Cote n° 1 · pages 1–149 · Lecture modernisée · Analyse fonctionnelle : notes manuscrites (s.d.), lettre (1953) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1953
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Cent quarante-neuf pages, huit lots de transcription, au moins quatre papiers et trois encres : le carton n'est pas un texte mais un chantier, et il faut dire d'abord ce qu'il construit, dans quel ordre il le construit, et avec quels mots.

2–2

Les stations

• Page 2 — le plan, de sa main, en sept numéros : réarrangements de fonctions, fonctions de Weyl, inégalités, mesures spectrales d'un opérateur, compléments sur le déterminant, les inégalités pour \(AB\), autres inégalités.
• Pages 3 à 5 — un fragment étranger au plan, sur les multiplicateurs d'une \(C^{*}\)-algèbre dans son bidual.
• Pages 6 à 35 — les numéros 1 à 6 du plan : réarrangements décroissants de fonctions, fonctions de Pólya et de Weyl, inégalités de majoration, puis tout cela transporté dans une algèbre de von Neumann munie d'une trace — réarrangement spectral d'un opérateur, déterminant, inégalité \(\Delta_{AB}(t) \leq \Delta_A(t)\,\Delta_B(t)\) et ses conséquences ; une seconde mouture des propositions clefs aux pages 34 et 35.
• Pages 37 à 41 — des « Préliminaires » sur les opérateurs compacts d'un espace de Hilbert : décomposition polaire, valeurs singulières, inégalités de Ky Fan, opérateurs à trace, dual des opérateurs compacts.
• Pages 43 à 57 — « 2. Produits tensoriels hilbertiens » : l'espace conjugué, \(E \mathbin{\hat\otimes}_2 F\), les opérateurs de Hilbert–Schmidt et les opérateurs à trace, leurs normes et leur dualité.
• Pages 58 à 69 — « 3. Produits extérieurs hilbertiens » : \(\Lambda^n E\) comme espace de Hilbert, l'inégalité de Hadamard, les puissances extérieures d'un opérateur, et les inégalités de Weyl \(|\lambda_1 \cdots \lambda_n| \leq s_1 \cdots s_n\) et de Horn \(\prod_{i \leq n} s_i(uv) \leq \prod_{i \leq n} s_i(u)\,s_i(v)\).
• Pages 70 à 79 — « Puissances extérieures d'opérateurs de Fredholm » en deux états, la mise au net (70 à 73) et son brouillon (76 à 79) : \(\det(1+zu) = \prod(1+z\lambda_i)\), la formule de trace \(\operatorname{Tr} u = \sum \lambda_i\), et les inégalités \(\det(1+r|u+v|) \leq \det(1+r|u|)\det(1+r|v|)\). Entre les deux, aux pages 74 et 75, la sous-additivité de \(\sum f(s_i)\) et une question ; page 80, une feuille sur les fonctions convexes.
• Pages 81 à 92 — « 4. Inégalités de convexité » : le lemme de majoration de Weyl et ses trois théorèmes de convexité dans l'espace de Hilbert, dont l'inégalité de Hölder et l'inégalité triangulaire des normes de Schatten.
• Pages 93 à 104 — « 5. Classes remarquables d'opérateurs » et « Espaces de Schatten » : normes symétriques, espaces \(\ell^N\) et \(\ell_N\), norme polaire, dualité, puis les classes \(\mathcal{S}^N(E,F)\) et \(\mathcal{S}_N(E,F)\) et le théorème récapitulatif en cinq points.
• Pages 106 à 118 — des rappels sur les fonctions entières : Weierstrass, Hadamard–Borel, genre et ordre, exposant de convergence, fonction de comptage des zéros et formule de Jensen.
• Pages 119 à 121 — « Sur une certaine fonction holomorphe sur l'espace de Banach \(\ell^1\) ».
• Pages 123 à 125 — cinq corollaires encadrés, jusqu'à \(\det(1+|A+B|) \leq \det(1+|A|)\det(1+|B|)\).
• Pages 126 à 139 — un « Théorème » sur les classes \(\mathcal{S}_p(H)\) pour \(0 < p \leq \infty\), et sa démonstration analytique complète.
• Pages 141 à 147 — la convergence dans \(\mathcal{S}_p\) : critère pour les suites d'hermitiens, continuité de \(A \mapsto |A|^r\), un lemme sur les petites valeurs singulières, et des questions.
• Pages 148 et 149 — l'opérateur \(R(u) = \det(1+u)\,(1+u)^{-1}\) et ses bornes.

L'ordre du carton n'est pas celui de l'écriture

Trois indices, pris dans les pages elles-mêmes, fixent une chronologie que la cote ne respecte pas. Page 129, pour l'inégalité \(\sum |\lambda_i|^p \leq \sum s_i^p\), il écrit « je ne connais qu'une méthode analytique », et en donne une par les zéros de \(\det(1 - zA)\) ; page 88, la même inégalité est un corollaire en deux lignes du lemme de Weyl. Page 93, il annonce « un exposé de la théorie de Schatten, simplifié par les inégalités de convexité de Weyl ». Page 132, il note qu'une preuve directe de l'inégalité de Hölder « suffirait pour démontrer directement, comme nous le verrons plus bas, la formule (6) dans le cas général », et les pages 81 à 92 sont ce « plus bas ». Les pages 123 à 149 sont donc l'état ancien, celui d'avant le lemme de Weyl ; les pages 37 à 104 l'état récent ; et les rappels sur les fonctions entières des pages 106 à 118 servent la démonstration de la page 79. Cette lecture suit l'ordre des pages, mais dit à chaque fois lequel des deux états on lit.

Les conventions, valables pour tout le dossier

\(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont des espaces de Hilbert complexes ; \(L(E,F)\) les opérateurs bornés, \(L_0(E,F)\) les compacts. Pour \(u\) compact, \(|u| = (u^{*}u)^{1/2}\) et \(s_1(u) \geq s_2(u) \geq \cdots\) sont ses valeurs singulières, les valeurs propres de \(|u|\) rangées en décroissant, répétées selon leur multiplicité.¹ \(\mathcal{S}_p(E,F)\), \(0 < p \leq \infty\), est la classe des \(u\) compacts avec \(\|u\|_p = (\sum s_i(u)^p)^{1/p} < \infty\), et \(S_p(u) = \|u\|_p^p\) ; \(\mathcal{S}_\infty = L_0\) avec la norme d'opérateur.² Un point de vocabulaire domine tout : ce que ces pages appellent opérateur de Fredholm, c'est un opérateur à trace, un élément de \(\mathcal{S}_1\) — l'opérateur pour lequel le déterminant de Fredholm \(\det(1+zu)\) a un sens. Ce n'est pas l'opérateur « de Fredholm » de la théorie de l'indice, et on écrit ici à trace partout.³ \(\operatorname{Tr}\) est la trace, \(\det(1+u) = \prod (1+\lambda_i(u))\) le déterminant de Fredholm, \(\alpha_n(u)\) le coefficient de \(z^n\) dans \(\det(1+zu)\), et \(\Lambda^n u\) la puissance extérieure.

Pour les fonctions (pages 6 à 17) : \((M,m)\) est un espace mesuré, \(\varphi_f\) le réarrangement décroissant d'une fonction mesurable positive \(f\) — ce que l'on note aujourd'hui \(f^{*}\) —, et \(\Phi_f(t) = \int_0^t \varphi_f\), \(\Psi_f(t) = \int_0^t \log\varphi_f\), \(\Delta_f = \exp\Psi_f\). Ces lettres sont celles du dossier et on les garde, parce que les mêmes reviennent pour les opérateurs.

Pour les algèbres (pages 18 à 35) : \(\mathcal{M}\) est une algèbre de von Neumann, \(\tau\) une trace normale, semi-finie et fidèle sur \(\mathcal{M}^{+}\), \(\mathfrak{a}\) son idéal de définition, \(\mathfrak{b}\) l'adhérence en norme de \(\mathfrak{a}\), \(\mathcal{P}\) l'ensemble des projecteurs de \(\mathcal{M}\).⁴ Le réarrangement spectral \(\varphi_A\) d'un \(A \in \mathfrak{b}\) est ce que l'on appelle depuis Fack et Kosaki (1986) la fonction \(t \mapsto \mu_t(A)\) des nombres singuliers généralisés ; \(\Delta_A(t) = \exp\int_0^t \log\varphi_{|A|}\) et \(\Delta(A) = \Delta_A(\tau(1))\) est le déterminant de Fuglede–Kadison (1952).

Deux choses annoncées ne sont pas dans le carton. Le plan de la page 2 promet un « N° 7, autres inégalités » qui n'existe nulle part. Et la page 126 annonce en marge « ② Dual de \(\mathcal{L}^p\) ; réflexivité » sans que ce point soit traité dans ce théorème-là ; il l'est, pour les normes de Schatten générales, aux pages 98 à 104. L'inventaire mentionne enfin une « lettre (1953) » : aucune page transcrite ne porte d'adresse ni de signature, et cette lecture ne désigne pas laquelle serait la lettre.

3–5

Les multiplicateurs d'une \(C^{*}\)-algèbre (pages 3 à 5)

Trois pages pliées, d'une encre à part, qui ne tiennent au reste que par le sujet des algèbres d'opérateurs. Soit \(C\) une \(C^{*}\)-algèbre et \(C''\) son bidual, muni de sa structure d'algèbre de von Neumann enveloppante ; \(C\) s'y plonge. Un endomorphisme linéaire continu \(T\) de \(C\) qui commute aux translations à droite, \(T(xy) = T(x)\,y\), a un bitransposé \(T''\) qui commute aux mêmes translations sur \(C''\), donc est de la forme \(x \mapsto ux\) pour un \(u \in C''\) ; ces \(u\) forment l'algèbre \(\Gamma_g\) des \(u \in C''\) tels que \(uC \subset C\), et \(T \mapsto u\) est un isomorphisme d'algèbres normées de l'algèbre de ces endomorphismes sur \(\Gamma_g\).⁵ Soit \(\Gamma\) l'ensemble des \(u \in C''\) tels que \(uC \subset C\) et \(Cu \subset C\) : c'est une sous-\(C^{*}\)-algèbre de \(C''\), l'algèbre des multiplicateurs de \(C\), \(M(C)\) en notation d'aujourd'hui.

Théorème. Soit \(R\) une algèbre de von Neumann contenant \(C\) comme sous-algèbre faiblement dense, et \(\Gamma_1\) l'ensemble des \(x \in R\) tels que \(xC \subset C\) et \(Cx \subset C\). Alors \(\Gamma_1\) et \(\Gamma\) sont canoniquement isomorphes.

Voici les deux applications. Pour \(u \in \Gamma_1\), la translation \(x \mapsto ux\) est un endomorphisme de \(C\) commutant aux translations à droite, donc définit \(\varphi(u) \in \Gamma_g\) ; comme \(u^{*} \in \Gamma_1\) aussi, \(\varphi(u) \in \Gamma\), et \(\varphi\) est un morphisme d'algèbres involutives. On a \(\varphi(u) = \lim ux = \lim xu\) au sens faible, \(x\) parcourant une unité approchée de \(C\), soit \(\langle \varphi(u), f\rangle = \lim \langle ux, f\rangle\) pour \(f \in C'\). Dans l'autre sens, \(C\) étant faiblement dense dans \(R\), l'inclusion se prolonge en un morphisme normal \(\psi : C'' \to R\), et \(\psi(\Gamma) \subset \Gamma_1\) ; le prédual \(R_{*}\) s'identifie à une partie de \(C'\) par restriction. Alors \(\psi\varphi = 1\) sur \(\Gamma_1\) : pour \(u \in \Gamma_1\), \(v = \varphi(u)\) et \(f \in R_{*}\), \(\langle \psi v, f\rangle = \langle v, f|_C\rangle = \langle u, f\rangle\). Et \(\varphi\psi = 1\) sur \(\Gamma\) : il suffit qu'un \(x \in \Gamma\) avec \(\psi(x) = 0\) soit nul, or pour \(y \in C\) on a \(xy \in C\), donc \(xy = \psi(xy) = \psi(x)\,y = 0\), et \(x = 0\) puisque \(C\) a une unité approchée. Donc \(\varphi\) est un isomorphisme de \(\Gamma_1\) sur \(\Gamma\), d'inverse \(\psi\).⁶

6–10

Réarrangements décroissants et déterminant d'une fonction (pages 6 à 10)

C'est le « N° 1 » du plan. Soit \(f\) une fonction mesurable complexe sur \((M,m)\). On dit que \(f\) admet une mesure spectrale si l'image de \(m\) par \(f\) est une mesure de Radon sur \(\mathbf{C}^{*} = \mathbf{C} \smallsetminus \{0\}\), autrement dit si \(|f|^{-1}([a,b])\) est de mesure finie pour \(0 < a < b\) ; cette mesure est notée \(\mu_f\), et \[ \langle \alpha, \mu_f\rangle = \int_M \alpha\circ f\, dm \] pour \(\alpha\) continue à support compact dans \(\mathbf{C}^{*}\). Elle est positive, portée par \(\mathbf{R}^{*}\) si \(f\) est réelle, par \(\mathbf{R}^{*}_{+}\) si \(f\) est positive. Deux fonctions, sur deux espaces mesurés, sont spectralement équivalentes — on dit aujourd'hui équimesurables — si elles ont même mesure spectrale.

Proposition 1. Une fonction positive décroissante \(\varphi\) sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\) admet une mesure spectrale si et seulement si elle tend vers \(0\) à l'infini, et alors \(\int_1^\infty d\mu_\varphi < \infty\). Réciproquement, toute mesure positive \(\mu\) sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\) avec \(\int_1^\infty d\mu < \infty\) est la mesure spectrale d'une fonction positive décroissante et d'une seule, à un ensemble négligeable près : celle qui vérifie, pour presque tout \(t\), \[ t = \int_{\varphi(t)}^{\infty} d\mu(s), \] c'est-à-dire l'inverse généralisée de \(s \mapsto \mu(]s,\infty[)\).

Corollaire. Une fonction mesurable positive \(f\) sur \(M\) est équimesurable à une fonction décroissante sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\) si et seulement si \(f^{-1}([a,\infty[)\) est de mesure finie pour tout \(a > 0\) ; cette fonction décroissante est alors unique, c'est le réarrangement décroissant \(\varphi_f\) de \(f\), et deux telles fonctions sont équimesurables si et seulement si elles ont même réarrangement. On a, en identifiant une partie mesurable \(E\) à sa fonction caractéristique, \[ \varphi_f(t{-}0) = \inf_{m(E) < t} \|(1-E)f\|_\infty, \qquad \varphi_f(t{+}0) = \inf_{m(E) \leq t} \|(1-E)f\|_\infty . \] ⁷ De là les règles, pour \(f\), \(g\) positives admettant un réarrangement : \(\varphi_f \leq \varphi_g\) si \(f \leq g\) ; \(\varphi_{\lambda f} = \lambda\varphi_f\) pour \(\lambda \geq 0\) ; \(\varphi_{\alpha(f)} = \alpha(\varphi_f)\) pour \(\alpha\) croissante sur \(\mathbf{R}_{+}\) nulle en \(0\), en particulier \(\varphi_{f^\alpha} = \varphi_f^\alpha\) ; \(\varphi_{f+g} \leq \varphi_f + \varphi_g\) ; \(\varphi_{fg} \leq \varphi_f\varphi_g\).⁸ Une bulle marginale note ce qui justifie tout : \(\int_M f\,dm = \int_0^\infty \varphi_f(t)\,dt\), et de même pour toute fonction symétrique de \(f\), \(N_p(f) = N_p(\varphi_f)\).

Supposons \(\varphi_f\) sommable au voisinage de \(0\), ce qui revient à \(\int^\infty s\,d\mu_f(s) < \infty\), et posons \[ \Phi_f(t) = \int_0^t \varphi_f(s)\,ds, \qquad \Psi_f(t) = \int_0^t \log\varphi_f(s)\,ds, \qquad \Delta_f(t) = \exp\Psi_f(t) . \] \(\Phi_f\) est continue, croissante et concave. \(\Psi_f\) a un sens dès que \(\log f\) est sommable sur \(\{f \geq 1\}\) ; elle est concave, à valeurs dans \([-\infty, +\infty[\), et vaut \(-\infty\) à partir de \(t_0 = m(\{f \neq 0\})\) si celui-ci est fini. \(\Delta_f\) est continue, croissante puis nulle à partir de \(t_0\). Les règles ci-dessus donnent les inégalités correspondantes, dont les plus importantes sont \[ \Psi_{fg} \leq \Psi_f + \Psi_g, \qquad \Delta_{fg} \leq \Delta_f\,\Delta_g . \] Pour une fonction mesurable quelconque on pose enfin \[ \Delta(f) = \Delta_{|f|}(m(M)) = \exp\int_M \log|f|\,dm, \] qui existe, avec \(0 \leq \Delta(f) < \infty\), dès que \(\log|f|\) est sommable sur \(\{|f| > 1\}\) ; \(\Delta\) a les propriétés d'un module de déterminant, \(\Delta(fg) = \Delta(f)\Delta(g)\) et \(\Delta(1) = 1\).⁹ Si \(m(M) < \infty\) et \(f \geq 0\), on a \(\varphi_{1+f} = 1 + \varphi_f\) sur \(]0, m(M)[\), ce qui permet de définir \(\Delta_{1+f}(t) = \exp\int_0^t \log(1+\varphi_f)\) dès que \(\Phi_f\) existe, avec \(\Delta_{1+f}(m(M)) = \Delta(1+f)\).

Pour une fonction réelle \(f\) sur un \(M\) de mesure finie, la même proposition 1 — appliquée à \(\mu_f\) sur \(\mathbf{R}^{*}\), qui porte la masse totale \(m(M)\) — donne une fonction décroissante \(\varphi_f\) et une seule sur \(]0, m(M)[\) équimesurable à \(f\), encore appelée réarrangement décroissant. Le résultat suivant est classique :

Proposition 2 (Hardy–Littlewood). Pour \(f\), \(g\) réelles mesurables sur \(M\) de mesure finie, telles que \(fg\) soit sommable, \[ \int_M fg\,dm \leq \int_0^{m(M)} \varphi_f\,\varphi_g\,ds . \] ¹⁰

11–15

Fonctions de Pólya et fonctions de Weyl (pages 11 à 15)

Le « N° 2 » construit les fonctionnelles pour lesquelles les réarrangements sont la bonne variable. Soit \(I = ]0,\omega[\) avec \(0 < \omega \leq \infty\), et \(K^\infty(I)\) l'espace des fonctions mesurables bornées à support de mesure finie dans \(I\).

Définition 1. Une fonction de Pólya sur \(I\) est une fonction \(P : K^\infty(I) \to \mathbf{R}\) telle que

• \(P_1\))\(P\) est symétrique : \(P(f) = P(g)\) si \(f\) et \(g\) sont équimesurables ;
• \(P_2\))\(P\) est convexe ;
• \(P_3\))pour tout \(K \subset I\) de mesure finie et toute suite bornée \((f_i)\) dans \(L^\infty(K)\) convergeant en mesure vers \(f\), on a \(P(f) \leq \liminf P(f_i)\).

En fait \(P_3\) équivaut à la condition apparemment plus forte \(P_3'\) : \(P\) est semi-continue inférieurement pour la topologie faible \(\sigma(L^\infty(K), L^1(K))\) sur les parties bornées de \(L^\infty(K)\). Car pour tout \(a\) l'ensemble convexe \(A = \{f \in L^\infty(K) : P(f) \leq a\}\) est, par \(P_3\), fermé pour la convergence en mesure sur les boules de \(L^\infty(K)\), donc fermé pour la norme de \(L^1(K)\) sur ces boules ; or un convexe de \(L^\infty(K) = (L^1(K))'\) dont l'intersection avec chaque boule est fermée pour la norme de \(L^1\) — a fortiori pour \(\sigma(L^\infty, L^1)\) — est faiblement fermé.¹¹ Une fonction sur \(K^\infty(]0,\infty[)\) est de Pólya si et seulement si sa restriction à chaque \(L^\infty(]0,\omega[)\), \(\omega < \infty\), l'est.

