Produits extérieurs hilbertiens (suite)
Titre de l'éditeur. Les pages 61 à 69 poursuivent le « 3. Produits extérieurs hilbertiens. Applications : des inégalités diverses » ouvert page 58 du lot 3 ; la numérotation des formules continue celle de ce paragraphe, dont la page 60 s'arrêtait sur la formule (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n, b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \det((a_i,b_j)) et une parenthèse ouverte.
\text{(4)}\qquad (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \det\bigl((a_i, b_j)\bigr)_{i,j \leq n}
formule encadrée au crayon rouge
On peut donc énoncer les premières propriétés
Proposition. Soit un E un espace de Hilbert. Il existe sur (\widehat{\Lambda} E) \times (\widehat{\Lambda} E) le \Lambda porte un accent circonflexe ; ainsi sur la page une forme hermitienne définie positive (et une seule), satisfaisant à (4). La complétée est le produit tensoriel hilbertien de \widehat{\Lambda} E. Si (e_i)_{i \in I} est une base hilbertienne de E, alors les e_J définis par (5), forment une base orthonormale hilbertienne Vérifier aussitôt que soit A = (a_{ij})_{i,j \leq n}, alors (a_i, a_j) = \sum_k a_{ik}\, \bar{a}_{jk} \det((a_i,a_j)) = \det est l'élément d'indice i,j de A A^{*}, donc
\det\bigl((a_i,a_j)\bigr) = \det A A^{*} = \det A \cdot \det A^{*} = \det A \cdot \overline{\det A} = |\det A|^{2},
d'où il
\text{(6)}\qquad |\det A| \leq \|a_1\| \cdots \|a_n\| \qquad \text{(inégalité de Hadamard)},
puisque pour la calculer, trois lignes de prose, en grande partie illisibles : il s'agit du choix des e_i il suffit de . Pour ceci, vecteurs les (e_i) choisis de façon que A soit
Corollaire 1. Soient a_i, b_i (i = 1, \ldots, n) des éléments d'un espace de Hilbert E. Alors on a
\bigl|\det\bigl((a_i, b_j)\bigr)\bigr| \leq \prod_i \|a_i\|\, \|b_i\| .
longue note au crayon dans la marge gauche, avec des flèches, illisible même redressée
Feuillet collé sur la page 61, numéroté 64 par les archivistes ; il est ici déplié et couvre le milieu de la page. Sa moitié inférieure est biffée.
Soit (e_i)_{i \in I} une base hilbertienne de E en interligne : « I tot. ordonné », pour toute partie finie J = (i_1, \ldots, i_n), i_1 < i_2 < \cdots < i_n de I, posons
\text{(5)}\qquad e_J = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n} .
formule encadrée
On voit aussitôt sur (4) que (e_J, e_{J'}) = \delta_{JJ'} (symbole de Kronecker), donc les e_J forment un système orthonormal dans \Lambda^{(2)} E un mot en interligne, illisible. le sous-espace engendré est évidemment dense, de E, dans \Lambda E l'application multilinéaire deux lignes biffées on les e_J en interligne : « dans \Lambda^{(2)} E » identifier engendré par l'image de (E)^{n} par l'application multilinéaire naturelle de E^{n} dans \Lambda E, donc dense dans \Lambda E puisque E_0 dense dans E, donc dense dans \Lambda^{(2)} E.
En effet, il suffit d'utiliser (4), de l'inégalité de appliquée à Cauchy-Schwarz pour la première , et d'utiliser (5).
Ce corollaire prouve que la constante K_n qui intervenait dans (Chap. 1, \S 2, N° 2, prop 1) est \leq 1 pour l'espace de Hilbert, (compte tenu de l'identification du dual E' de E à \bar{E}).
