\) s'appelle le genre de \(f(z)\). C'est un nombre entier \(\geq 0\). Dire que \(f(z)\) est de genre \(\leq r\), signifie : on a la formule \[ \text{(3)}\qquad f(z) = e^{\alpha_0 + \alpha_1 z + \cdots + \alpha_r z^r} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^r}{r a_n^r}} \] Dire que \(f(z)\) est de genre zéro, signifie que \(f(z)\) est de la forme \[ \text{(4)}\qquad f(z) = C^{\mathrm{te}} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr), \quad \text{avec } \sum_n \frac{1}{|a_n|} < +\infty . \]

Ordre d'une fonction entière. Posons \(M(r) = \operatorname{Sup}_{|z| = r} |f(z)|\). Puis \(\rho = \limsup \dfrac{\log\log M(r)}{\log r}\) \((0 \leq \rho \leq +\infty)\), \(\rho\) est dit l'ordre de \(f(z)\), et \(f(z)\) est dite d'ordre fini si \(\rho < +\infty\). Cela signifie qu'il existe \(k > 0\) tel que […] \(|f(z)| \leq e^{|z|^k}\) l'exposant est serré et sa lecture douteuse […]. Alors \(\rho\) est la borne inférieure des […] nombres \(\sigma\) tels que

108l'on ait \(M(r) \leq e^{r^\sigma}\) pour \(r\) assez grand.

Théorème 2 (Hadamard-Borel) Si l'ordre \(\rho\) de \(f(z)\) est fini, alors pour tout \(\varepsilon > 0\), la série \[ \text{(5)}\qquad {\sum_n}' \frac{1}{|a_n|^{\rho+\varepsilon}} < +\infty \] (l'indice \('\) indique qu'on ne somme pas sur les racines nulles). De plus, on a alors (en supposant \(f(0) \neq 0\)) \[ f(z) = e^{P(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr)\, e^{\frac{z}{a_n} + \cdots + \frac{z^p}{p a_n^p}} \] où \(p \leq \rho\), et \(P(z)\) est un polynôme de degré \(\leq \rho\). en particulier Le genre de \(f\) est donc \(\leq \rho\) […] (autrement dit genre de \(f \leq\) ordre de \(f\)).

Corollaire Si \(\rho < 1\), i.e. s'il existe un \(\alpha < 1\) tel que \(M(r) \leq e^{r^\alpha}\) pour \(r\) assez grand, alors \(f(z)\) est de genre zéro : \(f(z) = C^{\mathrm{te}} \prod (1 - z/a_n)\) […].

Remarque. Il est très facile de se convaincre que ordre de \(f \leq\) genre de \(f + 1\). Donc, si on note \(g\) son genre et \(\omega\) l'ordre, on a […] \[ \omega - 1 \leq g \leq \omega \] formule encadrée ; l'ordre, noté \(\rho\) jusqu'ici, est désormais \(\omega\) Comme \(g\) est entier, il en résulte que \(g\) est connu dès que \(\omega\) l'est, sauf si \(\omega\) est entier, auquel cas on peut avoir \(g = \omega\) ou \(g = \omega - 1\).

109P. ex. \(e^{z^\omega}\) l'exposant est surchargé est une fonction d'ordre \(\omega\), de genre \(\omega\). \(\prod_n (1 - z/n^\alpha)\) (où \(\alpha > 1\)) est d'ordre \(1/\alpha\) lecture douteuse (sauf erreur) et de genre \(0\).

Notons que l'ordre du produit de deux fonctions entières est au plus égal au maximum des deux ordres : \(\omega(fg) \leq \operatorname{Max}(\omega f, \omega g)\) ; de même pour la somme. D'où, si \(f(z) = e^{P(z)}\) […] en interligne : « l'ensemble des » fonctions entières dont l'ordre est \(< \rho\) (resp. \(\leq \rho\)) est une algèbre.

Théorème 3 (Hadamard) Soit la fonction entière \(f(z) = \sum c_n z^n\). Si \(n^\alpha \sqrt[n]{|c_n|} \to 0\) pour […] fini, alors \(f\) est au plus de genre […] la fin de la ligne sort du champ du cliché ; le feuillet s'arrête là

110Proposition Soit \(f(z)\) une fonction entière […] en interligne : « dont » les coefficients sont majorés en module par ceux d'une fonction de genre \(0\), \(h(z)\). Si de plus les racines non nulles \(z_i\) de \(f(z)\) sont telles que \(\sum 1/|z_i| < +\infty\), \(f(z)\) est de genre zéro.