Définition 2. Une fonction de Weyl sur les fonctions positives de \(K^\infty(I)\) est une fonction \(W\) telle que \(f \mapsto W(e^{f})\) soit une fonction de Pólya. Les fonctions de Weyl et les fonctions de Pólya se correspondent donc par \(W(g) = P(\log g)\), \(P(f) = W(e^f)\).¹²

Représentation. Soit \(K \subset I\) de mesure finie et \(P\) une fonction de Pólya sur \(L^\infty(K)\). L'épigraphe \(\{(\lambda, f) : \lambda \geq P(f)\}\) est convexe (\(P_2\)) et fermé (\(P_3'\)) dans \(\mathbf{R} \times L^\infty(K)\) pour la topologie faible, donc, par Hahn–Banach, intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent : \(P(f) = \sup_i (L_i(f) + a_i)\) avec \(L_i \in L^1(K)\) et \(a_i \in \mathbf{R}\). Par \(P_1\), \(P(f) \geq L_i(g) + a_i\) pour toute \(g\) équimesurable à \(f\), et le supremum de \(\int L_i g\) sur ces \(g\) est \(\int \varphi_{L_i}\varphi_f\) par la proposition 2 — le sup étant atteint — d'où, en posant \(\varphi_i = \varphi_{L_i}\), \[ P(f) = \sup_{i \in I}\Bigl( a_i + \int_0^{\omega} \varphi_i\,\varphi_f \Bigr), \] les \(\varphi_i\) étant des fonctions décroissantes sommables sur \(]0, |K|]\). Réciproquement toute fonction de cette forme est de Pólya, et elle est croissante si les \(\varphi_i\) sont positives. On peut prendre les \(\varphi_i\) nulles sur \([|K|, \infty[\), et la formule s'écrit \(P(f) = P^{*}(\varphi_f)\) où \(P^{*}(\varphi) = \sup_i (a_i + \int_0^\infty \varphi_i\varphi)\) est une fonction de Pólya sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\).¹³

Exemples de fonctions de Weyl. Soit \(\alpha\) une fonction sur \(\mathbf{R}_{+}\), nulle en \(0\), telle que \(s \mapsto \alpha(e^s)\) soit convexe. Alors \(W_\alpha(f) = \int_0^\omega \alpha(\varphi_f)\) est une fonction de Weyl, croissante si et seulement si \(\alpha\) l'est. Pour \(\alpha_p(s) = s^p\), \(0 < p < \infty\), on trouve \(W_{\alpha_p}(f) = \int |f|^p = N_p(f)^p\). Une fonction de Weyl croissante sur les fonctions positives de \(K^\infty\) s'étend à toute fonction mesurable positive \(f\) sur un espace mesuré quelconque par \(W(f) = \sup\{W(\varphi_g) : 0 \leq g \leq f,\ g \in K^\infty\}\), et l'on a \(W(f) = W(\varphi_f)\), \(W(f) = W(\varphi_{|f|})\) pour \(f\) complexe.

16–17

Les inégalités de majoration (pages 16 et 17)

Le « N° 3 » est court, et il contient la moitié de tout ce qui suit. Soit \(0 < \omega < \infty\).

Proposition 4. Soient \(f\), \(g\) décroissantes et localement sommables sur \(]0,\omega[\) telles que \[ \int_0^t f \leq \int_0^t g \qquad \text{pour } 0 \leq t \leq \omega . \] Alors \(P(f) \leq P(g)\) pour toute fonction de Pólya croissante \(P\) sur \(L^\infty(]0,\omega[)\). (La réciproque est triviale : pour tout \(t\), \(f \mapsto \int_0^t \varphi_f\) est une fonction de Pólya croissante.)

Par la représentation du numéro 2, il suffit de prouver \(\int_0^\omega f\varphi \leq \int_0^\omega g\varphi\) pour \(\varphi\) positive, décroissante et sommable, ce qui résulte de l'hypothèse par intégration par parties : avec \(F(t) = \int_0^t f\), \[ \int_0^\omega f\varphi = \varphi(\omega)F(\omega) + \int_0^\omega F\,(-d\varphi), \] et les deux termes croissent avec \(F\) puisque \(\varphi(\omega) \geq 0\) et \(-d\varphi \geq 0\).

Remarque. Si de plus \(\int_0^\omega f = \int_0^\omega g\), le premier terme est le même pour \(f\) et \(g\) et l'on n'a plus besoin de \(\varphi \geq 0\) : la proposition vaut alors pour toute fonction de Pólya, croissante ou non.¹⁴

Corollaire 1. Soient \(f\), \(g\) positives sur \(M\) telles que \(\Delta_f(t) \leq \Delta_g(t) < \infty\) pour \(0 \leq t \leq \omega\). Alors \(W(f) \leq W(g)\) pour toute fonction de Weyl croissante \(W\) sur les fonctions positives de \(K^\infty(]0,\omega[)\). On se ramène à \(M = ]0,\omega[\) et à \(f = \varphi_f\), \(g = \varphi_g\), puis on applique la proposition 4 à \(\log f\), \(\log g\) et à la fonction de Pólya croissante \(h \mapsto W(e^h)\).

18–27

Réarrangement spectral d'un opérateur dans une algèbre de von Neumann (pages 18 à 27)

Le « N° 4 » transporte le numéro 1 dans une algèbre de von Neumann \(\mathcal{M}\) munie d'une trace \(\tau\) normale, semi-finie et fidèle : une fonction \(\tau : \mathcal{M}^{+} \to [0,+\infty]\), additive, positivement homogène, invariante par les unitaires, telle que \(\tau(\sup A_i) = \sup \tau(A_i)\) pour toute famille filtrante croissante majorée, telle que tout \(A > 0\) majore un \(B > 0\) avec \(\tau(B) < \infty\), et telle que \(\tau(A) = 0\) entraîne \(A = 0\). Les \(A \geq 0\) avec \(\tau(A) < \infty\) forment le cône positif d'un idéal bilatère involutif \(\mathfrak{a}\), sur lequel \(\tau\) se prolonge en une forme linéaire vérifiant \(\tau(AB) = \tau(BA)\) pour \(A \in \mathfrak{a}\), \(B \in \mathcal{M}\). On note \(\mathfrak{b}\) l'adhérence en norme de \(\mathfrak{a}\) ; c'est un idéal bilatère involutif fermé, égal à \(\mathcal{M}\) si et seulement si \(\tau\) est finie.¹⁵

Proposition 1. Un projecteur de \(\mathfrak{b}\) est dans \(\mathfrak{a}\). Si \(\mathcal{C} = C_0(M)\) est une sous-algèbre commutative involutive de \(\mathfrak{b}\), alors \(K(M) \subset \mathfrak{a}\), où \(K(M)\) désigne les fonctions continues à support compact.

Pour la première assertion, si \(E = \lim A_i\) en norme avec \(A_i \in \mathfrak{a}\), on a \(E = \lim A_i^{*}A_i = \lim E A_i^{*} A_i E\), donc \(E\) est limite de \(D_i \in \mathfrak{a}\) avec \(0 \leq D_i \leq E\) ; dès que \(\|E - D_i\| \leq \frac12\) on a \(E \leq 2D_i\), donc \(E \in \mathfrak{a}\). Pour la seconde, une \(f \in K^{+}(M)\) est majorée par la fonction caractéristique d'un compact \(K\), elle-même majorée par une \(g \in K^{+}(M)\) ; l'opérateur \(U_{1_K}\) de multiplication par \(1_K\) est un projecteur, majoré par \(U_g \in \mathfrak{b}\), donc dans \(\mathfrak{b}\), donc dans \(\mathfrak{a}\), et \(U_f \leq \|f\|_\infty U_{1_K}\) est dans \(\mathfrak{a}\). Page 21, la fin de la démonstration établit que si \(\mathcal{C}\) est commutative maximale dans \(\mathfrak{b}\), le commutant de \(\mathcal{C}\) dans \(E\mathcal{M}E\), pour \(E = U_{1_K}\), se réduit à \(\mathcal{C}(K)\).

Corollaire 1. Si \(\mathcal{C} = C_0(M)\) est une sous-algèbre commutative maximale de \(\mathfrak{b}\), la trace induit une mesure positive \(\mu\) sur \(M\) : \(f \in C_0(M)\) est dans \(\mathfrak{a}\) si et seulement si \(f\) est \(\mu\)-intégrable, et alors \(\tau(f) = \int f\,d\mu\).

Corollaire 2. Si \(A\) est un opérateur normal de \(\mathfrak{b}\) et \(f\) une fonction continue bornée sur \(\mathbf{C}\), nulle au voisinage de \(0\), alors \(f(A) \in \mathfrak{a}\).

Soit maintenant \(A\) normal dans \(\mathfrak{b}\). Il est contenu dans une sous-algèbre commutative involutive maximale \(C_0(M)\) de \(\mathfrak{b}\), comme fonction \(f\) sur \(M\) ; la mesure spectrale \(\mu_f\) de \(f\) pour la mesure \(\mu\) du corollaire 1 existe et ne dépend pas de \(\mathcal{C}\), car \[ \langle \varphi, \mu_f\rangle = \int_M \varphi\circ f\,d\mu = \tau(\varphi(A)) \qquad (\varphi \in K(\mathbf{C}^{*})) . \] On l'appelle mesure spectrale de \(A\) et on la note \(\mu_A\) ; sa masse est finie si et seulement si \(A \in \mathfrak{a}\), et alors \(\int z^n\,d\mu_A(z) = \tau(A^n)\) pour \(n \geq 1\). Si \(A \geq 0\), la fonction décroissante \(\varphi_A\) sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\) de mesure spectrale \(\mu_A\) est le réarrangement spectral de \(A\) ; on a \(\|\varphi_A\|_\infty = \|A\|\), et pour \(A \in \mathfrak{b}\) quelconque on pose \(\varphi_{|A|}\), puis \[ \Phi_A(t) = \int_0^t \varphi_A, \qquad \Psi_A(t) = \int_0^t \log\varphi_A, \qquad \Delta_A(t) = \exp\int_0^t \log\varphi_{|A|}(s)\,ds, \] et, si \(\omega = \tau(1) < \infty\), \(\Delta(A) = \Delta_A(\omega)\), avec \(0 \leq \Delta(A) < \infty\).¹⁶

Les pages 23 à 25, en grande partie biffées et reprises, remarquent qu'un point \(t \in M\) de masse \(\mu(\{t\}) > 0\) définit un projecteur minimal \(E = U_{1_{\{t\}}}\) de \(\mathcal{M}\), que \(\mathcal{M}\) se décompose alors en une somme directe dont le facteur porté par \(E\) est de type I avec \(\tau\) proportionnelle à la trace usuelle, et que, inversement, une algèbre à trace finie fidèle se plonge dans une algèbre continue en posant \(\tau(f) = \int_0^1 \tau(f(s))\,ds\) sur \(L^\infty([0,1]) \mathbin{\bar\otimes} \mathcal{M}\) ; le réarrangement d'un \(A \in \mathcal{M}\) est le même dans l'une et dans l'autre. C'est l'« astuce » que la page 34 nommera, et qui permet de supposer la trace continue.¹⁷

Proposition 6. Pour \(A \in \mathfrak{b}^{+}\) et \(t > 0\), \[ \varphi_A(t{-}0) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}\\ \tau(E) < t}} \ \sup_{x \in (1-E)H,\ \|x\| \leq 1} (Ax, x) = \inf_{\substack{E \in \mathcal{P}\\ \tau(E) < t}} \|(1-E)A(1-E)\| . \] Prenant \(E\) dans une sous-algèbre commutative maximale \(C_0(M)\) contenant \(A\), les projecteurs sont des fonctions caractéristiques et la formule (4) du numéro 1 donne l'inégalité \(\geq\) ; et pour tout projecteur \(E\) de \(\mathcal{M}\) avec \(\tau(E) < t\), si \(F\) est le projecteur spectral de \(A\) sur \([\varphi_A(t{-}0), \infty[\), on a \(\tau(F) \geq t > \tau(E)\), donc \((1-E)H \cap FH \neq 0\) et le sup est \(\geq \varphi_A(t{-}0)\).¹⁸

Corollaire 1. Pour \(A \in \mathfrak{b}\) quelconque, \(\varphi_{|A|}(t{-}0) = \inf_{\tau(E) < t} \|A(1-E)\|\).

Corollaire 2. Pour \(A \in \mathfrak{b}\), \(B \in \mathcal{M}\) : \(\varphi_{|BA|} \leq \|B\|\,\varphi_{|A|}\) et \(\varphi_{|AB|} \leq \|B\|\,\varphi_{|A|}\).

Corollaire 3. \(\varphi_A\) est fonction croissante de \(A \in \mathfrak{b}^{+}\).

Corollaire 4. Les fonctions \(A \mapsto \varphi_{|A|}(t{-}0)\) sont semi-continues supérieurement sur \(\mathfrak{b}\) pour la topologie de la norme.¹⁹

Proposition 7. Pour \(A \in \mathfrak{b}\), \(\mu_{|A|} = \mu_{|A^{*}|}\), c'est-à-dire \(\varphi_{|A|} = \varphi_{|A^{*}|}\), et par suite \(\Phi_{|A|} = \Phi_{|A^{*}|}\), \(\Psi_{|A|} = \Psi_{|A^{*}|}\), \(\Delta_A = \Delta_{A^{*}}\). Il suffit de voir \(\mu_{A^{*}A} = \mu_{AA^{*}}\), et par continuité de le voir pour \(A \in \mathfrak{a}\) ; les deux mesures sont alors, hors de \(0\), de masse finie et à support dans \([0,\|A\|^2]\), donc déterminées par leurs moments \(\int x^p\,d\mu\), \(p \geq 1\) entier, et \(\tau((A^{*}A)^p) = \tau((AA^{*})^p)\) résulte de \(\tau(RS) = \tau(SR)\).

27–32

Le déterminant (pages 27 à 32)

C'est le « N° 6 » de la page 27, le « N° 5 » du plan. Pour \(A = \lambda 1 + B\) avec \(B \in \mathfrak{b}\), on définit \(\varphi_{|A|}\) par la formule du corollaire 1 de la proposition 6, et \[ \Delta(A) = \exp\int_0^{\tau(1)} \log\varphi_{|A|}(s)\,ds \in [0, +\infty] . \] ²⁰ a) Si \(\tau\) est finie, \(\Delta(A)\) est défini pour tout \(A \in \mathcal{M}\), et \(\Delta(\lambda A) = |\lambda|^{\tau(1)}\Delta(A)\) : c'est le déterminant de Fuglede et Kadison. b) Si \(\tau\) est semi-finie et non finie, pour \(A = \lambda 1 + B\) avec \(B \in \mathfrak{b}\) hermitien et \(A \geq 0\) : \(\Delta(A) = 0\) si \(|\lambda| < 1\), \(\Delta(A) = +\infty\) si \(|\lambda| > 1\), et si \(|\lambda| = 1\) on a \(0 \leq \Delta(A) < \infty\) dès que \(B \in \mathfrak{a}\).²¹ Seules importent donc les valeurs de \(\Delta\) sur \(1 + \mathfrak{a}\).

Proposition 8. Pour \(A\), \(B \in 1 + \mathfrak{a}\) : \[ \Delta(A) = \Delta(A^{*}), \qquad \Delta(AB) = \Delta(A)\,\Delta(B), \qquad \Delta(1) = 1 . \] Seule la seconde demande une démonstration. Par continuité on peut supposer qu'il existe un projecteur \(E \in \mathfrak{a}\) avec \(A - 1\), \(B - 1 \in E\mathcal{M}E\), et l'on est ramené à l'algèbre \(\mathcal{M}_E = E\mathcal{M}E\), d'unité \(E\), munie de la trace finie \(\tau_E\) induite ; pour \(A \in \mathcal{M}_E\), on note \(\Delta^{E}(A)\) son déterminant relatif à \(\mathcal{M}_E\), et l'on a \(\Delta(1 + A) = \Delta^{E}(1_E + A)\). Le cas d'une trace finie est celui de Fuglede et Kadison.²²

Déterminants relatifs. Supposons la trace finie. Soient \(X\), \(Y\) deux projecteurs équivalents de \(\mathcal{M}\), \(U \in \mathcal{M}\) une isométrie partielle avec \(U^{*}U = X\), \(UU^{*} = Y\), et \(A \in \mathcal{M}\) tel que \(AX(H) \subset Y(H)\), soit \(\sigma(AX) \leq Y\) avec \(\sigma\) le support à gauche. On pose \[ \Delta^{X,Y}(A) = \Delta^{X}(U^{*}AX) = \Delta^{Y}(YAU^{*}), \] qui ne dépend pas du choix de \(U\), deux tels \(U\) différant par un unitaire de \(\mathcal{M}_X\). Si \(Z\) est un projecteur équivalent à \(Y\) et \(B \in \mathcal{M}\) avec \(\sigma(BY) \leq Z\), on a \[ \Delta^{X,Z}(BA) = \Delta^{X,Y}(A)\,\Delta^{Y,Z}(B) . \]

Proposition 9. Soit \(A \in \mathfrak{b}\) et \(t = \tau(E_0)\) pour un projecteur \(E_0\). Alors \[ \Delta_A(t) = \sup_{\substack{E \simeq F\\ \tau(E) = t}} \Delta^{E,F}(FAE), \] et le sup est atteint ; si \(A\) est normal, on peut se borner aux \(\Delta^{E}(EAE)\).²³ L'inégalité \(\leq\) est l'égalité qu'on vient de dire. L'inégalité \(\geq\) est le corollaire suivant, car \(\varphi_{|EU^{*}AE|} \leq \varphi_{|A|}\) par le corollaire 2 de la proposition 6, appliqué deux fois.

Corollaire. Si \(E \simeq F\), \(\tau(E) = t\) et \(A \in \mathcal{M}\), alors \(\Delta^{E,F}(FAE) \leq \Delta_A(t)\).

Théorème 1. Pour \(A\), \(B \in \mathfrak{b}\) et \(t \geq 0\), \[ \Delta_{AB}(t) \leq \Delta_A(t)\,\Delta_B(t) . \] Les deux membres étant fonctions semi-continues de \(A\) et \(B\), on peut supposer la trace finie et \(t = \tau(E)\). Par la proposition 9, \(\Delta_{AB}(t) = \sup \Delta^{E,G}(GABE)\) sur les couples \(E \simeq G\) de trace \(t\) ; soit \(F\) un projecteur équivalent à \(E\) majorant \(\sigma(BE)\), \(A' = GAF\), \(B' = FBE\), de sorte que \(GABE = A'B'\) et, par la multiplicativité relative, \[ \Delta^{E,G}(GABE) = \Delta^{E,F}(FBE)\,\Delta^{F,G}(GAF) \leq \Delta_B(t)\,\Delta_A(t) \] par le corollaire.²⁴

32–33

Les inégalités fondamentales (pages 32 et 33)

Le théorème 1 s'écrit aussi \(\Delta_{\varphi_{|AB|}} \leq \Delta_{\varphi_{|A|}\varphi_{|B|}}\), puisque \(\Delta_{fg} = \Delta_f\Delta_g\) pour deux fonctions décroissantes sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\). Par le corollaire 1 du numéro 3 :

Théorème 2. Si \(A\), \(B \in \mathfrak{b}\) et si \(W\) est une fonction de Weyl croissante sur \(K^\infty(]0,\tau(1)])\), alors \[ W(AB) \leq W(\varphi_{|A|}\,\varphi_{|B|}), \] où \(W(AB)\) désigne \(W(\varphi_{|AB|})\).