Soient maintenant E, F deux espaces de Hilbert, et soient u_1, \ldots, u_n des opérateurs linéaires continus de E dans F, considérons leur produit extérieur u_1 \wedge \cdots \wedge u_n (Chap. 1, \S 1, N° 1). On a :
\text{(8)}\qquad u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = n!\; \varphi_n \cdot (u_1 \otimes \cdots \otimes u_n) \cdot a_n
la formule (7) n'apparaît pas sur ces pages
où a_n est l'antisymétriseur
u \in L(E,F), v \in L(F,G), alors on aura
\text{(10)}\qquad (\Lambda v)(\Lambda u) = \Lambda(vu)
le numéro (10) est cerclé au crayon rouge
(Notons aussi la formule
\text{(11)}\qquad \struck{(\Lambda u)^{*} = \ldots}\qquad (u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)^{*} = u_1^{*} \wedge \cdots \wedge u_n^{*}
le numéro (11) cerclé au crayon rouge ; une accolade réunit cette formule à « (\Lambda u)^{*} = \Lambda(u^{*}) » écrit en interligne
Pour l'établir, on peut
En particulier, supposons E = F, alors on voit par l'identification u \to \Lambda u de L(E,F) dans L(\Lambda^{(2)} E, \Lambda^{(2)} F) est multiplicative (formule (10)) avec l'involution * (formule 11) ; De plus transforme un opérateur positif h en un opérateur positif, et , pour \Lambda \alpha > 0
\text{(12)}\qquad (\Lambda h)^{\alpha} = \Lambda(h^{\alpha}) \qquad (h \in L(E),\; h \geq 0)
le numéro (12) cerclé au crayon rouge
En effet, si h est positif, on a h = k^{2}, où k est positif, donc (\Lambda h) = \Lambda k^{2} = (\Lambda k)^{2},
hermitien positif, que \Lambda k est, comme aussi l' hermitien, et hermitien positif. Enfin, la formule (12), n'est que si \alpha est rationnel : si \alpha = 1/n on aura (\Lambda h^{1/n})^{n} = \Lambda((h^{1/n})^{n}) = \Lambda h, et que (12) vrai pour (\Lambda h)^{1/n} = \Lambda(h^{1/n}). On en conclut aussitôt que (12) est vraie pour \alpha rationnel positif puis \sqrt{2}, vraie pour \alpha positif dans , si H est un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert, les H^{\alpha} continûment de \alpha > 0, donc l'application u \to \Lambda u de L(E) dans L(\Lambda^{(2)} E) étant continue, on voit que les fonctions (\Lambda h)^{\alpha} et \Lambda(h^{\alpha}) sont fonctions continues de \alpha, qui sont égales pour \alpha rationnel > 0, , donc égales pour tout \alpha > 0, ce qui achève d'établir (12).
Résumons l'essentiel de ces résultats :
Proposition 1. trait vertical en marge gauche le long de l'énoncé Soient E, F deux espaces de Hilbert, soient u_i (i = 1, \ldots, n) des applications linéaires continues de E dans F, alors u_1 \wedge \cdots \wedge u_n est continue prolongeable en une application linéaire continue de \Lambda^{n\,(2)} E dans \Lambda^{n\,(2)} F « \Lambda^{n\,(2)} » ajouté en interligne, satisfaisant de norme \leq \|u_1\| \cdots \|u_n\|. L'identification u \to \Lambda u de L(E) dans L(\Lambda^{(2)} E) est multiplicative, permute à l'involution *, transforme opérateurs positifs en opérateurs positifs, et
la phrase se poursuit page 66, sous la ligne de tête
à mettre après
Proposition 2. Supposons Soit u un opérateur compact dans l'espace de Hilbert E, (\lambda_i) la suite de ses valeurs propres en interligne : « caractéristiques », alors les valeurs \Lambda u , les valeurs propres en interligne : « caractères » de \Lambda^{(2)} E
Comme l'identification u \to \Lambda u si u est et , fini d'opérateurs de rang fini Alors d'autre part si u est de rang fini, alors \Lambda u est , fini, limite d'opérateurs de rang fini, donc