En effet, \(h(z)\) étant […] Démonstration. On peut supposer que \(h(z)\) est de la forme \(h(z) = K \prod_{i=1}^{\infty} (1 + \alpha_i z)\), où \(\alpha_i \geq 0\), et \(\sum \alpha_i < +\infty\). Comme \(h(z)\) est d'ordre \(\leq 1\), il en est de même de \(f(z)\), donc on aura \(f(z) = e^{\alpha + \beta z}\, z^m \prod_i (1 - z/z_i)\). Il faut montrer que \(\beta = 0\). On peut supposer, en modifiant […], \(\beta > 0\), sinon on remplace \(f(z)\) par \(f(\theta z)\), avec \(\theta = \bar{\beta}/|\beta|\) la barre sur \(\beta\) est douteuse. On a alors \(|f(z)| = K e^{\beta x}\, |z|^m \prod_i |1 - z/z_i|\) le \(K\) porte un exposant « te ». D'autre part, on sait que […] en interligne : « toute » fonction de genre zéro, telle \(h(z)\), admet une majoration de la forme \(|h(z)| \leq C^{\mathrm{te}} \times e^{\varepsilon|z|}\), où on peut prendre \(\varepsilon\) arbitraire. Si alors on prend \(\varepsilon < \beta\), on aura \(|f(z)| \leq |z|^m \prod |1 - z/z_i| \leq K e^{\varepsilon|z|}\) deux lignes biffées

111Notons que si \(-\theta \leq \arg z \leq +\theta\), où \(\theta\) est un angle arbitraire […] compris strictement entre […] \(\pi/3\) et \(\pi\)[…] le second angle est serré en bout de ligne ; \(\pi/2\) est ce que la suite demande, on aura \(x \geq c|z|\), où \(c\) est une constante \(> 0\), d'où \(|f(z)| \geq e^{c|z|}\, |z|^m \prod_i |1 - z/z_i|\) quand \(-\theta \leq \arg z \leq +\theta\). D'autre part on a \(|f(z)| \leq |h(z)| \leq C^{\mathrm{te}} \times e^{\varepsilon|z|}\) d'où, en choisissant \(\varepsilon < c\) : \(|z|^m \prod_i |1 - z/z_i| \leq K e^{-\alpha|z|}\) (\(\alpha > 0\)), dès que \(-\theta \leq \arg z \leq +\theta\). Posons \(g(z) = z^m \prod_i (1 - z/z_i)\), cette fonction satisfait \(|g(z)| \leq K e^{-\alpha|z|}\) si \(-\theta \leq \arg z \leq +\theta\) inégalité soulignée. Montrons qu'une telle inégalité est impossible pour une fonction \(g\) de genre zéro qui n'est pas […] \(0\). — On a aussi, \(g\) étant de genre zéro, \(|g(z)| \leq K' e^{\frac{\alpha}{3}|z|}\) pour […]. Posons \(\omega = e^{2i\pi/3}\), et \(G(z) = g(z)\, g(\omega z)\, g(\omega^2 z)\), c'est une fonction entière, et on a visiblement, […] pour tout \(z\), […] : \[ |G(z)| \leq \bigl(K e^{-\alpha|z|}\bigr)\bigl(K' e^{\frac{\alpha}{3}|z|}\bigr)\bigl(K' e^{\frac{\alpha}{3}|z|}\bigr) = K'' e^{-\frac{\alpha}{3}|z|} \] \(G(z)\) serait donc bornée, donc une constante. Mais \(G(z) = z^{3m} \prod_i \Bigl(1 - \dfrac{z^3}{z_i^3}\Bigr)\), il faut donc que l'ensemble des \(z_i\) soit vide, et \(m = 0\), donc \(g(z)\) constante. Ceci signifie \(f(z) = C^{\mathrm{te}} e^{\beta z}\), […] ce qui est incompatible avec \(|f(z)| \leq e^{k} e^{\varepsilon|z|}\) […] la note court de bas en haut dans la marge gauche et achève la phrase interrompue au bas de la page. Dans la même marge, à hauteur des premières lignes, un petit croquis : un cercle, et trois rayons issus du centre découpant le disque en trois secteurs, deux des rayons pointillés

[Ordre d'une suite, fonction de comptage]

Titre de l'éditeur : les pages 112 à 118 n'en portent pas. Elles poursuivent le même sujet, dans la même écriture, et numérotent (1) et (1') deux formules de la page 115.