Corollaire 1. Pour \(t \geq 0\), \(\int_0^t \varphi_{|AB|} \leq \int_0^t \varphi_{|A|}\varphi_{|B|}\) ; en particulier \[ \int_0^\infty \varphi_{|AB|} \leq \int_0^\infty \varphi_{|A|}\,\varphi_{|B|}, \qquad\text{d'où}\qquad |\tau(AB)| \leq \tau(|AB|) = \int \varphi_{|AB|} \leq \int \varphi_{|A|}\varphi_{|B|} . \] La plupart des inégalités importantes sont des conséquences immédiates de la première.²⁵

Corollaire 2 (Hölder pour les opérateurs). Pour \(p\), \(q\), \(r > 0\) avec \(\frac1p + \frac1q = \frac1r\), et \(\|A\|_r = \tau(|A|^r)^{1/r}\) : \(\|AB\|_r \leq \|A\|_p\,\|B\|_q\). Car \(W(f) = \int |f|^r\) est une fonction de Weyl croissante, d'où \(\tau(|AB|^r) \leq \int (\varphi_{|A|}\varphi_{|B|})^r\), et l'inégalité de Hölder classique majore le second membre.²⁶

Corollaire 3. Pour \(A \in \mathfrak{b}\), \[ \Phi_{|A|}(t) = \sup\bigl\{ |\tau(BA)| : B \in \mathcal{M},\ \|B\| \leq 1,\ \tau(\sigma(B)) \leq t \bigr\} . \] L'inégalité \(\geq\) : si \(E = \sigma(B)\), \(\varphi_{|B|} = \varphi_{|EB|} \leq \varphi_E\), et par le corollaire 1, \(|\tau(BA)| \leq \int \varphi_E \varphi_{|A|} = \int_0^t \varphi_{|A|}\). L'inégalité \(\leq\) : si \(A = U|A|\), il existe un projecteur \(E\) commutant à \(|A|\), de trace \(t\), avec \(\tau(E|A|) = \Phi_{|A|}(t)\), et \(B = EU^{*}\) convient.²⁷

Corollaire 4. Les fonctions \(A \mapsto \Phi_{|A|}(t)\) sont sous-additives sur \(\mathfrak{b}\) : \(\Phi_{|A+B|} \leq \Phi_{|A|} + \Phi_{|B|}\). Elles sont des sup de semi-normes par le corollaire 3.

34–35

Seconde mouture (pages 34 et 35)

Deux feuillets plus petits reprennent les propositions 6 et 7 et la proposition 9, sous les numéros 1, 2 et une proposition sans numéro, avec la trace supposée continue — c'est l'« astuce » de la page 34 : on peut toujours s'y ramener par \(L^\infty([0,1]) \mathbin{\bar\otimes} \mathcal{M}\). On y trouve, sous cette hypothèse, \(\varphi_A(t{+}0)\) à la place de \(\varphi_A(t{-}0)\) dans la proposition 6,²⁸ l'argument par les projecteurs équivalents rapporté plus haut, les corollaires 1 à 3 et 5, et en marge un corollaire 4 : \(\varphi_{\alpha(A)} = \alpha(\varphi_A)\) pour \(\alpha\) croissante, \(\varphi_{|1+A|} \leq 1 + \varphi_{|A|}\), \(\varphi_{1+|A|} = 1 + \varphi_{|A|}\). Puis, avec la notation \(\Delta_t(A)\) pour \(\Delta_A(t)\) : \[ \Delta_t(A) = \sup_{\tau(E) = t} \Delta^{E}(EAE) \quad (A \geq 0), \qquad \Delta_t(1 + |A|) = \sup_{\substack{\tau(\sigma(B)) \leq t\\ \|B\| \leq 1}} \Delta^{E}\bigl(1_E + BAE\bigr) \quad (E = \sigma(B)), \] la seconde formule étant celle de la page 35 lue avec les corrections de la proposition 9.²⁹ Elle est ce que la page 32 appelle « corollaire prop. 9 ».

37–41

Préliminaires sur les opérateurs compacts (pages 37 à 41)

Quatre feuillets jaunis, encadrés au crayon rouge, qui rappellent ce que tout le reste suppose ; le second porte « II ». Les pages 43 à 104 en sont la rédaction. Si \(E\) est un espace de Hilbert, son conjugué \(\bar{E}\) l'est et \(E' = \bar{E}\). Les opérateurs compacts sont les limites en norme d'opérateurs de rang fini. L'adjoint \(u^{*} : F \to E\) de \(u : E \to F\) vérifie \(\|u^{*}u\| = \|u\|^2\). Un hermitien compact se diagonalise, \(u = \sum \lambda_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\) avec \(\lambda_i\) réels tendant vers \(0\) et \((e_i)\) orthonormal, et \(u \geq 0\) si et seulement si tous les \(\lambda_i \geq 0\).

Décomposition polaire. Pour \(u : E \to F\) on pose \(|u| = (u^{*}u)^{1/2} \geq 0\) dans \(E\) ; comme \(\|\,|u|x\| = \|ux\|\), il existe une isométrie partielle \(U : E \to F\) et une isométrie partielle \(V : F \to E\) telles que \[ u = U|u|, \qquad |u| = Vu, \qquad \|U\| \leq 1,\ \|V\| \leq 1, \] et en particulier \(\|u\| = \|\,|u|\,\|\). Si \(u\) est compact, \(|u| = \sum s_i\,\bar{e}_i \otimes e_i\) avec \(s_i > 0\), et \(u = \sum s_i\,\bar{e}_i \otimes f_i\) où \(f_i = Ue_i\) est orthonormal ; réciproquement une telle écriture donne \(|u|\), \(u^{*} = \sum s_i\,\bar{f}_i \otimes e_i\) et \(|u^{*}| = \sum s_i\,\bar{f}_i \otimes f_i\), de sorte que \(|u|\) et \(|u^{*}|\) ont les mêmes valeurs propres.³⁰

Valeurs singulières. Pour \(u\) compact, \(s_n(u) = \lambda_n(|u|)\), suite décroissante positive ; \(|\lambda_1(u)| \leq s_1(u) = \|u\|\) et \(s_n(u) = s_n(u^{*})\). Pour \(h \geq 0\) compact, le principe du minimax donne \[ s_n(h) = \inf_{\dim E_{n-1} = n-1}\ \sup_{x \perp E_{n-1},\ \|x\| \leq 1} (hx, x), \qquad s_n(u) = \inf_{\dim E_{n-1} = n-1}\ \sup_{x \perp E_{n-1},\ \|x\| \leq 1} \|ux\|, \] d'où \(s_n(uv) \leq \|u\|\,s_n(v)\), \(s_n(uv) \leq \|v\|\,s_n(u)\), et \(s_n(h)\) croît avec l'hermitien positif \(h\). Puis les inégalités de Ky Fan, que la page 143 démontre : \[ s_{m+n-1}(AB) \leq s_m(A)\,s_n(B), \qquad s_{m+n-1}(A+B) \leq s_m(A) + s_n(B) . \] ³¹

Opérateurs à trace. \(u \in \mathcal{S}_1(E,F)\) si et seulement si \(\sum s_i(u) < \infty\), et alors \(\|u\|_1 = \sum s_i(u)\) ; si \(u\) est à trace, \(|u|\) l'est et \(\|u\|_1 = \|\,|u|\,\|_1 = \operatorname{Tr}|u|\) ; \(|\operatorname{Tr} u| \leq \sum s_i(u)\). Pour \(u\) compact, \[ \sum_{i=1}^n s_i(u) = \sup\bigl\{ |\operatorname{Tr} v_n u| : v_n \in L(F,E),\ \|v_n\| \leq 1,\ \operatorname{rang} v_n \leq n \bigr\}, \] le sup étant atteint pour \(v_n = \sum_{j \leq n} \bar{f}_j \otimes e_j\), et pour un projecteur hermitien de rang \(n\) si \(u\) est hermitien positif. D'où, pour \(u\), \(v\) compacts, \(\sum_{i \leq n} s_i(u+v) \leq \sum_{i \leq n} (s_i(u) + s_i(v))\), \(\|u+v\|_1 \leq \|u\|_1 + \|v\|_1\), et \(\sum s_i\) est une norme sur \(\mathcal{S}_1\). Enfin la définition des classes \(\mathcal{S}_p(E,F)\) par \(\|u\|_p = (\sum s_i(u)^p)^{1/p}\) et \(S_p(u) = \sum s_i(u)^p\), avec les cas \(p = 1\) et \(p = \infty\).

Dual des opérateurs compacts. Le dual de \(L_0(E,F)\) s'identifie isométriquement à \(\mathcal{S}_1(F,E)\) par \(\langle u, v\rangle = \operatorname{Tr} vu\). Que l'application \(\mathcal{S}_1(F,E) \to (L_0(E,F))'\) soit isométrique résulte de la formule précédente ; qu'elle soit surjective : une forme continue \(\Phi\) sur \(L_0(E,F)\) définit par \((x', y) \mapsto \Phi(x' \otimes y)\) une forme bilinéaire continue sur \(E' \times F\), donc un \(v \in L(F,E)\) avec \(\Phi(u) = \operatorname{Tr} vu\) pour \(u\) de rang fini, et \(|\operatorname{Tr} vu| \leq M\|u\|\) ; par décomposition polaire on se ramène à \(v = w \geq 0\) dans \(L(E)\), puis \(w\) est compact — sinon \(w\) serait inversible sur un sous-espace stable de dimension infinie, ce qui contredit la borne — et \(w = \sum s_i\, \bar{e}_i \otimes e_i\) avec \(u = \sum_{i \leq n} \bar{e}_i \otimes e_i\) donne \(\sum_{i \leq n} s_i \leq M\).³²

43–57

Produits tensoriels hilbertiens (pages 43 à 57)

Le numéro 2 d'un chapitre dont le numéro 1, « Rappels et notations. Opérateurs de Fredholm », n'est qu'une ligne de plan. Il est, dit l'interligne de la page 43, « vraiment classique », et on le résume.

L'espace conjugué. Pour \(E\) un espace de Banach complexe, \(\bar{E}\) est le même groupe additif avec la loi \((\lambda, x) \mapsto \bar\lambda x\) ; l'identité \(E \to \bar{E}\) est antilinéaire, et \(\bar{\bar{E}} = E\). Une application sesquilinéaire \(E \times F \to G\) est une application bilinéaire \(E \times \bar{F} \to G\), donc une application linéaire \(E \otimes \bar{F} \to G\), et \(L(E, \bar{F}) = \overline{L(E,F)}\). On a canoniquement \(\overline{E \otimes F} = \bar{E} \otimes \bar{F}\). Si \(E\) est préhilbertien, \((\bar{x}, \bar{y}) = (y, x)\) fait de \(\bar{E}\) un espace préhilbertien de même norme, et si \(E\) est de Hilbert, \(y \mapsto (\,\cdot\,, y)\) est une bijection antilinéaire isométrique de \(E\) sur \(E'\), soit \[ E' = \bar{E} \qquad (E \text{ espace de Hilbert}). \]

Le produit tensoriel hilbertien. Sur \(E \otimes F\), la forme sesquilinéaire \((x_1 \otimes y_1, x_2 \otimes y_2) = (x_1, x_2)(y_1, y_2)\) est définie positive : sur \(E_0 \otimes F_0\) pour \(E_0\), \(F_0\) de dimension finie, les \(e_i \otimes f_j\) formés de bases orthonormales sont orthonormaux, et \(E \otimes F\) est réunion de ces sous-espaces. Le complété \(E \mathbin{\hat\otimes}_2 F\) est le produit tensoriel hilbertien.

Proposition 1. Si \((e_i)\) et \((f_j)\) sont des bases hilbertiennes de \(E\) et \(F\), \((e_i \otimes f_j)\) est une base hilbertienne de \(E \mathbin{\hat\otimes}_2 F\). De plus \(\|x \otimes y\|_2 = \|x\|\,\|y\|\), et \(\overline{E \mathbin{\hat\otimes}_2 F} = \bar{E} \mathbin{\hat\otimes}_2 \bar{F}\).

Théorème 1. Pour \(\mu\) une mesure positive sur un espace localement compact et \(E\) un espace de Hilbert, \(L^2(\mu) \mathbin{\hat\otimes}_2 E = L^2_E(\mu)\), l'espace des fonctions de carré intégrable à valeurs dans \(E\), avec \((f, g) = \int (f(t), g(t))\,d\mu(t)\) : l'application \(\varphi \otimes a \mapsto \varphi\,a\) conserve les produits scalaires et a une image dense. Corollaire 1 : \(\ell^2(I) \mathbin{\hat\otimes}_2 E = \ell^2_E(I)\). Corollaire 2 : \(L^2(\mu) \mathbin{\hat\otimes}_2 L^2(\nu) = L^2(\mu \otimes \nu)\), puisque \(L^2(\mu \otimes \nu) = L^2_{L^2(\nu)}(\mu)\).

Opérateurs de Hilbert–Schmidt. L'application \((\bar{a} \otimes b)\,x = (x, a)\,b\) identifie \(\bar{E} \otimes F\) aux opérateurs de rang fini de \(E\) dans \(F\), et pour \(u \in \bar{E} \otimes F\) on a \((ux, y) = (u, \bar{x} \otimes y)\), donc \(|(ux, y)| \leq \|u\|_2\,\|x\|\,\|y\|\) : l'application \(\bar{E} \mathbin{\hat\otimes}_2 F \to L(E,F)\) est continue de norme \(\leq 1\), et injective, car dans des bases hilbertiennes elle envoie une matrice de carré sommable sur l'opérateur qu'elle définit.

Définition 2. Un opérateur de Hilbert–Schmidt de \(E\) dans \(F\) est un opérateur défini par un élément de \(\bar{E} \mathbin{\hat\otimes}_2 F\) ; leur espace, muni de cette structure hilbertienne, est noté \(\mathcal{S}_2(E,F)\), et \(\|u\|_2 = (\sum_{i,j} |u_{ij}|^2)^{1/2}\) dans des bases hilbertiennes. On a \(\|u\| \leq \|u\|_2\), et ces opérateurs sont compacts.

Théorème 2. Si \(u \in \mathcal{S}_2(E,F)\) et \(A \in L(F,G)\), alors \(Au \in \mathcal{S}_2(E,G)\) et \(\|Au\|_2 \leq \|A\|\,\|u\|_2\), et de même pour \(uA\) ; \(u \in \mathcal{S}_2(E,F)\) si et seulement si \(u^{*} \in \mathcal{S}_2(F,E)\), et \(\|u\|_2 = \|u^{*}\|_2\).

Théorème 3. \(u\) est de Hilbert–Schmidt si et seulement si \(\sum s_i(u)^2 < \infty\), et alors \(\|u\|_2 = \|u^{*}\|_2 = (\sum s_i(u)^2)^{1/2}\) ; en particulier \(u \in \mathcal{S}_2\) si et seulement si \(u^{*}u \in \mathcal{S}_1\), et \(\|u\|_2 = \sqrt{\operatorname{Tr} u^{*}u} = \sqrt{\|u^{*}u\|_1}\). La démonstration passe par \(u = Uh\), \(h = Vu\) avec \(h = |u|\) et \(U\), \(V\) des isométries partielles, puis diagonalise \(h\).

Théorème 3 bis. Pour \(u \in L(E,F)\) : \(u\) est à trace si et seulement si \(|u| = \sqrt{u^{*}u}\) l'est, si et seulement si \(\sum s_i(u) < \infty\), et alors \[ \|u\|_1 = \|\,|u|\,\|_1 = \sum s_i(u) = \operatorname{Tr}\sqrt{u^{*}u} = \operatorname{Tr}\sqrt{uu^{*}} . \] ³³ Corollaire 1 : les opérateurs à trace de \(E\) dans \(F\) sont exactement les \(u = \sum s_i\,\bar{a}_i \otimes b_i\) avec \((a_i)\), \((b_i)\) orthonormaux et \((s_i)\) positive sommable, et alors \(\|u\|_1 = \sum s_i\). Corollaire 2 : \(\|u\|_1 = \sup_{\|A\| \leq 1} |\operatorname{Tr} Au|\) sur \(A \in L(F,E)\).

Théorème 4. Si \(u \in \mathcal{S}_2(E,F)\) et \(v \in \mathcal{S}_2(F,G)\), alors \(vu \in \mathcal{S}_1(E,G)\) et \(\|vu\|_1 \leq \|v\|_2\,\|u\|_2\) ; et pour \(u\), \(v \in \mathcal{S}_2(E,F)\), \[ (u, v) = \operatorname{Tr} uv^{*} = \operatorname{Tr} v^{*}u . \] Par continuité on se ramène aux rangs finis ; alors \(|\operatorname{Tr} Avu| \leq \|Av\|_2\|u\|_2 \leq \|A\|\,\|v\|_2\|u\|_2\) pour \(\|A\| \leq 1\) donne la première formule par le corollaire 2, et la seconde se vérifie sur \(u = \bar{a} \otimes b\), \(v = \bar{a}' \otimes b'\), où \(v^{*}u = (b, b')\,\bar{a} \otimes a'\) et \(\operatorname{Tr} v^{*}u = (a', a)(b, b') = (u, v)\). Corollaire 1 : \(u \in L(E,F)\) est de Hilbert–Schmidt si et seulement si \(vu\) est à trace pour tout \(v \in \mathcal{S}_2(F,E)\), et alors \(\|u\|_2 = \sup_{\|v\|_2 \leq 1} |\operatorname{Tr} vu|\) ; la réciproque passe par le théorème du graphe fermé, qui rend \(v \mapsto vu\) continue de \(\mathcal{S}_2(F,E)\) dans \(\mathcal{S}_1(E)\), donc \(w \mapsto \operatorname{Tr} w^{*}u\) continue sur \(\bar{E} \mathbin{\hat\otimes}_2 F\), donc représentée par un \(u_0\), qui coïncide avec \(u\). Corollaire 2 : \(u \in L(E)\) est à trace si et seulement si \(u = vw\) avec \(v\), \(w \in \mathcal{S}_2(E)\), et l'on peut prendre \(\|v\|_2 = \|w\|_2 = \sqrt{\|u\|_1}\), en écrivant \(u = U W^2\) avec \(W = \sqrt{|u|}\) et \(v = UW\).

58–69

Produits extérieurs hilbertiens (pages 58 à 69)

Le numéro 3, « Applications : des inégalités diverses ». Le produit tensoriel hilbertien de \(n\) espaces \(E_1, \ldots, E_n\) est défini par récurrence, avec \((a_1 \otimes \cdots \otimes a_n, b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = \prod (a_i, b_i)\) et pour base hilbertienne les \(e^1_{\alpha_1} \otimes \cdots \otimes e^n_{\alpha_n}\) ; il est associatif, et pour \(u_i \in L(E_i, F_i)\) on a \(\|u_1 \otimes \cdots \otimes u_n\| \leq \prod \|u_i\|\), qu'on ramène par associativité au cas de deux facteurs et d'un seul \(u_i \neq 1\), où c'est le théorème 2 du numéro 2 sous l'identification \(E_1 \mathbin{\hat\otimes}_2 E_2 = \mathcal{S}_2(\bar{E}_1, E_2)\).

Sur \(\bigotimes^n_2 E\), l'antisymétriseur \[ a_n = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma\,\sigma \] est un projecteur hermitien, l'adjoint de \(\sigma\) étant \(\sigma^{-1}\).

