Cote n° 1 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953)
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration

Mesures spectrales et réarrangements spectraux d'opérateurs (suite)

Titre de l'éditeur, repris du titre de sa main en tête de la page 18 (lot 1). La démonstration de la proposition 1, commencée page 20, s'achève page 21.

21Le lot précédent s'arrête au milieu de la démonstration de la proposition 1 du N° 4 ; elle se poursuit ici, en tête d'une page dont les cinq premières lignes sont biffées.

[…] \(U_{\varphi_K}\) […] dans \(\underline{b}\), […] Soit \(f\) fonction hermitienne bornée sur \(M\) […] : i.e. l'opérateur \(U_f\) est dans \(\underline{b}\) : \(f\) […] majorée […] \(|U_f|\) […] \(U_{|f|}\) […] \(g \in C_0(M)\), Or si \(f\) […] majorée […] par un \(g \in C_0(M)\), d'où \(0 \leq |U_f| \leq U_g \in \underline{b}\), donc \(U_f \in \underline{b}\), i.e. \(U_f\) est […] […] \(U_h\), \(h \in C_0(M)\), un \(E\) projecteur, est […] si \(f\) est […] […] \(\varphi_K\), […] borné \(\varphi_K\), \(K\) compact \(\subset M\). Donc il existe alors un compact […] \(K'\) tel que \(U_{\varphi_K} = U_{\varphi_{K'}}\), […] \(K \subset K'\). […] \(K\) […] […] et soit \(E = U_{\varphi_K}\). Tout opérateur \(A\) dans \(\mathcal{A}\) qui est permutable à \(\underline{C}\), et tel que \(EAE = A\), est dans \(\underline{C}\), et \(=\) dans \(C(K)\). Donc \(\underline{C}(K)\) est […] et contient l'algèbre formée des opérateurs permutables, algèbre qui est […] plus fine dans \(\mathcal{A}\) et Neumann. de « Tout opérateur » à « Neumann », les mots pris pour permutable, contient, formée et plus fine ne sont que des candidats ; l'argument est que le commutant de \(\underline{C}\) dans \(E\mathcal{A}E\) se réduit à \(C(K)\)

Corollaire 1 Donc si […] \(\underline{C}\) est l'algèbre de définition d'une trace en interligne, au-dessus de « trace » : « semi-finie » \(T\), \(\underline{C}\) une sous-algèbre commutative maximale […] de \(\underline{b}\) et […] de \(\underline{a}\), \(\underline{C} = C_0(M)\), alors […] une mesure positive \(\mu\) le \(\mu\) est surchargé telle que si \(f \in C_0(M)\), […] soit \(f \in \underline{a}\) si et seulement si […] \(f\) […] soit intégrable […]. Alors \(T(f) = \int f\, d\mu\). Si \(T\) est une accolade en marge gauche embrasse le corollaire jusqu'au bas de la page ; la phrase se poursuit page 22

22Corollaire 2 Soit \(A\) un opérateur normal de \(\underline{b}\), \(f\) une fonction continue sur \(\underline{\mathbf{C}}\) bornée, […] compacts, nulle au voisinage de \(0\). Alors \(f(A) \in \underline{a}\).

Soit maintenant \(A\) un opérateur normal de \(\underline{b}\). \(A\) est contenu dans une sous-algèbre commutative en interligne, cerné : « […] involutive » maximale […] de \(\underline{b}\), qui s'identifie à un \(C_0(M)\), sur \(M\) il y a une mesure \(\mu_A\) La mesure spectrale \(\mu_f\) de \(f\) existe, elle ne dépend pas du choix de \(\underline{C}\), car on a pour tout \(\varphi \in K(\mathbf{C}^{*})\) : \[ \langle \varphi, \mu_f\rangle = \int_M \varphi(f) = T(\varphi(A))\,. \] On l'appelle mesure spectrale de \(A\), et on la note \(\mu_A\) : \[ \text{(1)}\qquad \langle \varphi, \mu_A\rangle = T(\varphi(A)) \qquad \varphi \in K(\mathbf{C}^{*}) \] si \(\varphi\) est finie, la […] […] ① […] \(\mu_A = \sigma(A)\) (spectre de \(A\)). la ligne encadrée porte un « ① » cerclé ; le premier membre, illisible, est le support ou la norme de \(\mu_A\) ; une longue accolade en marge gauche embrasse les cinq lignes qui suivent Ce […] résulte […] une égalité, quand \(\varphi\) est finie. Le volume résulte que \(A \in \underline{a} \Longleftrightarrow\) […] \(2\) […] […] \(\mu_A\), Alors […] il existe \(\int z^n\, d\mu_A\) \[ \text{(3)}\qquad \int z^n\, d\mu_A(z) = T(A^n) \qquad (n \geq 1) \] le numéro est un « ③ » cerclé ; aucun (2) n'apparaît

en marge gauche, sideways, sur neuf lignes : le […] […], identique […], la mesure de […] […], […] et […], sur \(B\), […] Corollaire […] i.e. […]

Supposons maintenant \(A \geq 0\). Alors \(\mu_A\) \(f\) […] est décroissante […], qui […] ne dépend que de \(A\) (car \(\mu_A\) ne dépend que de \(A\)), […] soit \(\varphi_A\), et appelé réarrangement spectral de \(A \in \underline{b}^{+}\) (c'est une fonction décroissante sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\), \(\|\varphi_A\| = \|A\|\)). On voit aussitôt que \(\Phi_A = \Phi_f\), \(\Psi_A = \Psi_f\) (donc […] […]) \[ \text{(4)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Phi_A(t) = \displaystyle\int_0^t \varphi_A(s)\, ds \\[1ex] \Psi_A(t) = \displaystyle\int_0^t \log\varphi_A(s)\, ds \\[1ex] \Delta_A = \Delta_f = \exp\Psi_f \qquad \Delta_A(t) = \exp\displaystyle\int_0^t \log\varphi_{|A|}(s)\, ds \end{array}\right. \] à gauche de (4), une première version « \(\Phi_A = \Phi_f\), \(\Psi_A = \Psi_f\) » est biffée d'un gribouillis ; la dernière ligne, écrite sous l'accolade, est soulignée d'un trait qui court jusqu'au bord droit

23\[\begin{align*} \text{(5)}\qquad & \Delta_A(t) = \Delta_{|A|}(t) = \Delta_{\varphi_{|A|}}(t) = \exp\int_0^t \log\varphi_{|A|}(s)\, ds \\ \text{(6)}\qquad & \Delta(A) = \struck{\exp\Psi_A} \; \Delta_A(\omega) \qquad (\text{si } \omega = T(1) < +\infty) \end{align*}\] le membre biffé de (6) est un gribouillis dont on lit un « exp » ; une longue accolade en marge gauche embrasse (5), (6) et les quatre lignes suivantes

Par suite, \(\Delta_A(t)\) est une fonction continue de \(t\) : elle […], si \(\varphi_{|A|}(s) < \infty\). \(\Delta(A)\) est fini […] si \(T(1) < +\infty\) (i.e. si \(T\) est une trace finie), alors […] […] fini, […] \(\uncertain{0} \leq \Delta(A) < +\infty\). le premier membre de la dernière inégalité se lit aussi « \(1\) »

en marge gauche, sideways, à hauteur de (5)-(6) : Définition […] \(\displaystyle\int_1^{\infty}\) […] \(\varphi_{|A|}\) […], (5) \(= C_0\) […], \(U_{\varphi}\) […], […] \(W(A)\) […] « \(\Delta_A\) » […] définit […], […] \(\varphi\) […] ; puis, plus bas et sideways aussi : […] \(\displaystyle\int_0^{\infty}\) […] \(\mathbf{R}^{+}_{*}\) […]

