Cote n° 1 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

Produits extérieurs hilbertiens (suite)

Titre de l'éditeur. Les pages 61 à 69 poursuivent le « 3. Produits extérieurs hilbertiens. Applications : des inégalités diverses » ouvert page 58 du lot 3 ; la numérotation des formules continue celle de ce paragraphe, dont la page 60 s'arrêtait sur la formule \((a_1 \wedge \cdots \wedge a_n, b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \det((a_i,b_j))\) et une parenthèse ouverte.

61\[ \text{(4)}\qquad (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \det\bigl((a_i, b_j)\bigr)_{i,j \leq n} \] formule encadrée au crayon rouge On peut donc énoncer les premières propriétés […]

Proposition. Soit un \(E\) un espace de Hilbert. Il existe sur \((\widehat{\Lambda} E) \times (\widehat{\Lambda} E)\) le \(\Lambda\) porte un accent circonflexe ; ainsi sur la page une forme hermitienne définie positive (et une seule), satisfaisant à (4). La complétée est le produit tensoriel hilbertien […] de \(\widehat{\Lambda} E\). Si \((e_i)_{i \in I}\) est une base hilbertienne de \(E\), alors les \(e_J\) définis par (5), forment une base orthonormale hilbertienne […] deux lignes lourdement biffées dans \(\Lambda^{(2)} E\). les \(e_J\) et la formule (5) sont définis sur le feuillet collé, page 62 En particulier on a \[ \text{(5)}\qquad \|a_1 \wedge \cdots \wedge a_n\| = \bigl(\det((a_i,a_j))\bigr)^{1/2} \leq \|a_1\| \cdots \|a_n\| \qquad (a_i \in E) \] formule encadrée au crayon rouge ; le numéro « (5) » y est marqué d'un signe, peut-être « (5') », le feuillet collé portant déjà un (5) ; sous la formule, « \(a_i\) » et « (5) » répétés En effet, l'égalité est un cas particulier de (4) […]. […], donc l'expression […] les bases orthonormales \((e_i)\), […] posons \(a_i = \sum_j a_{ij}\, e_j\) le \(i\) est cerclé — Vérifier aussitôt que soit \(A = (a_{ij})_{i,j \leq n}\), alors \((a_i, a_j) = \sum_k a_{ik}\, \bar{a}_{jk}\) \(\det((a_i,a_j)) = \det\) est l'élément d'indice \(i,j\) de \(A A^{*}\), donc \[ \det\bigl((a_i,a_j)\bigr) = \det A A^{*} = \det A \cdot \det A^{*} = \det A \cdot \overline{\det A} = |\det A|^{2}, \] d'où il […] \[ \text{(6)}\qquad |\det A| \leq \|a_1\| \cdots \|a_n\| \qquad \text{(inégalité de Hadamard)}, \] puisque […] pour la calculer, […] trois lignes de prose, en grande partie illisibles : il s'agit du choix des \(e_i\) il suffit de […]. Pour ceci, […] vecteurs […] les \((e_i)\) choisis de façon que \(A\) soit […] triangulaire, d'où \(\det A = a_{11}\, a_{22} \cdots a_{nn}\), ce qui achève la démonstration […].

Corollaire 1. Soient \(a_i, b_i\) (\(i = 1, \ldots, n\)) des éléments d'un espace de Hilbert \(E\). Alors on a \[ \bigl|\det\bigl((a_i, b_j)\bigr)\bigr| \leq \prod_i \|a_i\|\, \|b_i\| . \] […] longue note au crayon dans la marge gauche, avec des flèches, illisible même redressée

62Feuillet collé sur la page 61, numéroté 64 par les archivistes ; il est ici déplié et couvre le milieu de la page. Sa moitié inférieure est biffée. Soit \((e_i)_{i \in I}\) une base hilbertienne de \(E\) en interligne : « \(I\) tot. ordonné », pour toute partie finie \(J = (i_1, \ldots, i_n)\), \(i_1 < i_2 < \cdots < i_n\) de \(I\), posons \[ \text{(5)}\qquad e_J = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n} . \] formule encadrée On voit aussitôt sur (4) que \((e_J, e_{J'}) = \delta_{JJ'}\) (symbole de Kronecker), donc les \(e_J\) forment un système orthonormal dans \(\Lambda^{(2)} E\) un mot en interligne, illisible. […] le sous-espace […] engendré […] est évidemment dense, […] de \(E\), […] dans \(\Lambda E\) […] l'application multilinéaire deux lignes biffées on […] les \(e_J\) […] en interligne : « dans \(\Lambda^{(2)} E\) » identifier […] engendré par l'image de \((E)^{n}\) par l'application multilinéaire naturelle de \(E^{n}\) dans \(\Lambda E\), donc dense dans \(\Lambda E\) puisque […] \(E_0\) […] dense dans \(E\), donc dense dans \(\Lambda^{(2)} E\).

63En effet, il suffit d'utiliser (4), de l'inégalité de […] appliquée à […] Cauchy-Schwarz pour la première […], et d'utiliser (5).

Ce corollaire prouve que la constante \(K_n\) qui intervenait dans (Chap. 1, \S 2, N° 2, prop 1) est \(\leq 1\) pour l'espace de Hilbert, (compte tenu de l'identification du dual \(E'\) de \(E\) à \(\bar{E}\)).

Soient maintenant \(E\), \(F\) deux espaces de Hilbert, et soient \(u_1, \ldots, u_n\) des opérateurs linéaires continus de \(E\) dans \(F\), considérons leur produit extérieur \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) (Chap. 1, \S 1, N° 1). On a : \[ \text{(8)}\qquad u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = n!\; \varphi_n \cdot (u_1 \otimes \cdots \otimes u_n) \cdot a_n \] la formule (7) n'apparaît pas sur ces pages où \(a_n\) est l'antisymétriseur […] un mot en interligne de \(\Lambda E\) dans \(\bigotimes E\), et \(\varphi_n\) l'homomorphisme naturel de \(\bigotimes F\) sur \(\Lambda F\). Comme \(\frac{1}{\sqrt{n!}}\, a_n\) […] est une isométrie […] préhilbertiens, et \(\sqrt{n!}\; \varphi_n\) une […] de norme \(\leq 1\) pour les structures hilbertiennes […] \(\bigotimes F\) et \(\Lambda F\), on voit que \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\| = \Bigl\|\sqrt{n!}\; \varphi_n \cdot (u_1 \otimes \cdots \otimes u_n) \cdot \tfrac{1}{\sqrt{n!}}\, a_n\Bigr\| \leq \|u_1 \otimes \cdots \otimes u_n\|, \] d'où en vertu de (2) : \[ \text{(9)}\qquad \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\| \leq \|u_1\| \cdots \|u_n\| . \] Par suite, \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) peut être étendu en une application linéaire continue de \(\Lambda^{(2)} E\) dans \(\Lambda^{(2)} F\) en interligne : « notée encore \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) », dont la norme satisfait à (9). Bien entendu, les règles de calcul usuelles subsistent pour les en interligne : « (quelques uns (extensions)) » […] \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\). Alors […] particulières, si on a la phrase se poursuit page 64