Définition. La puissance extérieure hilbertienne \(\Lambda^n_2 E\) est l'image de \(a_n\), munie du produit scalaire de \(\bigotimes^n_2 E\) multiplié par \(n!\). La puissance extérieure algébrique \(\Lambda^n E\) s'y plonge comme sous-espace dense, et sur les multivecteurs décomposables \[ (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n,\ b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = n!\,(a_n A, a_n B) = \sum_\sigma \varepsilon_\sigma \prod_i (a_i, b_{\sigma i}) = \det\bigl((a_i, b_j)\bigr) . \] ³⁴

Proposition. Il existe sur \(\Lambda E \times \Lambda E\) une unique forme hermitienne définie positive satisfaisant à cette formule, et son complété est \(\Lambda_2 E\). Si \((e_i)_{i \in I}\) est une base hilbertienne de \(E\), \(I\) totalement ordonné, les \(e_J = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n}\), \(J = \{i_1 < \cdots < i_n\}\), forment une base hilbertienne de \(\Lambda_2 E\). En particulier \[ \|a_1 \wedge \cdots \wedge a_n\| = \det\bigl((a_i, a_j)\bigr)^{1/2} \leq \|a_1\| \cdots \|a_n\|, \] l'inégalité venant, si \(a_i = \sum_j a_{ij} e_j\) et \(A = (a_{ij})\), de \(\det((a_i, a_j)) = \det AA^{*} = |\det A|^2\) et du choix d'une base où \(A\) est triangulaire ; ce qui donne l'inégalité de Hadamard \(|\det A| \leq \prod_i \|a_i\|\), et le corollaire 1 : \(|\det((a_i, b_j))| \leq \prod_i \|a_i\|\,\|b_i\|\), par Cauchy–Schwarz. Ce corollaire montre que la constante \(K_n\) de la théorie générale vaut au plus \(1\) dans l'espace de Hilbert.³⁵

Puissances extérieures d'opérateurs. Pour \(u_1, \ldots, u_n \in L(E,F)\), le produit extérieur \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n : \Lambda^n E \to \Lambda^n F\) s'écrit \(n!\,\varphi_n\,(u_1 \otimes \cdots \otimes u_n)\,a_n\), avec \(\varphi_n\) la projection de \(\bigotimes^n F\) sur \(\Lambda^n F\) ; comme \(a_n/\sqrt{n!}\) est une isométrie de \(\Lambda_2 E\) dans \(\bigotimes^n_2 E\) et \(\sqrt{n!}\,\varphi_n\) de norme \(\leq 1\), on a \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\| \leq \|u_1\| \cdots \|u_n\|, \] et \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) se prolonge à \(\Lambda^n_2 E \to \Lambda^n_2 F\). Il est symétrique en les \(u_i\), et l'on note \(\Lambda^n u = u \wedge \cdots \wedge u\), \(\Lambda u\) son action sur \(\Lambda_2 E\) tout entier. Alors \[\begin{gather*} (\Lambda v)(\Lambda u) = \Lambda(vu), \qquad (u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)^{*} = u_1^{*} \wedge \cdots \wedge u_n^{*}, \\ (\Lambda u)^{*} = \Lambda(u^{*}), \qquad (\Lambda h)^\alpha = \Lambda(h^\alpha)\quad (h \geq 0,\ \alpha > 0), \end{gather*}\] la seconde par \(((\Lambda u)\,a_1 \wedge \cdots \wedge a_n, b_1 \wedge \cdots \wedge b_n) = \det((ua_i, b_j)) = \det((a_i, u^{*}b_j))\), la troisième pour \(\alpha = 1/n\) par unicité de la racine positive, puis pour \(\alpha\) rationnel, puis par continuité de \(\alpha \mapsto h^\alpha\).

Proposition 1. Résumé : \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) est continue de \(\Lambda^n_2 E\) dans \(\Lambda^n_2 F\), de norme \(\leq \prod \|u_i\|\) ; \(u \mapsto \Lambda u\) de \(L(E)\) dans \(L(\Lambda_2 E)\) est multiplicative, commute à l'involution, envoie les positifs sur des positifs et commute aux puissances \(h \mapsto h^\alpha\).

Proposition 2. Soit \(u\) compact dans \(E\) et \((\lambda_i)\) la suite de ses valeurs propres non nulles, avec multiplicités algébriques. Les valeurs propres non nulles de \(\Lambda^n u\) sur \(\Lambda^n_2 E\), avec leurs multiplicités, sont les produits \(\lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\), \(i_1 < \cdots < i_n\). Par continuité de \(u \mapsto \Lambda u\) on se ramène aux \(u\) de rang fini ; alors \(E = E_0 \oplus E_1\) avec \(E_0\) de dimension finie stable par \(u\) et \(u(E_1) = 0\), \(\Lambda^n_2 E = \bigoplus_{p+q=n} \Lambda^p_2 E_0 \otimes \Lambda^q_2 E_1\), \(\Lambda^n u\) s'annule sur les termes \(q > 0\) et agit sur \(\Lambda^n E_0\), où c'est l'algèbre linéaire d'une matrice triangulaire.³⁶

Corollaire 1. Pour \(u\) compact : \[\begin{gather*} \lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u) = \lambda_1(\Lambda^n u), \qquad s_1(u) \cdots s_n(u) = \|\Lambda^n u\| = s_1(\Lambda^n u), \\ |\lambda_1(u) \cdots \lambda_n(u)| \leq s_1(u) \cdots s_n(u), \end{gather*}\] la seconde parce que \(|\Lambda^n u| = ((\Lambda^n u)^{*}\Lambda^n u)^{1/2} = \Lambda^n |u|\) a pour plus grande valeur propre \(s_1 \cdots s_n\), et la troisième par \(|\lambda_1(w)| \leq s_1(w)\) appliqué à \(w = \Lambda^n u\).

Corollaire 3. Pour \(u \in L_0(E,F)\), \(v \in L_0(F,G)\) et tout \(n\), \[ s_1(vu) \cdots s_n(vu) \leq \bigl(s_1(u)\,s_1(v)\bigr) \cdots \bigl(s_n(u)\,s_n(v)\bigr), \] car le premier membre est \(\|\Lambda^n(vu)\| = \|(\Lambda^n v)(\Lambda^n u)\| \leq \|\Lambda^n v\|\,\|\Lambda^n u\|\). L'idée est due à H. Weyl, dit la page 69.³⁷

70–73

Puissances extérieures d'opérateurs à trace, mise au net (pages 70 à 73)

Une rédaction sur feuilles blanches, numérotée à partir de (1) ; les pages 76 à 79 en sont le brouillon, et l'on y renvoie pour les démonstrations qu'elle omet.

Proposition 1. Pour \(u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{S}_1(E,F)\), \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\) est à trace et \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\,\|u_1\|_1 \cdots \|u_n\|_1 . \] Par linéarité il suffit de prendre \(u_i = \bar{b}_i \otimes a_i\) avec \(\|a_i\|, \|b_i\| \leq 1\) ; alors \(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = \frac{1}{n!} \,\overline{(b_1 \wedge \cdots \wedge b_n)} \otimes (a_1 \wedge \cdots \wedge a_n)\), de norme trace \(\leq \frac{1}{n!}\|b_1 \wedge \cdots \wedge b_n\|\, \|a_1 \wedge \cdots \wedge a_n\| \leq \frac{1}{n!}\) par Hadamard.

Corollaire 1. \(\alpha_n(u_1, \ldots, u_n) = \operatorname{Tr}(u_1 \wedge \cdots \wedge u_n)\), et \(\alpha_n(u) = \operatorname{Tr}\Lambda^n u\) : les coefficients du déterminant de Fredholm sont les traces des puissances extérieures. Corollaire 2 : \(|\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \frac{1}{n!}\prod \|u_i\|_1\) et \(|\alpha_n(u)| \leq \frac{1}{n!}\|u\|_1^n\). Corollaire 3 : \[ |\alpha_n(u)| \leq \alpha_n(|u|) = \|\Lambda^n u\|_1 \leq \frac{1}{n!}\,\|u\|_1^n, \] car \(\alpha_n(|u|) = \operatorname{Tr}\Lambda^n|u| = \operatorname{Tr}|\Lambda^n u|\). Corollaire 4 : \(|\det(1+u)| \leq \det(1+|u|)\), et plus généralement \(|\det(1+zu)| \leq \det(1+|z|\,|u|)\).

Théorème 1. Pour \(u \in \mathcal{S}_1(E)\), la suite \((\lambda_i(u))\) est sommable et \(\det(1+zu)\) est une fonction entière de genre zéro : \[ \det(1+zu) = \prod_i \bigl(1 + z\lambda_i(u)\bigr) ; \] de façon équivalente, \(\alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\), et en particulier \[ \operatorname{Tr} u = \sum_i \lambda_i(u), \] d'où l'on retrouve la formule pour \(\alpha_n\) en l'appliquant à \(\Lambda^n u\). De même \(\alpha_n(|u|) = \|\Lambda^n u\|_1 = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} s_{i_1} \cdots s_{i_n}\).³⁸

Proposition 2. Pour \(u\), \(v \in \mathcal{S}_1\) et \(p\), \(q \geq 0\), en notant \((\Lambda^p u) \wedge (\Lambda^q v)\) le produit extérieur de \(p\) copies de \(u\) et \(q\) de \(v\), \[ \|(\Lambda^p u) \wedge (\Lambda^q v)\|_1 \leq \frac{p!\,q!}{(p+q)!}\, \|\Lambda^p u\|_1\,\|\Lambda^q v\|_1 = \frac{p!\,q!}{(p+q)!}\,\alpha_p(|u|)\,\alpha_q(|v|) . \] Avec \(u = \sum \rho_i\,\bar{b}_i \otimes a_i\) et \(v = \sum \sigma_j\,\bar{d}_j \otimes c_j\) (décompositions de Schmidt), la multilinéarité et l'antisymétrie donnent \[ (\Lambda^p u) \wedge (\Lambda^q v) = \frac{p!\,q!}{(p+q)!} \sum_{\substack{i_1 < \cdots < i_p\\ j_1 < \cdots < j_q}} \rho_{i_1} \cdots \rho_{i_p}\,\sigma_{j_1} \cdots \sigma_{j_q}\; \overline{(b_{i_1} \wedge \cdots \wedge d_{j_q})} \otimes (a_{i_1} \wedge \cdots \wedge c_{j_q}), \] et chaque terme est de norme trace \(\leq 1\) par Hadamard.³⁹

Corollaire 2. Pour tout \(n\), \[ \alpha_n(|u+v|) \leq \sum_{p=0}^{n} \alpha_p(|u|)\,\alpha_{n-p}(|v|) , \] car \(\alpha_n(|u+v|) = \|\Lambda^n(u+v)\|_1\) et \(\Lambda^n(u+v) = \sum_p \binom{n}{p}\,(\Lambda^p u) \wedge (\Lambda^{n-p} v)\).

Corollaire 1. Pour \(r \geq 0\), \[\begin{gather*} \det(1 + r|u+v|) \leq \det(1 + r|u|)\,\det(1 + r|v|), \qquad\text{i.e.} \\ \prod_i (1 + r s_i(u+v)) \leq \prod_i (1 + r s_i(u)) \prod_i (1 + r s_i(v)) . \end{gather*}\] ⁴⁰

Théorème 2. Pour \(u\), \(v\) compacts, \(r \geq 0\) et tout \(n\), \[ \prod_{i=1}^{n} \bigl(1 + r s_i(u+v)\bigr) \leq \prod_{i=1}^{n} \bigl(1 + r s_i(u)\bigr)\prod_{i=1}^{n} \bigl(1 + r s_i(v)\bigr), \] et plus précisément, avec \(\sigma_n^m(w) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n} s_{i_1}(w) \cdots s_{i_m}(w)\), pour \(0 \leq m \leq n\) : \[ \sigma_n^m(u+v) \leq \sum_{p=0}^{m} \sigma_n^p(u)\,\sigma_n^{m-p}(v) . \]

Proposition 3. Pour \(u\) compact et \(m \leq n\), \[ \sigma_n^m(u) = \sup\bigl\{ |\alpha_m(v_n u)| : v_n \in L(F,E),\ \|v_n\| \leq 1,\ \operatorname{rang} v_n \leq n \bigr\} = \sup_{v_n} \alpha_m(|v_n u|) . \] Pour \(\leq\) : si \(u = \sum s_i\,\bar{e}_i \otimes f_i\), \(v_n = \sum_{i \leq n} \bar{f}_i \otimes e_i\) donne \(v_n u = \sum_{i \leq n} s_i\,\bar{e}_i \otimes e_i\) et \(\alpha_m(v_n u) = \sigma_n^m(u)\). Pour \(\geq\) : \(s_i(v_n u) \leq s_i(u)\) et \(v_n u\) est de rang \(\leq n\), donc \(|\alpha_m(v_n u)| \leq \alpha_m(|v_n u|) = \sigma_n^m(v_n u) \leq \sigma_n^m(u)\). Proposition 4 : \(\prod_{i \leq n}(1 + s_i(u)) = \sup_{v_n} \det(1 + v_n u)\) sur les mêmes \(v_n\).

La démonstration du théorème 2 : pour \(w \in L(F,E)\) de norme \(\leq 1\) et de rang \(\leq n\), le corollaire 2 donne \(|\alpha_m(w(u+v))| \leq \sum_p \alpha_p(|wu|)\,\alpha_{m-p}(|wv|) \leq \sum_p \sigma_n^p(u)\, \sigma_n^{m-p}(v)\), et l'on prend le sup en \(w\) par la proposition 3. La page 73 juge ce système d'inégalités « les plus fortes possibles » majorant les \(s_i(u+v)\) en fonction des \(s_i(u)\) et \(s_i(v)\).⁴¹

74–75

Sous-additivité des fonctions des valeurs singulières (pages 74 et 75)

Deux feuilles brunes d'une autre plume tirent du théorème 2 ce qu'il donne pour d'autres fonctions que \(\log(1+rs)\). Écrivons-le \[ \sum_{i \leq n} \log(1 + r s_i(u+v)) \leq \sum_{i \leq n} \log(1 + r s_i(u)) + \sum_{i \leq n} \log(1 + r s_i(v)) \qquad (r \geq 0) . \] Si \(\varphi\) est une fonction positive décroissante sur \(\mathbf{R}^{*}_{+}\), et si \(A \leq B\) sont deux fonctions croissantes nulles en \(0\), alors \(\int \varphi(r)\,dA(r) \leq \int \varphi(r)\,dB(r)\), par intégration par parties : \(\int \varphi\,dA = [\varphi A] + \int A\,(-d\varphi)\) et les deux termes croissent avec \(A\). Appliquée à \(A(r) = \sum_{i \leq n} \log(1 + r s_i(u+v))\) et \(B\) le second membre, cela donne, en posant \[ f_\varphi(\rho) = \int_0^{\infty} \frac{\varphi(r)}{\frac{1}{\rho} + r}\,dr = \int_0^{\infty} \varphi(s/\rho)\,\frac{ds}{1+s} \quad\text{et}\quad S^n_\varphi(w) = \sum_{i \leq n} f_\varphi(s_i(w)), \] l'inégalité \(S^n_\varphi(u+v) \leq S^n_\varphi(u) + S^n_\varphi(v)\), puisque \(dA(r) = \sum_i \frac{s_i}{1 + r s_i}\,dr\).⁴² Le cas le plus important est \(\varphi(r) = r^{-p}\), \(0 < p < 1\), où \(f_\varphi(\rho) = \rho^p \int_0^\infty \frac{s^{-p}}{1+s}\,ds = \frac{\pi}{\sin \pi p}\,\rho^p\) ; d'où, avec \(S^{(n)}_p(u) = \sum_{i \leq n} s_i(u)^p\), \[ S^{(n)}_p(u+v) \leq S^{(n)}_p(u) + S^{(n)}_p(v), \qquad S_p(u+v) \leq S_p(u) + S_p(v) \qquad (0 < p < 1) . \] Remarque : pour \(p \geq 1\) ce n'est pas la bonne inégalité, qui est celle de Weyl (la norme). Question : trouver toutes les fonctions \(f\) d'une variable positive telles que \(f^{(n)}(u) = \sum_{i \leq n} f(s_i(u))\) soit sous-additive pour tout \(n\) ; il suffit que \(f^{(\infty)}\) le soit.⁴³ La sous-additivité de \(S_p\) pour \(p \leq 1\) reparaîtra, avec une autre preuve, à la page 129.

76–79

Le premier état de la mise au net (pages 76 à 79)

Feuilles brunes portant, au crayon rouge, « Mettre 1 : n° 2 et cor. n° — », et la numérotation (13) à (23) d'un texte plus long. La proposition 3 y est la proposition 1 des pages 70 ; les corollaires 1 et 2 y sont ceux de la mise au net, avec la précision que, pour \(u\) à trace ou de Hilbert–Schmidt, \[ \|\Lambda^n u\|_1 = \alpha_n(|u|) = \alpha_n\bigl(\sqrt{u^{*}u}\bigr), \qquad \|\Lambda^n u\|_2 = \sqrt{\alpha_n(u^{*}u)}, \] la première parce que \(((\Lambda^n u)^{*}\Lambda^n u)^{1/2} = \Lambda^n |u|\), la seconde parce que \((\Lambda^n u)^{*}\Lambda^n u = \Lambda^n(u^{*}u)\) est à trace si \(u^{*}u\) l'est. Le corollaire 4 est \(|\alpha_n(u)| \leq \alpha_n(|u|)\) — les coefficients de \(\det(1+zu)\) sont majorés en module par ceux de \(\det(1+z|u|)\) — et le corollaire 5 est \(|\det(1+zu)| \leq \det(1 + |z|\,|u|)\).

Théorème 2. Pour \(u\) à trace dans \(H\), \(\det(1+u) = \prod_i (1 + \lambda_i)\), et \(\det(1+zu) = \prod(1 + z\lambda_i)\) est de genre zéro ; en marge, \(\alpha_n(u) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\) et \(\operatorname{Tr} u = \sum \lambda_i(u)\). La démonstration des pages 78 et 79 est barrée de deux traits obliques et se lit par bribes : \(\sum |\lambda_i| \leq \|u\|_1\) par les inégalités de Weyl ; les zéros de \(\det(1 - zu)\) ; ses coefficients majorés par ceux d'une fonction de genre zéro ; et, pour la formule des coefficients dans le cas diagonalisable, \(u = \sum \lambda_i\,\bar{e}_i \otimes e_i\) et \(\alpha_n(u) = \sum \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}\,\alpha_n(\bar{e}_{i_1} \otimes e_{i_1}, \ldots)\) où seuls comptent les indices distincts.⁴⁴

80–80

Une feuille sur les fonctions convexes (page 80)

Soit \(f\) convexe sur un ouvert convexe \(U\) et \(G_f = \{(x,y) : x \in U,\ y \geq f(x)\}\) son épigraphe. Par un point \((a, f(a))\) passe un hyperplan \(H\) ne rencontrant pas l'intérieur de \(G_f\) ; il n'est pas vertical, donc d'équation \(y = L_a(x)\) avec \(L_a\) affine, et \(f(x) \geq L_a(x)\) sur \(U\) avec égalité en \(a\). Ainsi \[ f(x) = \sup_a L_a(x) . \] Si de plus \(f\) est croissante en chacune de ses variables, les coefficients \(c_i\) de \(L_a\) sont \(\geq 0\) : sinon, \(L_a\) décroissant en \(x_1\) au voisinage de \(a_1\) tandis que \(f\) croît, on aurait \(L_a > f\) d'un côté. C'est l'ingrédient de la page 82.

81–92

Le lemme de Weyl et les trois théorèmes de convexité (pages 81 à 92)

Le numéro 4, « Inégalités de convexité et classes remarquables d'opérateurs, compléments ». Tout y descend d'un lemme que la page 81 attribue à H. Weyl et qui est, sous sa forme additive, le théorème de majoration de Hardy, Littlewood et Pólya.