Supposons que \(\underline{C}\) soit une sous-algèbre commutative involutive maximale dans \(\underline{b}\), \(\underline{C} = C_0(M)\), et la mesure sur \(M\) définie par le corollaire 1. Si \(t \in M\) est un point de \(M\) de mesure non nulle, […] soit […] borné […] 2 […] \(\underline{C}\)) par \(E = U_{\varphi_{\{t\}}}\) le \(E\) et l'indice sont surchargés […] un projecteur minimal […] le […] définit […] soit \(E\) est un projecteur minimal dans \(\mathcal{A}\) \(= \sigma(M)\) […] algèbre […] […] de \(\underline{b}\), […] contient \(E\), alors […]

[…] caractéristique d'un point […] […] de \(M\), […] : un […] \(\geq 0\). On voit […] […] […] \(E\), i.e. […] […] \(T\) […] […] (i.e. \(E\) est un […]) […] […] réarrangement […] compact […] \(\underline{b}\) […] de \(\mathcal{A}\) […] les douze dernières lignes de la page sont annulées par trois longues diagonales et cernées de traits ; une seule ligne, à mi-hauteur, échappe aux diagonales : « Supposons […] \(\geq 0\). On voit que […] », qui reste de toute façon illisible. La question reprise page 24 est celle du projecteur minimal \(E\) et de la mesure du point \(t\).

24Page entièrement en prose rapide ; seules les formules se lisent avec sûreté. La moitié inférieure, de « Soit alors » au bas de la page, est annulée par trois longues diagonales.

[…] \(t \in \Omega\) tel que \(U_{\varphi_{\{t\}}} E = E\, U_{\varphi_{\{t\}}} = E\), […] le \(\Omega\) n'est pas corrigé en \(M\) ici \(\mathcal{A}\) est alors […] somme directe de deux algèbres \(\mathcal{A}_0\) et \(\mathcal{A}_1\), où \(\mathcal{A}_1\) est un facteur […], et […] les projecteurs minimaux […] \(E\). Le […] […] les parties de \(\mathcal{A}_0\) et \(\mathcal{A}_1\), […] des projecteurs de \(\mathcal{A}_1\) deux lignes cernées d'un long trait […] les \(\mathcal{A}_i\) sont de type I, c'est-à-dire […] isomorphes […] : un \(L(\mathcal{H})\), \(T\) induit […] […] par […] la trace usuelle dans \(\mathcal{A}_1\) (à un facteur constant près), et \(T(E) < +\infty\), \(E\) […] […] \(EF\underline{a} \subset \underline{b}\). Alors […], si \(E\) […] […] Soit alors \(\underline{b} = C_0(M)\) […] qui contient […] \(\underline{b}\), […] […] \(E\), […], i.e. la définition : les parties […] de […] \(M\), qui […] compact : 2 […]. […] qui sont minimaux […] (est […] \(E\) […]) […], si et seulement si \(m(\{t\}) > 0\). le \(m\) est un trait ; on lit « \(\{t\}\) » en exposant d'un signe surchargé […] soit […]

[…] comme \(\underline{C} = C_0(M)\), […] Alors […], […] soit \(M\) […] un point, […] \(\mathcal{A}\) est […] par […] Donc, […], […] Soit \(I\) l'ensemble des […] \(t \in M\) de […] pour tout \(t\), contenu […] de \(\mathcal{A}\) […] algèbre \(\mathcal{A}_i = U_{\{t\}}\mathcal{A}\, U_{\{t\}}\) de \(\mathcal{A}\) […], facteur) de type I, i.e. […] et […] […]. On voit donc […] \(\mathcal{A}\) […] le bloc annulé est repris, dans le même ordre d'idées, page 25 : décomposition de \(\mathcal{A}\) suivant les points de masse de \(M\), chacun donnant un facteur de type I

25Les six premières lignes sont annulées par une diagonale et cernées d'une accolade. La page reprend, en clair, la décomposition de \(\mathcal{A}\) en facteurs \(\mathcal{A}_i\) de type I, puis passe aux algèbres \(\mathcal{A} \subset L(\mathcal{H})\) et à la formule \(T(f) = \int_0^1 T(f(s))\,ds\).

[…] \(\mathcal{A}\) est algèbre de Neumann […], produit […] des algèbres \(\mathcal{A}_i\) (\(i \in I\)) et d'une algèbre de \(\mathcal{B}\) […] les traces […] \(\mathcal{A}_i\) de facteurs […]. Si \(T_i\), i.e. \(\lambda_i > 0\), il […] trace usuelle. Mais chaque \(\mathcal{A}_i\) permet […] […] plongée dans, une fois […] algèbre de Neumann […] l'algèbre […] \(\mathcal{A}\) […] […] les fonctions caractéristiques […] dans les parties […] algèbre […] Neumann […] les […] de \(\mathcal{B}\), Donc […] que […] \(T\) […] commutant des, et si […] une trace normale fidèle […] On peut donc […] un produit de \(\mathcal{B}\) […] […] fini fidèle, […] et une \(\mathcal{A}\) de type […] dénombrable. L'algèbre en question, […] nouvelles et traces […] \(\mathcal{A} \subset L(\mathcal{H})\), munie des (ou \(\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}'\)) avec la trace […] dans […] fonctions […] Neumann […] que […]

Il est aussi à remarquer que […] fidèle \(T\), on peut […] de nouveau […] la trace normale, à savoir celle […]. Par exemple, on prend […] semi-finie […] le produit […] de \([0,1]\) dans \(\mathcal{A}\) […] et […] sur \(\mathcal{H}\) […], on pose \[ T(f) = \int_0^1 T(f(s))\, ds\,. \] Si \(\mathcal{B}\) est une algèbre […] munie de la trace \(T\), et \(\mathcal{A}\) une sous-algèbre […] de Neumann, alors \(\mathcal{A} \subset \mathcal{A}_2\) […] […] dans l'algèbre […] définie de la fonction de la trace sur \(\mathcal{A}\), \(\mu_A\) est la même pour […] \(\mathcal{A}\) en réarrangement […] \(\mathcal{A}\) ou \(\mathcal{B}\), d'où les questions […] les propriétés […] on voit […] les […] peut […] plongé […] bien […] \(\mathcal{A}\) […] […] le bas de la page reste illisible ; la phrase se termine au bord inférieur

26Prop 6 Soit \(A\) […] hermitien […] cerné et biffé, au-dessus de la ligne Soit \(A \in \underline{b}^{+}\), […]. \[ \text{(5)}\qquad \varphi_A^{-}(t) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}(\mathcal{A})\\ \operatorname{Tr} E < t}}\ \sup_{x \in (1-E)\mathcal{H}} (Ax, x) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}(\mathcal{A})\\ \operatorname{Tr} E < t}} \|(1-E)A(1-E)\| \] \(\mathcal{P}(\mathcal{A})\) est écrit d'un \(P\) rond, pour l'ensemble des projecteurs de \(\mathcal{A}\) ; « Tr » est écrit en toutes lettres ici, « \(T(E)\) » dans les formules (6) et (7)