64[…] \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,G)\), alors on aura \[ \text{(10)}\qquad (\Lambda v)(\Lambda u) = \Lambda(vu) \] le numéro (10) est cerclé au crayon rouge (Notons aussi la formule \[ \text{(11)}\qquad \struck{(\Lambda u)^{*} = \ldots}\qquad (u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)^{*} = u_1^{*} \wedge \cdots \wedge u_n^{*} \] le numéro (11) cerclé au crayon rouge ; une accolade réunit cette formule à « \((\Lambda u)^{*} = \Lambda(u^{*})\) » écrit en interligne Pour l'établir, on peut […] […] trois lignes biffées […] formule (ou \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = \frac{1}{n!} \struck{\ill{}} \sum_{0 \leq p \leq n,\; i_1 < \cdots < i_p \leq n} (-1)^{\ill{}}\, \Lambda(u_{i_1} \cdots u_{i_p})\) lecture incertaine de la formule interne ; il s'agit d'un développement du produit extérieur — voir Introduction, 2, formule (8), —), on a […] \[\begin{gather} \bigl((\Lambda u)\, a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; b_1 \wedge \cdots \wedge b_n\bigr) = \det\bigl((u a_i, b_j)\bigr) = \det\bigl((a_i, u^{*} b_j)\bigr) \\ = \bigl(a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\; (\Lambda u^{*})\, b_1 \wedge \cdots \wedge b_n\bigr), \end{gather}\] ce qui établit la deuxième formule (11).

En particulier, supposons \(E = F\), alors on voit par l'identification \(u \to \Lambda u\) de \(L(E,F)\) dans \(L(\Lambda^{(2)} E, \Lambda^{(2)} F)\) est multiplicative (formule (10)) […] avec l'involution \(*\) (formule 11) ; De plus […] transforme un opérateur positif \(h\) en un opérateur positif, et […], pour \(\Lambda\) […] \(\alpha > 0\) […] \[ \text{(12)}\qquad (\Lambda h)^{\alpha} = \Lambda(h^{\alpha}) \qquad (h \in L(E),\; h \geq 0) \] le numéro (12) cerclé au crayon rouge En effet, si \(h\) est positif, on a \(h = k^{2}\), où \(k\) est positif, donc \((\Lambda h) = \Lambda k^{2} = (\Lambda k)^{2}\), […] et \(\Lambda k\) est […] (car, […] \(\Lambda u\) […] la phrase se poursuit page 65

65hermitien positif, […] que \(\Lambda k\) est, comme aussi l' […] hermitien, et hermitien positif. Enfin, la formule (12), n'est […] que si \(\alpha\) est rationnel : […] si \(\alpha = 1/n\) […] on aura \((\Lambda h^{1/n})^{n} = \Lambda((h^{1/n})^{n}) = \Lambda h\), et […] […] \(\Lambda h^{1/n}\) […] hermitien positif, il en résulte que (12) […] vrai pour […] \((\Lambda h)^{1/n} = \Lambda(h^{1/n})\). On en conclut aussitôt que (12) est vraie pour \(\alpha\) rationnel positif […] puis […] \(\sqrt{2}\), […] vraie pour \(\alpha\) positif dans […], si \(H\) est un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert, […] les \(H^{\alpha}\) […] continûment de \(\alpha > 0\), donc l'application \(u \to \Lambda u\) de \(L(E)\) dans \(L(\Lambda^{(2)} E)\) étant […] continue, on voit que les fonctions \((\Lambda h)^{\alpha}\) et \(\Lambda(h^{\alpha})\) sont fonctions continues de \(\alpha\), qui sont égales pour \(\alpha\) rationnel \(> 0\), […], donc égales pour tout \(\alpha > 0\), ce qui achève d'établir (12).

Résumons l'essentiel de ces résultats :

Proposition 1. trait vertical en marge gauche le long de l'énoncé Soient \(E\), \(F\) deux espaces de Hilbert, soient \(u_i\) (\(i = 1, \ldots, n\)) des applications linéaires continues de \(E\) dans \(F\), alors \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) est continue prolongeable en une application linéaire continue de \(\Lambda^{n\,(2)} E\) dans \(\Lambda^{n\,(2)} F\) « \(\Lambda^{n\,(2)}\) » ajouté en interligne, satisfaisant de norme \(\leq \|u_1\| \cdots \|u_n\|\). L'identification \(u \to \Lambda u\) de \(L(E)\) dans \(L(\Lambda^{(2)} E)\) est multiplicative, permute à l'involution \(*\), transforme opérateurs positifs en opérateurs positifs, et la phrase se poursuit page 66, sous la ligne de tête

66à mettre après […] Weyl sur les propriétés des […] hilbertiens ligne de tête, avec un mot au crayon rouge, peut-être « À faire »

Proposition 2. Supposons Soit \(u\) un opérateur compact dans […] l'espace de Hilbert \(E\), \((\lambda_i)\) la suite de ses valeurs propres en interligne : « caractéristiques », alors les valeurs \(\Lambda u\) […], les valeurs propres en interligne : « caractères » de \(\Lambda^{(2)} E\) […] […] sont les […] \(\lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\) avec \(i_1 < i_2 < \cdots < i_n\).