Théorème 1, 1° (lemme fondamental). Soient \((\alpha_i)_{i \leq n}\) et \((\beta_i)_{i \leq n}\) deux suites réelles, la première décroissante, telles que \[ \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \leq \beta_1 + \cdots + \beta_m \qquad (m = 1, \ldots, n), \] et \(\varphi\) une fonction convexe symétrique sur \(\mathbf{R}^n\). Si a) \(\varphi\) est croissante en chaque variable, ou si b) \(\sum \alpha_i = \sum \beta_i\), alors \[ \varphi(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \leq \varphi(\beta_1, \ldots, \beta_n) . \] ⁴⁵ Démonstration. Une fonction convexe sur \(\mathbf{R}^n\) est continue et son épigraphe est un convexe fermé, donc \(\varphi = \sup_k L_k\) pour des fonctions affines \(L_k(t) = \sum a_i t_i + b\) ; si \(\varphi\) est croissante, on peut prendre tous les \(a_i \geq 0\), car un \(a_i < 0\) donnerait \(L_k(t) \to +\infty\) quand \(t_i \to -\infty\) alors que \(\varphi(t)\) reste bornée. Si \(\varphi\) est symétrique, \(\sigma L_k \leq \varphi\) pour toute permutation \(\sigma\), donc \(\varphi = \sup_k \sup_\sigma \sigma L_k\), et il suffit de prouver, pour une \(L\) fixée, \[ \sup_\sigma (\sigma L)(\alpha) \leq \sup_\sigma (\sigma L)(\beta) . \] On peut supposer \(b = 0\). Le sup de gauche est atteint quand les \(a_i\) sont rangés en décroissant en face des \(\alpha_i\) décroissants (inégalité de réarrangement), et l'on est ramené à \(\sum a_i\alpha_i \leq \sum a_i\beta_i\) pour \(a_1 \geq \cdots \geq a_n\). Or, par sommation d'Abel, \[ \sum a_i\alpha_i = (a_1 - a_2)\,\alpha_1 + (a_2 - a_3)(\alpha_1 + \alpha_2) + \cdots + (a_{n-1} - a_n)(\alpha_1 + \cdots + \alpha_{n-1}) + a_n(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n), \] et de même pour \(\beta\) ; les \(n-1\) premiers coefficients sont \(\geq 0\) et multiplient des sommes partielles majorées, et le dernier terme est majoré soit parce que \(a_n \geq 0\) (cas a), soit parce que les sommes totales sont égales (cas b).

Théorème 1, 2° (forme multiplicative). Soit \(f(\rho_1, \ldots, \rho_n)\) une fonction des \(\rho_i > 0\) telle que \(f(e^{t_1}, \ldots, e^{t_n})\) soit convexe et symétrique. Soient \(\rho_1 \geq \cdots \geq \rho_n \geq 0\) et \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n \geq 0\) avec \[ \rho_1 \cdots \rho_m \leq \sigma_1 \cdots \sigma_m \qquad (m = 1, \ldots, n) . \] Si a) \(f\) est croissante en chaque variable, définie et continue pour \(\rho_i \geq 0\), ou si b) \(\rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n \neq 0\), alors \(f(\rho) \leq f(\sigma)\). Pour des \(\rho_i\), \(\sigma_i > 0\) c'est le 1° avec \(\alpha_i = \log\rho_i\), \(\beta_i = \log\sigma_i\) ; dans le cas a) on atteint les suites ayant des zéros en approchant \((\rho_i), (\sigma_i)\) par des suites admissibles strictement positives — les pages 81 et 82 y reviennent deux fois, encadrent et barrent leur premier essai. ⁴⁶

Corollaire 1a. Sous les conditions du 2°, b), on a aussi \(f(1/\rho_1, \ldots, 1/\rho_n) \leq f(1/\sigma_1, \ldots, 1/\sigma_n)\) : de \(\rho_1 \cdots \rho_n = \sigma_1 \cdots \sigma_n\) on tire \(\rho_M \cdots \rho_n \geq \sigma_M \cdots \sigma_n\) pour tout \(M\), donc les suites \((1/\rho_n, \ldots, 1/\rho_1)\) et \((1/\sigma_n, \ldots, 1/\sigma_1)\) satisfont encore aux hypothèses.

Remarque. Si deux suites satisfont aux hypothèses du 1° (resp. du 2°), leurs \(k\) premiers termes y satisfont aussi pour \(1 \leq k \leq n\), et l'inégalité vaut pour les fonctions de \(k\) variables.

Exemples. Si \(f\) est convexe croissante des \(\rho_i\), alors \(f\circ \exp\) est convexe, comme sup de fonctions \(\sum a_i e^{t_i} + b\) avec \(a_i \geq 0\). Si \(f(\rho)\) est une fonction d'une variable avec \(f\circ\exp\) convexe, \(\sum f(\rho_i)\) satisfait aux conditions du 2°, b), et à celles de a) si de plus \(f\) est croissante et continue en \(0\) ; d'où \[ \sum_{i=1}^{n} f(\rho_i) \leq \sum_{i=1}^{n} f(\sigma_i), \qquad\text{et sous a)}\qquad \sum_{i=1}^{k} f(\rho_i) \leq \sum_{i=1}^{k} f(\sigma_i)\quad (k \leq n) . \] Pour \(f(\rho) = \rho^p\) : \(\sum \rho_i^p \leq \sum \sigma_i^p\) pour \(p\) réel sous b), et pour tout \(k\) si \(p \geq 0\). Enfin toute norme symétrique \(N\) sur \(\mathbf{R}^n\) avec \(N(x) = N(|x|)\), croissante sur l'orthant positif — une norme de Schatten, dira le numéro 5 — satisfait aux conditions du 2°, a), d'où \(N(\rho) \leq N(\sigma)\) et \(N(\rho_1, \ldots, \rho_k) \leq N(\sigma_1, \ldots, \sigma_k)\).

Théorème 2 (premier théorème de convexité dans les espaces de Hilbert). Soit \(u\) un opérateur compact dans un espace de Hilbert et \(f\) une fonction de \(n\) variables \(\geq 0\), symétrique, croissante en chacune, continue, avec \(f\circ\exp\) convexe. Alors \[ f(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|) \leq f(s_1, \ldots, s_n), \] par le théorème 1, 2°, a), et l'inégalité \(|\lambda_1 \cdots \lambda_m| \leq s_1 \cdots s_m\) du numéro 3.

Corollaire 1. Si \(f\) est croissante sur \(\mathbf{R}_{+}\), continue, avec \(f\circ\exp\) convexe : \(\sum_{i \leq k} f(|\lambda_i|) \leq \sum_{i \leq k} f(s_i)\) pour tout \(k\), et \(\sum_i f(|\lambda_i|) \leq \sum_i f(s_i)\), la première somme convergeant si la seconde converge. Corollaire 2. Pour \(p > 0\), \(\sum_{i \leq k} |\lambda_i|^p \leq \sum_{i \leq k} s_i^p\) et \(\sum_i |\lambda_i|^p \leq \sum_i s_i^p = \|u\|_p^p\). Corollaire 3. Si \(u\) est à trace (resp. de Hilbert–Schmidt), la suite des valeurs propres est sommable (resp. de carré sommable), avec \(\sum |\lambda_i| \leq \|u\|_1\) (resp. \((\sum |\lambda_i|^2)^{1/2} \leq \|u\|_2\)).⁴⁷ Corollaire 4. En dimension finie \(n\), si \(f\circ\exp\) est convexe et symétrique sans être croissante, l'inégalité \(f(|\lambda|) \leq f(s)\) vaut encore pourvu que \(u\) soit inversible ou que \(f\) soit définie et continue sur l'orthant fermé : c'est le cas b), grâce à \[ |\lambda_1 \cdots \lambda_n| = |\det u| = s_1 \cdots s_n, \] puisque \((s_1 \cdots s_n)^2 = \det(u^{*}u) = |\det u|^2\). Corollaire 5. Pour \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^k\), \(k \leq \dim E\) : \(N(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_k|) \leq N(s_1, \ldots, s_k)\) ; et si \(N\) est une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) — l'espace des suites à support fini —, prolongée par \(N(\xi) = \lim_n N(\xi_1, \ldots, \xi_n, 0, \ldots)\), alors \(N((|\lambda_i|)) \leq N((s_i))\).

Théorème 3 (deuxième théorème de convexité). Soient \(u \in L_0(E,F)\), \(v \in L_0(F,G)\) et \(f\) comme au théorème 2. Alors \[ f\bigl(s_1(vu), \ldots, s_n(vu)\bigr) \leq f\bigl(s_1(v)s_1(u), \ldots, s_n(v)s_n(u)\bigr), \] par le théorème 1, 2°, a), et l'inégalité de Horn du numéro 3.⁴⁸ Corollaire 1. Pour \(f\) continue croissante sur \(\mathbf{R}_{+}\) avec \(f\circ\exp\) convexe, \(\sum_{i \leq n} f(s_i(vu)) \leq \sum_{i \leq n} f(s_i(v)s_i(u))\) pour tout \(n\), et de même pour les sommes infinies. Un feuillet collé page 90 en donne le sens : les \(s_i(vu)\) sont majorés, au sens des fonctions de Weyl, par ce qu'ils seraient si \(u\) et \(v\) étaient les multiplications par \((s_i(u))\) et \((s_i(v))\) dans \(\ell^2\). Corollaire 2 (« inégalité de Hölder pour opérateurs »). Pour \(\frac1p + \frac1q = \frac1s\), \(p, q, s > 0\), et tout \(n\), \[ \Bigl(\sum_{i \leq n} s_i(vu)^s\Bigr)^{1/s} \leq \Bigl(\sum_{i \leq n} s_i(u)^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\sum_{i \leq n} s_i(v)^q\Bigr)^{1/q}, \qquad\text{d'où}\qquad \|vu\|_s \leq \|u\|_p\,\|v\|_q, \] en prenant \(f(\rho) = \rho^s\) dans le corollaire 1 puis l'inégalité de Hölder ordinaire. Le cas le plus important est \(s = 1\) : \(\|vu\|_1 \leq \|u\|_p\|v\|_{p'}\) pour \(\frac1p + \frac1{p'} = 1\). Corollaire 3 (en marge). \(|\operatorname{Tr} vu| \leq \sum_i s_i(u)\,s_i(v)\), par \(f(s) = s\) et \(|\operatorname{Tr} w| \leq \sum s_i(w)\).⁴⁹ Corollaire 4 (feuillet collé). En dimension finie \(n\), si \(f\circ\exp\) est convexe et symétrique, et si \(u\) et \(v\) sont inversibles ou \(f\) continue sur l'orthant fermé, \(f(s(vu)) \leq f(s(u)s(v))\), grâce à \(\prod s_i(vu) = \prod s_i(u)s_i(v)\), les deux membres valant \(|\det(vu)|\) et \(|\det u|\,|\det v|\). Un crayon en marge demande : « Est-ce utile ? »

Théorème 4 (troisième théorème de convexité). Pour \(u\), \(v \in L_0(E,F)\) et \(\varphi\) convexe, symétrique et croissante de \(n\) variables \(\geq 0\), \[ \varphi\bigl(s_1(u+v), \ldots, s_n(u+v)\bigr) \leq \varphi\bigl(s_1(u) + s_1(v), \ldots, s_n(u) + s_n(v)\bigr), \] cas particulier du théorème 1, 1°, a), et de \(\sum_{i \leq m} s_i(u+v) \leq \sum_{i \leq m} (s_i(u) + s_i(v))\) du numéro 1.⁵⁰

Corollaire 1. Soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^n\) et, pour \(u\) compact, \(\|u\|_N = N(s_1(u), \ldots, s_n(u))\). Alors \[ \|u + v\|_N \leq \|u\|_N + \|v\|_N, \] car \(N(s(u+v)) \leq N(s(u) + s(v)) \leq N(s(u)) + N(s(v))\).⁵¹ Corollaire 2. Pour \(1 \leq p \leq \infty\) et tout \(n\), \((\sum_{i \leq n} s_i(u+v)^p)^{1/p} \leq (\sum_{i \leq n} s_i(u)^p)^{1/p} + (\sum_{i \leq n} s_i(v)^p)^{1/p}\), d'où \[ \|u + v\|_p \leq \|u\|_p + \|v\|_p . \]

93–100

Classes remarquables d'opérateurs (pages 93 à 100)

Le numéro 5 est « un exposé de la théorie de Schatten, simplifié par les inégalités de convexité de Weyl, en y apportant quelques compléments ».

Définition 1. Une norme \(N\) sur \(\mathbf{R}^n\) est une norme de Schatten si elle est symétrique, si \(N(x_1, \ldots, x_n) = N(|x_1|, \ldots, |x_n|)\), si elle est croissante sur l'orthant positif, et si \(N(1, 0, \ldots, 0) = 1\).⁵² Une norme sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) est de Schatten si elle induit une norme de Schatten sur chaque \(\mathbf{R}^n\). Exemples : les \(N_p(x) = (\sum |x_i|^p)^{1/p}\), \(1 \leq p < \infty\), et \(N_\infty(x) = \sup |x_i|\). Toute norme de Schatten \(N_0\) sur \(\mathbf{R}^n\) est induite par une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), par exemple \(N(x) = N_0(x^{*}_1, \ldots, x^{*}_n)\) où \(x^{*}\) est la suite des \(|x_i|\) rangée en décroissant ; la seule chose à vérifier est l'inégalité triangulaire, et elle résulte du corollaire 1 du théorème 4, \(x\) étant vu comme l'opérateur de multiplication par \(x\) dans \(\ell^2\). Il y a donc une infinité continue de normes de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) équivalentes à la norme de \(c_0\).

Les espaces \(\ell^N\) et \(\ell_N\). Pour \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) et \(x\) une suite complexe, posons \(|x|_n = (|x_1|, \ldots, |x_n|, 0, \ldots)\) et \[ N(x) = \lim_n N(|x|_n) \in [0, +\infty] . \] On a \(N(\lambda x) = |\lambda| N(x)\) et \(N(x+y) \leq N(x) + N(y)\), car \(|x+y|_n \leq |x|_n + |y|_n\) et \(N\) croît sur l'orthant. Soit \(\ell^N\) l'espace des \(x\) avec \(N(x) < \infty\) : \(N\) est une norme sur \(\ell^N\). Si \(N' \leq N''\), alors \(\ell^{N''} \subset \ell^{N'}\) avec injection de norme \(\leq 1\) ; comme toute norme de Schatten est comprise entre \(N_\infty\) et \(N_1\), \[ \ell^1 \subset \ell^N \subset \ell^\infty, \] les injections étant de norme \(\leq 1\). On a de plus, pour toute suite \((x^k)\) dans \(\ell^N\) avec \(\sum_k N(x^k) < \infty\), la sous-additivité dénombrable \(N(\sum_k x^k) \leq \sum_k N(x^k)\), où la série converge dans \(\ell^\infty\) ; et il en résulte que \(\ell^N\) est complet, une série normalement convergente convergeant vers sa somme dans \(\ell^\infty\) puis, par cette inégalité appliquée aux restes, dans \(\ell^N\).

Soit \(\ell_N\) l'adhérence de \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) dans \(\ell^N\), c'est-à-dire le complété de \(\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}\) pour \(N\). Si \(N' \leq N''\), \(\ell_{N''} \subset \ell_{N'}\),⁵³ et \[ \ell^1 \subset \ell_N \subset c_0, \] les espaces \(\ell_N\) pour \(N_1\) et \(N_\infty\) étant \(\ell^1\) et \(c_0\). Une formule \(\ell_N = \ell^N \cap c_0\) est écrite, numérotée (9), puis barrée ; elle est fausse en général.⁵⁴

La norme polaire. \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) est en dualité avec lui-même par \(\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i\), et toute norme \(N\) y a une norme polaire \[ N^{\circ}(y) = \sup_{N(x) \leq 1} |\langle x, y\rangle| , \] avec \((N^{\circ})^{\circ} = N\) ; si \(N\) est de Schatten, \(N^{\circ}\) l'est. Pour \(x \in \ell^N\), \(y \in \ell^{N^{\circ}}\) on a \(\sum |x_i y_i| \leq N(x)\, N^{\circ}(y)\), d'où un accouplement naturel entre \(\ell^N\) et \(\ell^{N^{\circ}}\), et :

Le dual de \(\ell_N\) est \(\ell^{N^{\circ}}\), avec sa norme, pour cet accouplement. Une forme linéaire continue \(X'\) sur \(\ell_N\) se restreint à \(\ell^1\), donc est donnée par un \(x' \in \ell^\infty\) ; alors \(N^{\circ}(|x'|_n) \leq \|X'\|\) pour tout \(n\), donc \(N^{\circ}(x') \leq \|X'\|\). En général le dual de \(\ell^N\) n'est pas \(\ell^{N^{\circ}}\), car \(\ell_N\) n'est pas dense dans \(\ell^N\) ; exemple \(N = N_\infty\).⁵⁵

Proposition. \(\ell_N\) est réflexif si et seulement si \(\ell_N = \ell^N\) et \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\). Si \(\ell_N\) est réflexif, son bidual \((\ell^{N^{\circ}})'\), qui contient \(\ell^N\) isométriquement par l'accouplement, est \(\ell_N\), d'où \(\ell_N = \ell^N\) ; et \(\ell^{N^{\circ}}\), dual d'un réflexif, est réflexif, d'où de même \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\). Réciproquement, sous ces deux égalités, le dual de \(\ell_N\) est \(\ell_{N^{\circ}}\) et le dual de celui-ci est \(\ell_N\), par l'accouplement canonique.⁵⁶

Les classes \(\mathcal{S}^N(E,F)\). Soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), non équivalente à \(N_\infty\), et \(E\), \(F\) deux espaces de Hilbert. On note \(\mathcal{S}^N(E,F)\) le sous-espace de \(L_0(E,F)\) des \(u\) tels que \((s_i(u)) \in \ell^N\), et \[ N(u) = N\bigl((s_i(u))\bigr) < \infty . \] C'est une norme : \(N(u+v) = \lim_n N(|s(u+v)|_n) \leq \lim_n \bigl(N(|s(u)|_n) + N(|s(v)|_n)\bigr)\) par le corollaire 1 du théorème 4. Soit \(\mathcal{S}_N(E,F)\) le sous-espace des \(u\) avec \((s_i(u)) \in \ell_N\) ; c'est l'adhérence de \(\bar{E} \otimes F\) dans \(\mathcal{S}^N(E,F)\), puisque \(u = \sum s_i\,\bar{e}_i \otimes f_i\) est limite de ses sommes partielles exactement quand \(N(s_{n+1}, s_{n+2}, \ldots) \to 0\), ce qui caractérise \(\ell_N\) dans \(\ell^N\).

Multiplicativité. Si \(N\), \(N'\), \(N''\) sont des normes de Schatten avec \(N(xy) \leq N'(x)\,N''(y)\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), la même inégalité vaut sur \(\ell^{N'} \times \ell^{N''}\), et pour \(u \in \mathcal{S}^{N'}(E,F)\), \(v \in \mathcal{S}^{N''}(F,G)\) on a \(vu \in \mathcal{S}^{N}(E,G)\) avec \[ N(vu) \leq N'(u)\,N''(v), \] par le corollaire 1 du théorème 3 appliqué à la norme \(N\). En particulier, pour les normes polaires, \(\|vu\|_1 \leq N(u)\,N^{\circ}(v)\) ; et \(N(u^{*}) = N(u)\), \(N(vu) \leq \|v\|\,N(u)\), \(N(uv) \leq \|v\|\,N(u)\), par \(s_i(vu) \leq \|v\| s_i(u)\).