112Soit \((\alpha_n)\) une suite décroissante en interligne : « et convergeant vers zéro » de nombres positifs. Soit \(\rho\) la borne inférieure des nombres \(s > 0\) tels que \((\alpha_n)\) soit majorée par un multiple de la suite \((1/n^{1/s})\) (et \(+\infty\) si un tel \(s\) n'existe pas) et soit \(\sigma\) la borne inférieure des nombres \(s > 0\) tels que \(\sum \alpha_n^s < +\infty\) (et \(+\infty\) si un tel \(s\) n'existe pas). On a aussi \(1/\rho = \limsup_n \dfrac{\log(1/\alpha_n)}{\log n}\). […] deux lignes biffées Le critère de Riemann affirme \(\rho \leq \sigma\) \(\sigma \leq \rho\). Mais on a aussi \(\rho \leq \sigma\), […]

Lemme Si \(s > 0\) est tel que \(\sum_n \alpha_n^s < +\infty\), alors la suite \((\alpha_n)\) est majorée par un multiple de la suite \((1/n^{1/s})\) \(\alpha_n = o(1/n^{1/s})\). (\(\alpha_n\) étant décroissant !) Démonstration. On se ramène au cas où \(s = 1\) (en posant \(\beta_n = \alpha_n^s\)) et à prouver qu'il est impossible que […] pour une suite strictement croissante d'entiers \(n_i\), on ait \(\alpha_{n_i} \geq 1/n_i\) ; en effet, alors on aurait \(\alpha_{n_{i-1}+1} + \alpha_{n_{i-1}+2} + \cdots + \alpha_{n_i} \geq \dfrac{n_i - n_{i-1}}{n_i}\), soit \(\varepsilon_i\) ce second membre, \(\sum \varepsilon_i\) est donc convergente, et on a \(n_i(1 - \varepsilon_i) = n_{i-1}\), d'où \[ n_i = \frac{n_{i-1}}{1 - \varepsilon_i} = \frac{n_{i-2}}{(1 - \varepsilon_i)(1 - \varepsilon_{i-1})} = \cdots = \frac{1}{(1 - \varepsilon_1)\cdots(1 - \varepsilon_i)} \leq \frac{1}{\prod_1^{\infty} (1 - \varepsilon_k)}, \] le numérateur des deux dernières fractions est lu \(1\) ; \(n_0\) conviendrait aussi la suite des \(n_i\) est donc majorée, et s'arrête donc […].

113[…] Supposons que l'on ait \(\sum \alpha_i < +\infty\), \(f(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \alpha_i z)\). Alors \(\rho\) est aussi […] l'ordre de la fonction entière, i.e. \(\rho = \limsup_{r \to \infty} \dfrac{\log\log f(r)}{\log r}\). […] En effet, on sait que \(\rho\) est \(\leq\) ordre de \(f\) […]. […] on est ramené à montrer que : dans le cas \(\alpha_n = 1/n^\beta\), on a \(\limsup \dfrac{\log\log f(r)}{\log r} \leq 1/\beta\) (on sait […] que c'est \(= 1/\beta\)). En effet, on a \(f(r) = \prod_1^{\nu} (1 + r/n^\beta) \prod_{\nu+1}^{\infty} (1 + r/n^\beta)\), le deuxième facteur est \(\leq e^{R(\nu)\, r}\) où \(R(\nu) = \sum_{\nu+1}^{\infty} 1/n^\beta \leq \int_\nu^{\infty} dx/x^\beta = \dfrac{1}{\beta - 1}\cdot\dfrac{1}{\nu^{\beta-1}}\). Prenons \(\nu\) tel que \(r \cdot \dfrac{1}{\nu^{\beta-1}} \leq r^{1/\beta}\), i.e. \(\nu \geq r^{1/\beta}\), par exemple \(\nu = [r^{1/\beta}] + 1\). Alors \(e^{R(\nu)\, r}\) est une fonction de \(r\) d'ordre \(\leq 1/\beta\). Il reste d'autre part que le produit \(\prod_1^{\nu} (1 + r/n^\beta) \leq (1 + r)^\nu = e^{\nu \log(1+r)}\), qui est visiblement d'ordre \(\leq 1/\beta\). Rappelons que si on pose \(f(r) = \sum a_n r^n\), […] et \(B(r) = \operatorname{Sup}_n (a_n r^n)\), alors on a aussi ordre de \(f = \limsup_{r \to \infty} \dfrac{\log\log B(r)}{\log r}\).