Soit E_1 l'orthogonal de u(E), et E_0 l'orthogonal de E_1, et u(E) \subset E_0. lecture incertaine de la répartition des rôles de E_0 et E_1 ; la suite les fixe : u s'annule sur E_1, E_0 est de dimension finie Soit E_1 de u(E), ; alors u s'annule sur souligné au crayon rouge E_0 souligné au crayon rouge \Lambda E est à la somme
\sum_{0 \leq p \leq n} \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{n-p} E_1
« n-p » en interligne \Lambda E \Lambda E est , d'ailleurs pour \Lambda^{p} E_0 et \Lambda^{q} E_1, de leur structure , d'où sur \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{q} E_1, préhilbertienne naturelle
\Lambda E \cong \sum_{p+q=n} \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{q} E_1
dans les divers ; u compact dans un espace de Hilbert, ses valeurs propres comptées avec leur multiplicité on voit ; à des induites propres modulaires valeurs propres de (u^{*}u)^{1/2} (uu^{*})^{1/2}. Conséquences Pour les , les complexes, (\lambda_i(u)) , de façon des valeurs \rho_i(u) = \bigl(\lambda_i(uu^{*}u)^{1/2}\bigr) ainsi sur la page ; on attend \rho_i(u) = \lambda_i((u^{*}u)^{1/2}) Cf. longue note dans la marge gauche, en petite écriture, biffée de traits obliques ; c'est un premier état de la Proposition 2 et de ses conséquences
page très rapide, dont seules les formules et quelques membres de phrase se laissent lire
comme les structures préhilbertiennes , de de E et orthogonaux E, E_1 (\Lambda u)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n) = u x_1 \wedge \cdots \wedge u x_n = 0 puisque , E_1 , donc \Lambda u s'annule sur \Lambda u \Lambda^{n\,(2)} E et les valeurs propres \Lambda^{n\,(2)} E_0 = \Lambda E_0.
le corps de la page est en grande partie biffé ; un état corrigé du Corollaire 1 et de ses formules (21) et (22) est écrit de côté dans la marge gauche, et transcrit après le corps
Corollaire 1. Soit u un opérateur compact E \|\Lambda u\| = \|((\Lambda u)^{*}(\Lambda u))^{1/2}\| (u^{*}u)^{1/2} (\rho_1 \cdots) , (20), par \|\Lambda u\| ; deuxième de (23), de (22), \|\Lambda h\|
Corollaire 3. aucun « Corollaire 2 » n'est visible entre les deux Soient E, F, G trois espaces de Hilbert,
la phrase se poursuit page 69
Corollaire 1. Soit u un opérateur compact ,
\text{(21)}\qquad \lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u) = \lambda_1(\Lambda^{n} u)
\text{(22)}\qquad \rho_1(u) \cdots \rho_n(u) = \|\Lambda^{n} u\|
(21) ; (22) \rho_1(\Lambda u) (u^{*}u)^{1/2} = \|\Lambda u\| ((u^{*}u)^{1/2}) ; (23) les numéros (21) et (22) sont cerclés, les deux formules encadrées au crayon rouge
espace de Hilbert H, accolade en marge gauche le long des cinq premières lignes Soient u un opérateur de E dans F, v un opérateur de F dans G, w = vu lecture incertaine ; la formule (24) est écrite pour uv. Soit (\rho_i(w)) la valeurs propres de \sqrt{w^{*}w}. Alors, on a
\text{(24)}\qquad \rho_1(uv) \cdots \rho_n(uv) \leq \bigl(\rho_1(u)\, \rho_1(v)\bigr) \cdots \bigl(\rho_n(u)\, \rho_n(v)\bigr)
formule encadrée au crayon rouge ; « \rho_1(uv) \cdots \rho_n(uv) » souligné
En effet, c'est évident pour n = 1, car on a \rho_1(w) = \|(w^{*}w)^{1/2}\| = \|w\|,
L'idée de la démonstration est due à H. Weyl, ainsi que inégalités du suivant.
Puissances extérieures d'op. de Fredholm, inégalités diverses
Son titre, en tête de la page 70 : « 3. Puissances extérieures d'op. de Fredholm, inégalités diverses. » Les pages 70 à 73 sont une mise au net, sur des feuilles plus blanches déchirées en haut ; la numérotation des formules repart de (1). Les pages 76 à 79 en sont un état antérieur, transcrit à sa place.
Prop. 1.
\text{(1)}\qquad \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1
Corollaire 1.