Le dual de \(\mathcal{S}_N(E,F)\) est \(\mathcal{S}^{N^{\circ}}(F,E)\), par \(\langle u, v\rangle = \operatorname{Tr} vu\). Le dual de \(\mathcal{S}_N(E,F)\) s'identifie à un sous-espace du dual de \(\mathcal{S}_{N_1}(E,F) = \mathcal{S}_1(E,F)\), donc de \(L(F,E)\) ; ce sous-espace contient \(\mathcal{S}^{N^{\circ}}(F,E)\), isométriquement par l'inégalité précédente. Réciproquement, soit \(v \in L(F,E)\) tel que \(|\operatorname{Tr} vu| \leq M\,N(u)\) pour \(u\) de rang fini. Par \(v = U|v|\), \(|v| = Vv\), on se ramène à \(F = E\) et \(v \geq 0\) ; pour tout projecteur \(P\) de rang fini de la décomposition spectrale de \(v\), \(v = \sum \rho_i\,\bar{e}_i \otimes e_i\), les \(u\) diagonaux dans la base \((e_i)\) montrent que \((\rho_i)\) définit une forme continue sur \(\ell_N\), donc \((\rho_i) \in (\ell_N)' = \ell^{N^{\circ}}\), ce qui est la conclusion.⁵⁷

Corollaire 1. \(u \in \mathcal{S}^N(E,F)\) si et seulement si \(|u| \in \mathcal{S}^N(E)\), et \(N(u) = N(|u|)\) ; de même pour \(\mathcal{S}_N\). Corollaire 2. Si \(u = h + ik\) avec \(h\), \(k\) hermitiens, \(u \in \mathcal{S}^N(E)\) si et seulement si \(h\), \(k \in \mathcal{S}^N(E)\), et de même pour \(\mathcal{S}_N\).

Remarque (caractérisation axiomatique). Soit \(p\) une norme sur \(\bar{E} \otimes F\), \(E\) et \(F\) de dimension infinie, telle que a) \(p(VuU) = p(u)\) pour \(U\), \(V\) unitaires, et b) \(p(\bar{x} \otimes y) = \|x\|\,\|y\|\). Pour \((e_i)\), \((f_i)\) orthonormaux infinis, \((\lambda_i) \mapsto p(\sum \lambda_i\,\bar{e}_i \otimes f_i)\) est sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) une norme symétrique (par a), normalisée (par b), fonction de \((|\lambda_i|)\) (par a), donc une norme de Schatten \(N\), et \(p(u) = N(u)\) sur \(\bar{E} \otimes F\) par a). Ce sont donc les normes \(N(u)\) sur les opérateurs de rang fini.⁵⁸

101–104

Espaces de Schatten : le théorème récapitulatif (pages 101 à 104)

Deux pages de plan, puis un « Théorème 1 » en cinq points dont les formules (18) à (27) continuent la numérotation du numéro 5. Le plan ajoute au numéro 5 : \(N(x)\) est fonction croissante de \(|x|\) ; \(\ell_N \subsetneq c_0\) sauf si \(N \sim N_\infty\) ; \((N_p)^{\circ} = N_{p'}\) et l'on retrouve la réflexivité des \(\ell^p\), \(1 < p < \infty\) ; \(\mathcal{S}^N(E,F) \subset L_0(E,F)\) si \(N \not\sim N_\infty\), car si \(|u|\) n'était pas compact il aurait un projecteur spectral \(P\) de rang infini sur lequel \(|u| \geq \varepsilon > 0\), et \(v = |u|^{-1}P\), hermitien borné, donnerait \(v|u| = P \in \mathcal{S}^N\), donc \((1, 1, \ldots) \in \ell^N\) et \(N \sim N_\infty\) ; \(\mathcal{S}^{N_p} = \mathcal{S}_p\) et, pour \(p < \infty\), \(\mathcal{S}_{N_p} = \mathcal{S}_p\) ; les corollaires 1 et 2 sur \(|u|\) et \(h + ik\) ; et la remarque que \(\ell^N\) se plonge isométriquement dans \(\mathcal{S}^N(E,F)\) par \((\lambda_i) \mapsto \sum \lambda_i\,\bar{e}_i \otimes f_i\) quand \(E\) et \(F\) sont de dimension infinie.

Théorème 1. Soit \(N\) une norme de Schatten sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\) et \(E\), \(F\) deux espaces de Hilbert. Pour \(u \in L_0(E,F)\) posons \(N(u) = N((s_i(u)))\), et pour \(u \in L(E,F)\) \[ N(u) = \sup\bigl\{ |\operatorname{Tr} vu| : v \in \bar{F} \otimes E,\ N^{\circ}(v) \leq 1 \bigr\} ; \] les deux expressions coïncident sur \(L_0(E,F)\).⁵⁹

1. Soit \(\mathcal{S}^N(E,F)\) le sous-espace des \(u \in L(E,F)\) avec \(N(u) < \infty\) : \(N\) en fait un espace de Banach. Un \(u\) compact y est si et seulement si \((s_i(u)) \in \ell^N\). L'adhérence \(\mathcal{S}_N(E,F)\) de \(\bar{E} \otimes F\) dans \(\mathcal{S}^N(E,F)\) est l'ensemble des \(u\) compacts avec \((s_i(u)) \in \ell_N\).

2. \(N(u) = N(u^{*})\), donc \(u \in \mathcal{S}^N(E,F)\) si et seulement si \(u^{*} \in \mathcal{S}^N(F,E)\), et de même pour \(\mathcal{S}_N\) ; et pour \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,G)\), \(N(vu) \leq \|v\|\,N(u)\) et \(N(vu) \leq \|u\|\,N(v)\).⁶⁰ Sur les hermitiens positifs compacts, \(N(u)\) est fonction croissante de \(u\).

3. Si \(N(xy) \leq N'(x)\,N''(y)\) sur \(\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}\), alors pour \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,G)\) : \(N(vu) \leq N'(u)\,N''(v)\) ; donc \(u \in \mathcal{S}^{N'}(E,F)\) et \(v \in \mathcal{S}^{N''}(F,G)\) entraînent \(vu \in \mathcal{S}^N(E,G)\), et \(vu \in \mathcal{S}_N(E,G)\) si de plus \(u \in \mathcal{S}_{N'}\) ou \(v \in \mathcal{S}_{N''}\). En particulier \(\|vu\|_1 \leq N(u)\,N^{\circ}(v)\) pour \(u \in L(E,F)\), \(v \in L(F,E)\), et \(|\operatorname{Tr} vu| \leq N(u)\,N^{\circ}(v)\) pour \(u \in \mathcal{S}^N(E,F)\), \(v \in \mathcal{S}^{N^{\circ}}(F,E)\). La démonstration pour \(u\), \(v\) non compacts passe par \(N(u) = \lim N(pup)\) sur les projecteurs \(p\) de rang fini croissant vers \(1\), puis par le deuxième théorème de convexité en dimension finie.

4. Par l'accouplement \(\langle u, v\rangle = \operatorname{Tr} vu\), le dual de \(\mathcal{S}_N(E,F)\) s'identifie à \(\mathcal{S}^{N^{\circ}}(F,E)\). Si \(E\) et \(F\) sont de dimension infinie, les conditions suivantes sont équivalentes : a) \(\mathcal{S}_N(E,F)\) est réflexif ; b) \(\mathcal{S}^N(E,F)\) est réflexif ; c) \(\ell_N\) est réflexif ; d) \(\ell^N\) est réflexif ; e) \(\ell_{N^{\circ}}\) est réflexif ; f) \(\ell^{N^{\circ}}\) est réflexif ; g) \(\mathcal{S}_N(E,F) = \mathcal{S}^N(E,F)\) et \(\mathcal{S}_{N^{\circ}}(F,E) = \mathcal{S}^{N^{\circ}}(F,E)\). Car \(\ell^N\) (resp. \(\ell_N\)) est un sous-espace fermé de \(\mathcal{S}^N(E,F)\) (resp. \(\mathcal{S}_N(E,F)\)), et un sous-espace fermé d'un réflexif est réflexif ; \(\ell_N\) réflexif donne \(\ell_N = \ell^N\) et \(\ell_{N^{\circ}} = \ell^{N^{\circ}}\) par la proposition de la page 97, donc \(\mathcal{S}_N = \mathcal{S}^N\) et de même pour \(N^{\circ}\), donc le dual de \(\mathcal{S}_N(E,F)\) est \(\mathcal{S}_{N^{\circ}}(F,E)\) et le dual de celui-ci est \(\mathcal{S}_N(E,F)\), qui est réflexif.⁶¹ Corollaire : pour \(1 < p < \infty\), \(\mathcal{S}_p(E,F)\) est réflexif, de dual \(\mathcal{S}_{p'}(F,E)\).

5. Pour \(u\) compact, \(N((\lambda_i(u))) \leq N(u)\), et \(u \in \mathcal{S}^N(E,F)\) entraîne \((\lambda_i(u)) \in \ell^N\) : c'est le corollaire 5 du premier théorème de convexité.

106–111

Fonctions entières : factorisation, genre, ordre (pages 106 à 111)

D'autres feuillets, d'une écriture posée, sur du papier dont le verso imprimé transparaît. Ce sont des rappels, et ils servent à une chose : la démonstration du théorème 1 de la page 70, que la proposition de la page 110 achève.

Théorème 1 (Weierstrass). Soit \(f\) entière avec \(f(0) \neq 0\) et \((a_n)\) la suite de ses zéros rangés par modules croissants. Il existe des entiers \(p_n \geq 0\) et une fonction entière \(g\) tels que \[ f(z) = e^{g(z)} \prod_n \Bigl(1 - \frac{z}{a_n}\Bigr) \exp\Bigl(\frac{z}{a_n} + \frac{z^2}{2a_n^2} + \cdots + \frac{z^{p_n}}{p_n a_n^{p_n}}\Bigr), \] le produit convergeant absolument et uniformément sur tout borné ; toute suite \((p_n)\) avec \(\sum_n |r/a_n|^{p_n + 1} < \infty\) pour tout \(r\) convient, et si \(\sum 1/|a_n|^{k+1} < \infty\) on peut prendre \(p_n = k\) pour tout \(n\).

Genre. Si \(\sum 1/|a_n|^{k+1} < \infty\) pour un \(k\), le plus petit étant \(k\), et si dans cette représentation \(g\) est un polynôme de degré \(r\), le genre de \(f\) est \(\max(r, k)\). Genre zéro signifie \(f(z) = C \prod_n (1 - z/a_n)\) avec \(\sum 1/|a_n| < \infty\).

Ordre. Avec \(M(r) = \sup_{|z| = r} |f(z)|\), l'ordre de \(f\) est \(\omega = \limsup \frac{\log\log M(r)}{\log r} \in [0, +\infty]\), borne inférieure des \(\sigma\) tels que \(M(r) \leq e^{r^\sigma}\) pour \(r\) grand.

Théorème 2 (Hadamard–Borel). Si \(\omega < \infty\), alors \(\sum' 1/|a_n|^{\omega + \varepsilon} < \infty\) pour tout \(\varepsilon > 0\), la somme portant sur les zéros non nuls, et \(f(z) = e^{P(z)}\prod_n (1 - z/a_n)\exp(\cdots + z^p/(p a_n^p))\) avec \(p \leq \omega\) et \(P\) polynôme de degré \(\leq \omega\) : le genre est \(\leq\) l'ordre. Corollaire : si \(\omega < 1\), \(f\) est de genre zéro. Remarque : inversement l'ordre est \(\leq\) genre \(+ 1\), d'où \(\omega - 1 \leq g \leq \omega\), et \(g\) est déterminé par \(\omega\) sauf si \(\omega\) est entier. Exemples : \(e^{z^\omega}\) est d'ordre et de genre \(\omega\) ; \(\prod (1 - z/n^\alpha)\), \(\alpha > 1\), est d'ordre \(1/\alpha\) et de genre zéro. L'ordre d'un produit ou d'une somme est au plus le maximum des ordres, de sorte que les fonctions d'ordre \(< \rho\) (resp. \(\leq \rho\)) forment une algèbre.

Théorème 3 (Hadamard). Pour \(f(z) = \sum c_n z^n\), l'ordre se lit sur les coefficients ; la page 109 s'interrompt au bord du feuillet après « si \(n^\alpha\sqrt[n]{|c_n|} \to 0\) ».⁶²

Proposition. Soit \(f\) entière dont les coefficients sont majorés en module par ceux d'une fonction \(h\) de genre zéro à coefficients positifs, et dont les zéros non nuls \(z_i\) vérifient \(\sum 1/|z_i| < \infty\). Alors \(f\) est de genre zéro.

Démonstration. On peut supposer \(h(z) = K\prod (1 + \alpha_i z)\) avec \(\alpha_i \geq 0\) sommables ; alors \(|f(z)| \leq h(|z|) \leq C_\varepsilon e^{\varepsilon |z|}\) pour tout \(\varepsilon\), \(f\) est d'ordre \(\leq 1\) et, par Hadamard–Borel et l'hypothèse sur les zéros, \(f(z) = e^{\alpha + \beta z} z^m \prod_i (1 - z/z_i)\). Il faut voir \(\beta = 0\). Sinon, quitte à remplacer \(f(z)\) par \(f(\theta z)\) avec \(\theta = \bar\beta/|\beta|\), on a \(\beta > 0\). Posons \(g(z) = z^m\prod_i (1 - z/z_i)\), de genre zéro, donc \(|g(z)| \leq K' e^{(a/3)|z|}\) pour tout \(a > 0\) et \(K'\) dépendant de \(a\). Sur le secteur \(|\arg z| \leq \theta\) avec \(\pi/3 < \theta < \pi/2\), on a \(\operatorname{Re} z \geq c|z|\) avec \(c > 0\), donc \(|f(z)| \geq K e^{\beta c |z|}\,|g(z)|\), et avec \(\varepsilon < \beta c\) il vient \(|g(z)| \leq K e^{-a|z|}\) sur ce secteur, \(a = \beta c - \varepsilon > 0\). Soit \(\omega = e^{2i\pi/3}\) et \(G(z) = g(z)\,g(\omega z)\,g(\omega^2 z)\) : pour tout \(z\), l'un des trois points \(z\), \(\omega z\), \(\omega^2 z\) est dans le secteur, puisque \(\theta > \pi/3\), et \[ |G(z)| \leq \bigl(K e^{-a|z|}\bigr)\bigl(K' e^{\frac{a}{3}|z|}\bigr)^2 = K'' e^{-\frac{a}{3}|z|} . \] \(G\) est donc bornée, donc constante ; mais \(G(z) = z^{3m}\prod_i (1 - z^3/z_i^3)\), ce qui force \(m = 0\) et l'absence de zéros : \(g\) est constante, \(f(z) = Ce^{\beta z}\), incompatible avec \(|f(z)| \leq C_\varepsilon e^{\varepsilon|z|}\) pour \(\varepsilon < \beta\).⁶³

112–118

Exposant de convergence, fonction de comptage (pages 112 à 118)

Soit \((\alpha_n)\) une suite décroissante de nombres positifs tendant vers zéro. Soit \(\rho\) la borne inférieure des \(s > 0\) tels que \(\alpha_n = O(n^{-1/s})\), et \(\sigma\) celle des \(s > 0\) tels que \(\sum \alpha_n^s < \infty\) — l'exposant de convergence ; on a aussi \(1/\rho = \limsup \frac{\log(1/\alpha_n)}{\log n}\). Le critère de Riemann donne \(\sigma \leq \rho\), et l'on a \(\rho \leq \sigma\), par le

Lemme. Si \(\sum \alpha_n^s < \infty\) et \((\alpha_n)\) décroît, alors \(\alpha_n = o(n^{-1/s})\). On se ramène à \(s = 1\) ; si l'on avait \(\alpha_{n_i} \geq 1/n_i\) le long d'une suite strictement croissante \((n_i)\), alors \(\alpha_{n_{i-1}+1} + \cdots + \alpha_{n_i} \geq (n_i - n_{i-1})/n_i =: \varepsilon_i\) avec \(\sum \varepsilon_i < \infty\), et \(n_i = n_{i-1}/(1 - \varepsilon_i) = \cdots = n_0/\prod_{k \leq i}(1 - \varepsilon_k)\) serait bornée.

Si \(\sum \alpha_i < \infty\) et \(f(z) = \prod (1 + \alpha_i z)\), alors \(\rho\) est aussi l'ordre de \(f\). On sait \(\rho \leq\) ordre ; pour l'inégalité inverse il suffit du cas \(\alpha_n = n^{-\beta}\), \(\beta > 1\), et d'y prouver ordre \(\leq 1/\beta\) : on coupe \(f(r) = \prod_{n \leq \nu}(1 + r/n^\beta)\prod_{n > \nu}(1 + r/n^\beta)\), le second facteur est \(\leq \exp(r\sum_{n > \nu} n^{-\beta}) \leq \exp\bigl(r\,\nu^{1-\beta}/(\beta - 1)\bigr)\), d'ordre \(\leq 1/\beta\) en \(r\) si \(\nu = [r^{1/\beta}] + 1\), et le premier est \(\leq (1+r)^\nu = e^{\nu\log(1+r)}\), d'ordre \(\leq 1/\beta\) aussi.⁶⁴ Si \(f(z) = \prod(1 + \lambda_i z)\) est de genre zéro et \(F(z) = \prod(1 + |\lambda_i|z)\), \(f\) et \(F\) ont même ordre, puisque ordre de \(f \leq\) ordre de \(F\) = ordre de la suite \((|\lambda_i|) \leq\) ordre de \(f\) par Hadamard.⁶⁵ On peut donc parler de l'ordre d'un ensemble dénombrable de nombres complexes, borne inférieure des \(s > 0\) avec \(\sum |z_i|^s < \infty\) ; une suite à décroissance rapide est une suite d'ordre zéro. Suivent trois lignes sur l'ordre d'une suite dans un espace de Banach et d'une partie bornée, puis dix lignes de crayon effacé.⁶⁶

La fonction de comptage. Soit \((r_\nu)\) une suite croissante de nombres \(> 0\) tendant vers l'infini et \(n(r)\) le nombre des \(\nu\) avec \(r_\nu \leq r\). Pour \(0 \leq a \leq b < \infty\) et \(\alpha > 0\), l'intégrale de Stieltjes \(\int_a^b r^{-\alpha}\,dn(r)\) donne \[ \sum_{a < r_\nu < b} \frac{1}{r_\nu^\alpha} = \frac{n(b-0)}{b^\alpha} - \frac{n(a+0)}{a^\alpha} + \alpha\int_a^b \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} . \] Proposition. \(\sum_\nu r_\nu^{-\alpha} < \infty\) si et seulement si \(\int_0^\infty n(r)\,r^{-\alpha-1}\,dr < \infty\) ; alors \(n(r)/r^\alpha \to 0\) et \[ \sum_{r_\nu > a} \frac{1}{r_\nu^\alpha} = -\frac{n(a+0)}{a^\alpha} + \alpha\int_a^\infty \frac{n(r)\,dr}{r^{\alpha+1}} . \] Le sens direct vient de la formule avec \(a = 0\) ; réciproquement, si l'intégrale converge, \(n(b_i)/b_i^\alpha\) est borné le long d'une suite \(b_i \to \infty\), d'où la convergence de la série ; et \(n(r)/r^\alpha \to 0\), sinon \(n(b_i) - n(b_{i-1}) \geq \varepsilon b_i^\alpha - M b_{i-1}^\alpha\) le long d'une suite qu'on peut choisir avec \(M(b_{i-1}/b_i)^\alpha \leq \varepsilon/2\), et les tranches \(\sum_{b_{i-1} < r_\nu \leq b_i} r_\nu^{-\alpha}\) resteraient \(\geq \varepsilon/2\). Plus généralement, pour \(\lambda\) décroissante, continûment dérivable et tendant vers zéro : \[\begin{gather*} \sum_\nu \lambda(r_\nu) < \infty \iff \int_0^\infty n(r)\,(-\lambda'(r))\,dr < \infty, \\ \sum_{r_\nu > a} \lambda(r_\nu) = -\lambda(a)\,n(a+0) + \int_a^\infty n(r)\,(-\lambda'(r))\,dr, \end{gather*}\] et alors \(\lambda(r)\,n(r) \to 0\).