Démonstration Soit \(\underline{C} = C_0(M)\) cerné une sous-algèbre commutative maximale […] de \(\underline{b}\), contenant \(A\). […] On peut […] la borne dans \(\underline{C}\), i.e. sur \(\underline{C}\), si \(E\) parcourt les projecteurs de \(\underline{C}\), on trouve \[ \inf_{\substack{E \subset M\ \text{mesurable}\\ m(E) < t}} \|(1-E)A\|_\infty \geq \varphi_A^{-}(t) \] le signe de comparaison est surchargé, un \(=\) sous le \(\geq\) ; le \(A\) du premier membre est repassé (\(\uncertain{N°}~1\), formule (4)) d'où donc dans (5), \(\varphi_A^{-}(t)\) est \(\geq\) le second membre […].

en marge gauche, sideways, à hauteur du corollaire 1 : « on pose \(|A| = \sqrt{A^{*}A}\) »

Corollaire 1 \(A \in \underline{b}\) quelconque, […] \[ \text{(6)}\qquad \varphi_{|A|}^{-}(t) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}(\mathcal{A})\\ T(E) < t}}\ \sup_{x \in (1-E)\mathcal{H}} \|Ax\| = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}(\mathcal{A})\\ T(E) < t}} \|A(1-E)\| \]

Corollaire 2 \(A \in \underline{b}\), \(B \in \mathcal{A}\). Alors […] \[ \text{(7)}\qquad \left\{ \begin{array}{l} \varphi_{|BA|} \leq \|B\|\, \varphi_{|A|} \\[0.5ex] \varphi_{|AB|} \leq \|B\|\, \varphi_{|A|} \end{array}\right. \] le \(B\) de la seconde ligne est surchargé

en marge gauche, sideways, à hauteur de (7) : \(\varphi_{|A|}(\ldots) \leq \varphi(\ldots)\), […] ; puis, plus bas : Cor. 5 […]

Corollaire 3 \(\varphi_A\) est fonction croissante de \(A \in \underline{b}^{+}\).

Corollaire 4 Les fonctions \(A \to \varphi_{|A|}^{-}(t)\) sur \(\underline{b}\) sont semi-continues supérieurement quand \(\underline{b}\) est muni de sa topologie […] une accolade en marge gauche embrasse le corollaire ; les derniers mots sont perdus au bord de la page

27Prop 7 Soit \(A \in \underline{b}\), alors \[ \mu_{|A|} = \mu_{|A^{*}|}, \qquad\text{i.e.}\qquad \varphi_{|A|} = \varphi_{|A^{*}|} \] On a \(\varphi_{|A|}^{2} = \varphi_{A^{*}A}\), \(\varphi_{|A^{*}|}^{2} = \varphi_{AA^{*}}\), il suffit de prouver \(\varphi_{A^{*}A} = \varphi_{AA^{*}}\), i.e. \(\mu_{AA^{*}} = \mu_{A^{*}A}\) […] prop. 6, un […] \(4\), […] les […] \(2\) mais dans il suffit […] ceci il suffit de supposer […] \(A \in \underline{a}\), car \(\mu_{AA^{*}}\) et \(\mu_{AA^{*}}\) \(\mu_{A^{*}A}\) sont […] sur \(\mathbf{R}^{+}\), […] une ligne biffée entre crochets et il suffit de prouver \(\mu_{AA^{*}}(x^{p}) = \mu_{A^{*}A}(x^{p})\) pour \(p > 0\), […], i.e. \[ T\bigl((AA^{*})^{p}\bigr) = T\bigl((A^{*}A)^{p}\bigr), \] ce qui résulte aussitôt de \(T(RS) = T(SR)\). le second membre est repassé Et les […] peuvent d'ailleurs définir […] à savoir \(\varphi_{|A|} = \varphi_{|A^{*}|}\) et les […], \(\Phi_{|A|} = \Phi_{|A^{*}|}\), \(\Psi_{|A|} = \Psi_{|A^{*}|}\), etc […] […] l'indice de \(A\).

Compléments sur le déterminant

Titre de sa main, page 27 : « N° 6 » dans un cadre, puis « Compléments sur le déterminant » souligné. C'est le « N° 5 » du plan de la page 2, renuméroté 6 ici comme le plan lui-même l'avait d'abord fait.

Définition […] \[ \text{(1)}\qquad \Delta(A) = \struck{\ill{}}\ \exp\int_0^{T(1)} \log\varphi_{|A|} \qquad \text{\uncertain{pour} } A \in \tilde{\underline{b}} \text{ \uncertain{d'abord}, \uncertain{puis} } A \in \tilde{\underline{b}} \] le second membre est écrit sous une première version biffée ; le « \(\tilde{\underline{b}}\) » porte un tilde, et un mot devant lui est raturé ; ce que \(\tilde{\underline{b}}\) désigne se déduit de la page 28 : les \(\lambda 1 + B\), \(B \in \underline{b}\)

Donc […], \(E\) […] définition […] \(\Delta(A) = \Delta(|A|)\), et […] si \(A \in \underline{b}\) […] \(\Delta(|A|)\) […] et […] \(\Delta(A)\) est défini […] pour […], et \(0 \leq \Delta(A) \leq +\infty\). Donc

la phrase se poursuit page 28

28

les \(|\lambda|\) sont surchargés ; on lit aussi \(\|\lambda\|\)

Cela résulte […] précédent, à savoir […] \(0 \leq \Delta(1+A) < +\infty\) si \(A \in \underline{a}\), et […] particulier […] seulement les valeurs […] dans \(1 + \underline{a}\) […] \(\Delta(A)\), comme […] définie à […] seulement […] \(1 + B\), \(B \in \underline{a}\). Donc […] sur \(1 + \underline{a}\).

Prop 8 \[ \left\{ \begin{array}{l} \Delta(A) = \Delta(A^{*}) \\ \Delta(AB) = \Delta(A)\,\Delta(B) \\ \Delta(1) = 1 \end{array}\right. \qquad A, B \in 1 + \underline{a} \] un long trait courbe enferme l'énoncé et le relie à « \(A, B \in 1 + \underline{a}\) » ; à droite de la première ligne, un mot raturé

Si \(A \in \mathcal{A}\), […] un \(A\mathcal{H}\), […]. \(A \in \underline{a}^{+}\), alors \[ \text{(5)}\qquad \struck{\Delta(1 + A) = \Delta_E(1_E + A_E)} \qquad \struck{(E = \text{\uncertain{support}} \ill{}} \] désigne \(E\) et \(A\) un opérateur […] comme […] \(A_E\) et \(1_E\) désignent […] de l'algèbre de von Neumann \(\mathcal{A}_E = E\mathcal{A}E\), et \(\Delta_E\) le déterminant […] dans \(\mathcal{A}_E\) muni de la trace induite […] de \(\mathcal{A}\). le bloc, de « Si \(A \in \mathcal{A}\) » à « de \(\mathcal{A}\) », est annulé par deux longues diagonales ; il est repris page 29 sous le numéro (5'), avec la notation \(\Delta^{E}\) en exposant qui s'installe dès les lignes suivantes

Soit \(E \in \mathcal{P}(\mathcal{A})\), posons \(\mathcal{A}_E = E\mathcal{A}E\) (sous-algèbre […] de \(\mathcal{A}\), ayant l'unité \(E\), et […] une algèbre de von Neumann dans \(E\mathcal{H}\), […] les […] la restriction de la trace \(T\) en interligne : « \(T_E\) » est une trace normale semi-finie fidèle, et soit \(\Delta^{E}(A)\) pour \(A \in \mathcal{A}_E\) le déterminant de \(A\) considéré dans \(\mathcal{A}_E\) relativement […]

29comme un déterminant […] relatif à \(\mathcal{A}_E\). On a alors \[ \text{(5')}\qquad \Delta(1 + A) = \Delta^{E}(1_E + A) \qquad \text{si } \struck{A \in \mathcal{A}_E}\ A \in \mathcal{A}_E \] le numéro est un « (5) » surchargé d'un prime ; l'exposant \(E\) de \(\Delta\) est écrit sur un indice raturé, et le \(1_E\) sur un \(A\) ; le « \(A \in \mathcal{A}_E\) » est réécrit sous une première version biffée et si […] (quand […]) […] de […] parcourt […] \(1 + \) opérateur […] tel […] fini trois lignes biffées et cernées comme on le vérifie aussitôt.