114Soit \(f(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \lambda_i z)\) une fonction entière de genre \(1\) « genre » souligné, posons \(\alpha_i = |\lambda_i|\), \(F(z) = \prod_1^{\infty} (1 + \alpha_i z)\). Alors \(f\) et \(F\) ont même ordre (qui s'exprime donc aussi en fonction de la suite des \(|\lambda_i|\)). En effet, l'ordre de \(f \leq\) ordre de \(F\) (évident). D'autre part, ordre de \(F =\) ordre de la suite des \(|\alpha_i|\) (voir ci-dessus) \(\leq\) ordre de \(f\) (th[éorème] d'Hadamard).

\(\Longrightarrow\) On peut parler de l'ordre d'un ensemble en interligne : « dénombrable » de nombres complexes, indépendamment de […] rangés en suite, comme la borne inférieure des \(s > 0\) tels que \(\sum |z_i|^s < +\infty\) encadré. Suite à décroissance rapide \(=\) suite d'ordre zéro.

Ordres d'une suite dans un espace de Banach, […] (deux définitions, suivant qu'on […] sommabilité […], ou sommabilité absolue). Ordre d'une partie bornée (plus petit en interligne : « borne inférieure » des \(s > 0\) tels que la partie soit contenue dans l'enveloppe convexe fermée d'une suite d'ordre \(s\)). le bas de la page, une dizaine de lignes au crayon très pâle, n'a pu être lu ; on y distingue des fractions et « \(M \geq\) »

115Soit \((r_\nu)\) suite croissante de nombres \(> 0\), \(\to \infty\), soit \(n(r)\) le nombre des indices \(\nu\) tels que \(r_\nu \leq r\). Soit \(0 \leq a \leq b < +\infty\), et \(\alpha > 0\), on a : \[ \text{(1)}\qquad \sum_{\nu,\ a < r_\nu < b} \frac{1}{r_\nu^{\alpha}} = \Bigl(\frac{n(b-0)}{b^{\alpha}} - \frac{n(a+0)}{a^{\alpha}}\Bigr) + \alpha \int_a^b \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} \] (car le premier membre est l'intégrale \(\int_a^b r^{-\alpha}\,dn(r)\) […]).

Proposition \(\sum_\nu 1/r_\nu^{\alpha} < +\infty \iff \int_0^{\infty} \dfrac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} < +\infty\), alors \(n(r)/r^{\alpha} \to 0\) pour \(r \to \infty\), et on a : \[ \text{(1')}\qquad \sum_{\nu,\ r_\nu > a} \frac{1}{r_\nu^{\alpha}} = -\frac{n(a+0)}{a^{\alpha}} + \alpha \int_a^{\infty} \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} \] formule encadrée […] une ligne biffée En effet, (1) s'écrit, pour \(a = 0\) : \(\sum_{r_\nu < b} \dfrac{1}{r_\nu^{\alpha}} = \dfrac{n(b-0)}{b^{\alpha}} + \alpha \int_0^b \dfrac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}}\) numérotée « (1 bis) », cerclé, d'où suit que […]. Réciproquement, si \(\int_0^{\infty} \dfrac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} < +\infty\), alors il existe \(M > 0\) et une suite croissante \(b_i \to \infty\) tels que \(n(b_i)/b_i^{\alpha} \leq M\) ; […] on aurait \(\sum_{r_\nu < b_i} \dfrac{1}{r_\nu^{\alpha}} \leq M + \alpha \int_0^{\infty} \dfrac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}}\), d'où \(\sum_\nu 1/r_\nu^{\alpha} < +\infty\) encadré.