Si les \(r_\nu\) sont les modules des zéros d'une fonction entière \(f\), le principe de l'argument donne \(2\pi\,n(r) = \int_0^{2\pi} \frac{f'}{f}(re^{i\varphi})\, re^{i\varphi}\,d\varphi\), et, en intégrant contre \(r\mu(r)\) puis en prenant les parties réelles, \[ \int_a^b n(r)\,\mu(r)\,dr = \bigl[r\mu(r)\,V(r)\bigr]_a^b - \int_a^b V(r)\,d(r\mu(r)), \qquad V(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\varphi})|\,d\varphi, \] pour \(\mu\) continûment dérivable ; avec \(\mu = -\lambda'\), \[ \sum_{a < r_\nu < b} \lambda(r_\nu) = \lambda(b)\,n(b-0) - \lambda(a)\,n(a+0) + \bigl[r\mu(r)\,V(r)\bigr]_a^b + \int_a^b V(r)\,d(r\lambda'(r)), \] et si \(r^2\mu(r) \to 0\) en \(0\) et \(|f(0)| = 1\), la formule vaut avec \(a = 0\) et sans le terme en \(a\). Comme \(V(r) \leq \log M(r)\), on obtient une majoration de \(\int_a^b n(r)\mu(r)\,dr\) par \(M(r)\).⁶⁷

119–121

Une fonction holomorphe sur \(\ell^1\) (pages 119 à 121)

Pour \(\lambda = (\lambda_i) \in \ell^1\) et \(n \geq 0\), soit \[ \alpha_n(\lambda) = \sum_{i_1 < \cdots < i_n} \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_n}, \qquad |\alpha_n(\lambda)| \leq \frac{\|\lambda\|_1^n}{n!} ; \] ce sont les coefficients de la fonction entière de genre zéro \(f(z) = \prod(1 + \lambda_i z)\), et l'on obtient ainsi les coefficients de toutes les fonctions entières de genre zéro valant \(1\) en \(0\).

Proposition. Pour tout \(\lambda \in \ell^1\) la série \(S(\lambda) = \sum_{n \geq 0} n!\,\alpha_n(\lambda)\) converge absolument. La fonction \(S\) est holomorphe au voisinage de \(0\), de rayon de convergence égal à \(1\), et sa restriction à toute droite est entière.

Corollaire. Pour tout \(\lambda \in \ell^1\), \(\sqrt[n]{|\alpha_n(\lambda)|} = o(1/n)\) ; autrement dit les coefficients d'une fonction entière de genre zéro s'écrivent \(\alpha_n = \varepsilon_n^n/n!\) avec \(\varepsilon_n \to 0\). Car \(\sqrt[n]{n!\,|\alpha_n(\lambda)|} \to 0\) exprime que \(\sum n!\,\alpha_n(\lambda) z^n = \sum n!\,\alpha_n(\lambda z)\) converge pour tout \(z\), et \(\sqrt[n]{n!} \sim n/e\) (Stirling).⁶⁸

Démonstration. On peut supposer les \(\lambda_i > 0\) et décroissants. Soit \(f(z) = \prod(1 + \lambda_i z) = \sum \alpha_n z^n\). Par l'inégalité de Cauchy, \(\alpha_n \leq M(R)/R^n\) avec \(M(R) = f(R) = \prod(1 + \lambda_i R)\), et \(\prod_{i \geq n+2}(1 + \lambda_i R) \leq e^{\rho_{n+1}R}\) où \(\rho_{n+1} = \sum_{k \geq n+2}\lambda_k\). Avec \(R = (n+1)/\rho_{n+1}\) : \[ \alpha_n \leq \prod_{k=1}^{n+1}\Bigl(\frac{\rho_{n+1}}{n+1} + \lambda_k\Bigr) e^{n+1} \leq \prod_{k=1}^{n+1}\Bigl(\frac{\rho_k}{k} + \lambda_k\Bigr) e^{n+1} . \] Or \(\lambda_k = o(1/k)\) (lemme de la page 112) et \(\rho_k/k = o(1/k)\), donc \(\rho_k/k + \lambda_k \leq \varepsilon_k/k\) avec \(\varepsilon_k \to 0\), et \[ n!\,\alpha_n \leq \frac{\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_{n+1}}{n+1}\,e^{n+1}, \qquad \sqrt[n]{n!\,\alpha_n} \to 0 ; \] la série converge absolument.⁶⁹ Ensuite \(S\) est holomorphe près de \(0\) puisque \(|\alpha_n(\lambda)| \leq \|\lambda\|_1^n\) ; mieux, la forme \(n\)-linéaire symétrique associée à \(\alpha_n\) est \[ \alpha_n(\lambda^{(1)}, \ldots, \lambda^{(n)}) = \frac{1}{n!} \sum_{i_1, \ldots, i_n \text{ distincts}} \lambda^{(1)}_{i_1} \cdots \lambda^{(n)}_{i_n}, \] de norme \(\leq 1/n!\), donc \(\|n!\,\alpha_n\| \leq 1\) et le rayon \(R_0\) de la série de Taylor de \(S\) en \(0\) est \(\geq 1\). Enfin, pour \(a^{(m)} \in \ell^1\) valant \(1/m\) sur les \(m\) premiers indices et \(0\) ailleurs, \(\|a^{(m)}\|_1 = 1\) et \[ n!\,\alpha_n(a^{(m)}) = \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{m^n} = \Bigl(1 - \frac{1}{m}\Bigr)\cdots\Bigl(1 - \frac{n-1}{m}\Bigr) \to 1 \quad (m \to \infty), \] donc \(S(a^{(m)}) \to \infty\) : \(S\) n'est pas bornée sur la boule unité, le rayon est \(\leq 1\), et \(R_0 = R_1 = 1\).⁷⁰

123–125

Le déterminant d'une somme (pages 123 à 125)

Trois feuillets d'une main plus lente, antérieurs à la mise au net de la page 70, dont ils sont la source. La page 123 s'ouvre au milieu d'un énoncé : pour \(u_1, \ldots, u_n\) à trace, en notant \(|u|' = |u^{*}|\), \[ \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1^2 \leq \alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|)\; \alpha_n(|u_1|', \ldots, |u_n|'), \qquad |\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|) . \] Avec \(u_i = \sum_\alpha \lambda^{(i)}_\alpha\,\bar{a}^{(i)}_\alpha \otimes b^{(i)}_\alpha\) (Schmidt), on a \(|u_i| = \sum \lambda^{(i)}_\alpha\, \bar{a}^{(i)}_\alpha \otimes a^{(i)}_\alpha\), \(|u_i|' = \sum \lambda^{(i)}_\alpha\, \bar{b}^{(i)}_\alpha \otimes b^{(i)}_\alpha\), et \[ u_1 \wedge \cdots \wedge u_n = \frac{1}{n!}\sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} \lambda^{(1)}_{\alpha_1} \cdots \lambda^{(n)}_{\alpha_n}\, \overline{(a^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge a^{(n)}_{\alpha_n})} \otimes (b^{(1)}_{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge b^{(n)}_{\alpha_n}), \] d'où \(\|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac{1}{n!}\sum \prod \lambda\,\|a_{\alpha_1} \wedge \cdots\|\,\|b_{\alpha_1} \wedge \cdots\|\), tandis que \(\alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|) = \frac{1}{n!}\sum \prod\lambda\, \|a_{\alpha_1} \wedge \cdots\|^2\) et de même avec les \(b\) ; c'est Cauchy–Schwarz.

Corollaire 1. \(|\alpha_n(u_1, \ldots, u_n)| \leq \|u_1 \wedge \cdots \wedge u_n\|_1 \leq \frac12\bigl(\alpha_n(|u_1|, \ldots, |u_n|) + \alpha_n(|u_1|', \ldots, |u_n|')\bigr)\). Corollaire 2. \(|\alpha_n(A+B)|^2 \leq \alpha_n(|A| + |B|)\; \alpha_n(|A|' + |B|')\) : on développe \(\alpha_n(A+B) = \sum_k \binom{n}{k} \alpha_n(A, \ldots, A, B, \ldots, B)\), on majore chaque terme par la racine du produit des deux \(\alpha_n\) correspondants, et Cauchy–Schwarz sur la somme en \(k\) refait les deux \(\alpha_n(|A| + |B|)\) et \(\alpha_n(|A|' + |B|')\). Corollaire 3. \(|\det(1 + A + B)| \leq \frac12\bigl(\det(1 + |A| + |B|) + \det(1 + |A|' + |B|')\bigr)\). Corollaire 4. \(|\det(1 + A + B)| \leq \det(1 + |A|)\,\det(1 + |B|)\). Il suffit, par le corollaire 3 et \(\det(1 + |A|) = \det(1 + |A|')\), de le prouver pour \(A = H\) et \(B = K\) hermitiens positifs ; alors \(1 + H + K = (1 + H)\bigl(1 + (1+H)^{-1}K\bigr)\), donc \(\det(1 + H + K) = \det(1 + H)\, \det(1 + H'K)\) avec \(H' = (1+H)^{-1}\) hermitien positif de norme \(\leq 1\), et il reste \(\det(1 + H'K) \leq \det(1 + K)\), soit \(\alpha_n(H'K) \leq \alpha_n(K)\) pour tout \(n\), ce qui résulte de \(\Lambda^n(H'K) = (\Lambda^n H')(\Lambda^n K)\) et \(\|\Lambda^n(H'K)\|_1 \leq \|\Lambda^n H'\|\, \|\Lambda^n K\|_1 \leq \|K\|_1\)-type, avec \(\|\Lambda^n H'\| \leq \|H'\|^n \leq 1\).⁷¹ Corollaire 5. \(\det(1 + |A + B|) \leq \det(1 + |A|)\,\det(1 + |B|)\). Il contient le précédent, puisque \(|\det(1 + A + B)| \leq \det(1 + |A + B|)\), et il en résulte : \(|A + B| = U(A + B)\) pour une isométrie partielle \(U\), et par le corollaire 4, \(\det(1 + UA + UB) \leq \det(1 + |UA|)\det(1 + |UB|)\) avec \(|UA| = |A|\) sur le support, donc \(\det(1 + |UA|) \leq \det(1 + |A|)\).⁷²

126–131

Le théorème sur les classes \(\mathcal{S}_p(H)\), \(0 < p \leq \infty\) (pages 126 à 131)

Quatorze pages d'un seul tenant, l'état ancien de la théorie, avant le lemme de Weyl : un énoncé en trois points et sa démonstration, numérotée (1) à (14).

Théorème. 1) Pour \(0 < p \leq \infty\), \(\mathcal{S}_p(H)\) est un idéal bilatère de \(L(H)\), stable par \(A \mapsto A^{*}\) : \[ \|A\|_p = \|A^{*}\|_p, \qquad \|BA\|_p \leq \|B\|\,\|A\|_p, \qquad \|AB\|_p \leq \|B\|\,\|A\|_p \qquad (A \in \mathcal{S}_p(H),\ B \in L(H)) . \] Si \(1 \leq p \leq \infty\), \(\|\cdot\|_p\) est une norme sur \(\mathcal{S}_p(H)\) : \(\|A + B\|_p \leq \|A\|_p + \|B\|_p\), et \(\mathcal{S}_p(H)\) est complet. Si \(0 < p \leq 1\), \(S_p(A) = \|A\|_p^p\) vérifie \[ S_p(A + B) \leq S_p(A) + S_p(B), \] et pour la distance invariante \(S_p(A - B)\), \(\mathcal{S}_p(H)\) est un espace vectoriel topologique métrisable complet, non localement convexe si \(p < 1\) et \(\dim H = \infty\). 2) Si \(A \in \mathcal{S}_p(H)\), \(0 < p < \infty\), la suite \((\lambda_i)\) de ses valeurs propres est de puissance \(p\)-ième sommable et \[ \sum |\lambda_i|^p \leq S_p(A) . \] \(S_p\) et \(\|\cdot\|_p\) sont croissantes sur les hermitiens positifs : \(0 \leq H \leq K\) entraîne \(S_p(H) \leq S_p(K)\). 3) Si \(0 < p, q, r \leq \infty\) et \(\frac1p + \frac1q \geq \frac1r\), alors \(A \in \mathcal{S}_p(H)\), \(B \in \mathcal{S}_q(H)\) entraînent \(AB \in \mathcal{S}_r(H)\) et \[ \|AB\|_r \leq \|A\|_p\,\|B\|_q . \] ⁷³

Démonstration de 1). La première formule est évidente, \(|A|\) et \(|A^{*}|\) ayant les mêmes valeurs propres. La seconde est un cas particulier de 3), mais se prouve directement : si \((k_i)\) et \((h_i)\) sont les valeurs propres décroissantes de \(|BA|\) et \(|A|\), \(k_i \leq \|B\|\,h_i\) pour tout \(i\). L'inégalité triangulaire pour \(p \geq 1\) se déduit de 3), démontré indépendamment : si \(\frac1p + \frac1{p'} = 1\) et \(\|B\|_{p'} \leq 1\), alors \(\|AB\|_1 \leq \|A\|_p\), donc \(|\operatorname{Tr} AB| \leq \|A\|_p\) ; et l'inégalité \(\sup_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB| \leq \|A\|_p\) est une égalité, car avec \(U\) isométrie partielle telle que \(UA = |A|\) et, par Hölder classique sur la décomposition spectrale de \(|A|\), un hermitien positif \(H \in \mathcal{S}_{p'}\) de norme \(\leq 1\) avec \(\operatorname{Tr}(H|A|) = \|A\|_p\), l'opérateur \(B = HU\) a \(\|B\|_{p'} \leq 1\) et \(\operatorname{Tr} AB = \operatorname{Tr}(HUA) = \|A\|_p\). Ainsi \[ \|A\|_p = \sup_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB| \qquad (1 \leq p \leq \infty), \] sup de semi-normes, donc semi-norme.⁷⁴ Une telle démonstration n'est plus praticable pour \(p < 1\), et l'on prouve la sous-additivité de \(S_p\) « par voie analytique », grâce au

Lemme 1. Soit \((\alpha_i)\) une suite de nombres \(\geq 0\), \(0 < p < 1\), et \(f(z) = \prod_i (1 + \alpha_i z)\). Alors \[ \sum_i \alpha_i^p = \frac{p\sin\pi p}{\pi}\int_0^\infty \frac{\log f(v)}{v^{1+p}}\,dv, \] les deux membres étant simultanément finis ou infinis.⁷⁵

Corollaire. Pour \(A \in \mathcal{S}_1(H)\), soit \(M_A(v) = \sup_{|z| = v} |\det(1 + zA)|\). Pour \(0 < p < 1\), \[ S_p(A) = \frac{p\sin\pi p}{\pi}\int_0^\infty \frac{\log M_{|A|}(v)}{v^{1+p}}\,dv, \] en prenant \(f(z) = \det(1 + z|A|)\), dont \(M_{|A|}(v) = f(v)\).

Pour la sous-additivité : \(S_p(A + B) = S_p(|A + B|)\) est donné par cette intégrale, et \(M_{|A+B|}(v) = \det(1 + v|A + B|) \leq \det(1 + v|A|)\det(1 + v|B|) = M_{|A|}(v)\,M_{|B|}(v)\) par le corollaire 5 de la page 124 ; on intègre et l'on réapplique le corollaire à \(A\) et \(B\).⁷⁶ Les assertions topologiques sont des conséquences faciles des formules.

Démonstration de 2). « Je ne connais qu'une méthode analytique. » Pour \(A\) compact et \(0 < p < \infty\), posons \(s_p(A) = \sum |\lambda_i|^p\) ; on a \(s_p(A) = s_{p/n}(A^n)\) pour tout entier \(n > 0\). Si \(p < 1\), la majoration classique des inverses des modules des zéros de la fonction entière \(\det(1 - zA)\) — ce sont les \(1/\lambda_i\) — par la formule de Jensen donne \[ s_p(A) \leq p^2\int_0^\infty \frac{\log M_A(r)}{r^{p+1}}\,dr \leq p^2\int_0^\infty \frac{\log M_{|A|}(v)}{v^{p+1}}\,dv = \frac{p\pi}{\sin p\pi}\,S_p(A), \] puisque \(M_A \leq M_{|A|}\) par \(|\det(1 + zA)| \leq \det(1 + |z||A|)\), et par le corollaire.⁷⁷ Le facteur \(\frac{p\pi}{\sin p\pi}\) est \(> 1\) mais tend vers \(1\) quand \(p \to 0\). Pour \(p\) quelconque, soit \(n\) avec \(p/n < 1\) : \[ s_p(A) = s_{p/n}(A^n) \leq \frac{\frac{p}{n}\pi}{\sin\frac{p}{n}\pi}\, S_{p/n}(A^n) \leq \frac{\frac{p}{n}\pi}{\sin\frac{p}{n}\pi}\,S_p(A), \] car \(\|A^n\|_{p/n} \leq \|A\|_p^n\) par 3) généralisé à \(n\) facteurs, soit \(S_{p/n}(A^n) \leq S_p(A)\) ; et \(n \to \infty\) donne l'inégalité. La monotonie sur les positifs vient de ce que \(0 \leq H \leq K\) entraîne \(\lambda_i(H) \leq \lambda_i(K)\) pour tout \(i\), par la caractérisation extrémale de Fischer.

132–135

Hölder pour les exposants dyadiques, et le lemme (pages 132 à 135)

Démonstration de 3). C'est la plus difficile. On commence par une preuve directe et très simple du cas \(p, q \geq 1\), \(r = 1\) — qui s'applique sans changement à une trace au sens de von Neumann sur une algèbre auto-adjointe, les opérateurs « de puissance \(p\)-ième sommable » étant les \(A\) avec \(\tau(|A|^p) < \infty\).⁷⁸ On prouve d'abord, pour \(2^n\) opérateurs compacts \(A_1, \ldots, A_{2^n}\), \(n \geq 1\), \[ \|A_1 A_2 \cdots A_{2^n}\|_1 \leq \|A_1\|_{2^n}\,\|A_2\|_{2^n} \cdots \|A_{2^n}\|_{2^n}, \] par récurrence sur \(n\) : pour \(n = 1\) c'est \(\|A_1A_2\|_1 \leq \|A_1\|_2\|A_2\|_2\) ; ensuite, groupant les facteurs deux par deux et appliquant l'hypothèse aux \(2^{n-1}\) produits, on est ramené à \(\|AB\|_{2^{n-1}} \leq \|A\|_{2^n}\|B\|_{2^n}\). Or \[ \|AB\|_{2^{n-1}}^{2^{n-1}} = \operatorname{Tr}\bigl[(ABB^{*}A^{*})^{2^{n-2}}\bigr] = \operatorname{Tr} C = \operatorname{Tr} C', \qquad C' = (A^{*}A)(BB^{*})(A^{*}A)\cdots(BB^{*}), \] \(C'\) ayant \(2^{n-1}\) facteurs, obtenu par cyclicité ; et par l'hypothèse de récurrence, \(|\operatorname{Tr} C'| \leq \|C'\|_1 \leq \bigl(\|A^{*}A\|_{2^{n-1}} \|BB^{*}\|_{2^{n-1}}\bigr)^{2^{n-2}} = (\|A\|_{2^n}\|B\|_{2^n})^{2^{n-1}}\), puisque \(\|A^{*}A\|_{2^{n-1}} = \|A\|_{2^n}^2\). Une note de bas de page observe que ce résultat suffirait à démontrer directement la formule 3) dans le cas général.