Prop 8 \[ \left\{ \begin{array}{l} \Delta(A) = \Delta(A^{*}) \\ \Delta(AB) = \Delta(A)\,\Delta(B) \\ \Delta(1) = 1 \end{array}\right. \qquad \text{si } A, B \in 1 + \underline{a} \] une flèche relie l'accolade à la seconde ligne

Seule la seconde formule […] démonstration. Par raison de continuité […] on peut supposer qu'il existe \(E \in \underline{a}\) […] un […] projecteur […], tel que […] \(A \in \mathcal{A}_E\), \(B \in \mathcal{A}_E\), et […] dans \(\mathcal{A}_E\) \(\mathcal{A}\) […] à […] on peut supposer […] le cas […] finie. […] les […] de plus (par raison de continuité) […]

\(A\) et \(B\) […] peut […] \[\begin{align*} \struck{\Delta(A)^{2}} &\struck{= \Delta(AA^{*})} \\ \struck{\Delta(A^{*})^{2}} &\struck{= \Delta(A^{*}A)} \\ \struck{\Delta(AB)^{2}} &\struck{= \Delta(B^{*}A^{*}AB) = \Delta(B^{*}HB) \overset{?}{=} \Delta(\uncertain{B^{*}A})\,\Delta(B^{*}B)} \end{align*}\] Soit \(B^{*}B = |B|^{2}\) ; on a \(\Delta(B^{*}HB) = \Delta(LHL)\) On est ramené […] pour \(\Delta(LHL)\) tout ce bloc, de « \(A\) et \(B\) » à « \(\Delta(LHL)\) », est enfermé dans de grandes boucles qui l'annulent ; le point d'interrogation sur le dernier signe \(=\) est de sa main. \(H\) est mis pour \(A^{*}A\), \(L\) pour \(|B|\) ; la démonstration est reprise page 30 par la décomposition polaire. Le reste de la page est blanc.

30Soit Nous avons à définir […]. Supposons que \(\mathcal{A}\) soit à trace finie. Soient \(X, Y\) deux projecteurs équivalents dans \(\mathcal{A}\), i.e. il existe […] transformé […] \(U \in \mathcal{A}\) avec \[ U^{*}U = X \qquad UU^{*} = Y \] Soit \(A \in \mathcal{A}\) tel que \(AX(\mathcal{H}) \subset Y(\mathcal{H})\), i.e. \(\sigma(AX) \leq Y\). Considérons […] posons […]. Alors \[ \Delta^{X}(U^{*}AX) = \Delta^{Y}(YAU^{*}) \] ici et dans (5) et (6), l'exposant est écrit sur un indice raturé : la notation \(\Delta_X\) est corrigée en \(\Delta^{X}\) Ce qui se voit facilement […] car […] ne dépend que de […] et on peut donc remplacer \(U\) par un \(V\) tel que […], tel que […], est unitairement […] \(U\) […] \(V^{*}V = X\), \(VV^{*} = Y\). On pose donc \[ \text{(5)}\qquad \Delta^{X,Y}(A) = \Delta^{X}(U^{*}AX) = \Delta^{Y}(YAU^{*}) \qquad (\sigma(AX) \leq Y) \] Soit de plus \(Z\) un projecteur équivalent à […] \(Y\), et \(B \in \mathcal{A}\) tel que \(\sigma(BY) \leq Z\). On a alors les formules […] prop. 8 […] \[ \text{(6)}\qquad \Delta^{X,Z}(BA) = \Delta^{X,Y}(A)\,\Delta^{Y,Z}(B) \] et ces deux propriétés ne […] \(A\) […] \(=\) […]

Prop 9 \[ \Delta_A(t) = \sup_{\operatorname{Tr} E \leq t} \Delta^{E}(EAE) \qquad (A \in \underline{b})\ (t \leq \operatorname{Tr} 1) \] l'énoncé est cerné d'un trait ; le « Tr » est en toutes lettres, et le second membre porte encore l'indice raturé sous l'exposant \(E\) Comme les deux membres […] continus […] en \(A\) […] restreint […] modulo […] commutative […] \(\underline{C} \subset \underline{b}\), \(\underline{C} = C_0(M)\) ; \(|M| = T(1)\). (diagonalisation […] par […]) […] on a […] \[ \Delta_A(t) \geq \sup_{\operatorname{Tr} E \leq t} \Delta_E(EAE) \] ici l'indice \(E\) n'est pas corrigé en exposant […] réciproquement, il faut prouver : \(\Delta^{E}(EAE) \leq \Delta_A(t)\) si \(T(E) \leq t\). Or […]. \(\Delta^{E}(EAE) = \Delta^{E}_{EAE}(t)\) la démonstration se poursuit page 31

31\[ \Delta^{E}(EAE) = \Delta^{E}_{EAE}(T(E)) = \Delta_{EAE}(t)\struck{\ill{}} \leq \Delta_A(t)\struck{\ill{}} \] deux termes raturés, après \(\Delta_{EAE}(t)\) et en fin de ligne (car […] on a \(\varphi_{|EAE|} \leq \|E\|\,\|E\|\,\varphi_{|A|} = \varphi_{|A|}\)) la parenthèse est cernée

Corollaire Si \(E \simeq F\), […] et \(A \in \mathcal{A}\), on a \[ \Delta^{EF}(FAE) \leq \Delta_A(t) \qquad (t = T(E)) \] Corollaire […] \(\Delta^{E}\) […] (8) \(\Delta_{AB}(t) \leq \Delta_A(t)\,\Delta_B(t)\) […] \(t\). un premier énoncé de (8), cerné, est biffé ici et repris comme théorème