Comme l'identification \(u \to \Lambda u\) […] de \(L(E)\) […] dans \(L(\Lambda^{(2)} E)\) est continue, si \(u\) est […] et […], fini d'opérateurs de rang fini […] ; il suffit de […] si […] d'opérateurs de rang fini, […] limite d'opérateurs de rang fini […] ; Alors d'autre part si \(u\) est de rang fini, alors \(\Lambda u\) est […], […] fini, […] limite d'opérateurs de rang fini, donc […] […] bloc de quatre lignes biffé en boucles, où se lisent « base hilbertienne convenable », « sous forme d'une », « considérons », « un fini seulement »

Soit \(E_1\) l'orthogonal de \(u(E)\), et \(E_0\) l'orthogonal de \(E_1\), et \(u(E) \subset E_0\). lecture incertaine de la répartition des rôles de \(E_0\) et \(E_1\) ; la suite les fixe : \(u\) s'annule sur \(E_1\), \(E_0\) est de dimension finie […] Soit \(E_1\) […] de \(u(E)\), […] ; alors \(u\) s'annule sur […] souligné au crayon rouge \(E_0\) […] souligné au crayon rouge […] \(\Lambda E\) est […] à la somme […] \[ \sum_{0 \leq p \leq n} \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{n-p} E_1 \] « \(n-p\) » en interligne \(\Lambda E\) […] \(\Lambda E\) est […], d'ailleurs pour \(\Lambda^{p} E_0\) et \(\Lambda^{q} E_1\), de leur structure […], d'où […] sur \(\Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{q} E_1\), préhilbertienne naturelle […] \[ \Lambda E \cong \sum_{p+q=n} \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{q} E_1 \] […] dans les divers […] ; \(u\) compact dans un espace de Hilbert, ses valeurs propres comptées avec leur multiplicité […] on voit […] ; à […] des […] induites […] propres […] modulaires […] valeurs propres de \((u^{*}u)^{1/2}\) […] \((uu^{*})^{1/2}\). […] Conséquences […] Pour les […], les […] complexes, […] \((\lambda_i(u))\) […], de façon […] des valeurs […] \(\rho_i(u) = \bigl(\lambda_i(uu^{*}u)^{1/2}\bigr)\) ainsi sur la page ; on attend \(\rho_i(u) = \lambda_i((u^{*}u)^{1/2})\) […] Cf. […] longue note dans la marge gauche, en petite écriture, biffée de traits obliques ; c'est un premier état de la Proposition 2 et de ses conséquences

67page très rapide, dont seules les formules et quelques membres de phrase se laissent lire comme les structures préhilbertiennes […], de […] de \(E\) et […] orthogonaux […] \(E\), […] […] \(\Lambda^{(2)} E \cong \sum_{p+q=n} \Lambda^{p\,(2)} E_0 \otimes \Lambda^{q\,(2)} E_1\) […] lourdement biffé et réécrit Si \(u\) est un […] dans \(E\), […] \(E_1\) […] \((\Lambda u)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n) = u x_1 \wedge \cdots \wedge u x_n = 0\) […] puisque […], […] \(E_1\) […], donc \(\Lambda u\) s'annule sur […] […] si \(p \neq 0\) […] \(\sum_p \Lambda^{p} E_0 \otimes \Lambda^{n-p} E_1\) […] \((p \neq 0)\) […] alors \(\Lambda u\) […] d'ailleurs […], il […] \(\Lambda^{(2)} E\) […] et […] \(\Lambda^{n\,(2)} E_0 \otimes \Lambda^{0\,(2)} E_1\) […], on voit […] \(p \neq 0\). […] l'ensemble […] \(E_1\), […] \(\Lambda^{(2)} E_0\), et […], il est évident […] \(E_0\). Donc, (\(u(E_1) = 0\), \(u(E_0) \subset E_0\), et \(E_0\) de dim finie) […] on peut […] \(\Lambda u\) […] […] \(\Lambda^{n\,(2)} E\) […] et les valeurs propres […] \(\Lambda^{n\,(2)} E_0 = \Lambda E_0\). […] […] […] les valeurs propres de […] \(E_0\), […], les valeurs propres […] dans […] les […], l'algèbre linéaire […], les […], […] valeurs propres distinctes, (on le voit p. ex. en […] \(u\) […], […] matrice triangulaire), et […]

68le corps de la page est en grande partie biffé ; un état corrigé du Corollaire 1 et de ses formules (21) et (22) est écrit de côté dans la marge gauche, et transcrit après le corps […] trois lignes biffées Corollaire 1. Soit \(u\) un opérateur compact […] \(E\) […] […] bloc de cinq lignes biffé en boucles \[ \text{(23)}\qquad |\lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u)| \leq \rho_1(u) \cdots \rho_n(u) \] formule encadrée au crayon rouge ; les numéros (21) et (22) sont ceux des formules de la marge En effet, d'après (21) […] […] \(|\lambda_1(\Lambda u)|\) […] \(\|\Lambda u\| = \|((\Lambda u)^{*}(\Lambda u))^{1/2}\|\) […] \((u^{*}u)^{1/2}\) […] \((\rho_1 \cdots)\) […], (20), […] par […] \(\|\Lambda u\|\) […] ; deuxième […] de (23), […] de (22), […] \(\|\Lambda h\|\) […] \(\Lambda h\) est hermitien […], […] \(\|\Lambda h\|\) […] \(\Lambda h\), donc […]

Corollaire 3. aucun « Corollaire 2 » n'est visible entre les deux Soient \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces de Hilbert, […] la phrase se poursuit page 69

Corollaire 1. Soit \(u\) un opérateur compact […], \[ \text{(21)}\qquad \lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u) = \lambda_1(\Lambda^{n} u) \] \[ \text{(22)}\qquad \rho_1(u) \cdots \rho_n(u) = \|\Lambda^{n} u\| \] (21) […] ; (22) […] \(\rho_1(\Lambda u)\) […] \((u^{*}u)^{1/2}\) […] \(= \|\Lambda u\|\) […] \(((u^{*}u)^{1/2})\) […] ; […] (23) […] les numéros (21) et (22) sont cerclés, les deux formules encadrées au crayon rouge