116Montrons que par ailleurs \(n(r)/r^{\alpha} \to 0\) ; sinon \(n(b_i)/b_i^{\alpha} > \varepsilon\) pour une suite \(b_i \to +\infty\), et on aurait \(n(b_i) - n(b_{i-1}) \geq \varepsilon \lambda_i^{\alpha} - M \lambda_{i-1}^{\alpha}\) ainsi sur la page : la suite est notée \(b_i\) dans le texte et \(\lambda_i\) dans les formules, d'où \(\sum_{b_{i-1} < r_\nu \leq b_i} r_\nu^{-\alpha} \geq (n(b_i) - n(b_{i-1}))\,\lambda_i^{-\alpha} \geq \varepsilon - M(\lambda_{i-1}/\lambda_i)^{\alpha}\), […] et on peut supposer \(M(\lambda_{i-1}/\lambda_i)^{\alpha} \leq \varepsilon/2\) pour tout \(i\), d'où \(\sum_{b_{i-1} < r_\nu \leq b_i} r_\nu^{-\alpha} \geq \varepsilon/2\), ce qui est contradictoire. Si alors on fait \(b \to \infty\) dans (1), on obtient (1'). […] Des résultats analogues s'obtiennent si on considère […] les sommes \(\sum_\nu \lambda(r_\nu)\), où \(\lambda\) est une fonction définie dans \(\mathbf{R}^{+*}\), continûment dérivable, décroissante et tendant vers zéro. Alors : \[ \sum_\nu \lambda(r_\nu) < +\infty \iff \int_0^{\infty} n(r)\,(-\lambda'(r))\,dr < +\infty \] encadré […] et alors \(\lambda(r)\,n(r) \to 0\) pour \(r \to \infty\), et \[ \sum_{r_\nu > a} \lambda(r_\nu) = -\lambda(a)\,n(a+0) + \int_a^{\infty} n(r)\,(-\lambda'(r))\,dr \] encadré

117Supposons maintenant que \((r_\nu)\) soit la suite des modules des zéros d'une fonction entière \(f(z)\). On a \(2\pi\, n(r) = \int_0^{2\pi} \dfrac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, re^{i\varphi}\, d\varphi\), d'où \[ 2\pi \int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr = \int_a^b \int_0^{2\pi} \frac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, e^{i\varphi}\, r\mu(r)\, dr\, d\varphi \] \[ = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_a^b \frac{f'(re^{i\varphi})}{f(re^{i\varphi})}\, e^{i\varphi}\, r\mu(r)\, dr = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_a^b \frac{d}{dr}\log f(re^{i\varphi})\; r\mu(r)\, dr \] \[ = \int_0^{2\pi} d\varphi \Bigl( \bigl[ r\mu(r) \log f(re^{i\varphi}) \bigr]_a^b - \int_a^b \log f(re^{i\varphi})\, d(r\mu(r)) \Bigr) \] (en supposant \(\mu(r)\) continûment différentiable). — On devrait bien entendu préciser la détermination du logarithme […] ; simplement d'ailleurs, […] on […], en prenant les parties réelles, […] : le passage aux parties réelles tient en deux lignes en grande partie illisibles \[ \int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr = \bigl[ r\mu(r)\,V(r) \bigr]_a^b - \int_a^b V(r)\, d(r\mu(r)) \] encadré ; un « \(2\pi\) » biffé en tête du premier membre où \(V(r) = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\varphi})|\,d\varphi\). Prenons \(\mu(r) = -\lambda'(r)\), on obtient (\(0 < a < b < +\infty\)) : \[ \sum_{a < r_\nu < b} \lambda(r_\nu) = \lambda(b)\,n(b-0) - \lambda(a)\,n(a+0) + \bigl[ r\mu(r)\,V(r) \bigr]_a^b + \int_a^b V(r)\, d(r\lambda'(r)) \] « \(+\int\) » biffé avant le dernier terme, puis récrit a priori […] deux mots obliques dans la marge gauche, en regard du milieu de la page, et un cercle tracé à main levée au-dessous

118(Si \(r^2\mu(r) \to 0\) pour \(r \to 0\), et \(|f(0)| = 1\), on a : \(\sum_{r_\nu < b} \lambda(r_\nu) = \lambda(b)\,n(b-0) - b\lambda'(b)\,V(b) + \int_0^b V(r)\, d(r\lambda'(r))\).) Comme \(|V(r)| \leq M(r) = \operatorname{Sup}_{|z|=r} |f(z)|\) ainsi sur la page ; \(\log M(r)\) est ce que \(V\) demande, on obtient une majoration de \(\sum \lambda(r_\nu)\) \(\int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr\) en fonction de \(M(r)\). le reste de la page est blanc

Sur une certaine fonction holomorphe sur l'espace de Banach \(\ell^1\)

Le titre est de lui, souligné, en tête de la page 119 ; « définie » y est biffé entre « holomorphe » et « sur ».