Théorème 1 On a \[ \Delta_{AB}(t) \leq \Delta_A(t)\,\Delta_B(t) \qquad (A, B \in \underline{b},\ \struck{t \leq |M|}\ t \geq 0) \] Comme les deux membres sont fonctions continues […] de \(A\) […] à […] techniques, et \(T(1) < +\infty\). Comme cerné \[ \Delta_{AB}(t) = \sup_{T(E) \leq t} \Delta_E(EABE) \] il suffit de prouver que pour \(T(E) = t\) on a \[ \Delta^{E}(EABE) \leq \Delta_A(t)\,\Delta_B(t)\,. \] Posons […] […] \(\sigma(BE)\) […] deux lignes biffées, la seconde cernée Soit \(F\) un projecteur […] \(\geq \sigma(BE)\), et \(\simeq E\), soit \(A' = EAF\), \(B' = FBE\) \(= \) […], […]. \(\sigma(A'E) = \sigma(BE) \leq F\), \(\sigma(B'F) = \) \(A'B' = EABE\), et […] en vertu de (6), \[ \Delta^{E}(EABE) = \Delta^{E}(A'B') = \Delta^{E,F}(B')\,\Delta^{F,E}(A')\,. \] l'exposant du second \(\Delta\) est écrit sur un indice raturé ; les deux facteurs du dernier membre portent les exposants « \(E,F\) » et « \(FE\) » Or \(\bigl(\Delta^{EF}(B')\bigr)^{2} = \Delta^{E}(EB^{*}FBE) = \Delta^{E}_{EB^{*}FBE}(t)\) ; \(\bigl(\Delta^{FE}(A')\bigr)^{2} = \Delta^{E}(EA^{*}FAE) = \ill{}\) ; prop. 9) Or \(\Delta_{B^{*}FB}(t) = \Delta_{B^{*}F}(t) \leq \Delta_{B^{*}}(t)\) ; première égalité résulte d'une définition, la deuxième résulte de prop. 6, cor. 2) le bloc est enfermé dans trois boucles emboîtées qui l'annulent ; on y lit encore « \(\Delta_{B^{*}FB}(t) = \Delta_{B^{*}F}(t) \leq \Delta_{B^{*}}(t)\) » et le renvoi à « prop 6, cor. 2 » Or \(\Delta_{B'}(t) = \Delta_B(t)\). […] Comme […] on a […] \[\begin{align*} \Delta^{E,F}(\uncertain{FBE}) &\leq \Delta_B(t) \\ \Delta^{F,E}(EAF) &= \Delta_A(t) \end{align*}\] l'argument du premier \(\Delta\) est surchargé ; le signe de la seconde ligne, \(=\), est ce que la page porte […] résulte du corollaire précédent, quand on lit […] prop. 9 : la démonstration se poursuit page 32

32en marge gauche, sideways : « corollaire prop 9 »

Soit \(E \simeq F\) (\(E, F\) projecteurs équivalents), \(T(E) = t\), et \(A \in \mathcal{A}\), alors \[ \Delta^{EF}(FAE) \leq \Delta_A(t) \] En effet, on a \[ \Delta^{EF}(FAE) = \Delta^{E}(U^{*}FAE) = \Delta^{E}(U^{*}AE) \leq \Delta_{U^{*}A}(t) \leq \Delta_A(t) \quad \text{\uncertain{car}}\ \|U^{*}\| \leq 1 \] (on utilise […] prop. 6, cor. 2) une accolade en marge gauche embrasse l'énoncé et sa démonstration

Inégalités fondamentales

Titre de sa main, souligné, page 32, sans numéro. C'est le « N° 6 » du plan de la page 2, « Les inégalités pour \(AB\) », que la renumérotation du N° 5 en N° 6 a décalé.

Le Th. 1 peut s'écrire encore : \[ \text{(1)}\qquad \Delta_{\varphi_{|AB|}} \leq \Delta_{\varphi_{|A|}\varphi_{|B|}} \] (car \(\Delta_{fg} = \Delta_f\,\Delta_g\) pour des fonctions décroissantes […] […] sur \(\mathbf{R}^{+}_{*}\)) Par suite, utilisant N° 4, corollaire 1, […]

Th. 2 Si \(A, B \in \underline{b}\), et si \(W\) est une fonction de Weyl croissante […] dans \(K^{\infty}(]0, T(1)])\), […] \[ \text{(2)}\qquad W(AB) \leq W(\varphi_{|A|}\varphi_{|B|}) \] une accolade en marge gauche embrasse l'énoncé ; l'intervalle \(]0, T(1)]\) est surchargé

Corollaire 1 On a \(\Phi_{|AB|}(t) \leq\) \[ \text{(3)}\qquad \int_0^{t} \varphi_{|AB|}(s)\, ds \leq \int_0^{t} \varphi_{|A|}(s)\,\varphi_{|B|}(s)\, ds \] pour […] \(t \geq 0\). En particulier \[ \text{(4)}\qquad \boxed{\ \int \varphi_{|AB|} \leq \int \varphi_{|A|}\,\varphi_{|B|}\ } \] d'où \[ \text{(5)}\qquad |\operatorname{Tr} AB| \leq \struck{\ill{}}\ \operatorname{Tr}|AB| = \int \varphi_{|AB|} \leq \int \varphi_{|A|}\,\varphi_{|B|} \] une accolade en marge gauche embrasse le corollaire de (3) à (5) ; (4) est encadrée d'un double trait (La plupart des inégalités importantes peuvent déjà être dites conséquences immédiates de (4).)

33Soient \(p, q, r > 0\) avec \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}\), prenons […] \(W(f) = \int |f|^{r}\), d'où alors \(W(A)\) \(W(A) = \operatorname{Tr}(|A|^{r})\), \(W(AB)\) […] d'où […] alors : \[ \operatorname{Tr}|AB|^{r} \leq \int \bigl(\varphi_{|A|}\varphi_{|B|}\bigr)^{r} \qquad\text{i.e.}\qquad \|AB\|_r \leq \|\varphi_{|A|}\varphi_{|B|}\|_r \] […] d'où […] en vertu de l'inégalité de Hölder classique :

Corollaire 2 \[ \text{(6)}\qquad \|AB\|_r \leq \|A\|_p\,\|B\|_q \qquad \Bigl(\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\Bigr) \] ([…] Inégalité de Hölder pour opérateurs)

Corollaire 3 Soit \(A \in \mathcal{A}\) […], […] de \(\mathcal{A}\) tel que […]. Pour \(A \in \underline{b}\) […] \[ \text{(7)}\qquad \Phi_{|A|}(t) = \sup_{\sigma(B) \leq t} |\operatorname{Tr} AB| = \sup_{\substack{\operatorname{Tr}(\sigma(B)) \leq t\\ \|B\| \leq 1}} |\operatorname{Tr} BA| \] le premier sup est barré d'un trait oblique qui le relie au second ; la condition « \(\sigma(B) \leq t\) » est écrite sous « \(\operatorname{Tr}\) » raturé la borne sup étant prise sur les \(B\) tels que […] ces conditions. […] Le […] résulte aussitôt de ce qui précède […] la dernière inégalité ; d'autre part, si \(A = U|A|\), \(|A| = U^{*}A\), on […] diagonalise […] trouve \(E\) projecteur commutant avec […], avec \(\operatorname{Tr} E = t\), tel que \[ \operatorname{Tr} E|A| = \Phi_{|A|}(t), \quad \text{\uncertain{d'où}}\quad |\operatorname{Tr} EU^{*}A| = \Phi_{|A|}(t), \quad \text{\uncertain{et}}\quad \operatorname{Tr}\bigl(\sigma(EU^{*})\bigr) \leq \operatorname{Tr} E \leq t,\quad \|EU^{*}\| \leq 1. \] D'où […] (7), l'inégalité […] \(\leq\), il […] prouver […], on a \(\varphi_{|B|} \leq\) \(\varphi_{|B|} = \varphi_{|EB|}\) (si \(E = \sigma(B)\)) […] \(\leq \|B\|\,\varphi_{|E|} = \varphi_{|E|}\), d'où par […] ((5)) : \[ |\operatorname{Tr} BA| \leq \int \varphi_E\,\varphi_{|A|} = \int_0^{t} \varphi_{|A|}(s)\, ds = \Phi_{|A|}(t)\,. \] d'où (7), cqfd.