69espace de Hilbert \(H\), accolade en marge gauche le long des cinq premières lignes Soient […] \(u\) un opérateur […] de \(E\) dans \(F\), \(v\) un opérateur […] de \(F\) dans \(G\), […] \(w = vu\) lecture incertaine ; la formule (24) est écrite pour \(uv\). Soit \((\rho_i(w))\) la […] valeurs propres de \(\sqrt{w^{*}w}\). Alors, on a \[ \text{(24)}\qquad \rho_1(uv) \cdots \rho_n(uv) \leq \bigl(\rho_1(u)\, \rho_1(v)\bigr) \cdots \bigl(\rho_n(u)\, \rho_n(v)\bigr) \] formule encadrée au crayon rouge ; « \(\rho_1(uv) \cdots \rho_n(uv)\) » souligné En effet, c'est évident pour \(n = 1\), car on a \(\rho_1(w) = \|(w^{*}w)^{1/2}\| = \|w\|\), […] et \(\|uv\| \leq \|u\|\, \|v\|\). Or […], bloc entre crochets […] […] \(\rho_i(uv)^{2} = \rho_i((uv)^{*}(uv))\) […] \[ \bigl(\rho_1(uv) \cdots \rho_n(uv)\bigr)^{2} = \lambda_1\bigl((uv)(uv)^{*}\bigr) \cdots \lambda_n\bigl((uv)(uv)^{*}\bigr) = \lambda_1\bigl(\Lambda((uv)(uv)^{*})\bigr) \leq \ill{} \] […] de (23), […] […] \(\|\Lambda(uv)\|\), i.e. \(\|(\Lambda u)(\Lambda v)\|\), […] \(\leq \|\Lambda u\|\, \|\Lambda v\|\), […] en vertu de […] de (23), […] (3) et (4), […] que […] suivant.

L'idée de la démonstration […] est due à H. Weyl, ainsi que […] inégalités du […] suivant.

[…] le bas de la page porte au crayon un bloc d'une dizaine de lignes, effacé ou très pâle, qui s'achève sur « Corollaire 3 » ; illisible

Puissances extérieures d'op. de Fredholm, inégalités diverses

Son titre, en tête de la page 70 : « 3. Puissances extérieures d'op. de Fredholm, inégalités diverses. » Les pages 70 à 73 sont une mise au net, sur des feuilles plus blanches déchirées en haut ; la numérotation des formules repart de (1). Les pages 76 à 79 en sont un état antérieur, transcrit à sa place.

70Prop. 1. \[ \text{(1)}\qquad \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 \]

Corollaire 1. \[ \text{(2)}\qquad \alpha_n(u_1, \ldots, u_n) = \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n) \] \[ \text{(3)}\qquad \alpha_n(u) = \operatorname{Tr} \Lambda^{n}(u) \]

Corollaire 2. \[ \text{(4)}\qquad |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 \qquad \text{---}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u\|_1^{n} \] les deux formules sont enfermées dans une boucle ; au-dessous, biffé : « (Fredholm […]) \(\leq \frac{1}{n!} \|u\|_1^{n}\) »

Corollaire 3. (6) \(\|\Lambda u\|_1 = \alpha_n(|u|)\) (7) \(\|\Lambda u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)}\) biffé d'un zigzag

Corollaire 4. (8) \(|\alpha_n(u)| \leq \alpha_n(|u|)\) à droite, dans un cadre : « (\(\struck{|\alpha_n(u)| \leq}\) \(\|\Lambda u\|_1 = \alpha_n(|u|) \leq \frac{1}{n!} \|u\|_1^{n}\)) »

Corollaire 3. \[ \text{(5)}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \struck{\ldots}\; \alpha_n(|u|) = \|\Lambda u\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|u\|_1^{n} \] formule encadrée ; les numéros (6) à (8) ci-dessus sont ceux du premier état, le Corollaire 3 définitif reprenant le numéro (5) Car on a \(|\alpha_n(u)| \leq \|\Lambda u\|_1\) en vertu de (3), et \(\alpha_n(|u|) = \operatorname{Tr}(\Lambda |u|) = \operatorname{Tr} |\Lambda u| = \|\Lambda u\|_1\) (dans […] définition), enfin \(\|\Lambda u\|_1 \leq \frac{1}{n!} \|u\|_1^{n}\) (formule (1)).

? Corollaire 4. ([…]) \(\|\Lambda u\|_1 = \alpha_n(|u|)\), \(\|\Lambda u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)}\) biffé

Corollaire 4. \[ \text{(6)}\qquad |\det(1+u)| \leq \det(1+|u|) \]

Théorème 1. Soit \(u \in L^{1}(E)\), alors \(\det(1+zu)\) \((\lambda_i(u)) \in l^{1}\), et \(\det(1+zu)\) est de genre \(0\) : \[ \text{(7)}\qquad \det(1+zu) = \prod_i \bigl(1 + z\,\lambda_i(u)\bigr) \] Équivalent à \[ \text{(8)}\qquad \alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1}(u) \cdots \lambda_{i_n}(u) \qquad (\uncertain{\text{première}} \ill{} \Longrightarrow \] \[ \text{(9)}\qquad \operatorname{Tr} u = \sum_i \lambda_i(u) \] d'où résulte de nouveau (8) en l'appliquant à \(\Lambda u\).

Simplifions \[ \text{(10)}\qquad \alpha_n(|u|) = \|\Lambda u\|_1 = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \rho_{i_1}(u) \cdots \rho_{i_n}(u) \] Pour la […], on est ramené au cas où \(u\) est hermitien positif, où c'est facile.