119Soit, pour \(\lambda = (\lambda_i) \in \ell^1\) et tout entier \(n \geq 0\) : \[ \alpha_n(\lambda) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n} \] \[ \alpha_n(\lambda) \leq \frac{\|\lambda\|_1^{\,n}}{n!} \] Les \(\alpha_n(\lambda)\) sont les coefficients de la fonction entière de genre zéro \(f(z) = \prod (1 + \lambda_i z)\), et on obtient […] les coefficients de toutes les fonctions entières de genre zéro.

Proposition Pour tout \(\lambda \in \ell^1\), la série \(\sum_0^{\infty} n!\,\alpha_n(\lambda)\) est absolument convergente, soit \(S(\lambda)\) sa somme. La fonction \(\lambda \mapsto S(\lambda)\) est holomorphe au voisinage de \(0\), avec un rayon de convergence égal à \(1\), et ses restrictions […] sont holomorphes. la fin de l'énoncé est en partie perdue ; une accolade verticale réunit ses lignes, une autre celles du corollaire

Corollaire Pour tout \(\lambda \in \ell^1\), […] \[ \sqrt[n]{|\alpha_n(\lambda)|} = o\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr), \] donc si \(\sum a_n z^n\) est une fonction entière de genre zéro, […] \(\sqrt[n]{n!\,|\alpha_n(\lambda)|} \to 0\), i.e. \(\alpha_n(\lambda) = \dfrac{\varepsilon_n^{\,n}}{n!}\) avec \(\varepsilon_n \to 0\), […] une fonction entière et […]. En effet, \(\sqrt[n]{n!\,|\alpha_n(\lambda)|} \to 0\) exprime que

120\(\sum n!\,\alpha_n(\lambda z) = \sum n!\,\alpha_n(\lambda)\, z^n\) converge quel que soit \(z\). Les deux relations […] sont les mêmes […], la seconde exprimant la première […] (Stirling : \(\sqrt[n]{n!} \sim \dfrac{n}{e}\)).

Démonstration de la proposition « Démonstration » est souligné ; la ligne est biffée d'un trait puis reprise. On peut supposer les \(\lambda_i > 0\) et décroissants. Soit alors \(f(z) = \prod (1 + \lambda_i z) = \sum \alpha_n z^n\), où \(\alpha_n = \alpha_n(\lambda)\) […]. Prenons \(R > 0\) […], alors Cauchy : \(\alpha_n \leq \dfrac{M(R)}{R^{n+1}}\) ainsi sur la page ; \(R^n\) attendu, où \(M(R)\) est le maximum de \(|f(z)|\) sur la circonférence \(|z| = R\), donc \(M(R) = \prod (1 + \lambda_i R)\). Soit Or […] \(\prod_{i=n+2}^{\infty} (1 + \lambda_i R) \leq e^{\rho_{n+1} R}\), où \(\rho_{n+1} = \sum_{k=n+2}^{\infty} \lambda_k\). Prenons \(R = \dfrac{n+1}{\rho_{n+1}}\), on obtient : \[ \alpha_n \leq \Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_1\Bigr)\cdots\Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_{n+1}\Bigr) e^{n+1} \leq \Bigl(\frac{\rho_1}{1} + \lambda_1\Bigr)\Bigl(\frac{\rho_2}{2} + \lambda_2\Bigr)\cdots\Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_{n+1}\Bigr) e^{n+1} \] les exposants de \(e\) sont lus \(n\) ou \(n+1\) ; un facteur intermédiaire est biffé Or, […] les \(\lambda_i\) formant une suite décroissante, et comme \(\lambda_n = o(1/n)\), d'autre part aussi \(\dfrac{\rho_n}{n} = o\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)\), d'où \(\dfrac{\rho_n}{n} + \lambda_n \leq \dfrac{\varepsilon_n}{n}\), où \(\varepsilon_n \to 0\). D'où \[ \alpha_n \leq \frac{\varepsilon_0\, \varepsilon_1 \cdots \varepsilon_{n+1}}{(n+1)!}\, e^{n+1} \] […] où \(\varepsilon_i \to 0\). D'où […] la page s'arrête là ; la suite est au lot suivant