Corollaire 4 Les fonctions \(A \to \Phi_{|A|}(t)\) […] sont […] sur \(\underline{b}\), […] \(\Phi_{|A+B|}(t) =\) […] sous-additives : \[ \text{(8)}\qquad \Phi_{|A+B|} \leq \Phi_{|A|} + \Phi_{|B|} \] la page s'arrête sur (8) ; la page 34 reprend le N° 4 depuis sa proposition 1, dans une seconde mouture

Réarrangements spectraux d'opérateurs, seconde mouture

Titre de l'éditeur. La page 34 reprend, sur un feuillet plus petit et d'une main plus serrée, les propositions 6 et 7 du N° 4 (pages 26-27) sous les numéros 1 et 2, avec leurs corollaires, puis (page 35) la proposition 9 du N° 6 ; la page 34 s'ouvre sur le mot « Astuce », souligné. On transcrit cette mouture à part, sans la fondre dans la première.

34On suppose […] trace […] continue.

Astuce : on peut […] […] une […], et […] trace […], […] de […] une trace continue.

Soit […] \(\varphi_A(t)\) […]

Prop 1 \[ \varphi_A(t+0) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}\\ \operatorname{Tr} E < t}}\ \sup_{x \in (1-E)\mathcal{H}} (Ax, x) \qquad (\text{\uncertain{trace} \uncertain{continue}}) \] le « \(t+0\) » remplace le \(\varphi_A^{-}\) de la page 26

On a en fait, comme […] (partie 2) \(\varphi_A(t) \geq\) second membre parce […] on voit aussitôt (diagonalisation […]) […], il existe donc un \(E\) avec \(\operatorname{Tr} E < t\) […] \[ \sup_{x \in (1-E)\mathcal{H}} (Ax, x) \geq \varphi_A^{-}(t) \] cerné […] on se ramène au cas où \(A\) est régulier : \(\lambda F\), \(F\) projecteur […] (i.e. \(A \geq \varphi_A^{\struck{-}}(t)\, F\), avec \(\operatorname{Tr} F \geq t\)) l'exposant de \(\varphi_A\) est noirci […] Il existe donc […] […], si \(\operatorname{Tr} E < \operatorname{Tr} F\), alors \((1-E)\mathcal{H} \wedge F\mathcal{H} \neq (0)\). […] : Soit \(\mathcal{X} = E\mathcal{H}\), \(\mathcal{Y} = F\mathcal{H}\), \(\mathcal{X}' = \mathcal{H} \ominus \mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}' = \mathcal{H} \ominus \mathcal{Y}\) : […] tel que […] \[ \mathcal{X} \ominus (\mathcal{X} \wedge \mathcal{Y}') \sim \mathcal{Y} \ominus (\mathcal{Y} \wedge \mathcal{X}') \qquad \text{\uncertain{donc}}\quad \mathcal{Y} \wedge \mathcal{X}' = 0 \] indiquerait \(\mathcal{X} \ominus\) \(\mathcal{Y} \uncertain{\prec} \mathcal{X}\) d'où \(\operatorname{Tr} F \leq \operatorname{Tr} E\), absurde.

en marge gauche, sideways, sur trois lignes : si \(\varphi(t)\) […], \(\varphi_{|1+A|} \leq 1 + \varphi_{|A|}\) […] ; \(\varphi_{1+\uncertain{|A|}} = 1 + \varphi_{|A|}\), si […] ; plus bas, souligné : « Corollaire 4 » puis « \(\varphi_{\alpha(A)} = \alpha\,\varphi_A\) », un gribouillis raturé au-dessus

Corollaire 1 \(A\) quelconque […] : \[ \varphi_{|A|}(t+0) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}\\ \operatorname{Tr} E < t}}\ \sup_{x \in (1-E)\mathcal{H}} \|Ax\| \qquad (\text{\uncertain{trace} \uncertain{continue}}) \]

Corollaire 2 \[ \varphi_{|PA|}\struck{(t)} \leq \|P\|\,\varphi_{|A|}\struck{(t)} \qquad (\text{\uncertain{trace} \uncertain{quelconque} \ill{}}), \qquad \varphi_{|AQ|} \leq \|Q\|\,\varphi_{|A|} \] […] définit […] une ligne biffée, à droite de la seconde inégalité

Corollaire 3 \(\varphi_A\) croît avec l'hermitien […] pour \(A\) […] […]

Corollaire 5 semi-continuité […] des fonctions \(A \to \varphi_{|A|}(t)\) […] \(\varphi_{|A|}(t+0)\) […] fonction de \(A\). le corollaire 4 est celui de la marge ; une accolade relie les corollaires 3 et 5

Prop 2 \(\varphi_{|A|} = \varphi_{|A^{*}|}\) Il suffit de prouver que \(\varphi_{AA^{*}} = \varphi_{A^{*}A}\) […] Il suffit de prouver pour \(A \in \underline{a}\) ! Pour […] \(A \in \underline{a}\), […] […] que […] \(\mu_{|A|} = \mu_{|A^{*}|}\) […] la phrase se poursuit page 35

35\[ \mu_{|AA^{*}|}(x^{p}) = \mu_{|A^{*}A|}(x^{p}) \qquad \text{\uncertain{pour} \uncertain{tout} \ill{} \uncertain{entier} } p \geq 1,\ \text{\uncertain{soit}} \] \[ \operatorname{Tr}\,\underbrace{AA^{*} \cdots AA^{*}}_{p} = \operatorname{Tr}\,\underbrace{A^{*}A \cdots A^{*}A}_{p} \] : il suffit de prouver pour \(A\) […] […] : 2 […].

Proposition Posons \[ \Psi_{|A|}(t) = \Delta_t(A) \] « Posons » est écrit sur « Proposition » biffé ; la notation \(\Delta_t(A)\), indice \(t\), remplace ici le \(\Delta_A(t)\) des pages 22-33

Proposition (si trace continue) \[ \left\{ \begin{array}{l} \Delta_t(A) = \displaystyle\sup_{\operatorname{Tr} E < t} \struck{\det}\ \Delta_E\, EAE \\[2ex] \Delta_t(1 + |A|) = \displaystyle\sup_{\substack{\operatorname{Tr}|B| < t\\ \|B\| \leq 1}} \struck{\det}\ \Delta_E\bigl(1_E + BA\uncertain{B}\bigr) \end{array}\right. \] les deux « det » sont biffés et remplacés par \(\Delta_E\) ; le dernier facteur de la seconde ligne est noirci. À droite : « \(A\) quelconque (ou bien sup borné : \(B \in \mathcal{P}\) si \(A \geq 0\)) \(\leq\) » ; un gribouillis précède l'accolade

On a (décomposition spectrale) ce signe […] : \[\begin{align*} \Delta_E\, EAE &\leq \Delta_t(A) \qquad \text{\uncertain{si} } \operatorname{Tr} E \leq t \\ \Delta_E(1_E + BAB) &\leq \Delta_t(1 + |A|) \end{align*}\] les deux \(\Delta_E\) sont écrits sur des « det » biffés ; un trait vertical sépare « si \(\operatorname{Tr} E \leq t\) » Il faut donc prouver […] \[\begin{align*} \Delta_E A' &\leq \Delta_t A' \\ \Delta_E(1 + B') &\leq \Delta_t(1 + |B'|) \end{align*}\] soit \(A' = EAE\), […], \(B' = BA\) […] \(\Delta_t(B') \leq \Delta_t(A)\) et \(\Delta_t(1 + |B'|) \leq \Delta_t(1 + |A|)\) \(\leq \Delta_t(1+A)\) grâce à : Prop. 1, corollaire 2 (d'où la deuxième […], […] remarquer […] qui […] on a […] et finies, donc […], si \(\varphi_{1+A}\) existe, alors \[ \varphi_{E(1+A)E} \leq \varphi_{1+A}\ ) \] Car […] réunion […] \(\det\) \(\Delta B\) \(\leq \Delta_t B\) si \(\operatorname{Tr}\struck{\ill{}} \leq t\). trois lignes biffées, dont un « det » et un « \(\Delta B\) » \(B \geq 0\). On écrit […] immédiat \[ \Bigl(\Delta B = \exp\int \log\varphi_B(t) = \exp\int_0^{t} \log\varphi_B(s) = \Delta_t(B)\Bigr) \] le second membre médian est raturé . et d'autre part, […] \(\varphi_{|1+A|}(t) \leq \varphi_{1+|A|}(t) = 1 + \varphi_{|A|}(t)\), […] […] \[ \Delta_{\struck{t}}(1 + B) \leq \Delta(1 + |B|) \] la page s'arrête ici ; la page 36 est blanche