Prop 2. \(\|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1\) \[ \text{(11)}\qquad \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1 = \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \alpha_p(|u|)\, \alpha_q(|v|) \] (Le second membre […] à deux facteurs, l'écriture \((\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\) […] une notation […]) parenthèse soulignée au crayon rouge

71Soit \(u = \sum \rho_i\, \bar{b}_i \otimes a_i\) le \(b\) est surchargé sur un \(a\), \(\rho_i = \rho_i(u)\), etc., \(v = \sum \sigma_j\, \bar{d}_j \otimes c_j\), \(\sigma_j = \sigma_j(v)\), d'où \[\begin{gather} (\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v) = \frac{1}{(p+q)!} \sum_{\substack{i_1 < \cdots < i_p \\ j_1 < \cdots < j_q}} \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\, \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q}\; \times \\ \overline{b_{i_1} \wedge \cdots \wedge b_{i_p} \wedge d_{j_1} \wedge \cdots \wedge d_{j_q}} \otimes \bigl(a_{i_1} \wedge \cdots \wedge a_{i_p} \wedge c_{j_1} \wedge \cdots \wedge c_{j_q}\bigr) \end{gather}\] Or […] les \((b_i)\) […] dans […], […], d'où \[\begin{gather} \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{q} v)\|_1 \leq \frac{1}{(p+q)!}\, p!\, q! \sum \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\, \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q} \\ = \frac{p!\, q!}{(p+q)!} \Bigl(\sum_{i_1 < \cdots < i_p} \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\Bigr) \Bigl(\sum_{j_1 < \cdots < j_q} \sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q}\Bigr) = \frac{p!\, q!}{(p+q)!}\, \|\Lambda^{p} u\|_1\, \|\Lambda^{q} v\|_1 \end{gather}\]

Corollaire 1. Si \(u, v \in L^{1}(E,F)\), alors […] pour \(r \geq 0\) \[ \text{(12)}\qquad \struck{\det}\; \det(1 + r|u+v|) \leq \det(1 + r|u|) \bigl(\det(1 + r|v|)\bigr) \] i.e. […] \[ \text{(13)}\qquad \prod_i \bigl(1 + r\rho_i(u+v)\bigr) \leq \Bigl(\prod_i \bigl(1 + r\rho_i(u)\bigr)\Bigr) \Bigl(\prod_i \bigl(1 + r\rho_i(v)\bigr)\Bigr) \] On va […] montrer que l'inégalité […], donc que

Corollaire 2. Pour tout […] \(n\), \[ \text{(14)}\qquad \alpha_n(|u+v|) \leq \sum_{0 \leq p \leq n} \alpha_p(|u|)\, \alpha_{n-p}(|v|) \] formule encadrée On […] \(|u+v| = U(u+v)\), où \(U \in L(F,E)\), \(\|U\| \leq 1\), en interligne : « \(\alpha_n(|u+v|) = \|\Lambda^{n}(u+v)\|_1\) » donc \(\alpha_n(|u+v|) = \|\Lambda U(u+v)\|_1 = \Lambda U\, \Lambda(u+v)\) \[ \Lambda^{n}(u+v) = \sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!\,(n-p)!}\, (\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{n-p} v), \qquad \text{d'où} \] \[ \alpha_n(|u+v|)\; \|\Lambda^{n}(u+v)\|_1 \leq \sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!\,(n-p)!}\, \|(\Lambda^{p} u) \wedge (\Lambda^{n-p} v)\|_1 \leq \sum \struck{\frac{n!}{p!\,(n-p)!}}\; \alpha_p(|u|)\, \alpha_{n-p}(|v|). \] ainsi sur la page, sans signe entre \(\alpha_n(|u+v|)\) et la norme ; le facteur biffé de la dernière somme est remplacé en interligne par \(\frac{p!\,(n-p)!}{n!}\), dont le produit avec le coefficient binomial donne 1

Prouvons 2 deux mots centrés, comme un titre

Théorème 2. Pour \(u, v \in L_0(E,F)\), et en interligne : « \(r \geq 0\) » […] \(n\), on a \[ \text{(15)}\qquad \prod_{1}^{n} \bigl(1 + r\rho_i(u+v)\bigr) \leq \Bigl(\prod_{1}^{n} \bigl(1 + r\rho_i(u)\bigr)\Bigr) \Bigl(\prod_{1}^{n} \bigl(1 + r\rho_i(v)\bigr)\Bigr) \] formule encadrée et plus précisément, […], i.e. pour […] […] \(0 \leq m \leq n\), […] \(S_n^{m}(u+v) \leq \sum_{p \leq \ldots}^{m}\) \[ \text{(16)}\qquad \sigma_n^{m}(u+v) \leq \sum_{p=0}^{m} \sigma_n^{p}(u)\, \sigma_n^{m-p}(v) \] formule encadrée ; à droite : « \(w \in L_0(E,F)\) et […] » […] on a posé, pour […] : \[ \text{(17)}\qquad \sigma_n^{m}(w) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n} \rho_{i_1}(w) \cdots \rho_{i_m}(w) \] […] on […] (16), […] \(n = 1\), […] (18) ligne coupée au bas de la feuille […] \(\leq 0\) / à réviser de côté dans la marge gauche, avec un trait le long du Théorème 2

72On va prouver la proposition deux traits au crayon rouge suivante :

Prop 3. Pour \(u \struck{, v} \in L_0(E,F)\), et \(m \leq n\) \[ \text{(19)}\; \struck{\text{(18)}}\qquad \sigma_n^{m}(u) = \sup_{\substack{v_n \in L(F,E) \\ \|v_n\| \leq 1,\; \operatorname{rang} v_n \leq n}} |\alpha_m(v_n u)| = \sup_{v_n} \{\alpha_m(|v_n u|)\} \] les deux numéros sont cerclés, (18) biffé […] En effet, posons […], pour […] l'inégalité \[ \struck{|\alpha_m(v_n u)| = |\operatorname{Tr} \Lambda^{m} v_n u| \leq \ill{}} \qquad \struck{\leq \|\Lambda^{m} \ill{}\| \cdot \|\Lambda^{m} u\|_1 \leq \ill{}} \] deux lignes biffées […], […] \(\rho_i(v_n u) \leq \rho_i(u)\) […], il suffit d'établir \(|\alpha_m(v_n u)| \leq \sigma_n^{m}(v_n u)\), […] si \(u \in L(E,E)\) est de rang \(\leq n\), […] on a \[ |\alpha_m(u)| \leq \{\alpha_m(|u|)\} \leq \sigma_n^{m}(u). \] […] \(u\) […] \(\in \ill{}(E)\), et \[ |\alpha_m(u)| = |\alpha_m(w)| \leq \struck{\ill{}} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n} \rho_{i_1}(w) \cdots \rho_{i_m}(w) \] et […] […] \(w = \alpha^{*} u \alpha\) (\(\alpha\) appl. isométrique \(u(E)\) \(\to E\)) lecture incertaine de la source de \(\alpha\), d'où \(\rho_i(w) \leq \|\alpha^{*}\|\, \|\alpha\|\, \rho_i(u) \leq \rho_i(u)\), la formule […].