\text{(2)}\qquad \alpha_n(u_1, \ldots, u_n) = \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)
\text{(3)}\qquad \alpha_n(u) = \operatorname{Tr} \Lambda^{n}(u)
Corollaire 2.
\text{(4)}\qquad |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 \qquad \text{---}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u\|_1^{n}
les deux formules sont enfermées dans une boucle ; au-dessous, biffé : « (Fredholm ) \leq \frac{1}{n!} \|u\|_1^{n} »
Corollaire 3. (6) \|\Lambda u\|_1 = \alpha_n(|u|) (7) \|\Lambda u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)}
Corollaire 4.
Corollaire 3.
\text{(5)}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \struck{\ldots}\; \alpha_n(|u|) = \|\Lambda u\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|u\|_1^{n}
formule encadrée ; les numéros (6) à (8) ci-dessus sont ceux du premier état, le Corollaire 3 définitif reprenant le numéro (5)
Car on a |\alpha_n(u)| \leq \|\Lambda u\|_1 en vertu de (3), et \alpha_n(|u|) = \operatorname{Tr}(\Lambda |u|) = \operatorname{Tr} |\Lambda u| = \|\Lambda u\|_1 (dans définition), enfin \|\Lambda u\|_1 \leq \frac{1}{n!} \|u\|_1^{n} (formule (1)).
? Corollaire 4. () \|\Lambda u\|_1 = \alpha_n(|u|), \|\Lambda u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)} biffé
Corollaire 4.
\text{(6)}\qquad |\det(1+u)| \leq \det(1+|u|)
Théorème 1. Soit u \in L^{1}(E), alors \det(1+zu) (\lambda_i(u)) \in l^{1}, et \det(1+zu) est de genre 0 :
\text{(7)}\qquad \det(1+zu) = \prod_i \bigl(1 + z\,\lambda_i(u)\bigr)
Équivalent à
\text{(8)}\qquad \alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1}(u) \cdots \lambda_{i_n}(u) \qquad (\uncertain{\text{première}} \ill{} \Longrightarrow
\text{(9)}\qquad \operatorname{Tr} u = \sum_i \lambda_i(u)
d'où résulte de nouveau (8) en l'appliquant à \Lambda u.
Simplifions
\text{(10)}\qquad \alpha_n(|u|) = \|\Lambda u\|_1 = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \rho_{i_1}(u) \cdots \rho_{i_n}(u)
Pour la , on est ramené au cas où u est hermitien positif, où c'est facile.
Prop 2. \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1
\text{(11)}\qquad \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1 = \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \alpha_p(|u|)\, \alpha_q(|v|)
(Le second membre à deux facteurs, l'écriture (\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v) une notation ) parenthèse soulignée au crayon rouge
Soit u = \sum \rho_i\, \bar{b}_i \otimes a_i le b est surchargé sur un a, \rho_i = \rho_i(u), etc., v = \sum \sigma_j\, \bar{d}_j \otimes c_j, \sigma_j = \sigma_j(v), d'où
\begin{gather}
(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v) = \frac{1}{(p+q)!} \sum_{\substack{i_1 < \cdots < i_p \\ j_1 < \cdots < j_q}} \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\, \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q}\; \times \\
\overline{b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_p} \wedge d_{j_1} \wedge \cdots \wedge d_{j_q}} \otimes \bigl(a_{i_1} \wedge \cdots \wedge a_{i_p} \wedge c_{j_1} \wedge \cdots \wedge c_{j_q}\bigr)
\end{gather}
Or les (b_i) dans , , d'où
\begin{gather}
\|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \frac{1}{(p+q)!}\, p!\, q! \sum \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\, \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q} \\
= \frac{p!\, q!}{(p+q)!} \Bigl(\sum_{i_1 < \cdots < i_p} \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\Bigr) \Bigl(\sum_{j_1 < \cdots < j_q} \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q}\Bigr) = \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1
\end{gather}
Corollaire 1. Si u, v \in L^{1}(E,F), alors
Corollaire 2. Pour tout n,
\text{(14)}\qquad \alpha_n(|u+v|) \leq \sum_{0 \leq p \leq n} \alpha_p(|u|)\, \alpha_{n-p}(|v|)
formule encadrée
On |u+v| = U(u+v), où U \in L(F,E), \|U\| \leq 1, en interligne : « \alpha_n(|u+v|) = \|\Lambda^{n}(u+v)\|_1 » donc \alpha_n(|u+v|) = \|\Lambda U(u+v)\|_1 = \Lambda U\, \Lambda(u+v)
\Lambda^{n}(u+v) = \sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!\,(n-p)!}\, (\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{n-p} v), \qquad \text{d'où}
\alpha_n(|u+v|)\; \|\Lambda^{n}(u+v)\|_1 \leq \sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!\,(n-p)!}\, \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{n-p} v)\|_1 \leq \sum \struck{\frac{n!}{p!\,(n-p)!}}\; \alpha_p(|u|)\, \alpha_{n-p}(|v|).