Préliminaires sur les opérateurs compacts d'un espace de Hilbert

Titre de l'éditeur, formé sur le titre de sa main « Préliminaires » (page 37, écrit sur « Rappels et notations » biffé). Les pages 37 à 40 sont un autre ensemble : feuillets jaunis, deux encres et un crayon rouge qui encadre les formules essentielles. Le sujet est celui des opérateurs compacts \(u : E \to F\) entre espaces de Hilbert, de leurs valeurs singulières \(\rho_i(u)\) et des classes \(L^{p}(E,F)\) ; il ne se rattache aux pages précédentes que par la matière. Une pagination de sa main manque ; la page 39 porte « II », ce qui laisse penser que ces quatre feuillets sont ceux qui restent d'une suite plus longue.

37Dans l'inégalité (3), faire […] tendre \(p\) vers \(+\infty\) et \(q\) vers \(0\), alors \(s = \dfrac{1}{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}\) […] tend vers \(0\), et […] obtient : la limite […] \(\rho_i(uv)\) en tête de page, dans un cadre tracé au trait, un bloc de trois lignes annulé par une grande boucle ; il renvoie à une inégalité (3) qui est celle de la page 38, avec des exposants \(p\), \(q\)

Rappels et notations Préliminaires

L'espace \(\bar{E}\) : si \(E\) est un hilbert, \(\bar{E}\) est un Hilbert, et \(E' = \bar{E}\) (*) la formule est encadrée au crayon rouge. Propriétés de convergence […] : compacts : les opérateurs compacts sont des limites d'op. de rang fini. Bicontinuité de \(E' \mathbin{\hat{\otimes}} F \to L(E, F)\). Adjoint de \(u : E \to F\) […] \(u^{*} : F \to E\), propriétés formelles, dont la propriété spéciale \[ \text{(*)}\qquad \|u^{*}u\| = \|u\|^{2} \] la formule est cernée d'un trait qui la relie à la ligne suivante ; le numéro (*) est celui de la page, répété

Décomposition spectrale d'un opérateur hermitien compact : \(u = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\), où \(\lambda_i \to 0\), \(\lambda_i = \bar{\lambda}_i\). […] \(u \geq 0 \Longleftrightarrow \lambda_i \geq 0\) […]. la somme est écrite avec des \(\rho_i\) et le commentaire avec des \(\lambda_i\) ; on transcrit ce qui est écrit Corollaire Valeur d'une fonction positive […] compact […].

Décomposition canonique Décomposition polaire. Soit \(u : E \to F\) […] on introduit « introduit » est ajouté au-dessus de la ligne \(\sqrt{u^{*}u}\) […] positif dans \(E\), et \[ \|\,|u|.x\,\| = \|ux\| \ill{}, \quad \text{\uncertain{d'où}}\quad ux = U|u|x, \] où \(U\) : isométrie définie […] sur \(|u|(E)\), et prolongée par […] en […]. De même […] une isométrie partielle de […] […] \(|u|(E) \subset E\). Et […] \(=\) […]. \(|u| = Vu\), où \(V : F \to E\) est une […] […], l'adjoint […] \(u(E) \subset F\). D'où \[ \text{(***)}\qquad u = U|u| \qquad |u| = Vu \qquad (\|U\| \leq 1,\ \|V\| \leq 1) \] cerné d'un trait En particulier \(\|u\| = \|\,|u|\,\|\) encadré au crayon rouge réunis […] \(\|u^{*}u\| = \|u\|^{2}\).

en marge gauche, à hauteur de la décomposition spectrale de \(|u|\) : « Rq »

Décomposition spectrale lemme \(|u| = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\) (les \(\rho_i > 0\)) […] avec \[ \text{(****)}\qquad u = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i, \qquad \text{\uncertain{où} } f_i = Ue_i, \] cerné d'un trait ; le \(\bar{e}_i\) porte un trait de plus, raturé les […] orthonormés […] avec […] ; Réciproquement […] \(u^{*} = \sum \rho_i\, \bar{f}_i \otimes\) […] décomposition, on tire \(|u| = \sum \rho_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\), […] les valeurs propres de \(|u|\), et la propriété correspondante […]. On tire \[ u^{*} = \sum \rho_i\, \bar{f}_i \otimes e_i, \quad \text{\uncertain{donc}}\ \ill{} \] valeurs […] propres […] \(|u^{*}|\) […] les mêmes […] \(|u^{*}| = \sum \rho_i\, \bar{f}_i \otimes f_i\) […], et […] \(u\) […] la dernière ligne, en bas du feuillet, est perdue dans une déchirure

38Rappelons la caractérisation

Notations \((\lambda_i(u))\) si \(u \in L_0(E)\) : c'est la suite des […] valeurs propres de \(u\), rangées par valeurs absolues décroissantes, avec répétition […] (si le nombre des […] est fini, soit \(n\), « soit \(n\) » ajouté au-dessus il y a lieu d'attacher […] en interligne : « (si le rang est fini […] nulle […]) » […] à \(\lambda_i(u)\) une […]. De plus \[ \rho_n(u) = \lambda_n(|u|) \qquad \text{\uncertain{pour} } u \in L_0(E, F). \] encadré au crayon rouge, ici et pour les quatre autres formules encadrées de cette page ; \(L_0\) désigne les opérateurs compacts Donc \(\rho_n(u)\) est une suite décroissante à valeurs positives. […] les […] Lemme : \[ |\lambda_1(u)| \leq \rho_1(u) = \|u\| \qquad\qquad \rho_n(u) = \rho_n(u^{*}) \] les deux formules sont encadrées séparément ; l'indice de la première se lit \(1\)

Si \(h\) est hermitien positif, on a : \[ \rho_n(h) = \operatorname{Inf}_{E_{n-1}}\ \struck{\sup_{x \in F}\|hx\|}\ \sup_{\substack{x \in E_{n-1}^{\perp}\\ \|x\| \leq 1}} (hx, x) \] cerné d'un trait ; le sup biffé est écrit en surcharge ; l'exposant du domaine de \(x\) est une lecture \(h_F\) […] où \(E_{n-1}\) parcourt les variétés […] de dimension \(n-1\) « parcourt » est ajouté au-dessus, et « les » à sa suite (caractérisation […] \((hx, y)\) forme hermitienne […] positive […]).

en marge gauche, au crayon rouge, à hauteur de la formule pour \(\rho_n(h)\) : « Rq »