[…] Montrons […] 2. […] (19) […] souligné au crayon rouge […] \(E\) de dimension \(\geq n\), […] […], \(u = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\), […] posons \(v_n = \sum_{1}^{n} \bar{f}_i \otimes e_i\), d'où \(v_n u = \sum_{1}^{n} \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\), et \(\alpha_m(v_n u) = \sigma_n^{m}(u)\), (remarquer que si \(F = E\), et \(u\) hermitien, alors on peut prendre \(v_n\) projecteur hermitien […] \(E\) de dimension \(\leq n\)). Prouvons maintenant (16) : […] (18) […] (17), […] à prouver que pour \(|\alpha_m(w(u+v))|\) \(\leq \sum_{p=0} \ill{} (|wu|)\) […] pour la seconde […], […] \(w \in L(F,E)\) telle que \(\|w\| \leq 1\), \(\operatorname{rang} w \leq n\), […] on […] ((14)) \[ |\alpha_m(w(u+v))| \leq \alpha_m(|wu + wv|) \leq \sum_{p=0}^{m} \alpha_p(|wu|)\, \alpha_{m-p}(|wv|) \] d'autre part […] \(\alpha_p(|wu|) = \|\Lambda^{p} wu\|_1 = \|(\Lambda^{p} w)(\Lambda^{p} u)\|_1 \leq \|\Lambda^{p} w\|\, \|\Lambda^{p} u\|_1 \leq \|\Lambda^{p} u\|_1 = \alpha_p\) deux lignes biffées et […] […] (19), […] \(\alpha_p(|wu|) \leq \sigma_n^{p}(u)\) et \(\alpha_{m-p}(|wv|) \leq \sigma_n^{m-p}(v)\), d'où la formule (18). ainsi sur la page ; c'est la formule (16) qui est établie

73seul le tiers supérieur de la page est écrit Le système des inégalités (17) cerclé (pour \(m, n\) variables) et la constante […] […] pour (15) souligné au crayon rouge semblent les inégalités les plus fortes possibles majorant les en interligne : « fonction des » \(\rho_i(u+v)\) en fonction des \(\rho_i(u)\), \(\rho_i(v)\). Notons […] l'inégalité (15) […] qui permettent de […], […], qu'elle […] l'inégalité (17) qui elle […] particulière, pour […] le cas […] plusieurs mots soulignés au crayon rouge

Prop. 4. Si \(u \in L_0(E,F)\), […] entier \(n \geq 0\), […] \[ \text{(18)}\qquad \struck{\det}\; \prod_{1}^{n} \bigl(1 + \rho_i(u)\bigr) = \sup_{\substack{v_n \in L(F,E) \\ \|v_n\| \leq 1,\; \operatorname{rang} v_n \leq n}} \det(1 + v_n u) \] Cette démonstration en interligne : « formule » est […] immédiate […] (17), […] une ligne biffée […] plus simple

Sous-additivité des fonctions des valeurs singulières

Titre de l'éditeur. Deux feuilles brunes, d'une autre plume, pages 74 et 75, qui tirent de (15) des inégalités du type \(\sum f(\rho_i(u+v)) \leq \sum f(\rho_i(u)) + \sum f(\rho_i(v))\).

74\[ \sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(u+v)\bigr) \leq \sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(u)\bigr) + \sum_{1}^{n} \log\bigl(1 + r\rho_i(v)\bigr) \] \[ S_\varphi^{n}(u+v) \leq S_\varphi^{n}(u) + S_\varphi^{n}(v), \qquad S_\varphi^{n}(w) = \sum_{1}^{n} f_\varphi\bigl(\rho_i(w)\bigr) \] \[ f_\varphi(\rho) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\varphi(r)}{\frac{1}{\rho} + r}\, dr = \int_{0}^{+\infty} \varphi(s/\rho)\, \frac{ds}{1+s} \] \(\varphi\) fonction décroissante en interligne : « si \(A(0) = B(0) = 0\) ([…]), alors » (motivation : dans un cadre : « \(A(r) \leq B(r)\) […] \(0 \leq r < +\infty\) […] » \(\Longrightarrow \int \varphi(r)\, A(r)\, dr \leq \int \varphi(r)\, B(r)\, dr\) […] en interligne : « dans \([a,b]\) ». Or, […] pour […] […] deux mots soulignés […], dans […] \(\psi(r) = -\varphi'(r)\), \(\varphi\) […] ([…] […] si \(A\) est dérivable \[ -\int \varphi'(r)\, A(r)\, dr = \bigl[-\varphi(r)\, A(r)\bigr]_{0}^{+\infty} + \int \varphi(r)\, A'(r)\, dr \] et la première […], d'où […] \(\int \varphi(r)\, A'(r)\, dr\). Si […] \(A\) et \(B\) […] dérivables, alors […] \(\int \varphi(r)\, A'(r)\, dr \leq \int \varphi(r)\, B'(r)\, dr\) […] pour […] \([0, +\infty[\) […] fonction \(\varphi\) […], […] d'ailleurs […] et […] \(A'(r), B'(r) \geq 0\), […], alors […] vrai pour […] discontinuité […], pourvu que […] \(\varphi = \) un cadre vide […] \(A(r) \leq B(r)\)). […] […] […] retrouve […] Dans le cas actuel, \(\tilde{A}(r) = \sum_{1}^{n} \log(1 + r\rho_i(u))\), d'où […] \(A'(r) = \sum \frac{r}{1 + r\rho_i(u)}\) ainsi sur la page ; on attend \(\sum \frac{\rho_i(u)}{1 + r\rho_i(u)}\) […]. Le cas le plus important est […] pour \(\varphi(r) = r^{-p}\), \(0 < p < 1\). On trouve alors la phrase se poursuit page 75

75\[ f_p(\rho) = \rho^{p} \int \frac{s^{-p}}{1+s}\, ds = c^{te} \cdot \rho^{p}, \qquad \text{d'où, en posant} \] Système a. \[ S_p^{(n)}(u) = \sum_{1}^{n} \rho_i(u)^{p} \] \[ S_p^{(n)}(u+v) \leq S_p^{(n)}(u) + S_p^{(n)}(v) \qquad \text{en particulier} \] \[ S_p(u+v) \leq S_p(u) + S_p(v) \] les deux inégalités sont encadrées i.e. \(\sum_{1}^{n} \rho_i(u+v)^{p} \leq \sum_{1}^{n} \bigl(\rho_i(u)^{p} + \rho_i(v)^{p}\bigr)\).