ainsi sur la page, sans signe entre \alpha_n(|u+v|) et la norme ; le facteur biffé de la dernière somme est remplacé en interligne par \frac{p!\,(n-p)!}{n!}, dont le produit avec le coefficient binomial donne 1
Prouvons 2 deux mots centrés, comme un titre
Théorème 2. Pour u, v \in L_0(E,F), et en interligne : « r \geq 0 » S_n^{m}(u+v) \leq \sum_{p \leq \ldots}^{m}
\text{(16)}\qquad \sigma_n^{m}(u+v) \leq \sum_{p=0}^{m} \sigma_n^{p}(u)\, \sigma_n^{m-p}(v)
formule encadrée ; à droite : « w \in L_0(E,F) et »
on a posé, pour :
\text{(17)}\qquad \sigma_n^{m}(w) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n} \rho_{i_1}(w) \cdots \rho_{i_m}(w)
on (16), n = 1, (18) ligne coupée au bas de la feuille
\leq 0 / à réviser de côté dans la marge gauche, avec un trait le long du Théorème 2
On va prouver la proposition deux traits au crayon rouge suivante :
Prop 3. Pour u \struck{, v} \in L_0(E,F), et m \leq n
\text{(19)}\; \struck{\text{(18)}}\qquad \sigma_n^{m}(u) = \sup_{\substack{v_n \in L(F,E) \\ \|v_n\| \leq 1,\; \operatorname{rang} v_n \leq n}} |\alpha_m(v_n u)| = \sup_{v_n} \{\alpha_m(|v_n u|)\}
les deux numéros sont cerclés, (18) biffé
(17), à prouver que pour |\alpha_m(w(u+v))| \leq \sum_{p=0} \ill{} (|wu|) pour la seconde , w \in L(F,E) telle que \|w\| \leq 1, \operatorname{rang} w \leq n, d'autre part \alpha_p(|wu|) = \|\Lambda^{p} wu\|_1 = \|(\Lambda^{p} w)(\Lambda^{p} u)\|_1 \leq \|\Lambda^{p} w\|\, \|\Lambda^{p} u\|_1 \leq \|\Lambda^{p} u\|_1 = \alpha_p deux lignes biffées et (19), \alpha_p(|wu|) \leq \sigma_n^{p}(u) et \alpha_{m-p}(|wv|) \leq \sigma_n^{m-p}(v), d'où la formule (18). ainsi sur la page ; c'est la formule (16) qui est établie
seul le tiers supérieur de la page est écrit
Le système des inégalités (17) cerclé (pour m, n variables) et la constante l'inégalité (15) qui permettent de , , qu'elle l'inégalité (17) qui elle particulière, pour le cas plusieurs mots soulignés au crayon rouge
Prop. 4. Si u \in L_0(E,F), entier n \geq 0,
\text{(18)}\qquad \struck{\det}\; \prod_{1}^{n} \bigl(1 + \rho_i(u)\bigr) = \sup_{\substack{v_n \in L(F,E) \\ \|v_n\| \leq 1,\; \operatorname{rang} v_n \leq n}} \det(1 + v_n u)
Cette démonstration en interligne : « formule » est immédiate (17), plus simple
Sous-additivité des fonctions des valeurs singulières
Titre de l'éditeur. Deux feuilles brunes, d'une autre plume, pages 74 et 75, qui tirent de (15) des inégalités du type \sum f(\rho_i(u+v)) \leq \sum f(\rho_i(u)) + \sum f(\rho_i(v)).
\sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(u+v)\bigr) \leq \sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(u)\bigr) + \sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(v)\bigr)
S_\varphi^{n}(u+v) \leq S_\varphi^{n}(u) + S_\varphi^{n}(v), \qquad S_\varphi^{n}(w) = \sum_{1}^{n} f_\varphi\bigl(\rho_i(w)\bigr)
f_\varphi(\rho) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\varphi(r)}{\frac{1}{\rho} + r}\, dr = \int_{0}^{+\infty} \varphi(s/\rho)\, \frac{ds}{1+s}
\varphi fonction décroissante en interligne : « si A(0) = B(0) = 0 (), alors » (motivation : dans un cadre : « A(r) \leq B(r) 0 \leq r < +\infty » \Longrightarrow \int \varphi(r)\, A(r)\, dr \leq \int \varphi(r)\, B(r)\, dr en interligne : « dans [a,b] ». Or, pour
f_p(\rho) = \rho^{p} \int \frac{s^{-p}}{1+s}\, ds = c^{te} \cdot \rho^{p}, \qquad \text{d'où, en posant}
Système a.
S_p^{(n)}(u) = \sum_{1}^{n} \rho_i(u)^{p}
S_p^{(n)}(u+v) \leq S_p^{(n)}(u) + S_p^{(n)}(v) \qquad \text{en particulier}
S_p(u+v) \leq S_p(u) + S_p(v)
les deux inégalités sont encadrées
i.e. \sum_{1}^{n} \rho_i(u+v)^{p} \leq \sum_{1}^{n} \bigl(\rho_i(u)^{p} + \rho_i(v)^{p}\bigr).
Remarque. Les , p \geq 1 pas dans ; le cas p Weyl ; on trouve de .
Question. Trouver f fonction f d'une variable positive telle que f^{(n)}(u) = \sum_{1}^{n} f(\rho_i(u)),
f^{(n)}(u+v) \leq f^{(n)}(u) + f^{(n)}(v) \qquad \text{quel que soit } n.
Il suffit pour que f^{\infty}(u+v) \leq f^{\infty}(u) + f^{\infty}(v) u \in L(E),
Réponse arbitraire
Réf.
Généralisation à
Puissances extérieures d'op. de Fredholm : premier état
Titre de l'éditeur. Les pages 76 à 79, feuilles brunes, sont l'état antérieur de la mise au net des pages 70-73 ; il en porte la numérotation (13) à (23), et la consigne au crayon rouge qui ouvre la page 76 le renvoie à la rédaction définitive.
ligne de tête coupée par la déchirure, où se lit « positifs »
Mettre 1 : N° 2 et cor. N° — au crayon rouge, souligné d'un trait rouge
Proposition 3. Soient E et F deux espaces de Hilbert, soient u_i (i = 1, \ldots, n) des applications u_i = a_i' \otimes u_i = \bar{b}_i \otimes a_i,
Corollaire 1. Soit E un espace de Hilbert, et u_i (i = 1, \ldots, n) des opérateurs des opérateurs de Fredholm dans E. Alors \Lambda^{n} u est un opérateur de Fredholm dans \Lambda^{n} E, et on a
\text{(14)}\qquad \alpha_n(u_1, \ldots, u_n) = \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n), \qquad \alpha_n(u) = \operatorname{Tr}(\Lambda^{n} u) \quad (\uncertain{\text{en particulier}})
les deux formules encadrées ensemble au crayon rouge
(où \alpha_n(u) est défini dans Chap. 1, \S 2, N° 1) souligné au crayon rouge En effet, (14) est vraie pour quand
la phrase se poursuit page 77
(voir Chap. 1, \S 1, N° 2, (i \ldots)), et des
Corollaire 2. Soient u_1, \ldots, u_n
\text{(15)}\qquad |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1
formule encadrée au crayon rouge
(Cela résulte aussi inégalités que le du Chap. 1, \S 2, N° 2, prop 1, \leq 1).