On en conclut […] \[ \rho_n(u)^{2} = \rho_n(u^{*}u) = \operatorname{Inf}_{F_n}\ \sup_{\substack{x \in F_n\\ \|x\| \leq 1}} \|ux\|^{2}, \quad \text{\uncertain{d'où} \uncertain{aussi}} \] \(\rho_n(u) = \operatorname{Inf} \sup_{x \in F_n} \|ux\|\) \(\rho_n(u^{*}u) = \operatorname{Inf} \sup_{x \in F_n} \|u^{*}ux\|\) \[ = \operatorname{Inf}_{E_n}\ \sup_{\substack{x \in E_{n-1}\\ \|x\| \leq 1}} \|hx\|^{2} \qquad (h \geq 0) \struck{\ill{}} \] […] avec \(h = |u|\) \[ \rho_n(u) = \operatorname{Inf}_{F_n}\ \sup_{\substack{x \in E_{n-1}\\ \|x\| \leq 1}} \|ux\| \] cerné d'un trait ; les indices des variétés oscillent entre \(E_{n-1}\), \(E_n\) et \(F_n\) d'une ligne à l'autre, on transcrit ce qui est écrit On en conclut aussitôt : \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_n(uv) \leq \|u\|\,\rho_n(v) \\ \rho_n(uv) \leq \|v\|\,\rho_n(u) \end{array}\right. \] encadré au crayon rouge Et de même : \(\rho_n(h)\) est fonction croissante de l'hermitien positif \(h\). Caractérisation […] \(u \in L_0(E, F)\) […] une ligne de formule entièrement gribouillée On a […] Inégalités Les inégalités de Ky Fan : \[ \left\{ \begin{array}{l} \rho_{m+n-1}(AB) \leq \rho_m(A)\,\rho_n(B) \\ \rho_{m+n-1}(A+B) \leq \rho_m(A) + \rho_n(B) \end{array}\right. \] encadré au trait ; les indices se lisent \(m+n-1\) ; en marge gauche, au crayon rouge, un point d'interrogation

39Le feuillet porte « II » en tête ; il est le seul des quatre à porter un numéro. Sa moitié médiane, de la proposition à « \(u = \sum \rho_i \bar{e}_i \otimes f_i\) », est annulée par trois grands zigzags qui la traversent de haut en bas ; on transcrit ce qui se lit sous les traits.

II. Caractérisation des op. de Fredholm : \(u \in L^{1}(E, F) \Longleftrightarrow \sum \rho_i(u) < +\infty\), et alors on a \[ \|u\|_1 = \sum \rho_i(u) \] encadré au crayon rouge ; le \(L^{1}\) est écrit \(L^{(1)}\), exposant entre parenthèses

Corollaire 1 : Si \(u\) Fredholm \(\Longrightarrow |u|\) Fredholm, et \(\|u\|_1 = \|\,|u|\,\|_1 = \operatorname{Tr}|u|\).

Corollaire 2 : On a alors \[ |\operatorname{Tr} u| \leq \sum \rho_i(u)\,. \]

en marge gauche, en diagonale : « Notation \(E \mathbin{\hat{\otimes}} F\), \(L^{(1)}(E, F)\) et \(n \leq \dim E, \dim F\) » ; au-dessous, souligné : « Théorie de Dixmier »

Proposition […] si \(u \in L_0(E, F)\) : \[ \sum_{1}^{n} \rho_i(u) = \sup_{\substack{v_n \in L(F, E)\\ \|v_n\| \leq 1\\ \operatorname{rang} v_n \leq n}} |\operatorname{Tr} v_n u| \] cerné d'un trait ; sous le sup, « \(v_n\) quelconque » et une seconde ligne sont biffés ; les trois conditions sont écrites à droite, derrière une barre verticale i.e. la borne sup […] est atteinte […] lorsque les \(v_n\) sont […] \(v_n = p_n\) […] dans les […] de dim \(E \geq n\). En effet, on a […] soit […] \(v_n u\) […] avec […] hermitien […] si […], alors \[ \operatorname{Tr} p_n v_n = \operatorname{Tr} p_n v_n = \operatorname{Tr} p_n v_n p_n, \] ainsi sur la page, les deux premiers membres identiques […] \(p_n v_n p_n = p_n(E)\), […] \(|\operatorname{Tr} p_n u| = |\operatorname{Tr} v| \leq \struck{\ill{}} \sum_{1}^{n} \rho_i(v)\), […] \(\rho_i(v) = \rho_i(p_n u p_n) \leq \rho_i(u)\), d'où \(|\operatorname{Tr} p_n u| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(u)\). D'autre part […] \(|\operatorname{Tr} p_n u| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(u)\), et si \(u = \sum_{1}^{\infty} \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\), […] alors \(\sum_{1}^{n} \rho_i(v_n u) \leq \rho_i(u)\,\|v_n\| = \rho_i(u)\), l'inégalité […] \(|\operatorname{Tr} v_n u| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(u)\), […] et \(u = p_n\) […], et \(\operatorname{Tr} w = \operatorname{Tr} p_n w p_n\) […], on sait \(w'\) […] \(|\operatorname{Tr} w| \leq\) […] d'où \(|\operatorname{Tr} w'| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(w')\) […] \(\leq \rho_i(w)\) […] \(\rho_i(w') \leq \rho_i(w)\) […] et […] la borne […] prend \(u = \sum_{i=1}^{n} \rho_i\, \bar{e}_i \otimes f_i\), et […]

en marge gauche, sideways, sur sept lignes : \(|\operatorname{Tr} v_n u| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(u)\), […] conséquence […] ; d'où […] \(\rho_i(u)\) […] ; alors […] \(|\operatorname{Tr} u| \leq \sum \rho_i(u)\) […] les […] \(E_n\) […] ; de rang \(\leq n\) […] \(u(E)\), donc ; […] \(|\operatorname{Tr} v_n u| \leq \sum_{1}^{n} \rho_i(u)\) […] ; \(v = v^{*}\) […] \(u(E)\) […] ; atteinte […]

prend \(v_n = \sum_{j=1}^{n} \bar{f}_j \otimes e_j\), […] \(v_n u = \sum_{j \leq n} \rho_j\, \bar{e}_j \otimes e_j\) ([…]), dont la trace est \(\sum_{1}^{n} \rho_i\) ; si \(u\) était supposé hermitien (\(f_i = e_i\)) on aurait un projecteur hermitien […] dans la proposition. en marge gauche de ces lignes, « (?) »

Corollaire 3 Soient \(u, v \in L_0(E, F)\), alors \[ \sum_{1}^{n} \rho_i(u + v) \leq \sum_{1}^{n} \bigl(\rho_i(u) + \rho_i(v)\bigr) \] encadré au crayon rouge ; le numéro du corollaire est surchargé et \(\|u + v\|_1 \leq \|u\|_1 + \|v\|_1\). On voit ainsi que \(\sum_{i \geq 1} \rho_i\) est une norme […] sur \(L_0(E, F)\). […]

40Définition de \(L^{p}(E, F)\) et de […] \[ \left\{ \begin{array}{l} \|u\|_p = \Bigl(\displaystyle\sum \rho_i(u)^{p}\Bigr)^{1/p} \\[2ex] S_p(u) = \displaystyle\sum \bigl(\rho_i(u)\bigr)^{p} \end{array}\right. \] au-dessus du \(\rho_i(u)\) de la seconde ligne, un « \(T\) » ; la lettre devant l'accolade est raturée Cas des variantes […] avec \(p = +\infty\), \(p = 1\). la page s'arrête après trois lignes ; le reste du feuillet ne porte que le verso par transparence. Le lot s'achève ici.