Remarque. Les […], […] \(p \geq 1\) […] pas dans […] ; le cas \(p\) […] Weyl ; on trouve […] de […].

Question. Trouver […] \(f\) […] fonction \(f\) d'une variable positive telle que \(f^{(n)}(u) = \sum_{1}^{n} f(\rho_i(u))\), […] \[ f^{(n)}(u+v) \leq f^{(n)}(u) + f^{(n)}(v) \qquad \text{quel que soit } n. \] Il suffit pour […] que \(f^{\infty}(u+v) \leq f^{\infty}(u) + f^{\infty}(v)\) […] \(u \in L(E)\), […]

Réponse […] arbitraire […]

Réf. […]

Généralisation à […]

Puissances extérieures d'op. de Fredholm : premier état

Titre de l'éditeur. Les pages 76 à 79, feuilles brunes, sont l'état antérieur de la mise au net des pages 70-73 ; il en porte la numérotation (13) à (23), et la consigne au crayon rouge qui ouvre la page 76 le renvoie à la rédaction définitive.

76[…] ligne de tête coupée par la déchirure, où se lit « positifs »

Mettre 1 : N° 2 et cor. N° — au crayon rouge, souligné d'un trait rouge

Proposition 3. Soient \(E\) et \(F\) deux espaces de Hilbert, soient \(u_i\) (\(i = 1, \ldots, n\)) des applications […] de Fredholm de \(E\) dans \(F\), alors \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) est une application de Fredholm de \(\Lambda^{n} E\) dans \(\Lambda^{n} F\), et \[ \text{(13)}\qquad \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 \] formule encadrée au crayon rouge En effet, il suffit de […] vérifier quand […] \(u_i = a_i' \otimes\) \(u_i = \bar{b}_i \otimes a_i\), […] […] avec \(\|b_i\| \leq 1\), \(\|a_i\| \leq 1\), alors \(\|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\) […] […] […], […] il existe une […] de \((\bar{E} \mathbin{\hat{\otimes}} E)\) dans \(\bar{F} \mathbin{\hat{\otimes}} F\) (où \(F = \Lambda^{n} E\)) […] \((u_i)\) […] qui coïncide avec \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) pour les […] décomposables, […] \(L(F)\). Or, pour \(u_i = \bar{b}_i \otimes a_i\), […] (Chap. […], N° 1, formule (8)) \[ \struck{\ill{}}\quad u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = \frac{1}{n!}\, (\bar{b}_1 \wedge \cdots \wedge \bar{b}_n) \otimes (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n), \qquad \text{d'où} \] \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\, \|b_1 \wedge \cdots \wedge b_n\|\, \|a_1 \wedge \cdots \wedge a_n\| \leq \frac{1}{n!} \prod \|a_i\|\, \|b_i\| \] (formule (5)), d'où […] (13).

Corollaire 1. Soit \(E\) un espace de Hilbert, et \(u_i\) (\(i = 1, \ldots, n\)) des opérateurs des opérateurs de Fredholm dans \(E\). Alors \(\Lambda^{n} u\) est un opérateur de Fredholm dans \(\Lambda^{n} E\), et on a \[ \text{(14)}\qquad \alpha_n(u_1, \ldots, u_n) = \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n), \qquad \alpha_n(u) = \operatorname{Tr}(\Lambda^{n} u) \quad (\uncertain{\text{en particulier}}) \] les deux formules encadrées ensemble au crayon rouge (où \(\alpha_n(u)\) est défini dans Chap. 1, \S 2, N° 1) souligné au crayon rouge En effet, (14) est vraie pour […] quand […] la phrase se poursuit page 77

77[…] (voir Chap. 1, \S 1, N° 2, […] \((i \ldots)\)), et […] des […] […] […] un membre de phrase souligné […] (13), […].

Corollaire 2. Soient \(u_1, \ldots, u_n\) […] \[ \text{(15)}\qquad |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \frac{1}{n!}\, \|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 \] formule encadrée au crayon rouge (Cela résulte aussi […] inégalités que le […] du Chap. 1, \S 2, N° 2, prop 1, […] \(\leq 1\)).

Corollaire 3. Soit \(u \in L^{1}(E)\) […] op. de Fredholm dans un espace de Hilbert \(E\). Alors […] \(u\) […] op. de Fredholm de […] \(E\), […], et \[ \text{(16)}\qquad \|\Lambda^{n} u\|_1 = \alpha_n(|u|) = \alpha_n\bigl(\sqrt{u^{*}u}\bigr) \] le dernier membre est écrit en interligne, souligné au crayon rouge Si \(u\) est […] op. de Hilbert-Schmidt […], alors […] […] […] \(\Lambda^{n} u\) deux lignes biffées, et \[ \text{(17)}\qquad \|\Lambda^{n} u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)} \] On a, si \(u \in L^{1}(E)\), […] formule (22)) […] biffé \(\|\Lambda^{n} u\|_1 = \operatorname{Tr}\bigl((\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u)\bigr)^{1/2}\) (N° 1, formule […]) […] \(\bigl((\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u)\bigr)^{1/2} = \Lambda\bigl((u^{*}u)^{1/2}\bigr)\), d'où \(\|\Lambda^{n} u\|_1 = \operatorname{Tr} \Lambda\bigl((u^{*}u)^{1/2}\bigr) = \alpha_n\bigl(\sqrt{u^{*}u}\bigr)\) (formule […] (17)) (formule (14)). Si \(u \in L^{2}(E)\), […] \((\Lambda u)^{*}(\Lambda u) = \Lambda(u^{*}u)\) […] \(u^{*}u \in L^{1}(E)\) […] bloc de trois lignes biffé en boucles […] Fredholm […] (N° 1, th. 4), donc \((\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u) = \Lambda^{n}(u^{*}u)\) est […] Fredholm, et donc \(\Lambda^{n} u\) est […] (N° 1, th. 3, corollaire 3) […] \((\|\Lambda^{n} u\|_2)^{2} = \operatorname{Tr}(\Lambda^{n} u)^{*}(\Lambda^{n} u) = \alpha_n(u^{*}u)\) (formule (14), d'où (17))

78la moitié inférieure de la page, à partir de la démonstration du Théorème 2, est barrée de deux grands traits obliques, ainsi que toute la page 79

Corollaire 4. Soit \(u\) un op. de Fredholm dans l'espace de Hilbert \(E\). Alors \[ \text{(18)}\qquad |\alpha_n(u)| \leq \alpha_n(|u|) \] formule encadrée au crayon rouge (En d'autres termes) les […] de la fonction […] \(\det(1+zu)\) […], […] Fredholm […] \(\det(1 + z|u|)\) […] On […].