Soient \(\frac1p + \frac1q = 1\), \(A \in \mathcal{S}_p\), \(B \in \mathcal{S}_q\), qu'on peut supposer de rang fini. Écrivons \(A = UH\), \(B = KV\) avec \(U\), \(V\) partiellement isométriques, et pour \(\alpha + \beta = 2^n\), \(h = H^{1/\alpha}\), \(k = K^{1/\beta}\) : \(AB = Uh^\alpha k^\beta V\) et \[ \|AB\|_1 \leq \|h^\alpha k^\beta\|_1 \leq \|h\|_{2^n}^\alpha\,\|k\|_{2^n}^\beta = (\operatorname{Tr} H^{\lambda})^{1/\lambda}(\operatorname{Tr} K^{\mu})^{1/\mu}, \qquad \lambda = \frac{2^n}{\alpha},\ \mu = \frac{2^n}{\beta}, \] \(\frac1\lambda + \frac1\mu = 1\). L'inégalité vaut pour tous les couples d'exposants conjugués dont les inverses sont des multiples de \(2^{-n}\), et par densité et continuité de \(p \mapsto \|H\|_p\) pour tous : \(\|AB\|_1 \leq \|A\|_p\|B\|_q\). Une note interlinéaire ajoute la généralisation \(\|A_1 \cdots A_n\|_1 \leq \prod \|A_i\|_{p_i}\) si \(\sum 1/p_i = 1\), par le même argument avec \(n\) exposants dyadiques.⁷⁹ On en conclut, pour \(p \geq 1\), la formule de dualité \(\|A\|_p = \sup_{\|B\|_{p'} \leq 1} |\operatorname{Tr} AB|\) et l'inégalité triangulaire.

Lemme 2. Soient \(A\), \(B \in \mathcal{S}_{2m}(H)\), \(H = A^{*}A\), \(K = B^{*}B\), \(L = (AB)^{*}(AB)\), et \(m\), \(n\) des entiers \(\geq 1\). Alors \(L^m\), \(H^m\), \(K^m\) sont à trace et \[ \alpha_n(L^m) \leq \alpha_n(H^m)\,\alpha_n(K^m) . \] En remplaçant \(A\), \(B\) par \(\Lambda^n A\), \(\Lambda^n B\) — ce qui remplace \(H\), \(K\), \(L\) par \(\Lambda^n H\), \(\Lambda^n K\), \(\Lambda^n L\) et \(\alpha_n\) par \(\operatorname{Tr}\) — on est ramené à \(n = 1\) : \[ \operatorname{Tr}\bigl[(ABB^{*}A^{*})^m\bigr] \leq \bigl(\|A^{*}A\|_m\bigr)^m\bigl(\|B^{*}B\|_m\bigr)^m = \operatorname{Tr}(H^m)\,\operatorname{Tr}(K^m) . \] Or le premier membre est la trace du produit de \(2m\) facteurs \((A^{*}A)(BB^{*}) \cdots(BB^{*})\), majorée par sa norme trace, donc par \(\bigl(\|A^{*}A\|_{2m} \|BB^{*}\|_{2m}\bigr)^m\) par Hölder à \(2m\) facteurs, et \(\|A^{*}A\|_{2m} \leq \|A^{*}A\|_m\), \(\|BB^{*}\|_{2m} = \|B^{*}B\|_{2m} \leq \|B^{*}B\|_m\).

136–139

Hölder en toute généralité (pages 136 à 139)

Soient \(A \in \mathcal{S}_p\), \(B \in \mathcal{S}_q\) avec \(\frac1p + \frac1q \geq \frac1r\), \(p\) et \(q\) finis — sinon c'est 1) — et même \(\frac1p + \frac1q = \frac1r\), puisque \(\|A\|_r\) décroît avec \(r\). Soit \(m\) un entier avec \(p, q \leq 2m\), et \(L = (AB)^{*}(AB)\), \(H = A^{*}A\), \(K = B^{*}B\) ; alors \(r \leq m\) et \(S_r(AB) = S_{r/2}(L) = S_{r/2m}(L^m)\), de sorte que, avec \(\lambda(x) = \pi/\sin\pi x\) et le corollaire du lemme 1, \[ S_r(AB) = \frac{r/2m}{\lambda(r/2m)}\int_0^\infty \frac{\log M_{L^m}(\rho)}{\rho^{1 + r/2m}}\,d\rho . \] Or \(M_{L^m}(\rho) = \sum_n \alpha_n(L^m)\rho^n \leq \sum_n \alpha_n(H^m)\, \alpha_n(K^m)\,\rho^n\) par le lemme 2, et avec \(\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = 1\), \[ \sum_n \alpha_n(H^m)\alpha_n(K^m)\rho^{n\frac rp + n\frac rq} \leq \Bigl(\sum_n \alpha_n(H^m)\rho^{n\frac rp}\Bigr)\Bigl(\sum_n \alpha_n(K^m)\rho^{n\frac rq}\Bigr) = M_{H^m}(\rho^{r/p})\,M_{K^m}(\rho^{r/q}), \] d'où \[ \frac{\lambda(r/2m)}{r/2m}\,S_r(AB) \leq \int_0^\infty \frac{\log M_{H^m}(\rho^{r/p})}{\rho^{1 + r/2m}}\,d\rho + \int_0^\infty \frac{\log M_{K^m}(\rho^{r/q})}{\rho^{1 + r/2m}}\,d\rho . \] Le changement de variable \(\sigma = \rho^{r/p}\), \(\frac{d\rho}{\rho} = \frac{p}{r}\frac{d\sigma}{\sigma}\), transforme la première intégrale en \(\frac{p}{r}\int_0^\infty \log M_{H^m}(\sigma)\,\sigma^{-1-p/2m}\,d\sigma = \frac{p}{r}\,\frac{\lambda(p/2m)}{p/2m}\,S_{p/2m}(H^m) = \frac{\lambda(p/2m)}{r/2m} \,S_p(A)\), et de même pour la seconde ; donc \[\begin{gather*} \lambda(r/2m)\,S_r(AB) \leq \lambda(p/2m)\,S_p(A) + \lambda(q/2m)\,S_q(B), \qquad\text{soit} \\ S_r(AB) \leq \frac{\sin\pi\frac{r}{2m}}{\sin\pi\frac{p}{2m}}\,S_p(A) + \frac{\sin\pi\frac{r}{2m}}{\sin\pi\frac{q}{2m}}\,S_q(B), \end{gather*}\] ce qui donne déjà la finitude de \(S_r(AB)\). Faisant \(m \to \infty\) : \[ S_r(AB) \leq \frac{r}{p}\,S_p(A) + \frac{r}{q}\,S_q(B) . \] « C'est une inégalité remarquable, mais n'est pas celle que nous cherchons. » On y remplace \(A\) par \(\lambda A\) et \(B\) par \(\mu B\), \(\lambda, \mu \geq 0\) : \[ (\lambda\mu)^r S_r(AB) \leq \frac{\lambda^p}{p}\,S_p(A) + \frac{\mu^q}{q}\,S_q(B), \] et avec \(a = S_p(A)\), \(b = S_q(B)\), \(c = S_r(AB)\), \(x = \lambda^p\), \(y = \mu^q\), \(\alpha = r/p\), \(\beta = r/q\), \(\alpha + \beta = 1\) : \[ c \leq \inf_{x, y \geq 0} \frac{\alpha a x + \beta b y}{x^\alpha y^\beta} = \inf_{x^\alpha y^\beta = 1} (\alpha a x + \beta b y) . \] L'infimum est atteint, et au point critique \(ax = by\), d'où \(x = (b/a)^\beta\) et le minimum \(ax = a^\alpha b^\beta\). Donc \(S_r(AB) \leq S_p(A)^{r/p} S_q(B)^{r/q}\), c'est-à-dire \(\|AB\|_r \leq \|A\|_p\|B\|_q\), ce qui achève la démonstration.⁸⁰

141–142

Convergence dans \(\mathcal{S}_p\) (pages 141 et 142)

Proposition. Pour qu'une suite \((H_i)\) d'hermitiens de \(\mathcal{S}_p(H)\), \(0 < p < \infty\), converge vers \(H_0 \in \mathcal{S}_p(H)\), il faut et il suffit que 1°) \(\|H_i\|_p \to \|H_0\|_p\), ou seulement \(\limsup \|H_i\|_p \leq \|H_0\|_p\) ; 2°) pour tout \(\lambda \neq 0\) du spectre de \(H_0\) et tout \(\alpha > 0\) tel que \([\lambda - \alpha, \lambda + \alpha]\) ne contienne pas d'autre valeur spectrale de \(H_0\) et que \(\lambda \pm \alpha\) ne soient dans le spectre d'aucun \(H_i\), le projecteur spectral \(h_i\) de \(H_i\) sur cet intervalle finit par avoir la dimension de celui de \(H_0\), \(h_0\), et \(h_i \to h_0\) — la topologie n'a pas à être précisée, toutes coïncidant sur les projecteurs de rang fini borné.⁸¹

Corollaire 1. \(H_i \to H_0\) dans \(\mathcal{S}_p\) si et seulement si \(\|H_i\|_p \to \|H_0\|_p\) et \(H_i \to H_0\) en norme d'opérateur. Corollaire 2. \(A \mapsto |A|^r\) est continue de \(\mathcal{S}_p\) dans \(\mathcal{S}_{p/r}\), comme composée de \(A \mapsto A^{*}A\), continue de \(\mathcal{S}_p\) dans \(\mathcal{S}_{p/2}\) par Hölder, et de \(H \mapsto H^{r/2}\) sur le cône positif de \(\mathcal{S}_{p/2}\), qui vérifie les deux conditions de la proposition : la première trivialement, la seconde parce que les projecteurs spectraux de \(H^{r/2}\) sont ceux de \(H\).

Remarque 1. Si \(1 \leq p \leq 2\), une suite d'hermitiens de \(\mathcal{S}_p\) converge dès qu'elle converge faiblement avec convergence des normes. Est-ce vrai pour tout \(p < \infty\) ? Uniforme convexité de \(\mathcal{S}_p\) ?⁸² Remarque 2. Pour \(H\), \(K\) hermitiens positifs, \(S_p(|H^r - K^r|^{1/r})\) est-elle fonction croissante de \(r\) ? Il suffirait de le savoir pour \(r < 1\), et cela donnerait \[ \bigl\|\,|H^r - K^r|^{1/r}\,\bigr\| \leq \|H - K\| , \] et une précision notable du corollaire 1.⁸³

143–147

Les inégalités de Ky Fan, et les petites valeurs singulières (pages 143 à 147)

Les deux inégalités. Pour \(u : E \to F\), \(v : F \to G\) compacts entre espaces de Hilbert, \[ s_{m+n-1}(vu) \leq s_m(v)\,s_n(u), \qquad s_{m+n-1}(u+v) \leq s_m(u) + s_n(v) . \] Par le minimax, \(s_k(w) = \inf_{\dim E_{k-1} = k-1}\sup_{x \perp E_{k-1}, \|x\| \leq 1}\|wx\|\). Soit \(E_{n-1} \subset E\) réalisant \(s_n(u)\) et \(F_{m-1} \subset F\) réalisant \(s_m(v)\), et \(H = u^{*}(F_{m-1})\). Pour \(x \perp H\) et \(x \perp E_{n-1}\) on a \(ux \perp F_{m-1}\), donc \(\|vux\| \leq s_m(v)\|ux\| \leq s_m(v)s_n(u)\|x\|\) ; et \(H + E_{n-1}\) est de dimension \(\leq m + n - 2\), d'où la première inégalité. La seconde : pour \(x \perp E_{n-1} + F_{m-1}\) — ici \(v : E \to F\) aussi, et \(F_{m-1} \subset E\) réalise \(s_m(v)\) —, \(\|(u+v)x\| \leq (s_n(u) + s_m(v))\|x\|\).⁸⁴

Sous un trait, une question au crayon : peut-on avoir \(\limsup |\lambda_i(u)|/s_i(u) = +\infty\) ? Une majoration \(|\lambda_i(u)| \leq s_{i/2}(u)\) « ou analogue » lui paraît invraisemblable.⁸⁵

Les pages 144 et 145, au crayon pâle, reprennent la proposition pour un espace de Banach \(E\) — si \(u_i \to u\) dans \(L_0(E)\), les spectres et les projecteurs spectraux convergent — et le corollaire 2 sous la forme \(u \mapsto |u|^r\) continue de \(\mathcal{S}_p(E,F)\) dans \(\mathcal{S}_{p/r}(E)\), avec une question : \(\sigma \mapsto \sigma^{r/2}\) est-elle continue de \(L(E)^{+}\) dans \(L(E)\), et avec quelles inégalités précises ?⁸⁶ Un corollaire 2 affirme que pour \(0 < p \leq 1\) une suite d'hermitiens \(u_i \to u\) converge dans \(\mathcal{S}_p(E)\) dès qu'elle converge faiblement et que les normes convergent ; la page 145 demande dans quels cas \(\mathcal{S}_p(E,F)\) est uniformément convexe pour \(0 < p < \infty\) — « pas d'importance » —, ramène la continuité de \(H \mapsto H^r\) au cas \(0 < r < 1\), et reformule la remarque 2 : prouver que \(S_{p/r}(H^r - K^r) = S_p(|H^r - K^r|^{1/r})\) croît avec \(r\), pour \(p\) quelconque ou déjà pour \(p = 1\).⁸⁷

Théorème. Si \(A_i \to A\) dans \(\mathcal{S}_p(H)\), alors la suite des valeurs singulières \(\hat{A}_i = (s_\nu(A_i))_\nu\) converge vers \(\hat{A}\) dans \(\ell^p\).⁸⁸ Cela résulte du

Lemme. Pour tout \(\varepsilon > 0\) il existe \(\rho > 0\) et \(i_0\) tels que \(\sum_{s_\nu(A_i) \leq \rho} s_\nu(A_i)^p \leq \varepsilon\) pour \(i \geq i_0\).

Soit \(\omega\) la fonction convexe égale à \(e^{pt}\) pour \(t \leq \log\rho\) et à sa tangente au-delà, \(\omega(t) = \rho^p\bigl(1 + p(t - \log\rho)\bigr)\) ; la majorisation de Weyl donne \(\sum_\nu \omega(\log s_\nu(A_i)) \leq \sum_\nu \omega(\log s_\nu(|A_i|))\), ce qui permet de supposer \(A_i \geq 0\), et \(\sum_\nu \omega(\log s_\nu)\) se lit \[ \sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^p + \rho^p\sum_{s_\nu > \rho} \log\Bigl(e\,\frac{s_\nu^p}{\rho^p}\Bigr) . \] ⁸⁹ Il suffit alors de montrer : a) \(\rho^p\sum_{s_\nu > \rho} \log(e\,s_\nu^p/\rho^p) \to 0\) quand \(\rho \to 0\), pour la suite fixe \((s_\nu) = \hat{A}\) ; b) \(\sum_{s_\nu(A_i) \leq \rho} s_\nu(A_i)^p \to \sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^p\) quand \(i \to \infty\), à \(\rho\) fixé.

Preuve de a). Soit \(n(r)\) le nombre des \(\nu\) avec \(s_\nu > r\) ; par l'intégration de Stieltjes des pages 115 et 116, avec \(g(r) = \log(e\,r^p/ \rho^p)\), \(g(\rho) = 1\), \(g'(r) = p/r\) : \[ \rho^p\sum_{s_\nu > \rho} \log\Bigl(e\,\frac{s_\nu^p}{\rho^p}\Bigr) = \rho^p\Bigl[-n(r)\,g(r)\Bigr]_{\rho+0}^{\infty} + p\rho^p\int_\rho^\infty \frac{n(r)}{r}\,dr = \rho^p\,n(\rho) + p\rho^p\int_\rho^{s_1} \frac{n(r)}{r}\,dr . \] Comme \(\sum s_\nu^p < \infty\), on sait que \(\rho^p n(\rho) \to 0\) et que \(\int_0^\infty n(r)\,r^{-1-p}\,dr < \infty\). Pour le second terme, on coupe en \(\delta\) : sur \([\rho, \delta]\), \(\rho^p/r \leq (\rho\delta)^p\,r^{-1-p}\), donc \(\rho^p\int_\rho^\delta n(r)\,dr/r \leq (\rho\delta)^p\int_0^\infty n(r)\, r^{-1-p}\,dr \to 0\) ; sur \([\delta, s_1]\), \(\rho^p\int_\delta^{s_1} n(r)\,dr/r \leq \rho^p\,n(\delta)\log(s_1/\delta) \to 0\).⁹⁰

Preuve de b). On a \[ \sum_{s_\nu(A_i) \leq \rho} s_\nu(A_i)^p = S_p(A_i) - \sum_{s_\nu(A_i) > \rho} s_\nu(A_i)^p \longrightarrow S_p(A) - \sum_{s_\nu > \rho} s_\nu^p = \sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^p, \] pour \(\rho\) hors de l'ensemble des \(s_\nu\), puisque \(S_p(A_i) \to S_p(A)\) et que les \(s_\nu(A_i)\) en nombre fini au-dessus de \(\rho\) convergent vers les \(s_\nu\) par convergence en norme ; il suffit alors de prendre \(\rho\) avec \(\sum_{s_\nu \leq \rho} s_\nu^p < \varepsilon\), puis \(i\) assez grand. Le théorème en résulte : les \(s_\nu(A_i)\) convergent terme à terme vers les \(s_\nu\), et les queues sont uniformément petites dans \(\ell^p\).

148–149

L'opérateur \(R(u) = \det(1+u)\,(1+u)^{-1}\) (pages 148 et 149)

Deux pages d'une écriture serrée, à l'encre, sur un opérateur \(u\) à trace. Posons \[ P_n(u) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,\alpha_{n-k}(u)\,u^k, \qquad R(u) = \sum_{k \geq 0} P_k(u) = \frac{\det(1+u)}{1+u}, \] la dernière égalité lorsque \(-1\) n'est pas valeur propre ; et en général \((1+u)^{-1} = 1 - u\,R(u)/\det(1+u)\). La série des \(P_k\) converge en norme par le corollaire ci-dessous.⁹¹

Lemme. Si \(u = \sum_i \lambda_i\,e_i \otimes e_i'\) est diagonalisable, avec \((e_i)\) une base et \((e_i')\) la base duale, alors \(P_n(u) = \sum_i p_i(u)\,e_i \otimes e_i'\) où \[ p_i(u) = \sum_{I \not\ni i,\ |I| = n} \prod_{j \in I} \lambda_j \] est la \(n\)-ième fonction symétrique élémentaire des \(\lambda_j\), \(j \neq i\). On le voit en calculant successivement \(u^n - \alpha_1 u^{n-1}\), \(u^n - \alpha_1 u^{n-1} + \alpha_2 u^{n-2}\), et par récurrence.

Théorème. 1) \(|P_n(u)| \leq P_n(|u|)\) et \(|R(u)| \leq R(|u|)\) pour \(u\) normal, au sens des valeurs propres sur une base commune ; en particulier \(P_n(u) \geq 0\) et \(R(u) \geq 0\) si \(u \geq 0\). 2) Si \(u \geq 0\), \(0 \leq P_n(u) \leq \alpha_n(u)\cdot 1\) et \(0 \leq R(u) \leq \det(1+u)\), puisque \(p_i(u)\) est une somme partielle de \(\alpha_n(u) = \sum_{|I| = n}\prod_I \lambda_j\).⁹²

Corollaire. Pour \(u\) à trace, \[ \|R(u)\| \leq \det(1 + |u|) \leq e^{\|u\|_1}, \qquad \|P_n(u)\| \leq \alpha_n(|u|) \leq \frac{\|u\|_1^n}{n!} . \] ⁹³

Remarque. Les valeurs propres de \(R(u)\) sont les \(p_i = \prod_{j \neq i}(1 + \lambda_j) = \det(1+u)/(1 + \lambda_i)\), d'où \(|p_i| \leq \det(1 + |u|)\), ce qui redonne une partie du corollaire ; mais comme il y a des \(\lambda_i\) arbitrairement petits, il y a des \(p_i\) arbitrairement voisins de \(\det(1+u)\), et \[ \|R(u)\| \geq |\det(1+u)| , \] avec égalité pour \(u \geq 0\) : l'estimation du corollaire est donc exacte sur les positifs.⁹⁴