Corollaire 3. Soit u \in L^{1}(E) op. de Fredholm dans un espace de Hilbert E. Alors u op. de Fredholm de E, , et
\text{(16)}\qquad \|\Lambda^{n} u\|_1 = \alpha_n(|u|) = \alpha_n\bigl(\sqrt{u^{*}u}\bigr)
le dernier membre est écrit en interligne, souligné au crayon rouge
Si u est op. de Hilbert-Schmidt , alors On a, si u \in L^{1}(E), formule (22)) biffé
\|\Lambda^{n} u\|_1 = \operatorname{Tr}\bigl((\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u)\bigr)^{1/2} (N° 1, formule ) (formule (17)) (formule (14)). Si u \in L^{2}(E), (\Lambda u)^{*}(\Lambda u) = \Lambda(u^{*}u) u^{*}u \in L^{1}(E) bloc de trois lignes biffé en boucles Fredholm (N° 1, th. 4), donc (\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u) = \Lambda^{n}(u^{*}u) est Fredholm, et donc \Lambda^{n} u est (N° 1, th. 3, corollaire 3) (\|\Lambda^{n} u\|_2)^{2} = \operatorname{Tr}(\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u) = \alpha_n(u^{*}u) (formule (14), d'où (17))
la moitié inférieure de la page, à partir de la démonstration du Théorème 2, est barrée de deux grands traits obliques, ainsi que toute la page 79
Corollaire 4. Soit u un op. de Fredholm dans l'espace de Hilbert E. Alors
\text{(18)}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \alpha_n(|u|)
formule encadrée au crayon rouge
(En d'autres termes) les de la fonction \det(1+zu) , Fredholm \det(1 + z|u|) On .
Corollaire 5. Pour
\text{(19)}\qquad |\det(1+zu)| \leq \det(1 + |z|\,|u|) \qquad \struck{(\ill{})}
En effet : |\alpha_n(u)| = |\operatorname{Tr} \Lambda^{n} u| \leq \|\Lambda^{n} u\|_1 = \alpha_n(|u|) un mot souligné au crayon rouge devant la ligne (18), On a (formule (16)).
Théorème 2. Soit u une application de Fredholm de l'espace de Hilbert H. Alors les , (\lambda_i) , Démonstration. — des N° , ; (20)
\text{(22)}\qquad \alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}
\text{(23)}\qquad \operatorname{Tr} u = \sum \lambda_i(u)
(22') de côté dans la marge gauche ; la formule (23) est encadrée au crayon rouge
toute la page est barrée de deux traits obliques ; c'est la suite de la démonstration du Théorème 2
Réunissons , Il résulte de \sum \ill{} \leq \ill{} Soient x_i, i.e. , \sum |z_i| \leq \|u\|_1 z_i désigne ici les valeurs propres, \lambda_i plus bas, soit en effet p Pour une fonction que \det(1 + zh) de genre (22) ; Mais l'identité (22) \alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} z_{i_1} \cdots z_{i_n} résulte immédiatement de l'expression deux lignes biffées, avec la formule (22) cerclée (e_i) un système orthonormal , u = \sum \lambda_i\, \bar{e}_i \otimes e_i () En effet, d'où donc
\alpha_n(u) = \sum_{i_1 \ldots i_n} \struck{\alpha_n(z_i e \ldots)}\; \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\; \alpha_n\bigl(\bar{e}_{i_1} \otimes e_{i_1}, \ldots, \bar{e}_{i_n} \otimes e_{i_n}\bigr)
Fonctions convexes : hyperplans d'appui
Titre de l'éditeur. Une feuille isolée, page 80, sans rapport visible avec les feuillets précédents sinon la « Question » de la page 75.
f fonction convexe sur l'ouvert convexe U,
(x,y) \in G_f \iff x \in U \text{ et } y \geq f(x)
Soit x_i, y_i (a,b) avec b = f(a) (a \in U), donc soit H un hyperplan passant par (a,b) ne rencontrant pas G_f, alors : 1) il a y - b = \ill{} lourdement biffé \sum c_i (x_i - a_i) ( droite x = a), soit y = L_a(x) ; 2) f(x) \geq L(x) pour