Corollaire 5. Pour […] \[ \text{(19)}\qquad |\det(1+zu)| \leq \det(1 + |z|\,|u|) \qquad \struck{(\ill{})} \] En effet : \(|\alpha_n(u)| = |\operatorname{Tr} \Lambda^{n} u| \leq \|\Lambda^{n} u\|_1 = \alpha_n(|u|)\) un mot souligné au crayon rouge devant la ligne […] (18), On a […] (formule (16)).

Théorème 2. Soit \(u\) une application de Fredholm de l'espace de Hilbert \(H\). Alors les […], \((\lambda_i)\) […], […] deux lignes biffées on a \[ \text{(20)}\qquad \det(1+u) = \prod_i (1 + \lambda_i) \] formule encadrée au crayon rouge […] (21) ; […], et […] \(zu\) au lieu de \(u\), […] la fonction entière de Fredholm \(\det(1+zu)\) […] de genre \(0\) ; \[ \text{(21)}\qquad \det(1+zu) = \prod_i (1 + z\lambda_i) \] Démonstration. — […] des N° […], […] ; […] (20) […] […] le reste de la page, six lignes, est biffé en boucles par-dessus les traits obliques ; on y lit « (20) », « (22) », « des N° » et « hypothèse »

\[ \text{(22)}\qquad \alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n} \] \[ \text{(23)}\qquad \operatorname{Tr} u = \sum \lambda_i(u) \] […] (22') […] de côté dans la marge gauche ; la formule (23) est encadrée au crayon rouge

79toute la page est barrée de deux traits obliques ; c'est la suite de la démonstration du Théorème 2 Réunissons […], Il […] résulte de […] […] \(\sum \ill{} \leq \ill{}\) […] Soient […] \(x_1, \ldots, x_n\) des vecteurs […] […] \(x_i\), […] […] i.e. […], […] \(\sum |z_i| \leq \|u\|_1\) \(z_i\) désigne ici les valeurs propres, \(\lambda_i\) plus bas, […] soit en effet […] \(p\) […] le projecteur orthogonal […] engendré par les \(x_i\), […] \[ |z_1 \cdots z_n| = |\operatorname{Tr} pu| \leq \|pu\|_1 \leq \|p\|\, \|u\|_1 = \|u\|_1 . \] ainsi sur la page ; la borne \(\|u\|_1\) vaut pour une somme \(\sum z_i\) plutôt que pour un produit […] comme les zéros […] de \(\det(1 - zu)\) […], […] les coefficients de \(\det(1 - zu)\) sont […] (prop. 2, corollaire 4). Nous […] fonction entière […] les […], et […] majorés en modules par ceux […] genre \(0\) ; […] […] \(0\). Pour […] une […] fonction […] que \(\det(1 + zh)\) […] de genre […] […] (22) […] ; Mais […] l'identité (22) \(\alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} z_{i_1} \cdots z_{i_n}\) […] résulte immédiatement de l'expression deux lignes biffées, avec la formule (22) cerclée […] \((e_i)\) […] un système orthonormal […], \(u = \sum \lambda_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\) ([…]) En effet, […] d'où donc \[ \alpha_n(u) = \sum_{i_1 \ldots i_n} \struck{\alpha_n(z_i e \ldots)}\; \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\; \alpha_n\bigl(\bar{e}_{i_1} \otimes e_{i_1}, \ldots, \bar{e}_{i_n} \otimes e_{i_n}\bigr) \] […] […] […], […] ; […] \(\frac{1}{n!}\) ; […] les \(i_1, \ldots, i_n\) […] distincts, […] ([…]). […] différent […] (23). […] \(\sum |\lambda_i| \leq \sum\) […] \(u\) […] de côté dans la marge gauche, très rapide

Fonctions convexes : hyperplans d'appui

Titre de l'éditeur. Une feuille isolée, page 80, sans rapport visible avec les feuillets précédents sinon la « Question » de la page 75.

80\(f\) fonction convexe sur l'ouvert convexe \(U\), \[ (x,y) \in G_f \iff x \in U \text{ et } y \geq f(x) \] Soit \(x_i, y_i\) \((a,b)\) avec \(b = f(a)\) (\(a \in U\)), donc soit \(H\) un hyperplan […] passant par \((a,b)\) ne rencontrant pas […] \(G_f\), alors : 1) il […] a […] \(y - b = \ill{}\) lourdement biffé […] \(\sum c_i (x_i - a_i)\) ([…] droite \(x = a\)), soit \(y = L_a(x)\) […] ; 2) […] \(f(x) \geq L(x)\) pour […] \(x \in U\) ([…] \(H\), […] […] ; […] \(H\) contient \(G_f\), et […] que alors […] pour \(y \geq L(x)\). trait ondulé sous « détermination » détermination pour \(H\) […] pour […] que […] alors […] 2 […]), 3) […] \(\in E\) […] (\(L\) […]), et […] […] \(a\), […] \[ \text{4)}\qquad f(x) = \sup_a L_a(x) \qquad (\ill{}) \] […] si […], les \(c_i\) […] \(\geq 0\). En effet, […] croissante […] \(f(x_1, a_2, \ldots, a_n)\) […] et de […] première […] linéaire […] Lorsque […] […] supposons […] \(c_1 < 0\), alors […] voisinage […] pour \(x_1 = a_1\), […] \(L(x_1, a_2, \ldots, a_n)\), […] et on aurait […] \(L = \) […] \(f\). […] pour […] diminuer […] \[ f(x_1) \leq f(a) \leq f(a_1) \] ainsi sur la page : les arguments sont abrégés à leur première coordonnée voisin de \(a_1\).